考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)強(qiáng)化習(xí)題-線性方程組

1、 點(diǎn)這里，看更多數(shù)學(xué)資料 2017考研已經(jīng)拉開(kāi)序幕，很多考生不知道如何選擇適合自己的考研復(fù)習(xí)資料。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【線性代數(shù)-線性方程組知識(shí)點(diǎn)講解和習(xí)題】，希望可以助考生一臂之力。同時(shí)中公考研特為廣大學(xué)子推出考研集訓(xùn)營(yíng)、專(zhuān)業(yè)課輔導(dǎo)、精品網(wǎng)課、vip1對(duì)1等課程，針對(duì)每一個(gè)科目要點(diǎn)進(jìn)行深入的指導(dǎo)分析，歡迎各位考生了解咨詢(xún)。模塊七 線性方程組經(jīng)典習(xí)題一判斷線性方程組解的情況1、已知線性方程組無(wú)解，則 .2、已知線性方程組有無(wú)窮多解，則 .3、已知齊次方程組，有非零解，則_.4、，方程無(wú)解，則_5、已知三階矩陣,且的每一個(gè)列向量都是以下方程組的解:（1）求的值; （2）證明.6、設(shè)是矩陣

2、,是非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組,則下列結(jié)論正確的是（ ）（A）若僅有零解,則有唯一解.（B）若有非零解,則有無(wú)窮多個(gè)解.（C）若有無(wú)窮多個(gè)解,則僅有零解.（D）若有無(wú)窮多個(gè)解,則有非零解.7、設(shè)為矩陣,齊次線性方程組僅有零解的充要條件是（ ）（A）的列向量線性無(wú)關(guān). （B）的列向量線性相關(guān).（C）的行向量線性無(wú)關(guān). （D）的行向量線性相關(guān).8、非齊次線性方程組中未知量個(gè)數(shù)為,方程個(gè)數(shù)為,系數(shù)矩陣的秩為,則（ ）（A）時(shí),方程組有解. （B）時(shí),方程組有惟一解.（C）時(shí),方程組有惟一解. （D）時(shí),方程組有無(wú)窮多解.二齊次線性方程組的通解9、設(shè)是三階非零矩陣，且的通解是_.10、已知

3、為三階非零方陣，為齊次線性方程組的三個(gè)解向量，且有解.（1） 求的值；（2）求的通解.11、設(shè)是秩為階矩陣，是方程組的兩個(gè)不同的解向量，則的通解必定是（ ） （A） （B） （C） （D） 12、設(shè)是四維非零列向量組，為的伴隨矩陣，已知方程組的基礎(chǔ)解系為的基礎(chǔ)解系為（ ） （A） （B） （C） （D） 13、設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系還可以是（ ） （A） （B） （C） （D） 14、設(shè)，已知有非零解，為一個(gè)三維非零列向量，若的任一解向量都能由線性表出，則（ ）（A） （B） （C）或 （D）15、設(shè)為階方陣，齊次線性方程組有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，是的伴隨矩陣，則（A）的解

4、均是的解（B）的解均是的解（C）與沒(méi)有非零公共解（D）與恰好有一個(gè)非零公共解16、是n元齊次方程組的兩個(gè)不同的解，若，則的通解為（ ）（A） （B） （C） （D）17、設(shè)是矩陣，是的轉(zhuǎn)置，若為方程組的基礎(chǔ)解系，則（ ）（A）t （B）n-t （C）m-t （D）n-m18、已知是矩陣，其個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，設(shè)是階可逆矩陣，證明：的行向量的轉(zhuǎn)置也是線性方程組的基礎(chǔ)解系.三非齊次線性方程組的通解19、若_.20、已知是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，那么 中，仍是線性方程組特解的共有（ ） （A）4個(gè) （B）3個(gè) （C）2個(gè) （D）1個(gè) 21、設(shè)均為線性方程組的解，下列向量

5、中導(dǎo)出組的解向量有（ ）個(gè).（A） （B） （C） （D）22、設(shè)均為線性方程組的解向量，則該線性方程組的通解為_(kāi).23、已知矩陣，其中均為4維列向量，線性無(wú)關(guān)，又設(shè)，求的通解.四含參數(shù)的線性方程組24、對(duì)于線性方程組討論取何值時(shí),方程組無(wú)解,有唯一解和無(wú)窮多組解.在方程組有無(wú)窮多組解時(shí),試用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解.25、已知線性方程組(1)滿(mǎn)足何種關(guān)系時(shí),方程組僅有零解?(2)滿(mǎn)足何種關(guān)系時(shí),方程組有無(wú)窮多解,并用基礎(chǔ)解系表示全部解.26、設(shè)線性方程組為,問(wèn)與各取何值時(shí),方程組無(wú)解?有唯一解?有無(wú)窮多解?有無(wú)窮多解時(shí),求其一般解.27、已知線性方程組（1）為何值時(shí),方程組有解?（2）方

6、程組有解時(shí),求出方程組的導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系;（3）方程組有解時(shí),求出方程組的全部解.28、已知齊次線性方程組 其中 試討論和滿(mǎn)足何種關(guān)系時(shí)，（1）方程組僅有零解；（2）方程組有非零解. 在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.29、設(shè)有齊次線性方程組試問(wèn)取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解.五同解與公共解30、設(shè)方程組（）的基礎(chǔ)解系為. 設(shè)方程組（）的基礎(chǔ)解系為 .（1）求線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解；求矩陣的秩.31、設(shè)是階矩陣，對(duì)于齊次線性方程組（）和（）現(xiàn)有命題（）的解必是（）的解；（）的解必是（）的解；（）的解不一定是（）的解；（）的解不一定是（）的解；其中，正確的是（ ）.（A）

7、 （B） （C） （D）32、已知齊次線性方程組的所有解都是方程的解.試證明：線性方程組有解.六幾何運(yùn)用（*數(shù)學(xué)一）33、已知平面上三條不同直線的方程分別為，.試證: 這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為參考答案一判斷線性方程組解的情況1、【答案】：【解析】：對(duì)線性方程組的增廣矩陣作初等行變換得由于系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩，可知.2、【答案】：【解析】：對(duì)線性方程組的增廣矩陣作初等行變換得由于系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，可知.3、【答案】：【解析】：齊次方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩小于.由于 可見(jiàn)秩.4、【答案】1或3【解析】因?yàn)榉匠探M無(wú)解，所以，因?yàn)?，所以所以?.5、【解

8、析】：（1）由題意知,齊次線性方程組有非零解,則方程組的系數(shù)矩陣的行列式.（2）由題意,得.若,矛盾,所以.或 由;又,則.6、【答案】：（D）【解析】：有無(wú)窮多個(gè)解有非零解. 故選項(xiàng)（D）是正確的. 僅有零解的充要條件是，此時(shí)不一定有，也即線性方程組不一定有解.如令，則，故僅有零解；而，故無(wú)解.故選項(xiàng)（A）錯(cuò)誤.與此類(lèi)似地，有非零解的充要條件是，此時(shí)也不一定有，也即線性方程組不一定有解（反例請(qǐng)考生自行舉出）.故選項(xiàng)（B）錯(cuò)誤.7、【答案】：（A）【解析】：僅有零解的列向量線性無(wú)關(guān).故選（A）.8、【答案】：（A）【解析】：?jiǎn)栴}關(guān)鍵是判斷和的關(guān)系.易知.當(dāng)時(shí)，由于為矩陣，故，因此.也即時(shí),方程

9、組有解，故選（A）.二齊次線性方程組的通解9、【答案】：為任意常數(shù)【解析】：由于矩陣，我們得知作變換 可見(jiàn). 時(shí)，求得基礎(chǔ)解系為，因此通解為.10、【分析】：的三個(gè)解向量，于是必有行列式，再根據(jù)有解，即可由線性表示（這里易知），從而可由線性表示，又得行列式.由此兩個(gè)等式可解得，或由，可得，再根據(jù)，又可解得.【解析】：（1） 由的解，而知，必線性相關(guān)， 于是 ， 由此解得. 由有解，知， 可見(jiàn)有. 故. （2）由題設(shè)，于是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，故，可見(jiàn)即可作為的基礎(chǔ)解系，故通解為（為任意常數(shù)）.【評(píng)注】：對(duì)于參數(shù)，也可根據(jù)向量的線性表出來(lái)確定.有非零解，即可由的三個(gè)列向量線性表示，而， 可見(jiàn)可由線

10、性表示，因此線性相關(guān)，于是 ，解得.11、【答案】：（D）【解析】：因?yàn)橥ń庵斜赜腥我獬?shù)，顯見(jiàn)（A）不正確.由知的基礎(chǔ)解系由一個(gè)非零向量構(gòu)成.中哪一個(gè)一定是非零向量呢？ 已知條件只是說(shuō)是兩個(gè)不同的解，那么可以是零解，因而可能不是通解.如果，則是兩個(gè)不同的解，但，即兩個(gè)不同的解不能保證.因此要排除（B）、（C）.由于，必有.可見(jiàn)（D）正確.【評(píng)注】：求齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的一般思路可以概括為：求的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.基本步驟可以總結(jié)為：求，求的個(gè)解，說(shuō)明這個(gè)解是線性無(wú)關(guān)的.在本題中，由于，故基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)向量，由于單個(gè)向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是該向量非零向量，故本題的關(guān)鍵在于確定的一個(gè)非零解.

11、12、【答案】：（C）【分析】：注意到，可知的列向量都是的解.【解析】：由線性方程組的結(jié)構(gòu)，四階方陣的秩為3，則的秩為1，所以，方程組的基礎(chǔ)解系包含三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.又，所以向量是方程組的解.因?yàn)槭欠匠探M的解，有，即向量組線性相關(guān)，所以向量組線性相關(guān)，故（A）不正確.由于（B）中的向量組都能被線性表出，故線性相關(guān)，可知（B）不正確.（D）中向量組含有四個(gè)向量，不為基礎(chǔ)解系，可知（D）也不正確.綜上，唯一可能的選項(xiàng)是（C）.事實(shí)上，由，得可由線性表示，又向量組的秩為3，所以，向量組線性無(wú)關(guān)，即它是方程組的基礎(chǔ)解系.13、【答案】：（D）【分析】：的基礎(chǔ)解系是它的任意4個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.【解析】

12、：由已知條件知的基礎(chǔ)解系由4個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量所構(gòu)成.現(xiàn)在（B）中僅三個(gè)解向量，個(gè)數(shù)不合要求，故（B）不是基礎(chǔ)解系. （A）和（C）中，都有四個(gè)解向量，但因?yàn)?說(shuō)明（A）、（C）中的解向量組均線性相關(guān)，因而（A）、（C）也均不是基礎(chǔ)解系. 用排除法可知（D）入選，或者直接地，由 因?yàn)橹€性無(wú)關(guān)，又因均是的解，且解向量個(gè)數(shù)為4，所以（D）是基礎(chǔ)解系.14、【答案】（B）【解析】：由于有非零解，故，可得或.又由于的任一解向量都能由線性表出，可知即為的基礎(chǔ)解系.的基礎(chǔ)解系中僅含一個(gè)向量，因此.故，選（B）.15、【答案】：（B）【解析】：由題設(shè)知，從而有，故，任意維向量均是的解，故正確選項(xiàng)是（B）1

13、6、【答案】D【解析】因?yàn)椋曰A(chǔ)解系只含有一個(gè)解向量，為的非零解，所以的通解為。17、【答案】C【解析】的列數(shù)，即，所以18、【分析】：只要證明的每個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置均為齊次線性方程組的解向量且的行向量線性無(wú)關(guān)即可.【證明】：令的行向量記為，的行向量記為，則，（1）可見(jiàn)能由線性表出，若齊次線性方程組的解，則也是該齊次線性方程組的解，又可逆，故由（1）可得，可見(jiàn)也能由線性表出，因此與等價(jià)，故若為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，線性無(wú)關(guān)，也是線性無(wú)關(guān)的，且每個(gè)解向量可由它線性表示，從而為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.三非齊次線性方程組的通解19、【答案】：是任意常數(shù)【解析】：由于矩陣不可逆，故可設(shè)，于是

14、 ，得方程組，它可以看成兩個(gè)線性方程組及解這兩個(gè)線性方程組可得，是任意常數(shù).所以是任意常數(shù).【評(píng)注】：1）由于方程組與的系數(shù)矩陣完全一樣，區(qū)別僅在于常數(shù)項(xiàng)，所以解這一類(lèi)方程組可以合并在一起加減消元，即.2）對(duì)于矩陣方程，當(dāng)矩陣不可逆時(shí)，就把與都按列分塊，也即令，.則由矩陣乘法有故有.這樣就將矩陣方程化為了個(gè)線性方程組.20、【答案】：（C）【解析】：由于，那么 可知均是的解 而.故不是的解，故應(yīng)選（C）.【評(píng)注】：若是的解，則當(dāng)時(shí)，則是的解；當(dāng)時(shí)，是的解.21、【答案】（A）【解析】：由于，可知可知，這四個(gè)向量都是的解，故選（A）.22、【答案】：【解析】：設(shè)該線性方程組的系數(shù)矩陣為.原方程組

15、有兩個(gè)不同的解，可知系數(shù)矩陣不滿(mǎn)秩，也即.通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)，中存在非零的2階子式，可知，故.因此導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)向量，由線性方程組解的性質(zhì)可知是的解，也就是的基礎(chǔ)解系.故原方程組的通解為.23、【解析】：由于線性無(wú)關(guān)，可見(jiàn).由于，從而線性方程組有特解.由，導(dǎo)出方程組的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 . 由于，則五元齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解構(gòu)成，故為的基礎(chǔ)解系，方程組的通解為，其中為任意常數(shù).四含參數(shù)的線性方程組24、【解析】：對(duì)增廣矩陣作初等行變換得(1)方程組有惟一解且;(2)當(dāng)時(shí),方程組有無(wú)窮多解,且.則方程組的通解其中為任意常數(shù);(3)當(dāng)時(shí),方程組無(wú)解.25、【解析】：系數(shù)

16、矩陣的行列式.(1)當(dāng),即兩兩不相等時(shí),方程組僅有零解.(2)當(dāng)至少有兩個(gè)相等時(shí),方程組有非零解.且當(dāng)時(shí),方程組的通解為任意常數(shù);當(dāng)時(shí),方程組的通解為任意常數(shù);當(dāng)時(shí),方程組的通解為任意常數(shù);當(dāng)時(shí),方程組的通解為任意常數(shù).26、【解析】：.(1)當(dāng)時(shí),方程組有唯一解;(2)當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),方程組無(wú)解;當(dāng)時(shí),方程組有無(wú)窮多解,且,則通解(一般解)為為任意常數(shù). （*）綜上:當(dāng)時(shí),方程組有惟一解;當(dāng)且時(shí),方程組無(wú)解;當(dāng)且時(shí),方程組有無(wú)窮多解,且一般解為（*）式.27、【解析】：.(1)方程組有解;(2)當(dāng)時(shí),方程組的解.方程組的導(dǎo)出組的解,令,得方程組的導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.令,得方程組的一個(gè)特解.則

17、方程組的通解,其中為任意常數(shù).28、【分析】方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零.【解析】：方程組的系數(shù)行列式 =(1) 當(dāng)時(shí)且時(shí)，方程組僅有零解.(2) 當(dāng)時(shí)，原方程組的同解方程組為 由可知，不全為零. 不妨設(shè)，得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，當(dāng)時(shí)，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為 （將第1行的-1倍加到其余各行，再?gòu)牡?行到第行同乘以倍） （將第行的倍加到第1行（），再將第1行移到最后一行） 由此得原方程組的同解方程組為 ， .原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為【評(píng)注】 本題的難點(diǎn)在時(shí)的討論，事實(shí)上也可這樣分析：此時(shí)系數(shù)矩陣的秩為 (存在階子式不為零)，且顯然為方程組的一個(gè)非零解，

18、即可作為基礎(chǔ)解系.29、【分析】：本題是方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同的齊次線性方程組，可考慮對(duì)系數(shù)矩陣直接用初等行變換化為階梯形，再討論其秩是否小于，進(jìn)而判斷是否有非零解；或直接計(jì)算系數(shù)矩陣的行列式，根據(jù)題設(shè)行列式的值必為零，由此對(duì)參數(shù)的可能取值進(jìn)行討論即可.【解析】：方法一：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換，有 當(dāng)時(shí)，故方程組有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為： 于是方程組的通解為： 其中為任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，對(duì)矩陣B作初等行變換，有 可知時(shí)，故方程組也有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).方法二：方程組的系數(shù)行列式為 .當(dāng)，即或時(shí)，方程組有

19、非零解.當(dāng)時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【評(píng)注】 矩陣的行列式也可這樣計(jì)算：=+，矩陣的特征值為，從而的特征值為，.五同解與公共解30、【解析】：考慮線性方程組 其系數(shù)矩陣 因而得到方程組的基礎(chǔ)解系，代入得到方程組（）的基礎(chǔ)解系為.求得（）的通解為，其中為任意常數(shù).由此可見(jiàn)矩陣的秩.31、【答案】（B）【解析】：當(dāng)時(shí)，易知，故（）的解必是（）的解，也即正確、錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則有均不為零，可以證明這種情況下是線性無(wú)關(guān)的.由于均為維向量，而個(gè)維向量都是線性相關(guān)的，