第七章 點的運動學(xué)

1、第二篇第二篇 運運 動動 學(xué)學(xué) 引引 言言 運動學(xué)是研究物體運動的幾何性質(zhì)的科學(xué)。運動學(xué)是研究物體運動的幾何性質(zhì)的科學(xué)。也就也就 是是從幾何學(xué)方面來研究物體的機(jī)械運動。從幾何學(xué)方面來研究物體的機(jī)械運動。運動學(xué)的內(nèi)運動學(xué)的內(nèi) 容包括：容包括：運動方程、軌跡、速度和加速度。運動方程、軌跡、速度和加速度。 學(xué)習(xí)運動學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動力學(xué)打下必學(xué)習(xí)運動學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動力學(xué)打下必 要的基礎(chǔ)。其次運動學(xué)本身也有獨立的應(yīng)用。要的基礎(chǔ)。其次運動學(xué)本身也有獨立的應(yīng)用。 由于物體運動的描述是相對的。將觀察者所在的由于物體運動的描述是相對的。將觀察者所在的 物體稱為物體稱為參考體參考體，固結(jié)于參考體上

2、的坐標(biāo)系稱為，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為參考參考 坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。只有明確參考系來分析物體的運動才有意義。只有明確參考系來分析物體的運動才有意義。 時間概念要明確：時間概念要明確：瞬時瞬時和和時間間隔時間間隔。 運動學(xué)所研究的力學(xué)模型為：運動學(xué)所研究的力學(xué)模型為：點點和和剛體剛體。 第七章第七章 點的運動學(xué)點的運動學(xué) 點的運動的矢徑法點的運動的矢徑法 點的運動的直角坐標(biāo)法點的運動的直角坐標(biāo)法 點的運動的自然法點的運動的自然法 第二篇第二篇 運運 動動 學(xué)學(xué) 引引 言言 運動學(xué)是研究物體運動的幾何性質(zhì)的科學(xué)。運動學(xué)是研究物體運動的幾何性質(zhì)的科學(xué)。也就也就 是是從幾何學(xué)方面來研究物體的機(jī)械運動。從

3、幾何學(xué)方面來研究物體的機(jī)械運動。運動學(xué)的內(nèi)運動學(xué)的內(nèi) 容包括：容包括：運動方程、軌跡、速度和加速度。運動方程、軌跡、速度和加速度。 學(xué)習(xí)運動學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動力學(xué)打下必學(xué)習(xí)運動學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動力學(xué)打下必 要的基礎(chǔ)。其次運動學(xué)本身也有獨立的應(yīng)用。要的基礎(chǔ)。其次運動學(xué)本身也有獨立的應(yīng)用。 由于物體運動的描述是相對的。將觀察者所在的由于物體運動的描述是相對的。將觀察者所在的 物體稱為物體稱為參考體參考體，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為參考參考 坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。只有明確參考系來分析物體的運動才有意義。只有明確參考系來分析物體的運動才有意義。 時間概念要明確：時間概

4、念要明確：瞬時瞬時和和時間間隔時間間隔。 運動學(xué)所研究的力學(xué)模型為：運動學(xué)所研究的力學(xué)模型為：點點和和剛體剛體。 第七章第七章 點的運動學(xué)點的運動學(xué) 本章將介紹研究點的運動的三種方法，即：本章將介紹研究點的運動的三種方法，即： 矢徑法、直角坐標(biāo)法矢徑法、直角坐標(biāo)法和和自然法自然法。 點運動時，在空間所占的位置隨時間連續(xù)點運動時，在空間所占的位置隨時間連續(xù) 變化而形成的曲線，稱為點的變化而形成的曲線，稱為點的運動軌跡運動軌跡。點的。點的 運動可按軌跡形狀分為運動可按軌跡形狀分為直線運動直線運動和和曲線運動曲線運動。 當(dāng)軌跡為圓時稱為當(dāng)軌跡為圓時稱為圓周運動圓周運動。 表示點的位置隨時間變化的規(guī)律

5、的數(shù)學(xué)方表示點的位置隨時間變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)方 程稱為點的程稱為點的運動方程運動方程。 本章研究的內(nèi)容為點的運動方程、軌跡、本章研究的內(nèi)容為點的運動方程、軌跡、 速度和加速度，以及它們之間的關(guān)系。速度和加速度，以及它們之間的關(guān)系。 8.1 點的運動的矢徑法 一、點的運動方程一、點的運動方程 如圖，動點如圖，動點M沿其軌跡運沿其軌跡運 動，在瞬時動，在瞬時t，M點在圖示位置。點在圖示位置。 參考體 O M r 由參考點由參考點O向動點向動點M作一矢作一矢 量量 ，則稱，則稱 為為矢徑矢徑。OMr r 于是動點矢徑形式的運動方程為于是動點矢徑形式的運動方程為 )(trr 顯然，矢徑的矢端曲線就是點運

6、動的軌跡。顯然，矢徑的矢端曲線就是點運動的軌跡。 用矢徑法描述點的運動有簡潔、直觀的用矢徑法描述點的運動有簡潔、直觀的 優(yōu)點。優(yōu)點。 8.1 點的運動的矢徑法 二、點的速度二、點的速度 A BO M M )(tr )(ttr r v v )()(trttrrMM 則則 t r v 表示動點在時間間隔表示動點在時間間隔 內(nèi)運動的平內(nèi)運動的平t 均快慢和方向，稱為點的均快慢和方向，稱為點的平均速度平均速度。 當(dāng)當(dāng) 時，平均速度的極限矢量稱為動時，平均速度的極限矢量稱為動 點在點在t瞬時的瞬時的速度速度。即。即 0t r dt rd t r vv tt 00 limlim 即：即：點的速度等于它的矢

7、徑對時間的一階導(dǎo)點的速度等于它的矢徑對時間的一階導(dǎo) 數(shù)數(shù)。方向沿軌跡的切線方向。方向沿軌跡的切線方向。 如圖，動點如圖，動點M在時間間在時間間 隔隔 內(nèi)的位移為內(nèi)的位移為t 8.1 點的運動的矢徑法 三、點的加速度三、點的加速度 M M v v v v a a 如圖，動點如圖，動點M在時間間隔在時間間隔 內(nèi)速度矢量的內(nèi)速度矢量的 改變量為改變量為 t vvv 則則 t v a 表示動點的速度在時表示動點的速度在時 t內(nèi)的平均變化率，稱為內(nèi)的平均變化率，稱為間間隔間間隔 平均加速度平均加速度。 當(dāng)當(dāng) 時，平均加速度的極限矢量稱為時，平均加速度的極限矢量稱為 動點在動點在t瞬時的瞬時的加速度加速度

8、。即。即 0t rv dt vd t v aa tt 00 limlim 即：即：點的加速度等于它的速度對時間的一階點的加速度等于它的速度對時間的一階 導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對時間的二階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對時間的二階導(dǎo)數(shù)。 8.2 點的運動的直角坐標(biāo)法 一、點的運動方程一、點的運動方程 O x y z i j k r M x y z 如圖，在參考體上建立直角如圖，在參考體上建立直角 坐標(biāo)系。則坐標(biāo)系。則 )( 1 tfx )( 2 tfy )( 3 tfz 這就是這就是直角坐標(biāo)形式的點的運直角坐標(biāo)形式的點的運 動方程動方程。 由運動方程消去時間由運動方程消去時間t可得兩個柱面方程：可得兩個

9、柱面方程： 0),( 1 yxF0),( 2 zyF 這兩個柱面方程的交線就是點的運動軌跡，這兩個柱面方程的交線就是點的運動軌跡， 上式稱為動點的軌跡方程。上式稱為動點的軌跡方程。 8.2 點的運動的直角坐標(biāo)法 二、點的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影二、點的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影 O x y z i j k r M x y z 由圖可知，動點的矢徑為由圖可知，動點的矢徑為 kzj yi xr 將上式兩邊對時間求導(dǎo)，可得將上式兩邊對時間求導(dǎo)，可得 k dt dz j dt dy i dt dx dt rd v 將動點的速度表示為解析形式，則有將動點的速度表示為解析形式，則有 kvjvivv zyx

10、比較上述兩式，可得速度在各坐標(biāo)軸上的投影比較上述兩式，可得速度在各坐標(biāo)軸上的投影 x dt dx vxy dt dy vyz dt dz vz 這就是這就是用直角坐標(biāo)法表示的點的速度用直角坐標(biāo)法表示的點的速度。即：。即：點的速點的速 度在直角坐標(biāo)軸上的投影，等于點的對應(yīng)坐標(biāo)對時度在直角坐標(biāo)軸上的投影，等于點的對應(yīng)坐標(biāo)對時 間的一階導(dǎo)數(shù)間的一階導(dǎo)數(shù)。 8.2 點的運動的直角坐標(biāo)法 二、點的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影二、點的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影 若已知速度的投影，則速度的大小為若已知速度的投影，則速度的大小為 222 zyxv 其方向余弦為其方向余弦為 v z kv v y jv v x iv

11、),cos( ),cos( ),cos( 8.2 點的運動的直角坐標(biāo)法 三、點的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影三、點的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影 由于加速度是速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，則由于加速度是速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，則 k dt dv j dt dv i dt dv k dt zd j dt yd i dt xd a z y x 2 2 2 2 2 2 將動點的加速度表示為解析形式，則有將動點的加速度表示為解析形式，則有 kajaiaa zyx 比較上述兩式，可得加速度在各坐標(biāo)軸上的投影比較上述兩式，可得加速度在各坐標(biāo)軸上的投影 x dt xd dt dv a x x 2 2 y dt yd dt

12、 dv a y y 2 2 z dt zd dt dv a z z 2 2 這就是這就是用直角坐標(biāo)法表示的點的加速度用直角坐標(biāo)法表示的點的加速度。即：。即：點的點的 加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于該點速度在對應(yīng)加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于該點速度在對應(yīng) 坐標(biāo)軸上的投影對時間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于該點對坐標(biāo)軸上的投影對時間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于該點對 應(yīng)的坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)應(yīng)的坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)。 8.2 點的運動的直角坐標(biāo)法 若已知加速度的投影，則加速度的大小為若已知加速度的投影，則加速度的大小為 三、點的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影三、點的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影 222222 zyxaaaa

13、 zyx 其方向余弦為其方向余弦為 a z ka a y ja a x ia ),cos( ),cos( ),cos( 8.2 點的運動的直角坐標(biāo)法 例例1 A B M R O 桿AB繞A點轉(zhuǎn)動時，帶動套在半徑 為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M運動， 已知 （ 為常數(shù)）。求小環(huán)M的 運動方程、速度和加速度。 t A B M Ox y 2 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)。則 2cos 2sin Ry Rx 即為小環(huán)M的運動方程。 tRy tRx 2cos 2sin 即 tRxvx2cos2 tRyvy2sin2 8.2 點的運動的直角坐標(biāo)法 例1 故M點的速度大小為Rvvv yx 2 22 A B M

14、Ox y 2 v x v y v 其方向余弦為 2cos),cos( v v iv x 2sin),cos( v v jv y 如圖。 xtRva xx 22 42sin4 ytRva yy 22 42cos4 故M點的加速度大小為 222 4Raaa yx 且有rj yi xj yi xa 2222 4)(444 加速度的方向如圖。 a 8.2 點的運動的直角坐標(biāo)法 例2 半徑為R的輪子沿直線軌道純滾動(無滑動 地滾動)。設(shè)輪子保持在同一豎直平面內(nèi)運 動，且輪心的速度為已知值u，試分析輪子 邊緣一點M的運動。 MM R o 8.2 點的運動的直角坐標(biāo)法 取坐標(biāo)系A(chǔ)xy如圖所示，并設(shè)M點所在的

15、一 個最低位置為原點A，則當(dāng)輪子轉(zhuǎn)過一個角 度后，M點坐標(biāo)為 )sin( sin R OMACx )cos1 ( cos R OMOCy 這是旋輪線的參數(shù)方程。 o R C A x y M 例2 8.2 點的運動的直角坐標(biāo)法 例2 M點的速度為： jRiRj yi xv )sin()cos1 ( 其中 可由輪心速度求出： RdtRdxu O / )( 當(dāng)M點與地面接觸，即 時，M點速度等 于零。 k2 o R C A x y M 此時M點的加速度是否為零？為什么？ 8.3 點的運動的自然法 一、運動方程一、運動方程 O M s )( )( 設(shè)動點設(shè)動點M的運動軌跡如的運動軌跡如 圖。圖。 S

16、弧坐標(biāo)弧坐標(biāo) 當(dāng)動點運動時，弧坐標(biāo)隨時間當(dāng)動點運動時，弧坐標(biāo)隨時間t連續(xù)變連續(xù)變 化，且為時間化，且為時間t的單值連續(xù)函數(shù)，即的單值連續(xù)函數(shù)，即 )(tfs 這就是自然坐標(biāo)形式的點的運動方程。這就是自然坐標(biāo)形式的點的運動方程。 8.3 點的運動的自然法 二、曲率和曲率半徑二、曲率和曲率半徑 M )( )( M s 圖示空間曲線，圖示空間曲線， 表明曲線在弧表明曲線在弧 長長 內(nèi)彎曲的程度。內(nèi)彎曲的程度。 MMs s k 稱為稱為 的的平均曲率平均曲率。MMs 當(dāng)當(dāng) 點趨近于點趨近于M點時，平均曲率的極限值就是點時，平均曲率的極限值就是 曲線在曲線在M點的點的曲率曲率，即，即 M s k s 0

17、 lim M點曲率的倒數(shù)稱為曲線在點曲率的倒數(shù)稱為曲線在M點的曲率半徑，點的曲率半徑， 即即 s k 0 lim 1 8.3 點的運動的自然法 三、自然軸系三、自然軸系 M )( )( M s 密切面 法面 切線 主法線 副法線 M n b 如圖。由三個方向的單位矢量構(gòu)成的坐如圖。由三個方向的單位矢量構(gòu)成的坐 標(biāo)系稱為標(biāo)系稱為自然軸系自然軸系。且三個單位矢量滿足右。且三個單位矢量滿足右 手法則，即手法則，即 nb 自然軸系不是固定的坐標(biāo)系。自然軸系不是固定的坐標(biāo)系。 8.3 點的運動的自然法 四、用自然法表示點的速度四、用自然法表示點的速度 由點的速度的矢徑法由點的速度的矢徑法 ds rd d

18、t ds ds ds dt rd dt rd v 由于由于 ds rd 所以所以v t s dt ds t 0 lim dt ds vv 即：即：動點沿已知軌跡的速度的代數(shù)值等于弧動點沿已知軌跡的速度的代數(shù)值等于弧 坐標(biāo)坐標(biāo)s對時間的一階導(dǎo)數(shù)，速度的方向沿著對時間的一階導(dǎo)數(shù)，速度的方向沿著 軌跡的切線方向，當(dāng)軌跡的切線方向，當(dāng) 為正時指向與為正時指向與 相同，相同， 反之，與反之，與 相反。相反。 dt ds 8.3 點的運動的自然法 五、用自然法表示點的加速度五、用自然法表示點的加速度 由點的加速度的矢徑法由點的加速度的矢徑法 dt d v dt dv v dt d dt vd a )( 由

19、于n v dt d 所以 n v dt dv a 2 上式表明加速度矢量上式表明加速度矢量 是由兩個分矢量組成：分矢是由兩個分矢量組成：分矢 量量 的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線方向，稱為切向的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線方向，稱為切向 加速度，它表明速度代數(shù)值隨時間的變化率；分矢加速度，它表明速度代數(shù)值隨時間的變化率；分矢 量量 的方向永遠(yuǎn)沿主法線的方向，稱為法向加的方向永遠(yuǎn)沿主法線的方向，稱為法向加 速度，它表明速度方向隨時間的變化率。速度，它表明速度方向隨時間的變化率。 a dt dv a n v an 2 8.3 點的運動的自然法 五、用自然法表示點的加速度五、用自然法表示點的加速度 加速度在三個自然

20、軸上的投影為加速度在三個自然軸上的投影為 s dt sd dt dv a 2 2 2 v an0 b a 全加速度位于密切面內(nèi)，其大小為全加速度位于密切面內(nèi)，其大小為 2 2 222 )()( v dt dv aaa n 方向余弦為方向余弦為 a a a ),cos( a a na n ),cos( 8.3 點的運動的自然法 A B M R O 桿AB繞A點轉(zhuǎn)動時，帶動套在半徑 為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M運動， 已知 （ 為常數(shù)）。求小環(huán)M的 運動方程、速度和加速度。 t 解：建立如圖所示的自然坐標(biāo)。 則點的自然坐標(biāo)形式的運動方程為 例例3 A B M 2 O s tRRs2)2( 速度為 R dt ds v2 v 加速度為 0 dt dv a 2