測量數(shù)據(jù)處理理論和方法-2013年+_1_

1、測量數(shù)據(jù)處理理論和方法測量數(shù)據(jù)處理理論和方法 ( (The Theory and Method of Data Processing in Geodesy and Surveying) 于湘?zhèn)ビ谙鎮(zhèn)?Email： Phone: 88256482 中國科學(xué)院大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院中國科學(xué)院大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院 課程屬性課程屬性: 專業(yè)課專業(yè)課 學(xué)時學(xué)時/學(xué)分學(xué)分: 40/2 預(yù)修課程預(yù)修課程: 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 線性代數(shù)線性代數(shù) 概率與數(shù)理統(tǒng)計概率與數(shù)理統(tǒng)計 授課方式授課方式: 課堂講授為主，課堂講授為主， 結(jié)合課堂討論結(jié)合課堂討論 授課時間：周一：授課時間：周一：56 周五：周五：12 授課地點：教一授

2、課地點：教一4 教室教室 考試方式：閉卷考試考試方式：閉卷考試 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 第一章：誤差理論第一章：誤差理論 第二章：第二章：測量數(shù)據(jù)質(zhì)量控制理論測量數(shù)據(jù)質(zhì)量控制理論 第三章：參數(shù)估計方法第三章：參數(shù)估計方法 第四章：廣義測量平差原理和方法第四章：廣義測量平差原理和方法 第五章：測量結(jié)果分析和精度評定第五章：測量結(jié)果分析和精度評定 第六章：實用數(shù)據(jù)處理方法第六章：實用數(shù)據(jù)處理方法 第一章：誤差理論第一章：誤差理論 誤差概念，誤差分類，誤差估誤差概念，誤差分類，誤差估 計，計， 誤差與概率分布誤差與概率分布 第二章：第二章：測量數(shù)據(jù)質(zhì)量控制理論測量數(shù)據(jù)質(zhì)量控制理論 粗差檢測方法，最小二乘法

3、（經(jīng)粗差檢測方法，最小二乘法（經(jīng) 典、矩陣），抗差估計（穩(wěn)健估典、矩陣），抗差估計（穩(wěn)健估 計）：計）：M M估計原理、等價權(quán)原理估計原理、等價權(quán)原理 參數(shù)估參數(shù)估 計問題計問題 假設(shè)檢假設(shè)檢 驗問題驗問題 點估計點估計 區(qū)間估計區(qū)間估計 統(tǒng)計統(tǒng)計 推斷推斷 DE 基本基本 問題問題 7-2 參數(shù)估計與假設(shè)檢驗參數(shù)估計與假設(shè)檢驗 若對若對 參數(shù)參數(shù) 有所有所 了解了解 但有懷但有懷 疑猜測疑猜測 需要證需要證 實之時實之時 用假設(shè)用假設(shè) 檢驗的檢驗的 方法來方法來 處理處理 若對參數(shù)若對參數(shù) 一無所知一無所知 用參數(shù)估計用參數(shù)估計 的方法處理的方法處理 什么是參數(shù)估計？什么是參數(shù)估計？ 參數(shù)是

4、刻畫總體某方面概率特性的數(shù)量參數(shù)是刻畫總體某方面概率特性的數(shù)量. . 當(dāng)此數(shù)量未知時當(dāng)此數(shù)量未知時, ,從總體抽出一個樣本，從總體抽出一個樣本， 用某種方法對這個未知參數(shù)進(jìn)行估計就用某種方法對這個未知參數(shù)進(jìn)行估計就 是參數(shù)估計是參數(shù)估計. . 例如，例如，X N ( , 2), 點估計點估計區(qū)間估計區(qū)間估計 若若 , 2未知未知, 通過構(gòu)造樣本的函數(shù)通過構(gòu)造樣本的函數(shù), 給出給出 它們的估計值或取值范圍就是參數(shù)估計它們的估計值或取值范圍就是參數(shù)估計 的內(nèi)容的內(nèi)容. 參數(shù)估計的類型參數(shù)估計的類型 點估計點估計 估計未知參數(shù)的值估計未知參數(shù)的值 區(qū)間估計區(qū)間估計 估計未知參數(shù)的取值范圍，估計未知參

5、數(shù)的取值范圍， 并使此范圍包含未知參數(shù)并使此范圍包含未知參數(shù) 真值的概率為給定的值真值的概率為給定的值. 假設(shè)檢驗是指施加于一個或多個假設(shè)檢驗是指施加于一個或多個 總體的概率分布或參數(shù)的假設(shè)總體的概率分布或參數(shù)的假設(shè). . 所作所作 假設(shè)可以是正確的假設(shè)可以是正確的, ,也可以是錯誤的也可以是錯誤的. . 為判斷所作的假設(shè)是否正確為判斷所作的假設(shè)是否正確, , 從從 總體中抽取樣本總體中抽取樣本, ,根據(jù)樣本的取值根據(jù)樣本的取值, ,按按 一定原則進(jìn)行檢驗一定原則進(jìn)行檢驗, , 然后作出接受或然后作出接受或 拒絕所作假設(shè)的決定拒絕所作假設(shè)的決定. . 何為何為假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗? ? 假設(shè)檢驗所

6、以可行假設(shè)檢驗所以可行, ,其理論背景為實際其理論背景為實際 推斷原理推斷原理, ,即即“小概率原理小概率原理” 假設(shè)檢驗的內(nèi)容假設(shè)檢驗的內(nèi)容 參數(shù)檢驗參數(shù)檢驗 非參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗 總體均值總體均值, 均值差的檢驗均值差的檢驗 總體方差總體方差, 方差比的檢驗方差比的檢驗 分布擬合檢驗分布擬合檢驗 符號檢驗符號檢驗 秩和檢驗秩和檢驗 假設(shè)檢驗的理論依據(jù)假設(shè)檢驗的理論依據(jù) 第三章：第三章：參數(shù)估計方法參數(shù)估計方法 極大似然估計，最小二乘估計，極極大似然估計，最小二乘估計，極 大驗后估計，最小方差估計，線性大驗后估計，最小方差估計，線性 最小方差估計，貝葉斯估計最小方差估計，貝葉斯估計 第四章：

7、第四章：廣義測量平差原理廣義測量平差原理 和方法和方法 廣義測量平差原理，擬合推估廣義測量平差原理，擬合推估 （最小二乘配置），秩虧自由（最小二乘配置），秩虧自由 網(wǎng)平差網(wǎng)平差 第五章：第五章：測量結(jié)果分析測量結(jié)果分析 和精度評定和精度評定 方差方差- -協(xié)方差分量估計及精度評定，協(xié)方差分量估計及精度評定， 測量結(jié)果評定：方差因子檢驗，解測量結(jié)果評定：方差因子檢驗，解 向量的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗，兩期向量的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗，兩期 觀測解向量的差異顯著性檢驗觀測解向量的差異顯著性檢驗 第六章：第六章：實用數(shù)據(jù)處理方法實用數(shù)據(jù)處理方法 回歸分析：概述、一元線性回歸分回歸分析：概述、一元線性回歸分

8、析、多元線性回歸分析、最優(yōu)回歸析、多元線性回歸分析、最優(yōu)回歸 模型選擇，模型選擇， 擬合與插值：概述、多項式擬合與擬合與插值：概述、多項式擬合與 插值、樣條函數(shù)擬合與插值插值、樣條函數(shù)擬合與插值， 第六章：第六章：實用數(shù)據(jù)處理方法（續(xù)）實用數(shù)據(jù)處理方法（續(xù)） 時間序列分析：概述、時間序列模時間序列分析：概述、時間序列模 型、平穩(wěn)序列的自相關(guān)分析、模型型、平穩(wěn)序列的自相關(guān)分析、模型 識別、檢驗與改進(jìn)、時間序列預(yù)報識別、檢驗與改進(jìn)、時間序列預(yù)報 譜波分析與譜波分析與FFTFFT：概述、傅立葉級數(shù)：概述、傅立葉級數(shù) 和變換、離散傅立葉分析、快速傅和變換、離散傅立葉分析、快速傅 立葉變換立葉變換(FF

9、T)(FFT)， 第六章：第六章：實用數(shù)據(jù)處理方法（續(xù)）實用數(shù)據(jù)處理方法（續(xù)） 卡爾曼濾波：預(yù)備知識、系統(tǒng)的狀卡爾曼濾波：預(yù)備知識、系統(tǒng)的狀 態(tài)方程和測量方程、離散系統(tǒng)卡爾態(tài)方程和測量方程、離散系統(tǒng)卡爾 曼濾波、連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波、算曼濾波、連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波、算 法分析，最優(yōu)化方法法分析，最優(yōu)化方法。 成績評定成績評定 平時成績：平時成績：1010分分 期末考試：期末考試：9090分分 平時成績平時成績期末成績期末成績 本課堂要求：本課堂要求： 教材與參考書教材與參考書 教材：教材： 無無 參考書：參考書： 崔希璋等編著，崔希璋等編著，廣義測量平差廣義測量平差，武漢測，武漢測 繪科技大學(xué)出版

10、社，武漢，繪科技大學(xué)出版社，武漢，20012001。 劉大杰，陶本藻主編，劉大杰，陶本藻主編，實用測量數(shù)據(jù)處理實用測量數(shù)據(jù)處理 方法方法，測繪出版社，北京，測繪出版社，北京，20002000。 王宏禹，王宏禹，隨機數(shù)字信號處理隨機數(shù)字信號處理，科學(xué)出版，科學(xué)出版 社，北京，社，北京，19981998。 肖明耀，肖明耀，誤差理論與應(yīng)用誤差理論與應(yīng)用，計量出版社，計量出版社， 北京，北京，19851985。 教學(xué)目的和要求教學(xué)目的和要求 本課程為大地測量學(xué)與測量工程專本課程為大地測量學(xué)與測量工程專 業(yè)研究生的專業(yè)課，同時也可作為業(yè)研究生的專業(yè)課，同時也可作為 固體地球物理專業(yè)研究生的選修課。固體地

11、球物理專業(yè)研究生的選修課。 本課程為了適應(yīng)現(xiàn)代大地測量技術(shù)本課程為了適應(yīng)現(xiàn)代大地測量技術(shù) 迅速發(fā)展的形勢，將數(shù)據(jù)處理方法迅速發(fā)展的形勢，將數(shù)據(jù)處理方法 作了較多拓展，系統(tǒng)闡述各種測量作了較多拓展，系統(tǒng)闡述各種測量 數(shù)據(jù)處理的基本理論和方法數(shù)據(jù)處理的基本理論和方法 教學(xué)目的和要求教學(xué)目的和要求(續(xù)）續(xù)） 本課程培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)掌握測量本課程培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)掌握測量 數(shù)據(jù)處理的理論和方法，獲得分析數(shù)據(jù)處理的理論和方法，獲得分析 和解決數(shù)據(jù)處理方面的問題的能和解決數(shù)據(jù)處理方面的問題的能 力力 。 1.1 誤差分析誤差分析 第一章：第一章： 誤差理論誤差理論 誤差公理：測量結(jié)果都具有誤誤差公理：測量結(jié)果都具有

12、誤 差，誤差自始至終存在于一切差，誤差自始至終存在于一切 科學(xué)實驗和測量過程中科學(xué)實驗和測量過程中 誤差：測定結(jié)果與誤差：測定結(jié)果與真實值真實值之間之間 的差值的差值 L 1.024cm 1.024cm0.011cm 誤差滿足需要誤差滿足需要 誤差不滿足需要誤差不滿足需要 誤差帶來誤差帶來 的影響作的影響作 出論證和出論證和 評估評估 分析原因，分析原因， 重新測量重新測量 一個沒有標(biāo)明誤差的測量結(jié)一個沒有標(biāo)明誤差的測量結(jié) 果，幾乎是沒有用處的數(shù)據(jù)果，幾乎是沒有用處的數(shù)據(jù) 誤差的重要性誤差的重要性 NEWTON: NEWTON: 誤差較大的地球半徑值，導(dǎo)致誤差較大的地球半徑值，導(dǎo)致 測得的月球

13、加速度值與理論測得的月球加速度值與理論 計算值相差約計算值相差約1010，而推遲，而推遲2020 年發(fā)表他的引力理論年發(fā)表他的引力理論 RayleighRayleigh： 1919世紀(jì)末期，英國物理學(xué)家世紀(jì)末期，英國物理學(xué)家 瑞利勛爵發(fā)現(xiàn)利用空氣除雜質(zhì)得瑞利勛爵發(fā)現(xiàn)利用空氣除雜質(zhì)得 的氮氣和從氨制得的氮氣的密度的氮氣和從氨制得的氮氣的密度 有大約是千分之一的差別。經(jīng)過有大約是千分之一的差別。經(jīng)過 誤差分析證實，兩者之所以不同，誤差分析證實，兩者之所以不同， 不是測量誤差引起的，而是由于不是測量誤差引起的，而是由于 大氣分離的氮氣大氣分離的氮氣 中還含有未知氣體中還含有未知氣體 的原因惰性氣體的

14、原因惰性氣體 19161916年發(fā)表廣義相對論時指出：年發(fā)表廣義相對論時指出： 當(dāng)光線行進(jìn)到太陽附近時會發(fā)生當(dāng)光線行進(jìn)到太陽附近時會發(fā)生 彎曲，彎曲的角度預(yù)計為彎曲，彎曲的角度預(yù)計為 1.81.8 19111911年用經(jīng)典方法預(yù)計為年用經(jīng)典方法預(yù)計為0.90.9 19191919年，有人進(jìn)行了成功的測量，最佳年，有人進(jìn)行了成功的測量，最佳 估計估計22，以，以9595置信水平落在置信水平落在 1.71.7和和2.32.3中。中。 一、誤差的來源一、誤差的來源 儀器誤差：精度低，沒校準(zhǔn)等 環(huán)境誤差：溫度、氣壓、濕度、震動等 人員誤差：人的分辨率限制 方法誤差：測量方法或者計算方法不完善 二、誤差

15、的定義二、誤差的定義 1、絕對誤差、絕對誤差 2、相對誤差、相對誤差 絕對誤差給出值真值絕對誤差給出值真值 相對誤差絕對誤差相對誤差絕對誤差/真值真值 測得值，實驗值、標(biāo)測得值，實驗值、標(biāo) 稱值，示值、計算近稱值，示值、計算近 似值等非真值似值等非真值 理論真值、計量學(xué)理論真值、計量學(xué) 約定真值、標(biāo)準(zhǔn)器約定真值、標(biāo)準(zhǔn)器 相對真值相對真值 三、測量誤差的分類：三、測量誤差的分類： 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差(system error)該測量條件該測量條件 改變時，按某一確定的規(guī)律變化的改變時，按某一確定的規(guī)律變化的 誤差。誤差。由于分析過程中某些固定的由于分析過程中某些固定的 原因所造成的原因所造成的 經(jīng)

16、分析發(fā)現(xiàn)應(yīng)予以改正，確定性經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)應(yīng)予以改正，確定性 1. 1.性質(zhì)性質(zhì)（1 1）單向性、重復(fù)性。單向性、重復(fù)性。 （2 2）與測定次數(shù)無關(guān)。）與測定次數(shù)無關(guān)。 （3 3）可以校正，大小、正負(fù)可）可以校正，大小、正負(fù)可 以測定。以測定。 2.2.產(chǎn)生的原因產(chǎn)生的原因 （1 1）方法誤差：）方法誤差：實驗方法實驗方法不完善或這種 方法所依據(jù)的理論本身具有近似性。例如用單擺測量 重力加速度時，忽略空氣對擺球的阻力的影響，用安 培表測量電阻時，不考慮電表內(nèi)阻的影響等所引入的 誤差 （2 2）儀器和試劑誤差：）儀器和試劑誤差：由于儀器儀器本身存在 一定的缺陷或使用不當(dāng)造成的。如儀器零點不準(zhǔn)、儀 器水

17、平或鉛直未調(diào)整、砝碼未校準(zhǔn)等 （3 3）操作誤差：）操作誤差： （4 4）主觀誤差：）主觀誤差：實驗者實驗者生理或心理特點或缺 乏經(jīng)驗所引入的誤差。例如有人讀數(shù)時，頭習(xí)慣性的 偏向一方向，按動秒表時，習(xí)慣性的提前或滯后等 隨機誤差隨機誤差(random error) ： 實際測量條件下，多次測量同實際測量條件下，多次測量同 一值時，誤差的絕對值和符號的變一值時，誤差的絕對值和符號的變 化時大時小，時正時負(fù)，以不可預(yù)化時大時小，時正時負(fù)，以不可預(yù) 定方式變化著的誤差。定方式變化著的誤差。 產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因：隨機誤差產(chǎn)生的原因很多，歸納隨機誤差產(chǎn)生的原因很多，歸納 起來大致可分為以下兩個方面：起來

18、大致可分為以下兩個方面： （1 1）由于觀測者在對準(zhǔn)目標(biāo)、確定平衡（如天）由于觀測者在對準(zhǔn)目標(biāo)、確定平衡（如天 平）、估讀數(shù)據(jù)時所引入的誤差。平）、估讀數(shù)據(jù)時所引入的誤差。 （2 2）實驗中各種微小因素的變動。例如，實驗）實驗中各種微小因素的變動。例如，實驗 裝置和測量機構(gòu)在各次調(diào)整操作上的變動性，實裝置和測量機構(gòu)在各次調(diào)整操作上的變動性，實 驗中電源電壓的波動、環(huán)境的溫度、濕度、照度驗中電源電壓的波動、環(huán)境的溫度、濕度、照度 的變化所引起的誤差。的變化所引起的誤差。 具有統(tǒng)計（或概率）規(guī)律的誤差，具有統(tǒng)計（或概率）規(guī)律的誤差， 不能修正，只能估計。隨機性不能修正，只能估計。隨機性 1 1、性

19、質(zhì)：、性質(zhì)：（1 1）大小可變）大小可變 （2 2）方向不定，有時正、有時負(fù)。）方向不定，有時正、有時負(fù)。 （3 3）只能減小，不能消除。）只能減小，不能消除。 2 2、規(guī)律：符合統(tǒng)計規(guī)律、規(guī)律：符合統(tǒng)計規(guī)律-正態(tài)分布規(guī)律正態(tài)分布規(guī)律 （1 1）大小相近的正負(fù)）大小相近的正負(fù) 誤差出現(xiàn)的幾率相等。誤差出現(xiàn)的幾率相等。 （2 2）小誤差出現(xiàn)的幾率大，）小誤差出現(xiàn)的幾率大， 大誤差出現(xiàn)的幾率小，大誤差出現(xiàn)的幾率小， 特大誤差出現(xiàn)的幾率極小。特大誤差出現(xiàn)的幾率極小。 粗大誤差粗大誤差(abnormal error )：超出在超出在 規(guī)定條件下的誤差。規(guī)定條件下的誤差。 經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)后，必須剔除。錯誤性

20、經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)后，必須剔除。錯誤性 四、誤差的表示方法四、誤差的表示方法: : （一）精密度（一）精密度（precision)：表示表示 測量結(jié)果中隨機誤差大小的程度。測量結(jié)果中隨機誤差大小的程度。 表示重復(fù)測量所得數(shù)據(jù)的相互接近程度（離表示重復(fù)測量所得數(shù)據(jù)的相互接近程度（離 散程度）。測量結(jié)果的精密度高，說明所得散程度）。測量結(jié)果的精密度高，說明所得 結(jié)果的重復(fù)性好，測量誤差分布密集，也就結(jié)果的重復(fù)性好，測量誤差分布密集，也就 是隨機誤差小是隨機誤差小 通常用偏差（單次觀測值與平均通常用偏差（單次觀測值與平均 值之差）、算術(shù)平均值、極差、值之差）、算術(shù)平均值、極差、 標(biāo)準(zhǔn)差或方差表示標(biāo)準(zhǔn)差或方差

21、表示 。 1 1、偏、偏 差差( (deviation ): ): 測定結(jié)果與平均值之間的差值測定結(jié)果與平均值之間的差值 精密度的高低用偏差表示精密度的高低用偏差表示. .偏差小偏差小, ,表示表示 數(shù)據(jù)集中數(shù)據(jù)集中, ,精密度高精密度高; ; 反之反之, ,數(shù)據(jù)分散數(shù)據(jù)分散, ,精密度低精密度低. .隨機誤差影隨機誤差影 響分析結(jié)果的精密度響分析結(jié)果的精密度 2.2.表示方法表示方法: : (1) (1)絕對偏差和相對偏差絕對偏差和相對偏差: : 算術(shù)平均值算術(shù)平均值 絕對偏差：絕對偏差：d di i= 相對偏差：相對偏差：d dr r= = 100 % n xxx X n 21 Xxi X

22、 d i (2) (2)平均偏差和相對平均偏差平均偏差和相對平均偏差: : 平均偏差：平均偏差： 相對平均偏差：相對平均偏差： n dddd d n 321 %100 X d d r （3 3）標(biāo)準(zhǔn)偏差和相對標(biāo)準(zhǔn)偏差：）標(biāo)準(zhǔn)偏差和相對標(biāo)準(zhǔn)偏差： 樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差：樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差： 1 2 n Xx s i n-1n-1：自由度：自由度 相對標(biāo)準(zhǔn)偏差相對標(biāo)準(zhǔn)偏差( (變異系數(shù)變異系數(shù)) ) RSD=( ) RSD=( ) 100 % X S （二）正確度（二）正確度(correctness)：表示表示 測量數(shù)據(jù)的平均值與真值的接近程度。準(zhǔn)確測量數(shù)據(jù)的平均值與真值的接近程度。準(zhǔn)確 度高，說明測量值接近真

23、值的程度好，即系度高，說明測量值接近真值的程度好，即系 統(tǒng)誤差小統(tǒng)誤差小 表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的 程度程度 4、極差 5、方差 （三）準(zhǔn)確度（三）準(zhǔn)確度(accuracy)：表示測表示測 量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機誤差的量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機誤差的 綜合，表示測量結(jié)果與真值的一綜合，表示測量結(jié)果與真值的一 致程度致程度 系統(tǒng)誤差影響準(zhǔn)確度的高低系統(tǒng)誤差影響準(zhǔn)確度的高低 表示方法表示方法: :絕對誤差和相對誤差絕對誤差和相對誤差 絕對誤差絕對誤差: E=X-X: E=X-XT T 相對誤差: Er= 100 % T X E 我們以打靶為例來比較說明精密度、正確度、準(zhǔn)

24、確度三者之我們以打靶為例來比較說明精密度、正確度、準(zhǔn)確度三者之 間的關(guān)系。圖中靶心為射擊目標(biāo)，相當(dāng)于間的關(guān)系。圖中靶心為射擊目標(biāo)，相當(dāng)于真值真值，每次，每次測量測量相相 當(dāng)于一次射擊當(dāng)于一次射擊。 （a a）正確度高、）正確度高、 （b b）精密度高、）精密度高、 （c c）精密度、正確）精密度、正確 精密度低精密度低 正確度低正確度低 度、準(zhǔn)確度均高度、準(zhǔn)確度均高 大地測量中，觀測量的精度通常大地測量中，觀測量的精度通常 是指觀測量的標(biāo)準(zhǔn)差，相對精度是指觀測量的標(biāo)準(zhǔn)差，相對精度 是指相對標(biāo)準(zhǔn)差是指相對標(biāo)準(zhǔn)差 綜述：綜述： 1 1、精密度好正確度不一定好、精密度好正確度不一定好 2 2、正確度

25、好則精密度也不一定、正確度好則精密度也不一定 好好 3 3、準(zhǔn)確度好則需要精密度和正、準(zhǔn)確度好則需要精密度和正 確度都好確度都好 1. 定義定義 若若X的概率密度為的概率密度為 分布函數(shù)為：分布函數(shù)為： xexf x , 2 1 )( 2 2 2 )( x x dtexF 2 2 2 )( 2 1 )( F(x) 0 x 其中其中,(0)為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱x服服 從參數(shù)為從參數(shù)為,2的正態(tài)分布或高的正態(tài)分布或高 斯（斯（Gauss）分布。記作）分布。記作 x N （,2） 正態(tài)分布正態(tài)分布 （1 1）曲線關(guān)于）曲線關(guān)于x = =對稱。即對于任意的對稱。即對于任意的h 00有有 1 ( )

26、 2 f P-hX = PX+h 顯然，顯然， x離離越遠(yuǎn)，越遠(yuǎn)，f(x)的值越小。即對于同樣長度的值越小。即對于同樣長度 的區(qū)間，的區(qū)間，X 落在離落在離越遠(yuǎn)的區(qū)間，概率越小。越遠(yuǎn)的區(qū)間，概率越小。 （2）當(dāng)）當(dāng) x =時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)達(dá)到最達(dá)到最 大值大值 正態(tài)分布的密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的圖形的性質(zhì)的圖形的性質(zhì) ：反映了測量值的集中趨勢；反映了測量值的集中趨勢； ：反映了測量值的分散程度；反映了測量值的分散程度； (4) 固定固定 ，改變，改變 值，曲線值，曲線 f(x)形狀不變，僅沿形狀不變，僅沿x軸平移。軸平移。 可見可見 確定曲線確定曲線 f(x)的位置的位置

27、。 (5) 固定固定 , 改變改變 值值, 則則 愈小愈小 時時, f(x)圖形的形狀愈陡峭圖形的形狀愈陡峭, x 落在落在 附近的概率越大。附近的概率越大。 012 f(x) x No Image f(x) x 0 =2 =0.5 =1 (3) 拐點：拐點：(，f(); 水平漸近線：水平漸近線：ox 軸。軸。 五、隨機誤差的正態(tài)分布五、隨機誤差的正態(tài)分布 2.2.1 頻數(shù)分布：頻數(shù)分布： （1）算出極差）算出極差 R=1.565-1.265=0.28 （2）確定組數(shù)和組距：）確定組數(shù)和組距： 組數(shù)視樣品容量而定組數(shù)視樣品容量而定 組距組距x=R/組數(shù)組數(shù)=0.28/10 0.03 （3）統(tǒng)計

28、頻數(shù)和相對頻數(shù)）統(tǒng)計頻數(shù)和相對頻數(shù) （4）繪制相對頻數(shù)）繪制相對頻數(shù) 分布直方圖。分布直方圖。 本例為礦石試樣本例為礦石試樣,測定銅的測定銅的 質(zhì)量分?jǐn)?shù)質(zhì)量分?jǐn)?shù),共有共有100個測量值個測量值, 分分10組組. (K/n)/d 00.40.60.8-0.8-0.6-0.4 閉合差 概率密度函數(shù)曲線 用直方圖表示: 面積= (K/n)/d* d= K/n 所有面積之和所有面積之和=k1/n+k2/n+.=1 可以設(shè)想可以設(shè)想:測量數(shù)據(jù)非常多測量數(shù)據(jù)非常多, 組分得非常細(xì)組分得非常細(xì),直方圖的形狀直方圖的形狀 逐漸趨于一條平滑的曲線逐漸趨于一條平滑的曲線- 正態(tài)分布曲線。正態(tài)分布曲線。 即即:當(dāng)測

29、量次數(shù)當(dāng)測量次數(shù)n時時: 組距組距 x 0 =f(x) =f(x) x P dx dP 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布用N N（0 0，1 1）表示，）表示， 以以u為為橫坐標(biāo)單位。橫坐標(biāo)單位。 U=(=(x- - )/ du=dx/ Y=f f(x)= f f(x)dx= du=(u) d(u) Y= (u) = 2 2 2 1 u e 2 2 2 1 u e 2 2 2 1 u e 隨機誤差的區(qū)間概率隨機誤差的區(qū)間概率 正態(tài)分布曲線下所包含的面正態(tài)分布曲線下所包含的面 積是所有測量數(shù)據(jù)出現(xiàn)概積是所有測量數(shù)據(jù)出現(xiàn)概 率的總和率的總和. P= = =1du u e 2 2

30、 1 2 duu)( 例例1. 已知試樣中鈷的標(biāo)準(zhǔn)值為已知試樣中鈷的標(biāo)準(zhǔn)值為1.75%， =0.10%，無系統(tǒng)誤差。，無系統(tǒng)誤差。 求求: 分析結(jié)果落在分析結(jié)果落在(1.750.15)%范圍內(nèi)范圍內(nèi) 的概率。的概率。 分析結(jié)果大于分析結(jié)果大于2.00%的概率。的概率。 解解: u= x- / =0.15/0.10=1.5 查表查表7-2（P248) P=20.4332=86.6% u = x- / =(2.00- 1.75)/0.10=2.5 故落在故落在2.00%以內(nèi)的概率為以內(nèi)的概率為0.4938 結(jié)果大于結(jié)果大于 2.00%的概率為的概率為 P=0.5000-0.4938=0.62% 六

31、、六、 不確定度與測量結(jié)果的評定不確定度與測量結(jié)果的評定 不確定度表征了測量結(jié)果的可疑程度，是描述尚不確定度表征了測量結(jié)果的可疑程度，是描述尚 未確定的誤差特征的量，不確定度是有一定的概率的。未確定的誤差特征的量，不確定度是有一定的概率的。 19931993年，國際標(biāo)準(zhǔn)化組織等年，國際標(biāo)準(zhǔn)化組織等7 7個國際組織聯(lián)合發(fā)個國際組織聯(lián)合發(fā) 布了布了測量不確定度表示指南測量不確定度表示指南，我國也制定了，我國也制定了測測 量 不 確 定 度 評 定 與 表 示量 不 確 定 度 評 定 與 表 示 的 國 家 技 術(shù) 規(guī) 范的 國 家 技 術(shù) 規(guī) 范 （JJF1059JJF105919991999）

32、，為我們評定不確定度提供了理），為我們評定不確定度提供了理 論依據(jù)和計算規(guī)范。論依據(jù)和計算規(guī)范。 目前已經(jīng)獲得國際公認(rèn)的主要原則有點：目前已經(jīng)獲得國際公認(rèn)的主要原則有點： 測量結(jié)果的不確定度一般包含若干分量，這測量結(jié)果的不確定度一般包含若干分量，這 些分量可按其數(shù)值的評定方法歸并成、兩些分量可按其數(shù)值的評定方法歸并成、兩 類，類是指對多次重復(fù)測量結(jié)果用統(tǒng)計方法類，類是指對多次重復(fù)測量結(jié)果用統(tǒng)計方法 計算的標(biāo)準(zhǔn)偏差，類是指用其他方法估計的計算的標(biāo)準(zhǔn)偏差，類是指用其他方法估計的 近似相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)偏差的值；近似相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)偏差的值； 如果各分量是獨立的，測量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)如果各分量是獨立的，測量結(jié)果的合

33、成標(biāo)準(zhǔn) 不確定度是各分量平方和的不確定度是各分量平方和的正正平方根；平方根； 根據(jù)需要可將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以一個包根據(jù)需要可將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以一個包 含因子（取值范圍），作為展伸不確含因子（取值范圍），作為展伸不確 定度，使測量結(jié)果能以高概率（以上）定度，使測量結(jié)果能以高概率（以上） 包含被測真值。包含被測真值。 多次測量的A類不確定度 多次獨立重復(fù)觀測服從正態(tài)分布，由此可知，多次獨立重復(fù)觀測服從正態(tài)分布，由此可知， 測量值的算術(shù)平均值是測量值的最佳近似值，當(dāng)測測量值的算術(shù)平均值是測量值的最佳近似值，當(dāng)測 量次數(shù)趨近于無窮時，算術(shù)平均值即等于真值。量次數(shù)趨近于無窮時，算術(shù)平均值即等于真值

34、。 設(shè)對設(shè)對x x進(jìn)行了進(jìn)行了n n次獨立重復(fù)觀測，則以其算術(shù)平次獨立重復(fù)觀測，則以其算術(shù)平 均值作為均值作為x x的測量值，把平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差作為測量的測量值，把平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差作為測量 結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)不確定度的類分量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)不確定度的類分量 。 n i i x n x 1 1 1 )( )( 1 2 n xx xS n i i i ) 1( )( )( )( 2 1 nn xx n xS xS n i i i 每次測量值與平均值之差，稱為每次測量值與平均值之差，稱為殘差殘差或或偏差偏差。當(dāng)測量。當(dāng)測量 次數(shù)趨近于無窮時，次數(shù)趨近于無窮時， =；平均值；平均值= = ，我們用平均，我們用平均 值來

35、表示測量值；用值來表示測量值；用 來表示來表示A A類不確定度。類不確定度。 n n的取值應(yīng)比較大的取值應(yīng)比較大(20(20次左右次左右) )。 )(xS )(xS B B類不確定度類不確定度 B B類不確定度一般是由系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的。對于確知類不確定度一般是由系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的。對于確知 的已定系統(tǒng)誤差，應(yīng)對測量結(jié)果進(jìn)行修正。而對未定的已定系統(tǒng)誤差，應(yīng)對測量結(jié)果進(jìn)行修正。而對未定 系統(tǒng)誤差導(dǎo)致的測量不確定度，雖然對某些因素采用系統(tǒng)誤差導(dǎo)致的測量不確定度，雖然對某些因素采用 適當(dāng)?shù)臏y量方法（復(fù)現(xiàn)性測量），亦可用適當(dāng)?shù)臏y量方法（復(fù)現(xiàn)性測量），亦可用A A類方法進(jìn)行類方法進(jìn)行 評定，但在多數(shù)測量條件下，

36、很多誤差因素要用非統(tǒng)評定，但在多數(shù)測量條件下，很多誤差因素要用非統(tǒng) 計的方法進(jìn)行評定。計的方法進(jìn)行評定。 要完整，準(zhǔn)確的評定要完整，準(zhǔn)確的評定B B類不確定度是一件復(fù)雜的需類不確定度是一件復(fù)雜的需 要經(jīng)驗的工作。概略的說，應(yīng)對測量方法的理論依據(jù)要經(jīng)驗的工作。概略的說，應(yīng)對測量方法的理論依據(jù) 及局限，測量儀器的可能誤差范圍，前人的相關(guān)測量及局限，測量儀器的可能誤差范圍，前人的相關(guān)測量 及有關(guān)的數(shù)據(jù)等有充分的了解。及有關(guān)的數(shù)據(jù)等有充分的了解。 儀器誤差一般給出的是允差或稱極限誤差，儀器誤差一般給出的是允差或稱極限誤差， 將其轉(zhuǎn)為將其轉(zhuǎn)為B B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度類標(biāo)準(zhǔn)不確定度u uB B時應(yīng)根據(jù)其誤差分

37、時應(yīng)根據(jù)其誤差分 布除以一個因子布除以一個因子K K，K K的值一般在的值一般在1313之間。之間。 2.3.5 2.3.5 常見常見儀器允差 儀器名稱 量 程 最小分度值 允 差 木尺（竹尺） 3050cm 60100cm 1mm 1mm 1.0mm 1.5mm 鋼板尺 150mm 500mm 1000mm 1mm 1mm 1mm 0.10mm 0.15mm 0.20mm 鋼卷尺 1m 2m 1mm 1mm 0.8mm 1.2mm 游標(biāo)卡尺 125mm 0.02mm 0.05mm 0.02mm 0.05mm 螺旋測微器（千分尺） 25mm 0.01mm 0.004mm 2.3.5 2.3.5

38、 常見常見儀器允差 儀器名稱 量 程 最小分 度值 允 差 七級天平（物 理天平） 500g 0.05g 0.08g（接近滿量程） 0.06g（1/2量程附近） 0.04g（1/3量程及以下） 三級天平（分 析天平） 200g 0.1mg 1.3mg（接近滿量程） 1.0mg（1/2量程附近） 0.7mg（1/3量程及以下） 普通溫度計 0100 C 1 C 1 C 精密溫度計 0100 C 0.1 C 0.2 C 指針式電表 級別% 滿量程 電阻箱 級別% 讀數(shù) 數(shù)字表 a% 讀數(shù) + nD D表示讀數(shù)的最后一位，a和n視 不同的表和測量功能而定 標(biāo)準(zhǔn)不確定度標(biāo)準(zhǔn)不確定度 由上式可看出，當(dāng)某

39、一分量比另一分量大三倍由上式可看出，當(dāng)某一分量比另一分量大三倍 以上時，小的分量可忽略不計。若只考慮了不確以上時，小的分量可忽略不計。若只考慮了不確 定度的定度的A A或或B B類分量，就將該分量作為結(jié)果表達(dá)式類分量，就將該分量作為結(jié)果表達(dá)式 中的不確定度。中的不確定度。 )()()( 22 xuxuxu BAc 若已分別計算出若已分別計算出A A、B B兩類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，且兩兩類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，且兩 類分量互不相關(guān)，則標(biāo)準(zhǔn)不確定度：類分量互不相關(guān)，則標(biāo)準(zhǔn)不確定度： 例題例題1 1 例1：用螺旋測微器測量小鋼球的直徑，轉(zhuǎn)動 小鋼球在不同方向測，得以下數(shù)據(jù)：計算并寫出測 量結(jié)果 次數(shù)次數(shù)1 12

40、23 34 45 5 D(mm)D(mm)11.93211.93211.91311.91311.92111.92111.91411.91411.93011.930 步驟： 1.計算平均值（近真值） 2.計算A、B類兩類不確定度以及合成不確定度 3.最后寫出測量結(jié)果 2.3.13 2.3.13 例題例題1 1 次數(shù)次數(shù)1 12 23 34 45 5 D(mm)D(mm)11.93211.93211.91311.91311.92111.92111.91411.91411.93011.930 B類不確定度：該實驗較為簡單，主要是儀器誤 差，由表一查得螺旋測微器的儀器誤差為0.004mm。 合成不確定

41、度： 11.922mm9220.11 11.930)11.91411.92111.913(11.932 5 1 d 1.計算平均值（近真值） 2.計算A、B類兩類不確定度以及合成不確定度 45 2 )9220.11( )( 5 1 i D dS A類兩類不確定 3.最后寫出測量結(jié)果 d=（11.922 0.006）mm mm c 006. 00056. 0004. 00039. 0 22 間接測量的不確定度計算間接測量的不確定度計算 zyx uzzuyyuxx, 間接測量的近真值和合成不確定度是由直接測量結(jié) 果通過函數(shù)式計算出來的，設(shè)間接測量的函數(shù)式為： N=F(x, y, z) N為間接測量

42、的量，它有K個直接觀測量x,y,z, 設(shè)各直接觀測量的測量結(jié)果分別為： （1）若將各直接觀測量的近真值代入函數(shù)式中， 即得間接測量的近真值： ,.),(zyxFN 間接測量的不確定度計算間接測量的不確定度計算 （2）間接測量的合成不確定度： K為直接測量的個數(shù)，Ai代表x,y,z,各個自變量 （直接觀測量）。 上式稱為不確定度傳播公式。即將各直接觀測量的 不確定度ui乘函數(shù)對各變量（直接觀測量）的偏導(dǎo)數(shù)， 求“方和根”，就得間接測量結(jié)果的不確定度。 當(dāng)間接測量的函數(shù)式為積商形式時，為使運算簡便起 見，可以先求間接測量的相對不確定度EN， k i i i yx u A F u y F u x F

43、 1 222 N )(.)()(u k i i i yx N N u A F u y F u x F N u E 1 222 ) ln (.) ln () ln ( NN ENu= 常見不確定度傳播公式常見不確定度傳播公式 例題例題2 2 例2：經(jīng)測量，金屬環(huán)的內(nèi)徑D1=（2.8800.004）cm， 外徑D2=（3.6000.004）cm，厚度h=（2.5750.004） cm，求環(huán)體積V的測量結(jié)果。 a直接求不確定度uv 方法一：、 )( 4 V 2 1 2 2 DDh 322 436. 94357. 9)880. 2-600. 3(575. 2 4 1416. 3 Vcm 環(huán)體積公式：

44、V的近真值： 例題例題2 2 方法一：先求V對各變量的偏導(dǎo)數(shù)，對某一 變量求偏導(dǎo)數(shù)時，把其它變量看作常數(shù)。 )( 2 1 2 2 4 DD h V 2 1 1 hD D V 2 2 2 hD D V 2 2 2 1 2 2 1 2 2 ) 2 () 2 ()( 4 21 DDhN u hD u hD uDD 3 22222 08. 0076. 0 )600. 3575. 22()880. 2575. 22()880. 2-600. 3(004. 0 4 cm 例題例題2 2 方法二： 先求相對不確定度Ev，再求不確定 度uv )ln(ln 4 lnln 2 1 2 2 DDhV , 2ln ,

45、 1ln 2 1 2 2 1 1 DD D D V hh V 2 1 2 2 2 2 2ln DD D D V 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 ) - 2D- () - 2D- () 1 ( 21 DDhV u DD u DD u h E %81. 0 ) 880. 2-600. 3 600. 32 () 880. 2-600. 3 28802 () 575. 2 1 (0.004 2 22 2 22 2 3 08. 0076. 0 %81. 04357. 9 cm EV VV V的測量結(jié)果： V=（9.4360.076）=（9.44 0.08）cm3 不確定度與誤差的區(qū)別

46、不確定度與誤差的區(qū)別 測測 量不確定度量不確定度表征被測量的真值所處表征被測量的真值所處 量值范圍的評定。它按某一置信概率給量值范圍的評定。它按某一置信概率給 出真值可能落入的區(qū)間。它可以是標(biāo)準(zhǔn)出真值可能落入的區(qū)間。它可以是標(biāo)準(zhǔn) 差或其倍數(shù)，或是說明了置信水準(zhǔn)的區(qū)差或其倍數(shù)，或是說明了置信水準(zhǔn)的區(qū) 間的半寬。它間的半寬。它 不是具體的真誤差，它不是具體的真誤差，它 只是以參數(shù)形式定量表示了無法修正的只是以參數(shù)形式定量表示了無法修正的 那部分誤差范圍。那部分誤差范圍。 不確定度與誤差的區(qū)別不確定度與誤差的區(qū)別 2.2.誤誤 差差多數(shù)情況下是指測量誤差，它的多數(shù)情況下是指測量誤差，它的 傳統(tǒng)定義是

47、測量結(jié)果與被測量真值之差。傳統(tǒng)定義是測量結(jié)果與被測量真值之差。 通?？煞譃閮深悾合到y(tǒng)誤差和偶然誤差。通?？煞譃閮深悾合到y(tǒng)誤差和偶然誤差。 誤差是客觀存在的，它應(yīng)該是一個確定誤差是客觀存在的，它應(yīng)該是一個確定 的值的值 不確定度與誤差的區(qū)別不確定度與誤差的區(qū)別 一一. .評定目的的區(qū)別：評定目的的區(qū)別： 測量不確定度測量不確定度為的是表明被測量值的為的是表明被測量值的 分散性；分散性； 測量誤差測量誤差為的是表明測量結(jié)果偏離真為的是表明測量結(jié)果偏離真 值的程度。值的程度。 不確定度與誤差的區(qū)別不確定度與誤差的區(qū)別 二二. .評定結(jié)果的區(qū)別：評定結(jié)果的區(qū)別： 測量不確定度測量不確定度是無符號的參數(shù)

48、，用標(biāo)是無符號的參數(shù)，用標(biāo) 準(zhǔn)差或標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)或置信區(qū)間的半寬準(zhǔn)差或標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)或置信區(qū)間的半寬 表示，由人們根據(jù)實驗、資料、經(jīng)驗等表示，由人們根據(jù)實驗、資料、經(jīng)驗等 信息進(jìn)行評定，可以通過信息進(jìn)行評定，可以通過A A，B B兩類評定兩類評定 方法定量確定；方法定量確定； 測量誤差測量誤差為有正號或負(fù)號的量值，其為有正號或負(fù)號的量值，其 值為測量結(jié)果減去被測量的真值，由于值為測量結(jié)果減去被測量的真值，由于 真值未知，往往不能準(zhǔn)確得到，當(dāng)用約真值未知，往往不能準(zhǔn)確得到，當(dāng)用約 定真值代替真值時，只可得到其估計值。定真值代替真值時，只可得到其估計值。 不確定度與誤差的區(qū)別不確定度與誤差的區(qū)別 三三

49、. .影響因素的區(qū)別：影響因素的區(qū)別： 測量不確定度測量不確定度由人們經(jīng)過分析和評定得到，因由人們經(jīng)過分析和評定得到，因 而與人們對被測量、影響量及測量過程的認(rèn)而與人們對被測量、影響量及測量過程的認(rèn) 識有關(guān)；識有關(guān)； 測量誤差測量誤差是客觀存在的，不受外界因素的影響，是客觀存在的，不受外界因素的影響， 不以人的認(rèn)識程度而改變；不以人的認(rèn)識程度而改變； 因此，在進(jìn)行不確定度分析時，應(yīng)充分考慮因此，在進(jìn)行不確定度分析時，應(yīng)充分考慮 各種影響因素，并對不確定度的評定加以驗各種影響因素，并對不確定度的評定加以驗 證。否則由于分析估計不足，可能在測量結(jié)證。否則由于分析估計不足，可能在測量結(jié) 果非常接近真

50、值果非常接近真值( (即誤差很小即誤差很小) )的情況下評定的情況下評定 得到的不確定度卻較大，也可能在測量誤差得到的不確定度卻較大，也可能在測量誤差 實際上較大的情況下，給出的不確定度卻偏實際上較大的情況下，給出的不確定度卻偏 小小 不確定度與誤差的區(qū)別不確定度與誤差的區(qū)別 四四. .按性質(zhì)區(qū)分上的區(qū)別：按性質(zhì)區(qū)分上的區(qū)別： 測量不確定度測量不確定度不確定度分量評定時一不確定度分量評定時一 般不必區(qū)分其性質(zhì)，若需要區(qū)分時應(yīng)表般不必區(qū)分其性質(zhì)，若需要區(qū)分時應(yīng)表 述為：述為：“由隨機效應(yīng)引入的不確定度分由隨機效應(yīng)引入的不確定度分 量量”和和“由系統(tǒng)效應(yīng)引入的不確定度分由系統(tǒng)效應(yīng)引入的不確定度分 量量”； 測量誤差測量誤差按性質(zhì)可分為隨機誤差和系按性質(zhì)可分為隨機誤差和系 統(tǒng)誤差兩類，按定義隨機誤差和系統(tǒng)誤統(tǒng)誤差兩類，按定義隨機誤差和系統(tǒng)誤 差都是無窮多次測量情況下的理想概念。差都是無窮多次測量情況下的理想概念。 不確定度與誤差的區(qū)別不確