陳明 線性代數(shù)與空間幾何第4章

1、第四章第四章 幾何向量幾何向量 幾何向量的線性運(yùn)算幾何向量的線性運(yùn)算 空間中的平面與直線空間中的平面與直線 數(shù)量積、向量積、混合積數(shù)量積、向量積、混合積 ， ： , , , ., , AB a, a ,ABa A B a 坐標(biāo)坐標(biāo) (x,y,z) 4.1 幾何向量及其線性運(yùn)算幾何向量及其線性運(yùn)算 a 1 a 的負(fù)向量與的負(fù)向量與a 大小相等方向相大小相等方向相 反反, ,記為記為 a 0a ab 同向或反向的向量同向或反向的向量. 平行與同一平面的向量平行與同一平面的向量. . 任意兩向量都共面任意兩向量都共面. . b a a+b a b a+b 首尾相連首尾相連, ,a起點(diǎn)起點(diǎn) 指向指向b

2、終點(diǎn)終點(diǎn) c = a+b a b c d e e = a + b + c + d n個(gè)向量之和個(gè)向量之和,只要把它們只要把它們 相繼地首尾連接后，從第一個(gè)向量的起點(diǎn)相繼地首尾連接后，從第一個(gè)向量的起點(diǎn) 到最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量到最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量,即為和向量即為和向量. 如如 a + b = b+ a 2) (a + b) + c = a +(b+ c) ) : : a +0 = 0 + a = a a +(- a) = (- a)+ a = 0 aba( b) b 兩起點(diǎn)置一處兩起點(diǎn)置一處, , b終點(diǎn)指向終點(diǎn)指向a終點(diǎn)終點(diǎn) a ab kaa長(zhǎng)度長(zhǎng)度 0, 0, 0, a aa k

3、k k k kk 方向方向 同向同向 反向反向 不定不定 規(guī)定規(guī)定: 若若a = 0， k， ka = 0 若若k = 0， a， ka = 0 (1) 1a = a, (-1)a = -a (2) k(la)=(kl) a (3) (k+l)a= ka+la (4) k(a+b)=ka + kb a0 ,a0 = a |a| ,a . . a = a a0 （） /(), / a bba aa0 0 1 a b a （1） （2） a b .abab（3） 0 a = (- / )b a, b 0 b = (- / )a a, b a,b a +b = 0. a, b a = kbb = k

4、a, a +b = 0, a +b = 0. a1,a2, a3 k1, k2, k3 aaa 1 12233 0kkk a2 a3 a1 k1 a1= (-k2/k1)a2 +(-k3/k1)a3 平行四邊形平行四邊形ABCD( (如圖如圖) ), , 試用試用a、b 表示表示 . . ,ab ABAD 和和, MA MB MCMD 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分 所以所以 2ab ACMC () 1 2 ab MC a b M AB CD () 1 2 ab MAMC ,() 1 2 2 abab DBMBMB ()() 11 22 abba MDMB 前面討

5、論的向量及運(yùn)算只是在幾何前面討論的向量及運(yùn)算只是在幾何 作圖，而這節(jié)的目的是用投影法得到向作圖，而這節(jié)的目的是用投影法得到向 量的坐標(biāo)，即將向量與數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，把量的坐標(biāo)，即將向量與數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，把 向量的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量（坐標(biāo)）的向量的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量（坐標(biāo)）的 代數(shù)運(yùn)算，實(shí)際上是對(duì)向量及運(yùn)算進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，實(shí)際上是對(duì)向量及運(yùn)算進(jìn)行 定量的描述定量的描述. a b 注：零向量與任一向量的夾角可以在注：零向量與任一向量的夾角可以在0 到到 間任意間任意 取值取值. 向量與軸及軸與軸的夾角都是正向向量與軸及軸與軸的夾角都是正向 間不超過(guò)間不超過(guò) 的夾角的夾角. a b 2.2.點(diǎn)在點(diǎn)在u軸上的投影

6、軸上的投影：若若A為空間中一點(diǎn)為空間中一點(diǎn), u 為一軸，過(guò)為一軸，過(guò) A點(diǎn)作垂直于點(diǎn)作垂直于 u 軸的平軸的平 面面 ，則，則 與軸與軸 的交點(diǎn)的交點(diǎn) 為為A在在 軸軸 上的投影上的投影. u A u AB , , u (),u u AA 1 投 軸 ()u u BB 2 投 軸 A B u 與與A Bu 與與 反反A B與與 A B A Bu AB u A B 投影軸投影軸 u1 1u2 2 B A 3 3.向量在向量在u軸上軸上投影投影: : u rj21 P ABA Buu u A B u1 1u2 2 A B C C u3 3 a b A B u1 1u2 2 B u B A u u

7、 rj Pcos,ABABABu uuu rjrjrj P ()PPabab : 數(shù)量積（數(shù)）數(shù)量積（數(shù)） |cos| |cos WFSFS F S F 物理背景：一物體在常力物理背景：一物體在常力 的作用下，的作用下， 沿直線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的位移為沿直線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的位移為 時(shí)，則力時(shí)，則力 所所 做的功是做的功是: F S 抽去物理意義，就是兩個(gè)向量確定一抽去物理意義，就是兩個(gè)向量確定一 個(gè)數(shù)的運(yùn)算個(gè)數(shù)的運(yùn)算. rjrj |cos,|P|P ab a baba babba 一個(gè)向量的模乘以另一個(gè)向量在這個(gè)向量一個(gè)向量的模乘以另一個(gè)向量在這個(gè)向量 上的投影上的投影. a b a bb a （1）交換律

8、：）交換律： ()ab ca cb c （2）分配律：）分配律： ()()()a ba bab () ()()mmaba b （3）結(jié)合律：）結(jié)合律： 22 | | cos| |0, | |a aaaaa a （4） 0a a a 0 0a b , a b （1） , 中未必有中未必有0向量向量, 也可也可. （2） 無(wú)意義無(wú)意義. （3）數(shù)量積不滿足消去律即）數(shù)量積不滿足消去律即 ab a b c ,a ba c abc 0 a b c a (b-c). ： （1 1） （2 2） （4 4） |a|=aa ,ab00 (,) aba b 3 2 a b a b=0 ,0b rj P b a

9、 b a b ,arccos | a b a b ab 設(shè)設(shè)( (a +3+3b) )(7(7a-5-5b) ), ,且且 ( (a -4-4b) )(7(7a-2-2b)求求 . 22 22 (3 ) (75 )715160 (4 ) (72 )78300 abababa b abababa b cos 2 b a 由上式消去由上式消去 2 2 23460aba b 得得 cos 2 a b由上式消去由上式消去 22 1613220baa b 得得 1 cos, 23 AB , , u (),u u AA 1 投 軸 ()u u BB 2 投 軸 A B u 與與A Bu 與與 反反A B與

10、與 A B A Bu AB u A B 投影軸投影軸 u1 1u2 2 B A 向量在向量在u軸上軸上投影投影 u rj21 P ABA Buu u A B u1 1u2 2 A B C C u3 3 a b A B u1 1u2 2 B u B A u u rj Pcos,ABABABu uuu rjrjrj P ()PPabab : 向量在向量在u軸上軸上投影投影 rjrj |cos,|P|P ab a baba babba 一個(gè)向量的模乘以另一個(gè)向量在這個(gè)向量一個(gè)向量的模乘以另一個(gè)向量在這個(gè)向量 上的投影上的投影. a b 數(shù)量積數(shù)量積 a bb a （1）交換律：）交換律： ()ab

11、ca cb c （2）分配律：）分配律： ()()()a ba bab () ()()mmaba b （3）結(jié)合律：）結(jié)合律： 22 | | cos| |0, | |a aaaaa a （4） 0a a a 0 數(shù)量積數(shù)量積 ： （1 1） （2 2） （4 4） |a|=aa ,ab00 (,) aba b 3 2 a b a b=0 ,0b rj P b a b a b ,arccos | a b a b ab 用向量證明余弦定理用向量證明余弦定理. . ABC 2 BC 2 ACAB () ()ACABACAB AC ACAC ABAB AB2 cosACAC ABAAB 22 2 co

12、s Aabcbc 222 2 中中 b c a AB C a, b a b sin,a ba ba b . . a b a b , a ba a bba, b a b b a 都非零且不共線都非零且不共線, ,則則,a b| |cab , a b以以 為鄰邊的平行四邊形的面積為鄰邊的平行四邊形的面積. . ()()()ababa b kkk ()abca ba c abb a aa 0（1） 0 a b（2） （3）反交換律）反交換律： （4）結(jié)合律）結(jié)合律: : （5）分配律）分配律: : / ,a b (1)(1) (2)(2)： a b h h=|b|sina，b= |ab| |a| (

13、3)(3)： (4)(4) /a ba b 0 0 0 a b sin, | ab a b ab 2 222 | | cosa bab 2 222 | | sinabab 2222 .a babab 由數(shù)量積定義由數(shù)量積定義 2222 a babab 試證試證 () ()2()ababab () ()abab 2()ab a ab aa b b b a, b, c : ()abcabc =|ab|c|cos=(ab)c 為以為以a, b, c為棱的為棱的 平行六面體平行六面體體積體積. . ab a b c h =|ba|c|cos=(ba)c 為以為以b, a, c為棱的為棱的 平行六面體平

14、行六面體體積的體積的 相反數(shù)相反數(shù). . a b c h ba (1) abc abc(2) ()bcacab bac cba acb (3) ( () ) ()() abca b ca b c (4) 0aacabb =|ab|c|cos Vabc =(ab)c 為以為以a, b, c為棱的為棱的 平行六面體平行六面體體積體積. . ab a b c h (1)求體積求體積: a, b, c abcV , abcV abcV所以所以 ()0abcabc a, b, c共面共面 abc 存在不全為存在不全為0 0的數(shù)的數(shù)k、l、m 使使 ka+lb+mc=0 klcab 已知已知（ab）c =

15、 3，求求 ()()()abbcca ()()()abbcca () () abacb bb cca () () abacb cca ()()() ()()() abcaccb cc abaacab ca ()() 2()6 abcbca abc 前面介紹的幾何向量的加法前面介紹的幾何向量的加法, ,數(shù)乘數(shù)乘, ,數(shù)數(shù) 量積量積, ,向量積及混合積的計(jì)算向量積及混合積的計(jì)算, ,都是在幾何都是在幾何 作圖作圖, ,下面將這些運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算下面將這些運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算. . O; Ox, Oy, Oz; xOy, yOz, zOx; I, II, III, IV, V, VI, VII, V

16、III z I II III IV V VIVII VIII y x o x, ,y, ,z軸正方向構(gòu)成軸正方向構(gòu)成“右手系右手系”， , ,x y z 設(shè)設(shè)M為空間內(nèi)一點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn), , 11 ( , , )Mx y z 對(duì)應(yīng) ( , , ).M x y z O x y z M x y z P Q R , x,y,z PMQ R 投影 xyz 坐標(biāo) ， ， 記記 . . ： , ,i j k, ,x y z 1 i ij jk k 0 i ji kj k 0 i ijjk k , ijkjkikij , jikkjiikj OMxyzaijk （1） O z x y z a M(x,y,z

17、) y xyz aaaijk M R P Q OMOMMMa OPOQORxyzijk rjrjrj ()()() z xy PPPa ia ja k xyz aaaijk (,), xyzxyz a aaa aaa故故 其中其中 z rjrjrj , xy xyz aPaPaPaaa 21 OMOMa 212121 ()()()xxyyzzijk 1211112222 ,( , , ),( , , )MM M x y zM x y za （2）若若 212121 (,)xx yy zza 222111 () ()xyzxyzijkijk 即即 12212121 (,)MMxx yy zz o

18、 1 M 2 M (,) xyzxyz aaaa aaaijk (,) xyzxyz bbbb b bbijk (,) xyzxyz cccc cccijk 記記 xxyyzz a ba ba b i ij jk k ()()() xyyxxzzxyzzy a ba ba ba ba ba b i ji kj k x xyyzz a ba ba b (,) xxyyzz abababab則則(1) (,) xyz kka ka kaa(2) () () xyzxyz aaabbb ijkijakb (3) () x xy yz zx yy x a ba baba ba b i ijjk kij

19、j i ()() xzzxyzzy a ba ba ba bikkijkkj ()()() x yy xz xx zy zz y abababababab i jk ij k ()()() xyy xz xx zy zzy a ba ba ba ba ba bkji ()() xyzxyz aaabbbijkijakb(4) yzxyxz yzxyxz aaaaaa bbbbbb ijk xyz xyz aaa bbb ijk yzxyxz xyz yzxyxz aaaaaa ccc bbbbbb xyz xyz xyz aaa bbb ccc () yzxyxz xyz yzxyxz aaa

20、aaa ccc bbbbbb ijkijk ()abcabc(5) (,) xyz a aaa 222 | xyz aaaaa a ,xyzaaa (1) (1)模模: :： 方向角方向角: : |cos,|cos,|cos xyz aaaaaa且且 222 coscoscos1 (2)(2)方向余弦方向余弦: : 222 cos x xyz a aaa 222222 cos, cos y z xyzxyz a a aaaaaa 0 222222222 , | | y xz xyzxyzxyz a aa aaaaaaaaa a a a (3)(3)單位向量單位向量: : (cos,cos,co

21、s ) , y xz xyz a aa bbb ba4.0 xxyyzz a ba ba b 5. a,b,c 共面共面 0 xyz xyz xyz aaa bbb ccc abc 3. ba ( (共線共線) ) ab 的高的高. . (1, 1,2),(5, 6,2),(1,3, 1)ABC ABCAC 求以求以 為頂點(diǎn)的為頂點(diǎn)的的面積及邊的面積及邊上上 1 | 2 SABAC 1 |151216 | 2 ijk 22 12.5 |5 5| S BD AC (4, 5,0),(0,4, 3),ABAC ABC 則則 的面積為的面積為 所以高所以高 1 450 2 043 ijk 1 251

22、2.5 2 1 |, | 6 VAB AC AD 123123123 ( ,),( ,),( ,),A a a aB b b bC c c c 123 (,)D d d d . . ABCD ,AB AC AD 112233 (,)ABba ba ba 112233 (,)ACca ca ca 112233 (,)ADda da da 1 | 6 VABACAD 112233 112233 112233 1 6 bababa cacaca dadada 平面與直線的方程平面與直線的方程. . 平面與平面平面與平面、平面與直線平面與直線、 直線與直線的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系. . 平面束平

23、面束. . , n()n （1）. . 0 ,M M n 1 , , A B Cn 0000 (,)Mxyz ( , , )M x y z 0 0M M n 000 ()()()0A xxB yyC zz （1） M0 n M n n , n()n M0 n M n n （1）. . 0 ,M M n 1 , , A B Cn 0000 (,)Mxyz ( , , )M x y z 0 0M M n 000 ()()()0A xxB yyC zz （1） 設(shè)設(shè) 是平面上任意一點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn), ,而而 ( , , )M x y z 已知平面上不共線的三點(diǎn)已知平面上不共線的三點(diǎn), , 求平面方

24、程求平面方程. . 111122223333 ( ,),(,),( ,)M x y zMx y zM x y z 11213 ,M M M M M M 共面共面, 所以有所以有 為平面的三點(diǎn)式方程為平面的三點(diǎn)式方程. . 111 11213212121 313131 0 x xyyz z MMMM MMxxyyzz xxyyzz 已知已知 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距為在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距為 a, b, c， 且且 ,平面過(guò)三點(diǎn)平面過(guò)三點(diǎn)P(a,0,0), Q(0,b,0),0abc M(x,y z) ,得得 R(0,0,c), 將其代入三點(diǎn)式將其代入三點(diǎn)式, 則對(duì)則對(duì) x a y b z c +=1

25、 00 0 xa y z ab ac 為平面的截矩式方程為平面的截矩式方程. . 若令若令 000 DAxByCz , ,則則(1)(1)式可寫成式可寫成 （A, B, C不全為不全為0）Ax+By+Cz+D= =0 : : 0,/ABxOyxOyn面，面， 面面. . 0,C 0CD 軸，軸， ， 過(guò)過(guò) 軸；軸； z z 0,B y0BD 軸，軸， ， 過(guò)過(guò) 軸；軸； y x 軸軸, , A = D = 0， 過(guò)過(guò) x 軸軸； 平面過(guò)原點(diǎn)平面過(guò)原點(diǎn); ; 0,A 0,D （系數(shù)與圖形的關(guān)系） 面，面， 面面. .0,BC/ yOzyOzn 0,AC / xOz面，面， 面面. .xOzn 是

26、是 xoy 面面.0,ABD 求過(guò)求過(guò)x軸軸, ,且過(guò)點(diǎn)且過(guò)點(diǎn) 的平面方程的平面方程. .(4, 3, 1) 30,3BCCB 0AD 平面過(guò)平面過(guò) x 軸軸 0ByCz 平面方程為平面方程為 (4, 3, 1), 0ABC0B 顯然顯然 , ,否則否則 故所求平面方程為故所求平面方程為 30yz 待定系數(shù)法待定系數(shù)法 30ByBz則則 三點(diǎn)式三點(diǎn)式 平面過(guò)平面過(guò) 軸，軸， 軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn) 及及 在平面上在平面上, ,及點(diǎn)及點(diǎn) , ,由三點(diǎn)式可得所由三點(diǎn)式可得所 求平面方程求平面方程 xx (0,0,0)(1,0,0) (4, 3, 1) 1000 431 xyz 30yz OM ni 又點(diǎn)

27、又點(diǎn) 在平面上在平面上,由點(diǎn)法式，由點(diǎn)法式，(0,0,0) 點(diǎn)法式點(diǎn)法式 30yz故平面方程為故平面方程為 100 431 ijk 3jk 求與點(diǎn)求與點(diǎn) 等距離的等距離的 點(diǎn)的軌跡方程點(diǎn)的軌跡方程. . (1,2,3),(2, 1,4)AB (1, 3,1)ABn 顯然顯然, ,這是線段這是線段 的垂直平分面的垂直平分面AB 317 ()3()()0 222 xyz 26270 xyz 0 3 1 7 ( , ) 2 2 2 M線段的中點(diǎn)線段的中點(diǎn) 在平面上在平面上 （ ， ， ） 3 2 3 1 3 2 分析分析 （1） （2） bac |（ ） | bac（ ） d = ,2 ,22ai

28、bjk cijk d , d c 且且a , b, d . （A, B, C不全為不全為0） 000 ()()()0A xxB yyC zz 111 212121 313131 0 x xyyzz xxyyzz xxyyzz x a y b z c +=1 Ax+By+Cz+D= =0 截距截距 一點(diǎn)一點(diǎn), ,方向向量；方向向量； 兩相交平面兩相交平面. . 兩點(diǎn)；兩點(diǎn)； ( , , ).sm n pL 已知已知 M(x,y,z)L 1.1. 000 xxyyzz mnp 0000 (,),( , , ).Mxy zL sm n pL 則則 0 .M M s 00 000 00 0, 0 xx

29、xx xxyyzz yyzz np np 當(dāng)當(dāng) 中有兩個(gè)為中有兩個(gè)為0 0時(shí)時(shí), ,例例 , ,m n p0,0mnp 2.2.特殊直線方程：特殊直線方程：, ,m n p當(dāng)當(dāng)中有一個(gè)為零，中有一個(gè)為零， 0,0mnp0，例例, ,則則 00 000 00 0, 0,00 xxxx xxyyzz yyyyp 則則 M(x,y,z)L tT 0 0 0 xxmt yynt zzpt Mi(xi,yi,zi)L , ,i =1,2, , M(x,y,z)L 112 M MM M 111 212121 xxyyzz xxyyzz 5.5.一般式一般式( (交面式交面式) )方程方程: : 一般式一般

30、式 拆等號(hào)拆等號(hào) 標(biāo)準(zhǔn)式標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)式參數(shù)式 添參添參 消參消參 12 1111 2222 0 : 0 AxB yC zD L A xB yC zD M0s， 10 : 2340 xyz L xyz 化為標(biāo)準(zhǔn)式和參數(shù)式化為標(biāo)準(zhǔn)式和參數(shù)式. . 將直線將直線 0 1x 2 36 yz yz 0 (1,0, 2)M 可令可令 得得 12 111 213 ijk snn 0 0 0 2 y z 所以直線上一點(diǎn)為所以直線上一點(diǎn)為 由由 43ijk 12 : 413 xyz L L 12 413 xyz t 14 : 23 xt Lyt zt 令令 L 00 15 , 44 yz 若令若令 ，則解得則解得

31、 0 0 x 0 15 (0,) 44 M且且 15 44 : 413 yz x L 4 1 : 4 5 3 4 xt Lyt zt L L 點(diǎn)-點(diǎn); ;點(diǎn)-線;點(diǎn)-面;線-線;線-面;面-面. 222 12212121 ()()()M Mxxyyzz L M0 0 M1 1s d 平行四邊形的高平行四邊形的高 111 0000 (,),: xxyyzz MxyzL mnp 01 |M M d s s 01 (5,2,3),M M (3,4,2)s 01 3 4 2 5 2 3 M M ijk s 222 01 222 81( 14)| | | 342 M M d s s 1 713 : 34

32、2 xyz L 0 (2, 1,0)M求點(diǎn)求點(diǎn) 到直線到直線 的距離的距離. . 814ijk 261 3 29 0000 ( ,),:0M x y zAx By CzD j 10 r10 | M M P M M n n n 1111 ( ,)M x y z 111 0AxByCzD 10010101 (,)MMxx yy zz 因?yàn)橐驗(yàn)?Q M0 0 M1 1 n d j r10 |dP M M n 10 000 222 M M AxByCzD d ABC n n 求點(diǎn)求點(diǎn) 到平面到平面(2,1,1)10 xyz 222 |2 1 1 1| 11( 1) d 的距離的距離. . 3 3 3

33、111 1 111 222 2 222 : : xxyyzz L mnp xxyyzz L mnp j1 2 r12 |dPMM s s 1212 12 |()| | M M ss ss L2 L1 M1 M2 d s1 s2L3 . . 1 331 : 411 xyz L 2 2 : 201 xyz L 12 411 201 ijk ss 12 ( 3, 3, 1)M M 與與 222 |( 1) ( 3)2 ( 3)2 ( 1)|1 3 ( 1)2( 2) d 22 ijk 面-面;線-線; 線-面 n2 n1 :0,1,2 iiiii AxB yC zDi 1111 2222 ABCD

34、ABCD 1111 2222 ABCD ABCD 121212 0A AB BC C - 0 2 2 12 ,n n 121212 222222 111222 cos A AB BC C ABCABC 111222 :ABCABC - 0 2 2 :,1,2 iii i iii xxyyzz Li mnp 121212 222222 111222 cos m mn np p mnpmnp 12 ,s s 121212 0m mn np p 111 222 mnp mnp 111 222 mnp mnp 且M1在L2上 12 ,L L共共面面 12 ,L L異異面面 1212 ,M Ms s 共共面面 12 1 2 M M s s 212121 111 222 0 xxyyzz mnp mnp 212121 111 222 0 xxyyzz mnp mnp 證明直線證明直線 與與 1 721 : 322 xyz L 2 1 2 :2 3 5 4 xt Lyt zt 12 LL， 共面共面,并求并求 所在的平面方程所在的平面方程. 1212 M Ms s 的法向量的法向量 12 nss 2(7) 16(2) 13(1)0 xyz :21613310.