分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用

1、南 陽 理 工 學(xué) 院 本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）學(xué)院（部）： 數(shù)理學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 生： 童家祎 指導(dǎo) 教師： 宋蘇羅 完成日期 2013 年 5 月南陽理工學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用the application of block matrix in computing determinant總計(jì)：畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）25頁表 格： 0 個(gè)插 圖： 0 幅分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用南 陽 理 工 學(xué) 院 本 科 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論文）分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用the application of block matrix in computing

2、determinant學(xué) 院 （系）： 數(shù)理學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 生 姓 名： 童家祎 學(xué) 號(hào)： 101109071 指 導(dǎo) 教 師（職稱）： 宋蘇羅（教授） 評 閱 教 師： 完 成 日 期： 2013.5 南陽理工學(xué)院nanyang institute of technology分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 童家祎摘 要分塊矩陣是矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)重要內(nèi)容，在高等代數(shù)中有著很重要的應(yīng)用矩陣分塊的思想來源于對矩陣運(yùn)算復(fù)雜度和儲(chǔ)存思想的考慮，矩陣分塊能降低矩陣的階數(shù)，使矩陣條理更清晰并簡化運(yùn)算本文從研究行列式以及分塊矩陣的基本性質(zhì)入手，在查

3、閱了大量文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，給出了與行列式計(jì)算有關(guān)的分塊矩陣相關(guān)定理將分塊矩陣降階的思想應(yīng)用在行列式計(jì)算過程中，推導(dǎo)出了借助分塊矩陣進(jìn)行行列式計(jì)算的多種方法，最后通過具體的例子對比說明，很多時(shí)候借助分塊矩陣計(jì)算行列式比用行列式的常規(guī)方法計(jì)算更簡單、直觀、清晰關(guān)鍵詞分塊矩陣；行列式；初等變換the application of block matrix in computing determinantmathematics and applied mathematics major tong jia-yiabstract: block matrix is an important content of

4、 matrix theory, which has a significant usage in advanced algebra. the idea of block matrix comes from the consideration of the memory storage and the complexity of matrix manipulation. block matrix can reduce the exponent number of matrix to make the consecution of matrix clearer and the operation

5、of matrix easier. this article starts with basic properties of matrix, and gives some main conclusions of block matrix on the basis of accessing a lot of literature. and then, we use the reduction thoughts of block matrix in process of determinant calculation to derive multiple methods of determinan

6、t calculation with the block matrix. at last, we use object lessons to compare, shows that computing the determinant by means of block matrix is often more simple, intuitive and clear than conventional methods of determinant calculation. key words: determinant; block matrix; elementary transformatio

7、n目 錄0 引言.11 分塊矩陣的概念.11.1 分塊矩陣的定義.1 1.2 分塊矩陣的運(yùn)算.2 1.3 特殊的分塊矩陣.42 分塊矩陣的初等變換.53 分塊矩陣的相關(guān)定理及其證明.64 利用分塊矩陣計(jì)算行列式.10 4.1 利用定理1計(jì)算行列式.10 4.2 利用定理2計(jì)算行列式.11 4.3 利用定理3計(jì)算行列式.13 4.4 利用定理4計(jì)算行列式.18 4.5 利用定理5計(jì)算行列式.194.6 利用定理6計(jì)算行列式.21結(jié)束語.23參考文獻(xiàn).24致謝.25分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用0 引言矩陣是一個(gè)有力的數(shù)學(xué)工具，有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)矩陣也是代數(shù)特別是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對象矩陣的概

8、念和性質(zhì)都較易掌握，但是對于階數(shù)較大的矩陣的運(yùn)算則會(huì)是一個(gè)很繁瑣的過程，甚至僅僅依靠矩陣的基本性質(zhì)很難計(jì)算，為了更好的處理這個(gè)問題矩陣分塊的思想應(yīng)運(yùn)而生 行列式在代數(shù)學(xué)中是一個(gè)非常重要、又應(yīng)用廣泛的概念對行列式的研究重在計(jì)算，但由于行列式的計(jì)算靈活、技巧性強(qiáng)，尤其是計(jì)算高階行列式往往較為困難行列式的計(jì)算通常要根據(jù)行列式的具體特點(diǎn)采用相應(yīng)的計(jì)算方法，有時(shí)甚至需要將幾種方法交叉運(yùn)用，而且一題多種解法的情況很多，好的方法能極大降低計(jì)算量，因此行列式計(jì)算方法往往靈活多變在解決行列式的某些問題時(shí)，對于級數(shù)較高的行列式，常采用分塊的方法，將行列式分成若干子塊，往往可以使行列式的結(jié)構(gòu)清晰，計(jì)算簡化本文在廣泛

9、閱讀文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，從溫習(xí)分塊矩陣的定義和性質(zhì)出發(fā)，給出了分塊矩陣的一些重要結(jié)論并予以證明，在此基礎(chǔ)上討論利用分塊矩陣計(jì)算行列式的方法，并與其他方法相互比較，以此說明分塊矩陣在行列式計(jì)算中的優(yōu)勢1 分塊矩陣的概念1.1 分塊矩陣的定義有時(shí)候，我們將一個(gè)大矩陣看成是由一些小矩陣組成的，就如矩陣是由數(shù)組成的一樣特別在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)做數(shù)一樣來處理這就是所謂的矩陣的分塊把原矩陣分別按照橫豎需要分割成若干小塊，每一小塊稱為矩陣的一個(gè)子塊或子矩陣，則原矩陣是以這些子塊為元素的分塊矩陣這是處理級數(shù)較高的矩陣時(shí)常用的方法定義1 設(shè)是矩陣，將的行分割為段，每段分別包含行，將的列分割為段，每段包含列，則，就

10、稱為分塊矩陣，其中是矩陣（）注：分塊矩陣的每一行（列）的小矩陣有相同的行（列）數(shù) 例如，對矩陣分塊，其中，1.2 分塊矩陣的運(yùn)算進(jìn)行分塊矩陣的加、減、乘法與轉(zhuǎn)置運(yùn)算時(shí)，可將子矩陣當(dāng)做通常矩陣的元素看待加法運(yùn)算 設(shè)和為同型矩陣（行數(shù)和列數(shù)分別相等），若用相同的分塊方法，即，其中、是矩陣，且，則與可直接相加，即數(shù)乘運(yùn)算 設(shè)分塊矩陣，為任意數(shù)，則分塊矩陣與的數(shù)乘為乘法運(yùn)算 一般地說，設(shè)，將矩陣、分塊，其中每個(gè)是小矩陣，每個(gè)是小矩陣，于是有，其中是矩陣，應(yīng)該注意，在進(jìn)行乘法運(yùn)算求乘積時(shí)，對矩陣、分塊要求，矩陣的列的分法必須與矩陣的行的分法一致矩陣的乘法不適合交換律，即一般來說，沒有分塊矩陣是一類特殊的

11、矩陣，它的乘法同樣不適合交換律根據(jù)上文所述分塊矩陣也是一個(gè)矩陣，因此有與一般矩陣的加法、數(shù)乘、乘法的運(yùn)算性質(zhì)相同不過，分塊矩陣運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1) 進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，對應(yīng)子塊的結(jié)構(gòu)需相同；(2) 進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，必須對每一子塊都乘以相同的數(shù)；(3) 進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，不能隨意交換兩個(gè)相乘子塊的順序在具體運(yùn)算過程中，我們要靈活地分塊，目的是使運(yùn)算更簡便而對于乘法，在矩陣與矩陣相乘時(shí)，對的一個(gè)分塊方式，可以有幾種分塊方式都可與相乘，同樣對的一個(gè)分塊方式，也是如此但不論怎樣分塊，始終堅(jiān)持相乘的兩個(gè)矩陣前一個(gè)矩陣列的分法與后一個(gè)矩陣行的分法一致，因?yàn)橹挥羞@樣乘積才有意義例如，已知，我們把分塊為，其

12、中為二階單位陣，這時(shí)若只考慮乘法的相容性，可以分塊為、或，我們可以看到第一種分法中有單位塊，而，對于乘法運(yùn)算顯然更加簡便，即設(shè)是一個(gè)分塊矩陣，那么它的轉(zhuǎn)置為分塊矩陣的轉(zhuǎn)置應(yīng)遵守如下規(guī)則：(1) 的每一塊都看成元素，對轉(zhuǎn)置；(2) 對的每一塊都轉(zhuǎn)置1.3 特殊的分塊矩陣 形式如的矩陣，其中是矩陣，通常稱為準(zhǔn)對角矩陣準(zhǔn)對角矩陣具有如下性質(zhì)：(1) 設(shè) ，則有；(2) 可逆可逆，且；(3) 對于兩個(gè)有相同分塊的準(zhǔn)對角矩陣，如果它們相應(yīng)的分塊是同級的，那么顯然有，它們還是準(zhǔn)對角矩陣2 分塊矩陣的初等變換與普通矩陣的初等變換類似，分塊矩陣的初等變換有三種：(1) 互換分塊矩陣二個(gè)塊行（列）的位置；(2)

13、 用一個(gè)可逆矩陣左乘（右乘）分塊矩陣的某一塊行（列）；(3) 將分塊矩陣某一塊行（列）的（矩陣）倍加到另一塊行（列）定義2 由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣現(xiàn)將某個(gè)單位矩陣如下進(jìn)行分塊，對它進(jìn)行兩行（列）對換；矩陣的某行（列）乘以行列可逆陣；某一行（列）乘以矩陣加到另一行（列）上，就可得到如下三種分塊初等矩陣：(1) 分塊初等對換陣；(2) 分塊初等倍乘陣，；(3) 分塊初等倍加陣，與初等矩陣和初等變換的關(guān)系一樣，用上面這些矩陣左乘任一個(gè)分塊矩陣，只要分塊乘法能夠進(jìn)行，其結(jié)果就等于對它進(jìn)行相應(yīng)的初等變換：(1) ；(2) ；(3) 同樣，用它們右乘任一矩陣，也有相應(yīng)的結(jié)果我們通

14、過驗(yàn)證，當(dāng)用分塊初等矩陣左乘（右乘）一個(gè)分塊矩陣，就相當(dāng)于對該分塊矩陣作了一次相應(yīng)的分塊矩陣的初等行（列）變換分塊矩陣的初等行（列）變換具有直觀的優(yōu)點(diǎn)，用分塊初等矩陣左乘（右乘）一個(gè)分塊矩陣能得到矩陣間的等式，從而有利于計(jì)算矩陣行列式的值3 分塊矩陣的相關(guān)定理及其證明定義3 在一個(gè)級行列式中任意選定行列位于這些行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按照原來的次序組成一個(gè)級行列式，稱為行列式的一個(gè)級子式當(dāng)時(shí)，在中劃去這行列后余下的元素按照原來的次序組成的級行列式稱為級子式的余子式引理（拉普拉斯定理）設(shè)在行列式中任意取定了個(gè)行由這行元素所組成的一切級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式定理1 設(shè)是階方陣，是

15、階矩陣，是階矩陣，則證明 利用拉普拉斯定理，只要將行列式按后行展開，在其所有的階子式中，除外至少包含一列零向量，因此它們的值為零而的余子式為，且位于整個(gè)矩陣的第行，第列，即可得類似地行列式的形式為時(shí)，由行列式的轉(zhuǎn)置值不變，因此仍有通過上面的定理，我們自然想到，若是將行列式換成又會(huì)有怎樣的結(jié)論，它的值等于嗎？ 定理2 設(shè)、均為階方陣，則證明 將拉普拉斯定理應(yīng)用于上式的后行， 在其所有階子式中，除外至少包含一列零向量，因此它們的值為零而的余子式為，且位于整個(gè)矩陣的第行， 第列，因此，其中，即定理3 是分塊階矩陣，其中為階方陣，為階陣，為階陣，為階方陣(1) 若可逆，則；(2) 若可逆，則證明 (1

16、) 當(dāng)時(shí)，有兩邊取行列式可得(2) 當(dāng)時(shí)，有兩邊取行列式可得= 將定理3中條件特殊化，可得到如下推論推論1 設(shè)、分別是，矩陣，則有(1) ；(2) 證明 (1) 只需在定理3中令，即有(2) 只需在定理3中令，即有推論2 設(shè)、分別是，則有證明 只需在定理3中令，則有定理4 設(shè)、都是階方陣，則(1) 當(dāng)且時(shí)，； (2) 當(dāng)且時(shí)，；(3) 當(dāng)且時(shí)，；(4) 當(dāng)且時(shí)，證明 由、均為階方陣，當(dāng)且時(shí)，利用定理3得，即，(2)、(3)、(4)類似可得定理5 設(shè)、都是階方陣，則有證明 根據(jù)分塊矩陣性質(zhì)有定理6 設(shè)為階可逆方陣，與均為維列向量，則證明 因 ， (1) ， (2)(1)式、(2)式兩邊各取行列式

17、，又，從而有4 利用分塊矩陣計(jì)算行列式在行列式計(jì)算的過程中，若是該行列式的結(jié)構(gòu)符合上述定理?xiàng)l件的要求，就可按照該定理進(jìn)行矩陣分塊，利用定理的結(jié)論計(jì)算行列式其中的關(guān)鍵是如何對行列式進(jìn)行分塊，什么樣的行列式能進(jìn)行分塊我們在運(yùn)用分塊矩陣計(jì)算行列式時(shí)，要仔細(xì)觀察行列式的結(jié)構(gòu)，先確定運(yùn)用哪個(gè)公式來進(jìn)行計(jì)算，再對行列式進(jìn)行相應(yīng)的分塊在計(jì)算的過程中，也可能遇到可以運(yùn)用分塊矩陣計(jì)算的行列式，因此不僅要牢記公式，也要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用4.1 利用定理1計(jì)算行列式能夠利用定理1求解的行列式的類型為或，下面給出具體例子例1 計(jì)算行列式解 方法1（利用定理1）對行列式分塊，其中，根據(jù)定理1，有方法2（化三角形法）將行列式化

18、為上三角形方法3（降階法）顯然方法1更簡單，利用定理1計(jì)算例1極大簡化了計(jì)算4.2 利用定理2計(jì)算行列式對于可以利用定理2計(jì)算的行列式，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是型下面是利用定理2計(jì)算行列式的具體例子例2 計(jì)算行列式解 方法1（利用定理2）利用定理2結(jié)論，對行列式分塊，其中，因此方法2（降階法）方法3（定義法）這是一個(gè)六階行列式，在展開式中應(yīng)有項(xiàng)，但是由于其有很多零元素，所以不等于零的項(xiàng)就大大減少了，展開式中一般形式是，顯然，如果，那么這一項(xiàng)就為零，因此只考慮的那些項(xiàng)；同理，只考慮的那些項(xiàng)，而由于第五行只有非零元素和，所以只考慮，同理有，根據(jù)定義即可計(jì)算，即從上面的例子我們看到，將方法2、3與方法1比較，方

19、法2解題步驟更多更復(fù)雜，而方法3比較抽象，要有很好的觀察力，顯然利用分塊矩陣來解題時(shí)，行列式的結(jié)構(gòu)很清楚明了，解題過程也更簡單4.3 利用定理3計(jì)算行列式下面是利用定理3計(jì)算行列式的例子例3 計(jì)算階行列式，其中解 方法1（利用定理3）對行列式分塊，令，其中，、均為階方陣，得可逆因?yàn)椋苑椒?（降階法）方法3（化三角形法）利用行列式的性質(zhì)，將化為上三角形，即從上面例子可以看到，行列式是一個(gè)高階抽象行列式，比較上面三種方法，顯然方法1更為簡單，而且在利用定理3將行列式進(jìn)行分塊之后，該行列式的結(jié)構(gòu)便十分清晰，計(jì)算過程也很簡單明例4 計(jì)算行列式，其中解 方法1（利用定理3）對該行列式先加邊，再將加邊

20、后的行列式的第1行乘加到其余各行，得，令，由于，且可逆，從而方法2（化三角形法）先對行列式加邊處理，再利用行列式的性質(zhì)，將化為三角形 從上面的例子我們可以看到，在利用公式計(jì)算行列式時(shí)，并不一定在最開始時(shí)就進(jìn)行分塊有時(shí)候，我們可以先對行列式進(jìn)行變換，再使用公式計(jì)算行列式同時(shí)，我們也認(rèn)識(shí)到行列式的計(jì)算是十分靈活的，如上面的方法1就將加邊法和定理3結(jié)合起來使用，所以在計(jì)算行列式時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用知識(shí)方法2中運(yùn)用矩陣的初等變換將行列式化成三角形，計(jì)算過程比較繁瑣且容易出錯(cuò)但是在什么樣的情況下利用定理3求行列式值比較簡便，還有待進(jìn)一步討論，下面將給出一類特殊的行列式的例子例5 求形如的階（為偶數(shù)）反對稱行

21、列式的值解 將按如下分塊，其中，因?yàn)?，所以可逆又有，所以從此例可以推廣，形如()的階（為偶數(shù)）的反對稱矩陣，其行列式的值為上面總結(jié)了定理3在一類特殊行列式上的應(yīng)用，當(dāng)遇到這類問題時(shí)可直接使用上述結(jié)論當(dāng)然，在其他某些數(shù)字行列式的計(jì)算上也可直接運(yùn)用定理3，也可先經(jīng)過行列式的某些變換使其數(shù)字更簡單結(jié)構(gòu)更明了，再使用定理3來計(jì)算4.4 利用定理4計(jì)算行列式定理3雖給出了計(jì)算行列式的一種方法，但計(jì)算過程相對繁瑣，計(jì)算中涉及到多次求逆和矩陣相乘，同時(shí)也不易記憶而定理4可以說是定理3的推論，在實(shí)際應(yīng)用中定理4更常用下面將給出相關(guān)例子例6 計(jì)算例3所給的階行列式解 a、c如例3所給，而且，則有注意：（1）這里

22、并不需要這個(gè)條件；（2）在用定理4計(jì)算高階行列式時(shí)，和有一個(gè)是階單位矩陣或是階數(shù)量矩陣時(shí)，那么計(jì)算方法會(huì)更簡便例7 計(jì)算行列式解 方法1（利用定理4）對進(jìn)行分塊，其中，顯然可逆且，故，所以方法2（化三角形法)利用行列式的性質(zhì)，將行列式化為三角形方法3（降階法) =我們可以看到利用定理4計(jì)算例2的過程比利用定理3和其他方法計(jì)算時(shí)更簡單4.5 利用定理5計(jì)算行列式對于能用定理5求解的行列式，我們往往很容易看出來，而且分塊也很簡單下面給出具體例子例8 計(jì)算行列式的值解 方法1（利用定理5)將對行列式進(jìn)行分塊，其中，則由定理5可得方法2（降解法)將行列式按第一行展開，可得方法3（列歸一法)將行列式的第

23、2、3、4列都加到第1列 此題看似簡單，但若是計(jì)算方法不佳，計(jì)算起來也不會(huì)輕松比較上面三種方法，可以看到，利用定理5計(jì)算此題極大的簡化了計(jì)算過程4.6 利用定理6計(jì)算行列式在利用定理6計(jì)算階行列式時(shí)，要根據(jù)具體情況，把原來行列式的元素組成的矩陣分成兩部分，其中一部分是階可逆矩陣，該矩陣一般為對角矩陣，那么其行列式和逆矩陣比較容易求出；另一部分是維列向量和組成的乘積這種分法是利用定理6計(jì)算階行列式的難點(diǎn)，需要有較強(qiáng)的觀察力下面列舉兩個(gè)具體例子加以說明例9 計(jì)算行列式解 方法1（利用定理6)令，則 ，而且，又由于，并且，從而由定理4知，方法2（利用方陣特征值與行列式的關(guān)系)令矩陣，則顯然，的個(gè)特征值為，的特征值為，故的特征值為，由方陣特征值與對應(yīng)行列式的關(guān)系知方法3（化三角形法)例10 計(jì)算行列式()解 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，由此可得，再因，且，由定理6可得容易看出，運(yùn)用定理6計(jì)算行列式也有一定的規(guī)律可循，計(jì)算這類行列式時(shí)一定要弄清它的結(jié)構(gòu)，對行列式進(jìn)行合理分塊，這樣計(jì)算過程會(huì)得到很大簡化結(jié)束語本文通過對分塊矩陣性質(zhì)及相關(guān)結(jié)論的研究，給出了部分運(yùn)用分塊矩陣計(jì)算行列式的方法從上文的一些結(jié)論和給出的例子可以看出，分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用很多，而且利用分塊矩陣計(jì)算行列式，可以有效的簡化計(jì)算在實(shí)際運(yùn)用的過程中，要根據(jù)行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇合適的方法，并對行列式合理的分塊，將使該方法得到