任意角的三角函數(shù)ppt[主要內(nèi)容]

1、攸縣一中攸縣一中 湯慶平湯慶平 1 青苗輔導(dǎo)1 1、在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？、在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？ sin cos tan c a c b b a O a bM P c 1.2任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù) 2 青苗輔導(dǎo)1 O a bM P y x 2.在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？ 3 青苗輔導(dǎo)1 22 : barOP bMP aOM 其中 y x 2.在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？ r a OP OM cos r b OP MP sin a b OM M

2、P tan baP, M o 4 青苗輔導(dǎo)1 如果改變點在終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？如果改變點在終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？ P M OP MP sin OP OM cos OM MP tan OMPPMO PO PM PO OM MO PM MO y x P(a,b) 5 青苗輔導(dǎo)1 OP MP sin OP OM cos OM MP tan ，則若1 rOP b a a b 3.銳角三角函數(shù)（在單位圓中）銳角三角函數(shù)（在單位圓中） 以原點以原點O為為圓心，以單位圓心，以單位長度為半徑的圓，稱為單位圓長度為半徑的圓，稱為單位圓. y o P ),(ba x 1 M 6 青苗輔導(dǎo)

3、1 2.任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設(shè) 是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點),(yxP 那么:（1） 叫做 的正弦正弦，記作 ，即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，記作 ，即 ； cosx xcos （3） 叫做 的正切正切，記作 ，即 。 x y tan x y tan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都 是以是以角為自變量角為自變量，以，以單位圓單位圓上點上點 的的坐標或坐標的比值坐標或坐標的比值為函數(shù)值的為函數(shù)值的 函數(shù)，我們將他們稱為函數(shù)，我們將他們稱為三角函數(shù)三角函數(shù). 0 , 1AO y x yxP , )0(x 使比值有意義的角的集合使

4、比值有意義的角的集合 即為三角函數(shù)的定義域即為三角函數(shù)的定義域. 7 青苗輔導(dǎo)1 （1）正弦就是交點的縱坐標，余弦就是交點）正弦就是交點的縱坐標，余弦就是交點 橫坐標的比值橫坐標的比值. . 的橫坐標，的橫坐標，交點的縱坐標與交點的縱坐標與 . . （2） 正弦、余弦總有意義正弦、余弦總有意義.當當 的終邊在的終邊在 y 橫坐標等于橫坐標等于0， x y tan 無意義，此時無意義，此時 )( 2 zkk 軸上時，點軸上時，點P 的的 （3）由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，）由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系， 三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變

5、量為實數(shù)的函數(shù). 正切就是正切就是 8 青苗輔導(dǎo)1 任意角的三角函數(shù)的定義過程：任意角的三角函數(shù)的定義過程： 直角三角形中定義銳角三角函數(shù) a b r a r b tan,cos,sin 直角坐標系中定義銳角三角函數(shù) a b r a r b tan,cos,sin 單位圓中定義銳角三角函數(shù) a b abtan,cos,sin 單位圓中定義任意角的三角函數(shù) ,sinyxcos x y tan, 9 青苗輔導(dǎo)1 例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值. 3 5 3 5 AOB 解：在直角坐標系中，作解：在直角坐標系中，作 AOB ，易知，易知 的終邊與單位圓的交點坐標為的終邊與單位

6、圓的交點坐標為 ) 2 3 , 2 1 ( 所以所以 2 3 3 5 sin 2 1 3 5 cos 3 3 5 tan 思考：若把角思考：若把角 改為改為 呢呢? 3 5 6 7 , 2 1 6 7 sin ， ， , 2 3 6 7 cos 3 3 6 7 tan x y o A B 3 5 10 青苗輔導(dǎo)1 例例2 已知角已知角 的終邊經(jīng)過點的終邊經(jīng)過點 ，求角，求角 的正弦、余的正弦、余 弦和正切值弦和正切值 . )4, 3( 0 P 5) 4() 3( 22 0 OP 解解:由已知可得由已知可得 設(shè)角設(shè)角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP 分別過點分別過點 、 作

7、作 軸的垂線軸的垂線 、 0 PMPP 00P Mx 4 00 PM 于是，于是， ; 5 4| 1 sin 0 00 OP PM OP MPy y yMP 3 0 OM xOM OMP 00P OM ; 5 3 1 cos 0 0 OP OM OP OMx x 3 4 cos sin tan x y 4, 3 0 P 0 M O y x M yxP , 11 青苗輔導(dǎo)1 設(shè)角設(shè)角 是一個任意角，是一個任意角， 是終邊上的任意一點，是終邊上的任意一點， 點點 與原點的距離與原點的距離 ),( yxP 0 22 yxrP 那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 r y r y sin 叫做叫做

8、 的余弦，即的余弦，即 r x r x cos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 x y 0tanx x y 任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關(guān)，而與點有關(guān)，而與點 在角的在角的 終邊上的位置無關(guān)終邊上的位置無關(guān). P 12 青苗輔導(dǎo)1 13512 2 2 22 yxr 13 12 cos r x 12 5 tan x y 13 5 sin r y 于是于是， 練習練習 1、已知角、已知角 的終邊過點的終邊過點 ， 求求 的三個三角函數(shù)值的三個三角函數(shù)值. 5 ,12P 解：由已知可得：解：由已知可得： 13 青苗輔導(dǎo)1 2P15 ,8aa、已知角 的終邊上一點aR且a0 ，

9、sin,cos ,tan求角 的的值. -15 ,8 ,xa ya解：由于 22 158170raaa a所以 1017 ,ara若則于是 88151588 sin,cos,tan 171717171515 aaa aaa 20-17 ,ara若則于是 88151588 sin,cos,tan 171717171515 aaa aaa 14 青苗輔導(dǎo)1 32sin ,cos ,tan.yx、已知角 的終邊在直線上，求角 的的值 1解： 當角 的終邊在第一象限時， 22 1,2125在角 的終邊上取點，則r= 225152 sin,cos, tan2 55155 2當角的終邊在第三象限時， 22

10、 1, 2125r 在角的終邊上取點，則 22 5152 sin,cos,tan2 55155 15 青苗輔導(dǎo)1 1.根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域 （弧度制）（弧度制） 三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域 sin cos tan R )( 2 Zkk 2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號確定三角函數(shù)值在各象限的符號 y x o sin y x o cos y x o tan +（ ）（ ） （ ）（ ） （ ） （ ）（ ）（ ）（ ） （ ） （ ） R + - +- - + +- + - 16 青苗輔導(dǎo)1 例例3 求證：當且僅當下列不等式組成立時，求證：當

11、且僅當下列不等式組成立時， 角角 為第三象限角為第三象限角. 0tan 0sin 證明：證明： 因為式因為式 成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的非正半軸上； 0sin 又因為式又因為式 成立，所以角成立，所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于 第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因為式都成立，所以角因為式都成立，所以角 的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限. 于是角于是角 為第三象限角為第三象限角. 反過來請同學們自己證明反過來請同學們自己證明. 17 青苗輔導(dǎo)1 如果兩個角的終邊相同，

12、那么這兩個角的如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的 同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？ 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一） tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( k k k 其中其中 zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為 求求 角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值 .360020到或到 ？ 18 青苗輔導(dǎo)1 例例4 確定下列三角函數(shù)值的符號：確定下列三角函數(shù)值的符號： （1） （2） （3） 解：解： 250cos)672tan( 4 sin （1）因為）

13、因為 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos （2）因為）因為 = ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ； )672tan(48tan)360248tan( 0)672tan(48 練習練習 確定下列三角函數(shù)值的符號確定下列三角函數(shù)值的符號 5 16 cos ) 3 4 sin( ) 8 17 tan( （3）因為）因為 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 . 4 0 4 sin 19 青苗輔導(dǎo)1 例例5 求下列三角函數(shù)值：求下列三角函數(shù)值： （1） （2） 4 9 cos ) 6 11 tan( 解：（解：（1） 2 2 4 cos)2 4 cos( 4 9 cos 練習練習 求下列三角函數(shù)值求下列三角函數(shù)值 3 19 tan ) 4 31 tan( 31 3 3 6 tan 6 tan)2 6 tan() 6 11 tan( （2） 20 青苗輔導(dǎo)1 117119 cossintan 363 練習：求值 117119 cossintan 363 解： cos4sin12tan 6 363 cossintan 363 11 313 22 21 青苗輔導(dǎo)1 1. 內(nèi)容總結(jié)：內(nèi)容總結(jié)： 三角函