經(jīng)典__初中數(shù)學(xué)三角形專題訓(xùn)練及例題解析

1、知識點梳理考點一、三角形1、三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角 形.2、三角形的分類.三角形（按角分），銳角三角形不等邊三角形直角三角形 三角形,鈍角三角形（按邊分）|、等腰三角形（等邊三角形）3、三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.4、三角形的重要線段三角形的中線：頂點與對邊中點的連線，三條中線交點叫重心三角形的角平分線：內(nèi)角平分線與對邊相交，頂點和交點間的線段，三個角的角平分線 的交點叫內(nèi)心三角形的高：頂點向?qū)呑鞔咕€，頂點和垂足間的線段.三條高的交點叫垂心（分銳角 三角形,鈍角三角形和直角三角形的交點的位置不同）

2、5、三角形具有穩(wěn)定性6、三角形的內(nèi)角和定理及性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角和等于180 .推論1:直角三角形的兩個銳角互補。推論2:三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和。推論3:三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。7、多邊形的外角和恒為36008、多邊形及多邊形的對角線正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.凸凹多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，若整個圖形都在這條直線的同 一側(cè)，這樣的多邊形稱為凸多邊形；,若整個多邊形不都在這條直線的同一側(cè)，稱這樣的多邊 形為凹多邊形。多邊形的對角線的條數(shù)：a.從n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線，將多邊形分成（n-2）個

3、三角形。b.n邊形共有 皿二3）條對角線。29、邊形的內(nèi)角和公式及外角和多邊形的內(nèi)角和等于（n-2） x 1800 （n3）0多邊形的外角和等于3600 o10、平面鑲嵌及平面鑲嵌的條件。平面鑲嵌：用形狀相同或不同的圖形封閉平面，把平面的一部分既無縫隙，又不重疊第1頁地全部覆蓋平面鑲嵌的條件：有公共頂點、公共邊；在一個頂點處各多邊形的內(nèi)角和為360?？键c二、全等三角形1、全等三角形的概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：(1)邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成“邊角邊”或 “sas”)(2)角邊角定理：有兩角和它們的

4、夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成“角邊角”或 “asa”)(3)邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成“邊邊邊”或sss)。直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有 hl定理(斜邊、直角邊定理)：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(可簡寫成“斜邊、直角邊”或“hl”)3、全等變換只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：(1)平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。(2)對稱變換：將圖形沿某直線翻折 180 ,這種變換叫做對稱變換。(3)旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，

5、這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。 考點三、等腰三角形1、等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個底角相等(簡稱：等邊對等角)推論1:等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、 底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2:等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60。2、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。(1)三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。(2)要會區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系

6、：可以證明線段的倍分關(guān)系。常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1:三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2:三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結(jié)論3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結(jié)論4:三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。 考點四、直角三角形1、直角三角形的兩個銳角互余2、在直角三角形中，300角所對的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4直角三角形兩直角邊a, b的平方和等于斜邊c的平方, 即 a2 b2 = c25、攝影定理

7、在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是 它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項/acb=90 - cd2 =ad .bd=ac2 =ad *abcd!ab -bc2 =bd .ab6、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得:ab*cd=acbc經(jīng)典例題解析：例1.如圖，bp平分/ fbc cp平分/ ecb /a=40求/ bpc的度數(shù) 分析：可以利用三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求解。1 . 一1解：= / 1 = -(. a . 4). 2 =一(. a 3)22v . bpc =180 -(- 1 . 2). a =4011-bpc =180 - a 4) a

8、 3 .221= 180 -1 180 40=70例2.如圖，求/ a+/ c+/ 3+/f的度數(shù)。分析：由已知/ b=30 , / g=80 , /bdf=130 ,利用四邊形內(nèi)角和，求出 /3的度數(shù)，再計算要求的值。解：:四邊形內(nèi)角和為(4-2) x 180 =360 / 3=360 -30 -80 0 -130 =120又:/ a /c /f是三角形的內(nèi)角/a+/ c+/ f+/ 3=180 +120 =300例3.已知一個多邊形的每個外角都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的 1,求這個多邊形的邊數(shù)。4分析：每一個外角的度數(shù)都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的1 ,而每個外角與其相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之和4為 180 。解：

9、設(shè)此多邊形的外角為x,則內(nèi)角的度數(shù)為4x貝u x + 4 x = 180 。解得 x = 36。5物360c二邊數(shù) n = = 1036即這個多邊形的邊數(shù)為10例4.用正三角形、正方形和正六邊形能否進行鑲嵌？分析：可以進行鑲嵌的條件是：一個頂點處各個內(nèi)角和為360。解：正三角形的內(nèi)角為60正方形的內(nèi)角為90正六邊形的內(nèi)角為120可以鑲嵌。一個頂點處有1個正三角形、2個正方形和1個正六邊形例 5.如圖，在 abc中，/acb=60 , / bac=75 , adl bc于 d, bh ac于 e, ad與 be交 于 h,則/ chd=解：在 abc中，三邊的高交于一點，所以 cnab,/|./

10、bac=75 ,且 cfab, . ./acf=15 ,. / acb=60 , a / bcf=45在cdhfr,三內(nèi)角之和為180 ,了之二丁. / chd=45 ,故答案為/ chd=45 .點評：考查三角形中，三條邊的高交于一點，且內(nèi)角和為180 .例6.如圖，ad am ah分別abc勺角平分線、中線和高.1/2(1)因為ad是 abc的角平分線，所以/= /=/ ；(2)因為am是4abc的中線，所以 =；(3)因為ah是4abc的高，所以/= /=90 .分析：(1)根據(jù)三角形角平分線的定義知：角平分線平分該角(2)根據(jù)三角形的中線的定義知：中線平分該中線所在的線段;(3)根據(jù)三

11、角形的高的定義知，高與高所在的直線垂直.解答：解：(1);ad是 abc的角平分線， ./badw cad=1/2z bac(2):am是 abc的中線， .bm=cm=1/2b c(3) ah 是 4abc的高，a ahi bg ./ahbw ahc=90 ;故答案是：(1) bad cad bac (2) bm cm bq (3) ahb ahc例 8 .如圖，ap平分 / bacc bc于點 p, /abc=90 ,且 pb=3cm ac=8cm 則aapc的面積是cm 2.解：ap 平分 / bac 交 bc 于點 p, /abc=90 , pb=3cm,點 p 到ac的距離等于3,.

12、 ac=8cm , . apc 的面積=8x 3 + 2=12cm2 .例9.已知：點p是等邊/abc內(nèi)的一點，/ bpc=150 , pb = 2, pc=3,求pa的長分析：將，bap繞點b順時針方向旋轉(zhuǎn)60至/bcd,即可證得，bpd為等邊三角形, /pcd為直角三角形。解：bc=ba,.將，bap繞點b順時針方向旋轉(zhuǎn)60 ,使ba與bc重合，得，bcd,連結(jié)pd。 .bd = bp = 2, pa=dc。/bpd 是等邊三角形。 . / bpd = 60 。 ./dpc=/bpc/ bpd=150 60 =90。 dc= jpd2 +pc2 =j22 +32 =43. . . pa=d

13、c= vit。例10.兩個全等的含30o, 60o角的三角板ade和abc如圖所示放置，e, a, c三點在一條 直線上，連接bd,取bd的中點m,連結(jié)me, mc。試判斷 emc是什么樣的三角形，并 說明理由。分析：判斷一個三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個問題：嘗試去證明 em = mc,要證線段相等可以尋找全等三角形來 解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個三角形。這時思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個新 問題：如何構(gòu)造一對全等三角形？根據(jù)已知點 m是直角三角形斜邊的中點，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點是斜邊的一半，得： md = mb =

14、ma。連結(jié)m a后，可以證明 mde mac。丁. / dab = 90o答：4emc是等腰直角三角形。證明：連接am,由題意得，de = ac, ad = ab, / dae+/ bac = 90o。 . dab為等腰直角三角形。又= md = mb, .ma=md = mb, amxdb, /mad = /m ab = 45o。 ./mde = /mac = 105o, / dma = 90o。.mdeamaco ./dme = /amc, me = mc。 又/ dme+z ema = 90o, /amc+/ ema = 90o。.mcxemo . emc是等腰直角三角形。說明：構(gòu)造全等

15、三角形是解決這個問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進行的呢？對條件 的充分認識和對知識點的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或 轉(zhuǎn)化思維的角度。會轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情 境也是考題的一個熱點。例11.如圖，等腰直角三角形 abc中，/acb = 90 于 e.求證/ cda=/ edb.提示：作 cflab于 f,則/acf=45 ,在4abc 中，/acb = 90 , cexad,于是，由/acg=/b = 45 , ab=ac , 且易證/ 1 = /2,由此得 agcaceb (asa).再由 cd = db, cg=be, /

16、gcd = /b, 又可得cgdbed (sas),則可證/ cda=/ edb.,ad為腰cb上的中線，celad交ab例 12.如圖，aabc 中，/1 = /2, /3=/4, /5=/6. / a= 60 .求 / ecf、/ fec 的 度數(shù).略解：因為/a=60 ,一,1cc所以 /2+/ 3= (180 -60 ) = 602又因為b、c、d是直線，所以 z4+ /5=90 ;于是 / fec=/2+/3 = 60 , /fce=/4+/5=90 ,/fec=60 .ce是角平分線，和高 ad相交于f,作fg / bc交ab例 13.在 rtabc 中，/a=90 于g,求證：a

17、e=bg.略解：作ehxbct h,由于e是角平分線上的點，可證 ae=eh ;第8頁且又由 /aec=/ b+z ecb=/ cad+/ eca= / afe 可證ae = af,于是由 af=eh, / afg = /ehb = 90 , /b=/agf.可得 aafgaehb;所以ag=eb,即 ae+eg=bg + ge,所以ae=bg.反饋練習(xí)1 .如圖，ad是abc勺中線，如果 abc勺面積是18cm2,則adc勺面 積是 cm 2.2 .如圖，abc, /abcw bac=45，點 p 在 ab上，adl cp； bex cp； 垂足分別為d, e,已知dc=2貝u be=.3

18、. (2009?宜賓)已知：如圖，四邊形 abc此菱形，過ab的中點e作ac的垂線ef,交ad于點m交cd的延長線于點f.(1)則 am dm;4.已知br ce是4abc的兩條高，m (1)線段em dm勺大小有什么關(guān)系？ (2)線段mnw de的位置有什么關(guān)系？n分別為bg de的中點，勇敢猜一猜:em dm;(2)若df=2則菱形abcd勺周長為5.如圖，一塊長方體磚寬 an=5cm長nd=10cm cd上的點b距地面的高bd=8cm地面上a 處的一只螞蟻到b處吃食，需要爬行的最短路徑是cm .第17頁6、已知：如圖， p是正方形 abcd內(nèi)點，/ pad=z pda = 15.求證：

19、pbc是正三角形.7、已知：p是邊長為1的正方形 abcd內(nèi)的一點，求 pa+pb+pc的最小值.三角形中作輔助線的常用方法舉例常見輔助線的作法有以下幾種：1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的 “對折”.2）遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” .3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.4）過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移

20、”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5）截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是 之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、 倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答.一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊 構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證 明，如：例1:已知如圖1-1: d e為 abc內(nèi)兩點，求證:ab+ac ba d曰ce.證明：（法一）將d

21、e兩邊延長分別交 ar ac于m n,在amn, am an md+ d曰 ne; （1）在bdmfr, m即 md bd;（2）在acen中,cw ne ce;（3）由（1） + （ 2） + （ 3）得：am + an+ mb m cw ne mm d曰 ne+ bd+ ceab+ ac bd+ d曰 ec（法二：）如圖1-2 , 延長bd交ac于f,延長 ce交bf于g, 在 abfa gfc gde中有：ab + af bd + do gf （三角形兩邊之和大于第三邊）（1）gf +fc g曰 ce （同上）（2）dg +ge de （同上）（3）由（1） + （ 2） + （ 3）得

22、：ab +af+ gf+ fc+ dg ge bd+ dg gf+ g曰 c斗 deab+ ac bd+ d曰 eg二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩 點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個 三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖 2-1 :已知 d為 abc內(nèi)的任一點，求證：/ bd6/ bac置； 外角,西 因為/ bdc與/ bac不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構(gòu)造新的三 角形，使/ bdcm于在外角的位置，/bac處于在內(nèi)角的位證法一：延長bd交ac于點e,這日bd bdc e

23、dc勺bdo / dec 同理/ deo / bagbdo / bac證法二：連接 ad,并延長交bc于f/ bdfa abd的外角bdf / bad 同理，c cdf / cadbd斗 / cdf / ba* / cad即：/ bdo / bac大角放在某三角注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如例如：如圖 3-1:已知 ad為4abc的中線，且/ 1 = / 2, / 3=/4,求證：be+ cf er亙要證 be+ cf ef ,可利用三角形三邊關(guān)

24、系定理證明，須把be, cf, ef移到同一個三角形中，而由已知/ 1 = z2, z3 = z4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把en fn ef移到同一個三角形中。證明：在da上截取 dn= db,連接ne, nf,則dn= dc；在 dbea dne中：dn = db （輔助線的作法）；n1 =/2（已知）ed = ed （公共邊）.db珞 dne （sasbe= ne （全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：cf= nf在 efn中en+ fn ef （三角形兩邊之和大于第三 .be+ cf ef。注意：當證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三

25、角形，然后用全 等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形例如：如圖 4-1 : ad為4abc的中線，且/ 1 = /2, / 3= / 4,求證：be+ cf ef證明：延長ed至m,使dm=de連接cm mf。在 bde和cdmfr, bd =cd（中點的定義） jz1 =ncdm （對頂角相等）ed=md （輔助線的作法）.bd acdm （sas 又 /1 = / 2, / 3=7 4 （已知）/1 + /2+/3+/4= 180 （平角的定義）z3+z 2=90即：/edf= 90/fdm= / edf =90在 edfa md

26、沖ed =md （輔助線的作法）/edf /fdm （已證）df=df （公共邊） ed障 mdf （ sa9ef= mf （全等三角形對應(yīng)邊相等）在 cm沖，cf+ cm mf （三角形兩邊之和大于第三邊）be+ cf ef注：上題也可加倍 fd,證法同上。三當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題 中分酸標件集中。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 5-1 : ad為 abc的中線，求證： ab+ ao 2ad分析要證 ab+ ao 2ad,由圖想至u： ab + bd ad,ac+ cd ar 所以有 ab+ ao bd

27、+ cd ad+ad= 2a口左邊比要證結(jié)論多 bd+ cd故不能直接證出此題，而由 把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。證明：延長ad至e,使de=ad連接be,則ae= 2ad.ad為 abc的中線（已知） .bd= cd （中線定義）在 ac的 4ebd中bd =cd（已證）/adc =/edb（對頂角相等）、ad =ed（輔助線的作法） .ac里 ebd （sasbe= ca （全等三角形對應(yīng)邊相等） 在 abe中有：ab+ be ae （三角形兩邊之和大于第三邊）ab+ ao 2ad,2ad即加倍中線,e圖5 -12ad想到要構(gòu)造練習(xí)：已知 abc ad是bc邊上的中線，分別以 a

28、b 邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2,求證ef= 2a以 六、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1:在 abc中，ab ac, /1 = / 點。求證：ab- ac pb- pg|分析|要證：ab- ac pb- pc,想到利用三角形三邊 為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想 ac,故可在 ab上截取an等于ac,彳導(dǎo)ab- ac= bn 再 pn 又在 pnb中，pb- pn pb- pc=e2, p為ad上任bd c圖5 -2邊、ac邊為直角關(guān)系定理證之，因 到構(gòu)造第三邊 ab 連接pn,則pc=（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）證明：（補短法）延長 ac至m 使

29、 am ab,連接 pm證明：（截長法）在ab上截取 an= ac連接pn , 在 apn和 apc中an = ac（輔助線的作法）.1/1 =/2（已知）ap =ap（公共邊） .apn apc （sas .pc= pn （全等三角形對應(yīng)邊相等） 在4bpn中，有pb-pn pm- pc（三角形兩邊之差小于第三邊 ）ab- ao pb- pg七、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖 7-1 :已知 ac= bd, adac于a,bc bd于 b, 求證：ad= bc分析：欲證 ad= bc,先證分別含有 aq bc的三角形全等，有幾種方案： adci bcd aoda boc abd與abac但

30、根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角 作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長 da cb它們的延長交于 e點，ad ac bc bd （已知）丁./ cae= / dbe =90（垂直的定義）在 口8與4 cae中.e =/e（公共角）；zdbe .cae（已證）bd =ac（已知）. .db acae （aas）ed= ec eb=ea （全等三角形對應(yīng)邊相等）ed- ea= ec- eb即：ad= bgoeba（當條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。c 圖7 -1）八、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖

31、 8-1 : ab/ cd ad/ bc求證：ab=cd分析：甲為四邊形,我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接ac （或bd） . ab/ cd ad/ bc （已知），/1 = /2, /3=/4 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在abd cda中.1 2（已證）ac =ca（公共邊）1/3 =. 4（已證）. .abe acda （asa） .ab= cd （全等三角形對應(yīng)邊相等）圖8 -1九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖 9-1 :在 rtabc中，ab= ag / bac= 90 , / 1 = /2, ce! bd的延長于 e 。求證：bd= 2ce分析 要證bd= 2ce,想到要構(gòu)造線段 2ce同時ce與/ abc的平分線垂直，想到將其延長。證明：分別延長 ba, ce交于點f。.bex cf （已知）