第5章A 應力莫爾圓(2014)

1、9.3 為什么叫莫爾圓為什么叫莫爾圓 ( ？ 首先由首先由Otto （1835-1918）提出）提出 ( 又是一位工程師又是一位工程師) 來由來由 一點無窮多個微元上的應力一點無窮多個微元上的應力 能否在一張圖上表示？能否在一張圖上表示？ 或者說，或者說， a s a 把把a a看成參數(shù)，看成參數(shù)，能否找到能否找到 與與 的函數(shù)關系？的函數(shù)關系？ aa ss aa ssss s a a 2cos2sin 2 2sin2cos 22 xy yx xy yxyx 2 2 2 2 22 xy yxyx ss ss s aa 往下是關鍵的一步往下是關鍵的一步-平方和相加，得平方和相加，得 一、斜截面應

2、力一、斜截面應力 y 0 s sy xy s sx s sa a a a a a x n s sx xy s sy x y O 在在 - - 坐標系中，坐標系中， 與與 落在一個圓上落在一個圓上 （應力圓應力圓 或或 莫爾圓莫爾圓） a s a a s a 圓心？圓心？ 半徑？半徑？)0 , 2 ( yx ss 2 2 2 xy yx R ss 二、應力圓的畫法二、應力圓的畫法 第一種畫法第一種畫法 （1）在）在s sa a軸上作出軸上作出 A0(s sx,0), B0(s sy,0) （2） A0, B0的中點為圓心的中點為圓心C （3）過）過A0垂直向上取垂直向上取 xy 得得 A， CA

3、為半徑為半徑 0 s sa a a a C A0 B0 A B y s x s （4）以）以C 為圓心、為圓心、CA為半徑為半徑 畫圓畫圓 第二種畫法第二種畫法 （1 1）坐標系內(nèi)畫出點坐標系內(nèi)畫出點 A( (s s x， xy) B (s sy， yx) （2 2） AB與與s sa a 軸的軸的 交點交點C是圓心是圓心 （3 3） 以以 C 為圓心為圓心 以以AC為半徑為半徑 畫畫 圓圓 應力圓應力圓 或或 莫爾圓莫爾圓 s sx xy s sy x y O n s sa a a a a a A(s sx , xy) O s sa a a a C B(s sy , yx) x 2a a n

4、 D( s sa a , a a) ) 以上由單元體公式以上由單元體公式 應力圓（原變換）應力圓（原變換） 下面尋求：下面尋求： 由應力圓由應力圓 單元體公式（逆變換）單元體公式（逆變換） 只有這樣，應力圓才能與公式等價只有這樣，應力圓才能與公式等價 換句話，單元體與應力圓是否有一一對應關系？換句話，單元體與應力圓是否有一一對應關系？ 為什么說有這種對應關系？為什么說有這種對應關系？ a a a a a a s ss s a aa aa aa a a aa aa aa a 22 2 2222 2222180 00 00 cossin cos)cosR(sin)cosR( )sin(R)(sin

5、RDE xy yx o a a s sa a a a s ss ss ss s a aa aa aa a s ss s a aa a s ss s a aa a s ss s 22 22 2222 2 22 2 22180 2 00 0 0 sincos )sinsincos(cosR )cos(R )(cosR ECOCOE xy yxyx yx yx oyx 0 s sa a a a C A(s sx , xy) B(s sy , yx) x 2a a n D( s sa a , a a) ) E 2a a0 0 單元體與應力圓的對應關系單元體與應力圓的對應關系 （1 1）單元體的右側(cè)立面

6、）單元體的右側(cè)立面 應力圓的應力圓的 A A 點（點（2 2a a 0 ） （2 2）斜截）斜截面和面和應力應力( (s s a a ， a a) 應力圓上一點應力圓上一點 D D 點點 和坐標和坐標( (s s a a ， a a) （3 3）單元體上夾角單元體上夾角a a 應力圓上應力圓上 CA 與與 CD 夾角夾角 2a a 且轉(zhuǎn)向一致且轉(zhuǎn)向一致 s sx xy s sy x y O n s sa a a a a a O s sa a a a C A(s sx , xy) B(s sy , yx) x 2a a n D( s sa a , a a) ) 2a a0 0 （4 4）主）主單

7、元體上單元體上s s 1所在面法向所在面法向 是由是由x x 軸軸逆時針轉(zhuǎn)逆時針轉(zhuǎn) a a 0 s s a a 軸上應力圓最右端軸上應力圓最右端 22 3 1 22 xy yxyx R OC s ss ss ss s s s s s ）（ 半徑半徑 四、應力極值四、應力極值 22 min max 2 xy yx R ss ）（ 半徑 A(s sx , xy) max C O s sa a a a B(s sy , yx) x 2a a1 1 min 2a a0 0 s s1s s2s s3 五、平面應力狀態(tài)的分析方法五、平面應力狀態(tài)的分析方法 1 1、解析法、解析法 精確、公式不好記精確、公式

8、不好記 7 7個個 一般公式一般公式2 2個（正、切應力），極值應力個（正、切應力），極值應力5 5個個 （極大與極小正應力，極大與極小切應力，（極大與極小正應力，極大與極小切應力， 主單元體方位角）主單元體方位角） 2 2、圖解法、圖解法 不必記公式、數(shù)值不精確不必記公式、數(shù)值不精確 有沒有有沒有 集二者優(yōu)點集二者優(yōu)點、避二者缺點避二者缺點 的方法的方法 ？ 我提出了這種方法我提出了這種方法 3 3、圖算法、圖算法 前半部前半部 畫莫爾圓畫莫爾圓 后半部后半部 看圖精確計算看圖精確計算 30080 s ss s , , yx 例例 單元體上應力如圖，求出主應力，畫出主單元體單元體上應力如圖，

9、求出主應力，畫出主單元體 30 80 單位：單位：MPa 80 30 s 1 s s3 s s O A (80, 30)80, 30) B C x s s y s s D 1、取、取 的中點的中點C為圓心為圓心 yx ,s ss s 以以 AC 為半徑畫莫爾圓為半徑畫莫爾圓 2、算出心標、算出心標 0C = -40，半徑，半徑 3、算出主應力、切應力極值、算出主應力、切應力極值 50 22 DCADACR 4、算出方位角、算出方位角 MPa MPa RC 90 10 0 3 1 s s s s MPaR - minmax 50 5、畫出主單元體、畫出主單元體 （1）A點對應于右垂面點對應于右垂

10、面 （2）右垂面逆時針轉(zhuǎn)）右垂面逆時針轉(zhuǎn) s 1 s s3 s s O A (80, 30)80, 30) B C x s s y s s D o a a2 5771 2 8636180 8636 0 . . . DC AD tg arcACD a a 30 80 單位：單位：MPa 80 2 s s 1 s s o a a 得主單元體的最大得主單元體的最大 拉應力所在的面拉應力所在的面 （3）垂直做主單元體的）垂直做主單元體的 另一個面另一個面 o a a 例例 求圖示單元體的主應力及主平面的位置求圖示單元體的主應力及主平面的位置 (單位：單位：MPa) 解：解： (1)(1)主應力坐標系如

11、圖主應力坐標系如圖 (3)(3)AB的垂直平分線與的垂直平分線與s sa a 軸的交點 軸的交點 C 即即是圓心，是圓心， 以以 C 為圓心，以為圓心，以 AC為為 半徑畫圓半徑畫圓 應力圓應力圓 )325,45(B )325,95(A (2)(2)在在坐標系內(nèi)畫出點坐標系內(nèi)畫出點 s s 1 s s2 a a0 45 325 325 95 150 s s3 s s1s s2 B A C s sa a a a (MPa) (MPa) O 20MPa 0 2a a (4)(4)按按圖計算圖計算 心標心標 和和 半徑半徑 OC OC = (= (A A 橫坐標橫坐標 + + B B 橫坐標橫坐標)

12、/2)/2 = 70 = 70 0 20 120 3 2 1 s s s s s s ROC ROC 60 2 0 FC AF tg arca a 45 325 325 95 150 s s 1 a0 s s2 A B (5)(5)計算計算主應力主應力及及方位角方位角 50 22 DCADACR s s3 s s1s s2 BA C s sa a a a (MPa) (MPa) O 20MPa 0 2a a E D F 30 0 a a (6)(6)在在圖上畫圖上畫主單元體主單元體、主應力主應力 9.4 梁的主應力及其主應力跡線梁的主應力及其主應力跡線 z z xy Ib QS z x I M

13、y s 梁發(fā)生橫力彎曲，梁發(fā)生橫力彎曲， M與與Q 0，試確定截面上，試確定截面上 各點主應力大小及主平面各點主應力大小及主平面 位置位置 單元體上：單元體上： 22 3 1 22 xy xx ss s s ）（ q s s1 1 5 5 s s3 3 1 1 s s3 3 s s1 1 3 3 45 2 2 s s1 1 s s3 3 a0 s s3 3 4 4 s s1 1 a0 s s A1A2D2D1 CO A2 s s D2 D1 C A1 O 2a0 D2 s s D1 C D1 O 2a0= 90 s s D2 A1 O 2a0 C D1 A2 s s A2D2D1 C A1 O

14、 主應力跡線（主應力跡線（Stress Trajectories) ) 主應力方向線的包絡線主應力方向線的包絡線 曲線上每一點的切線曲線上每一點的切線 都指示著該點的主拉應力（或主壓應力）方位都指示著該點的主拉應力（或主壓應力）方位 實線表示主拉應力跡線實線表示主拉應力跡線 虛線表示主壓應力跡線虛線表示主壓應力跡線 主應力跡線的畫法主應力跡線的畫法 x y 1 1 截截 面面 2 2 截截 面面 3 3 截截 面面 4 4 截截 面面 i i 截截 面面 n n 截截 面面 b a c d q s s1 s s3 s s3 s s1 9.5 三向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)應力圓法應力圓法 x y z

15、 s s2 s s1 s s3 1 s2 s 3 s a s a 1 1、空間應力狀態(tài)、空間應力狀態(tài) 2 2、三向應力分析、三向應力分析 （1 1）彈性理論證明，圖彈性理論證明，圖 a 單元體內(nèi)任意一點任意截面上單元體內(nèi)任意一點任意截面上 的應力都對應著圖的應力都對應著圖 b 的應力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點的應力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點 （2 2）整個單元體內(nèi)的最大剪應力為整個單元體內(nèi)的最大剪應力為 2 31 max ss s s1 x y z 圖圖a s s2 s s3 圖圖b max 1 s2 s 3 s a s a 例例 求圖示單元體的主應力和最大剪應力（求圖示單元體的主應力和最大剪應力（MPa

16、） 解：解： (1)(1)由上圖知由上圖知 y z面為主面為主 面之一面之一50 1 s （2 2）建立應力坐標建立應力坐標 系，畫應力圓系，畫應力圓 27 50 58 3 12 1 s s s ss s s s 44 max x y z 5040 30 A B C (M Pa) s sa a （M Pa ） a a s s1s s2s s3 max 復雜應力狀態(tài)下的單元體的變形復雜應力狀態(tài)下的單元體的變形 ） 一、單拉下的本構關系一、單拉下的本構關系 E x x s xy E s s xz E s s 二、純剪的本構關系二、純剪的本構關系 G xy xy )x,y,zi,j ( ij 0 )

17、x,y,zi ( i 0 0 zxyz x y z s sx x y z x y 三、復雜狀態(tài)下的本構關系三、復雜狀態(tài)下的本構關系 依疊加原理依疊加原理, ,得得 ) zyx z y x x E EEE sss s s s 1 ) xzyy E sss 1 ) yxzz E sss 1 G xy xy G yz yz G zx zx ) zyxx E sss 1 x y z s sz s sy xy s sx 主單元體本構關系主單元體本構關系 四、平面狀態(tài)下的應力四、平面狀態(tài)下的應力-應變關系應變關系 0 zxyzz s ) 1322 1 sss E ) 1233 1 sss E ) 3211

18、 1 sss E yxx E s 2 1 xyxy G xyy E s 2 1 s s1 s s3 s s2 用用 應力應力 表示表示 應變應變 的本構關系的本構關系 ) 12 E G 五、體積應變與應力分量間的關系五、體積應變與應力分量間的關系 dz dy dxV )(dz dy dx )(dz)(dy)(dxV 321 3211 1 111 321 1 V VV 體積應變：體積應變： )( 21 )( 21 321 zyx E E sss sss 代入本構關系，得到代入本構關系，得到 體積應變與應力分量間的關系體積應變與應力分量間的關系: : s s1 s s3 s s2 dx dz dy

19、 例例 構件表面上某點的兩個面內(nèi)主應變?yōu)闃嫾砻嫔夏滁c的兩個面內(nèi)主應變?yōu)?1=240 10-6 2= 160 10-6， E=210GPa， =0.3， 求該點的求該點的 主應力及另一主應變主應力及另一主應變 0 3 s s自由面上自由面上解解 : MPa.).( . E 3441016030240 301 10210 1 6 2 9 21 2 1 s s 故為平面應力狀態(tài)故為平面應力狀態(tài) MPa.).( . E 3201024030160 301 10210 1 6 2 9 12 2 2 s s 1 s 2 s ) 6 6 9 1322 10334 10344320 10210 30 1 .

20、 ).( . E s ss s s s MPa. MPa. 320 0 344 3 2 1 s s s s s s 例例 為測量薄壁容器所承受的內(nèi)壓力為測量薄壁容器所承受的內(nèi)壓力，用電阻應變片，用電阻應變片 測得容器表面環(huán)向應變測得容器表面環(huán)向應變 t = =350l06；容器平均直徑；容器平均直徑 D = 500 mm，壁厚，壁厚 =10 mm，E =210GPa， =0.25 求：求： 1.1.橫截面和縱截面上的正應力表達式橫截面和縱截面上的正應力表達式 2.2.內(nèi)壓力內(nèi)壓力 p p p x s s1 1 s sm l p O D x AB y 1 1、軸向應力、軸向應力( L( Long

21、itudinal stress) ) 解：容器的環(huán)向和縱向應力表達式解：容器的環(huán)向和縱向應力表達式 容器截開后受力如圖所示容器截開后受力如圖所示, ,據(jù)平衡方程據(jù)平衡方程 )4 2 DpD m s s s 4 pD m p s sm s sm x D 縱截面將容器截開后受力縱截面將容器截開后受力 2 2、環(huán)向應力、環(huán)向應力( (Hoop stress) ) )Dlpl t s2 s 2 pD t 3 3、內(nèi)壓（以應力應變關系求之）、內(nèi)壓（以應力應變關系求之） ss2 4 1 E pD E mtt MPa. ).(. . )(D E p t 363 250250 10350010102104 2

22、 4 69 s st s sm 外表面外表面 y p s s ts s t D q q dq q )d 2 (qDlp z O 9.7 9.7 變形位能變形位能 332211 2 1 2 1 2 1 sssu )( 3 1 321 ssss m s s2 s s3 s s 1 s s3 -s sm s s 1-s sm s s2-s sm )( E a321 21 s ss ss s ) 312321 2 3 2 2 2 1 2 2 1 sssssssss E s sm s sm s sm 為了剖析為了剖析變形位能變形位能同同體積變形體積變形和和 形狀形狀變形變形的關系的關系，引入引入 為什么？為什么？ 因因是體積應變是體積應變 按迭加原理得左圖按迭加原理得左圖 交互項交互項 應力迭加沒有交互項，位能迭加有應力迭加沒有交互項，位能迭加有 )( E a321 21 s ss ss s 0c因因 故第故第3 3項項 應力狀態(tài)應力狀態(tài)同同 體積應變體積應變 無關無關，只與，只與形狀變化形狀變化 有關，稱為有關，稱為 畸變畸變（或（或偏斜偏斜）應力應力 相