圓錐曲線定比弦的存在定理

1、圓錐曲線定比弦的存在定理圓錐曲線定比弦的存在定理摘要 本文研究了圓錐曲線中過定點并以此點為定比分點的弦的存在問題，給出了圓錐曲線中定比弦存在的較為一般的判定定理。關(guān)鍵詞 圓錐曲線 定點 中點弦 定比弦首先給出如下定義：定義 設(shè)P點為定點，T為圓錐曲線，AB是它的弦，若AB所在直線過P點，且被P點所分成的有向線段代數(shù)長之比（定值），則AB便叫做T的定比弦。當(dāng)時，定比弦即是中點弦。本文研究定比弦的存在定理，對此，我們有定理一 橢圓存在以P（）（x02+ y020）為分點，為定比的定比弦的充要條件是：（1）當(dāng)0時，（）b2x02+a2y02a2b2；（2）當(dāng)=0時，b2x02+a2y02=a2b2（

2、）（3）當(dāng)0時（-1），b2x02+a2y02（）證明：設(shè)A（x，y），則B（），則有b2x2+a2y2=a2b2b2（1+）x0-x2+a2（1+）y0-y2=a2b22（*）兩式相減，得b2（1+）2x02-2b2（1+）x0+a2（1+）2y02-2a2（1+）y0y-a2b2（2-1）=0（*）當(dāng)y00時，y=代入,并化簡得到：（）假設(shè)弦AB存在，則,所以上述方程有實根，從而0，對其化簡整理，得：0解此不等式，即得：（1）當(dāng)0時，（）b2x02+a2y02a2b2；（2）當(dāng)=0時，b2x02+a2y02=a2b2（3）當(dāng)0時（-1），b2x02+a2y02（）當(dāng)=0時，這時P點為（x0

3、，0）.由（*）得：x=又因，即即，由此得（1）當(dāng)0時，（）x02a2（2）當(dāng)=0時， x02=a2（3）當(dāng)0時，x02（）這個結(jié)論就是（）式中取的情形，故不管是否零，（）式總成立。（）反過來，若（）式成立，由于以上的推導(dǎo)過程可逆，因而以P（x0，y0）為分點，而以為定比的定比弦必存在。由于當(dāng)x0=0時，y0=0時P為橢圓的中心，此時相應(yīng)弦只能是中點弦，不能隨的改變而改變，且中點弦亦不唯一，故P點不能為橢圓的中心。綜上所述，可知定理一定成立。定理二 拋物線y2=2px（p0）存在以（x0，y0）為分點，以為定比的定比弦的充要條件是：（1）0（-1）時，（）0；（2）=0時， （） 證明：設(shè)A（

4、x，y），則B（），得 （* *）兩式相減得到： （* *）當(dāng)y00時，y=代入y2=2px，得（）設(shè)弦AB存在，則xR，方程有實根，0，對此化簡即得：（1）0（-1），（y02-2px0）0；（2）=0時，y02=2px0.當(dāng)y0=0時，這時P點為（x0，0）由（* *）得x0=x，又因y2=2py，所以y2=2px00，由此得，當(dāng)0時，x00，當(dāng)=0時，x0=0.這個結(jié)論就是（）式中取y0=0時的情形，故不管y0是否為零，（）式總成立。反過來，若（）式成立，由于以上推導(dǎo)過程可逆，因而以P（x0，y0）為分點，則以為定比的定比弦必存在.定理三 雙曲線存在以P（）（x02+y020）為分點，以

5、為定比的定比弦的充要條件是：（1）當(dāng)0時，b2x02-a2y02（）或b2x02-a2y02a2b2（2）當(dāng)=0時，b2x02-a2y02=a2b2 （）（3）當(dāng)0時，b2x02-a2y02（）或b2x02-a2y02a2b2.證明與前面類似.證明了定比弦的存在定理，中點弦的存在定理也就證明了，其相應(yīng)定理只需將上述定理中改為1即可，于是我們有下述推論：推論一 橢圓b2x02+a2y02= a2b2存在以P（x0，y0）（x02+y020）為中點的中點弦的充要條件是：b2x02+a2y02a2b2.（）推論二 拋物線y2=2px存在以P（x0，y0）為中點的中點弦的充要條件是：y022px0（）

6、推論三 雙曲線b2x2-a2y2=a2b2 存在以P（x0，y0）（x02+y020）為中點的中點弦的充要條件是b2x02-a2y02a2b2，或b2x02-a2y020 （）推論四 圓x2+y2=R2存在以P（x0，y0）（x02+y020）為中點的中點弦的充要條件是：x02+y02R2（）下面舉例定比弦存在定更換一些應(yīng)用舉例：例1 若橢圓4x2+9y2=36存在以P（x0，y0）為分點，以-2為定比的定比弦，求P點的存在范圍。解：由定理1知當(dāng)0（-1）時，橢圓b2x2+a2y2=a2b2存在以P（x0，y0）為分點，為定比的定比弦的充要條件是b2x02+a2y02（），將a2=9，b2=4

7、，=-2代入得364x02+9y02324，故P點在存在范圍是由橢圓4x2+9y2=36與4x2+9y2=324所夾的區(qū)域（含4x2+9y2=324）.例2 P（x0，y0）在何區(qū)域內(nèi)，雙曲線x2-4y2=4不存在以P（x0，y0）為分點，以-2為定比的定比弦？解：由定理三知，當(dāng)0（-1）時，雙曲線存在以P（）為分點，為定比的定比弦的充要條件是b2x02-a2y02（）或b2x02-a2y02a2b2，將a2=4,b2=1, =-2代入得x02-4y0236或x02-4y024，從P點所在區(qū)域就是x02-4y0236且x02-4y024，即雙曲線x2-4y2=36與x2-4y2=4，所夾的區(qū)域（含雙曲線x2-4y2=4）例3 過點P（1，2）作橢圓x2+4y2=4的弦AB，若P點分AB所成的線段比為，求的最大、最小值。解：P（1，2）為橢圓x2+4y2=4外的一點，P為外分點，從而0，于是由定理一，知該橢圓存在以P（1，2）為分點，為定比的定比弦的充要條件是4（）217，解此不等式，得：-1，-1-的最大值為-，的最小值為-，例4 過點A（1，1）的直線與雙曲線交于P1 、P2兩點，求線段P1 P2的中點P的軌跡方程。解：設(shè)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則有，兩式相減，并化簡得設(shè)P點坐標(biāo)為x，則上式化為2x-yk=0，k=，即為P1P2的斜率，直線L的方程為