淺談導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用

1、淺談導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用第3期(總16期)2005年9月河北能源職業(yè)技術(shù)學(xué)院J,urnalofHebeiergyInstituteofVocationandIochnolo.3(sIllT1NI1.I6)Sep.2005文章編號:16713974(2005)03008803淺談導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用施榮權(quán),孫紅明(泰州市電大靖江分校,江蘇靖江214500)摘要:在各類升學(xué)考試高等數(shù)學(xué)試卷中都涉及導(dǎo)數(shù)定義的題目,考生失分率高,主要原因是學(xué)生對導(dǎo)數(shù)定義不夠重視,對導(dǎo)數(shù)概念理解不夠透徹.本文對導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行剖析,將導(dǎo)數(shù)定義延拓并論證,結(jié)合例題突出對應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義求極限,求導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn),旨在幫助學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)定義及其

2、應(yīng)用.關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù)定義;求極限:計算導(dǎo)數(shù);抽象函數(shù)求導(dǎo)中圖分類號:0172文獻(xiàn)標(biāo)識碼:AElementaryIntroduction011theDefinitionandApplicationofDerivativeSHIRong?quanSUNHong?-mingAbstract:Thetidesaboutthedefinitionofderivativeareinvolvedin”AdvancedMathematics”papersofallkindsofentranceexam.Themainreasonwhyexamineeslosesomanymarksisthatthestuden

3、motingandarguingit;emphasizingthekeypointsinapplyingthedefinitionofderivativetocalculatelimitandderivativebyusingex-amples.eessaymainobjectiveistohe

4、lpstudentsmasterthedefinitionofderivativeanditsapplication.Keywords:thedefinitionofderivative;calculatelimit;calculatederivative;calculatederivativeinab-stractfunction近年來,在研究生,專升本,專轉(zhuǎn)本等人學(xué)考試試卷中經(jīng)常出現(xiàn)涉及導(dǎo)數(shù)定義(概念)的題目,統(tǒng)計資料反映考生這部分失分率較高,究其原因主要是學(xué)生對導(dǎo)數(shù)定義不太重視,導(dǎo)數(shù)概念理解不夠透徹,而導(dǎo)數(shù)定義在求極限,導(dǎo)數(shù)計算和證明中都是十分重要的.波里亞在怎樣解題一書中指出“回顧定義

5、”是一項重要的智力活動,面對一個數(shù)學(xué)問題,”如果我們只知道概念的定義,別無其他,我們就不得不回到定義.”本文就導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行剖析,結(jié)合例題對導(dǎo)數(shù)定義應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行探討,以期對學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用有所幫助.一,導(dǎo)數(shù)定義及其延拓限眾所周知,函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)()定義源于極原始定義:=lim(1)或=lim-c0)推論2:若)在及其鄰域內(nèi)可導(dǎo)()在.及其鄰域內(nèi)連續(xù),且當(dāng)a一0,一0,y一0時有一后,則有一kf.)(4)二,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義求極限應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義推論1和推論2可以很方便地求解一些特殊類型的極限例1:設(shè))在=.處可導(dǎo),求limnil(xO+)一f(.一音)錯解zm.+)一f(一)n+凡凡m圭令,.

6、f(xo+2t)一f(xot)=tml加f,.f(xo+2t)?2一f.一t)?(一1)“t-dr一l:3f(Xo)其中t一0z:o+2一.一一(o)t,:.一t_o_-_廠(0)分析上面解法有三處錯誤:其一本題是數(shù)列極限(變量變化過程不連續(xù))不能直接用羅必達(dá)法則;其二在處要求)在.的鄰域內(nèi)可導(dǎo),而題目僅給出了在點(diǎn).處可導(dǎo)的條件,因此不能用羅必達(dá)法則;其三在處利用了一階導(dǎo)數(shù)f)在.處的連續(xù)性,題目條件中也未給出.正解由定義式(2),1z,no+)一f(.一一)mf(x二f(x!二圭令o+三)一0一.:廣令:2:3f(.)或直接應(yīng)用推論l的(3)式求解一(一)?.?旦一31/1,?一limn.+

7、)一f(.一音):3f4-.)n一凡凡例2計算z呈_二tan分析直接用羅必達(dá)法則求解較繁,若直接應(yīng)用推論2的(4)式求解則很方便.解答設(shè)f(x):e則fO):1由(4)式原式:z:咖f<0)tan三zx-,tnO苧=:=:zm3.sinx1百三,利用導(dǎo)數(shù)定義計算導(dǎo)數(shù)通常情況下,初等函數(shù)求導(dǎo)可用求導(dǎo)公式或法則進(jìn)行計算.但在求某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)時,有時用導(dǎo)數(shù)公式或法則計算反而繁,沒有用導(dǎo)數(shù)定義計算快捷,有時某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不能通過導(dǎo)函數(shù)來求得,即未必成立,只能通過導(dǎo)數(shù)定義來計算.對分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)計算通常要用定義求解,有時在分析分段點(diǎn)的可導(dǎo)性時,可通過”可導(dǎo)必定連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo),不連續(xù)必定不可導(dǎo)”

8、來判定.特別注意:f,_(Xo):limf)=lim+f)以及f.):limf)不一定成立(僅當(dāng)f)在.點(diǎn)處左連續(xù),右連續(xù),連續(xù)時方可使用).例3設(shè)f():in,32一求f0)錯解用公式求導(dǎo)數(shù):):辱.s因為f)在:0點(diǎn)處無定義,所以f0)不?89.施榮權(quán)等:淺談導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用存在分析在=0點(diǎn)無定義,不能斷定fIO)就一定不存在.只能說明本題此方法不適用.事實上改用導(dǎo)數(shù)定義研究,f0)是存在的.正解由導(dǎo)數(shù)定義:)=慨迎:lim-x-xsin:lx+0X例4設(shè)):f手x則)在【x2x>1=1點(diǎn)處的()(A)左,右導(dǎo)數(shù)都存在(B)左導(dǎo)數(shù)存在,但右導(dǎo)數(shù)不存在(C)左導(dǎo)數(shù)不存在,但右導(dǎo)數(shù)不存在

9、(D)左,右導(dǎo)數(shù)都不存在錯解)=)=<lL二XXl廠_1)=lim一廠(x)=lim.一(2x)=2廠+1)=li+廠x)=lim+(2x)=2所以選擇(A)分析函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)必定連續(xù),不連續(xù)必定不可導(dǎo).本題f(X)在X=1點(diǎn)處左端連續(xù),而右端不連續(xù),所以f(x)在X=1點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)必定不存在,左導(dǎo)數(shù)是否存在可通過定義判定.正解.廠(10)=li一廠(x)=li一(q-x)x+1x-_.I-=廠(1)廠(1+0)=lLm+廠(x)=lim+x=1廠(1).?.f(X)在X=1點(diǎn)左端連續(xù)但右端不連續(xù)故f(x)在x1點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)必定不存在左導(dǎo)數(shù)由定義:)=一業(yè)-q-(1+x)一=llm一-.JJ

10、x一AX-5-(1+x1)(1+x)+(1+x)+1一一厶I_八x?9O?=2.?.在X=1點(diǎn)處左導(dǎo)數(shù)存在但右導(dǎo)數(shù)不存在.選擇(B)例5設(shè)):Jxsinx0,求廠,()【0x:0錯解當(dāng)0時):2xsin一1一c.s?.廠o)=x)=(2xsin一c.s)振蕩發(fā)散故f(X)在X=0點(diǎn)處不可導(dǎo).廠):2xsin一c.s()(o)分析廠fo)fx)不一定成立,僅當(dāng)廠X)在X=0點(diǎn)處連續(xù)方成立.正解當(dāng)xo時x)=2xsin一c.s在X=0點(diǎn)處由定義)=lira迎.,(sinx.0八x2im.+.(x)sin0x.+0八x.:f2xsin一c.sxo【0:0從以上例題的分析可以看出導(dǎo)數(shù)定義在求極限和導(dǎo)數(shù)計算中發(fā)揮著重要作用,因此我們應(yīng)予高度重視,充分理