組合圖形的慣性矩 [教育知識]

1、平面圖形的幾何性質平面圖形的幾何性質 本章提要本章提要 本章主要研究平面圖形的靜矩和慣性矩的本章主要研究平面圖形的靜矩和慣性矩的 概念及計算、組合圖形的靜矩和慣性矩。概念及計算、組合圖形的靜矩和慣性矩。 1教書育人 本本 章章 內內 容容 o靜矩靜矩 o慣性矩和慣性半徑慣性矩和慣性半徑 o組合圖形的慣性矩組合圖形的慣性矩 2教書育人 靜矩靜矩 o 任意截面的圖形如圖8.1所示，其面積為A, Z軸 和y軸為圖形平面內的任意直角坐標軸。 靜矩靜矩 圖8.1 3教書育人 o 取微面積dA， dA的坐標分別為y和z，則ydA、 zdA分別稱為微面積dA對于z軸和y軸的靜矩。 它們對整個平面圖形面積的定

2、積分 o 分別稱為整個平面圖形對于z軸和y軸的靜矩。 A y A Z zdAS ydAS (a) 4教書育人 o 在靜力學的第章中，已經導出平面圖形的形 心坐標公式 簡單圖形靜矩的計算簡單圖形靜矩的計算 A zdA z A ydA y A C A C (8.1) 5教書育人 o 將公式(8.1)代入式(a)，平面圖形的形心坐標 公式可寫為 o 由此可得平面圖形的靜矩為 Sy=zCA Sz=yCA o 即平面圖形對某軸的靜矩等于其面積與形心坐 標（形心至該軸的距離）的乘積。 A S y Z C A S z y C 6教書育人 【例8.1】試計算圖8.2所示矩形截面對z軸和y軸 的靜矩。 【解】矩

3、形截面的面積A=bh，其形心坐標yC=h/2, 圖8.2 zC=b/2。由式（8.2）有 Sz=yCA=h/2bh=bh2/2 Sy=zCA=b/2bh=b2h/2 7教書育人 o 工程實際中，有些構件的截面是由矩形、圓形 等簡單圖形組合成，稱為組合圖形。 o 根據圖形靜矩的定義，組合圖形對某軸的靜矩 等于各個簡單圖形對同一軸靜矩的代數和，即 組合圖形靜矩的計算組合圖形靜矩的計算 n i iCinCnCCy AzAzAzAzS 1 2211 . n i iCinCnCCZ AyAyAyAyS 1 2211 . 8教書育人 【例8.2】試計算圖8.3所示截面對z軸和y軸的靜 矩。已知a=30mm

4、。 【解】圖示截面可看成是由矩形減去半圓。 設矩形的面積為A1，半圓的面積為A2。 由于A2是要被減去的，該面積取負值。 n 由于y軸是對稱軸，通過截面形心，所以該 截面對y軸的靜矩為零，即Sy=0 n 下面計算該截面對z軸的靜矩。 A1=4a2a=8a2 yC1=a 9教書育人 A2=-1/2a2 yC2=4a/3 由式（8.3）有 n Sz=yCiAi=yC1A1+yC2A2 =8a2a+(-1/2a2) 4a/3 =1.98105mm3 10教書育人 圖8.3 11教書育人 慣性矩和慣性半徑慣性矩和慣性半徑 o 如圖8.4所示，在平面圖形上取一微面積dA, dA與其坐標平方的乘積y2dA

5、、z2dA分別稱為 該微面積dA對z軸和y軸的慣性矩，它們在整 個圖形范圍內的定積分 o 分別稱為整個平面圖形對z軸和y軸的慣性矩。 慣性矩定義慣性矩定義 A y A Z zdAS ydAS 12教書育人 o 微面積dA與它到坐標原點的距離的平方的乘 積2dA，在整個圖形范圍內的定積分 o 稱為平面圖形對坐標原點的極慣性矩。由圖 8.4可知 2=z2+y2 o 于是有 dAI A p 2 dAydAzdAyzdAI AAAA p 22222 13教書育人 o 即Ip=Iy+Iz o 上式表示：平面圖形對于位于圖形平面內某點 的任一對相互垂直坐標軸的慣性矩之和是一常 量，恒等于它對該點的極慣性矩

6、。 14教書育人 圖8.4 15教書育人 o 工程實際中，常將圖形對某軸的慣性矩，表示 為圖形面積與某一長度平方的乘積，即 o 式中iz、iy分別稱為平面圖形對z軸和y軸的慣 性半徑，常用單位為米（m）或毫米（mm)。 o 由式（8.7）有，慣性半徑 慣性半徑慣性半徑 AiI AiI yy zZ 2 2 A I i A I i y y Z z , 16教書育人 【例8.3】圖8.5所示圓形截面的直徑為D，試計算 它對形心軸（即直徑軸）的慣性矩。 【解】取平行z軸的微面積 o 由于對稱，圓形截面對任一形心軸的慣性矩都 等于D4/64。 22 2dARy dy 4 2222 2 64 R z AR

7、 D Iy dAyRy dy 簡單圖形的慣性矩簡單圖形的慣性矩 17教書育人 【例8.4】圖8.6所示的矩形截面，試計算對其形心軸的慣 性矩Iz、Iy。 【解】（1） 計算慣性矩Iz n 取平行于z軸的微面積dA=bdy (2) 計算慣性矩Iy n 取平行于y軸的微面積dA=hdz n 表8.1列出了一些常用簡單截面圖形的幾何性質。 3 /2 22 /2 12 h z Ah bh Iy dAy bdy 3 /2 22 /2 12 h y Ah hb Iz dAz hdy 18教書育人 圖8.5 19教書育人 圖8.6 20教書育人 表表8.1 簡單截面圖形的幾何性質簡單截面圖形的幾何性質 21

8、教書育人 22教書育人 8.3 組合圖形的慣性矩組合圖形的慣性矩 o 如圖8.7所示，任意平面圖形的形心為C， 面積為A，zC軸和yC軸為圖形的形心軸。y 軸平行于yC，兩軸間的距離為b；z軸平行于 zC，兩軸間的距離為a。根據慣性矩的定義， 平面圖形對z軸的慣性矩為 8.3.1 慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式 2 1 22 () 2 z AA AAA Iy dAya dA y dAaydA adA 23教書育人 o IzC、SzC分別為圖形對形心軸zC的慣性 矩和靜矩。由于圖形對形心軸的靜矩恒等 于零，所以SzC=0。于是有 o Iz=IzC+a2A o 同理Iy=IyC+b2A

9、o 式(8.9)即為慣性矩的平行移軸公式。 它表明：平面圖形對任意軸的慣性矩，等 于圖形對與該軸平行的形心軸的慣性矩加 上圖形的面積與兩軸距離平方的乘積。 24教書育人 圖8.7 25教書育人 o 由慣性矩的定義可知，組合圖形對某軸的慣性 矩就等于組成它的各簡單圖形對同一軸慣性矩 之和。 o 簡單圖形對本身形心軸的慣性矩可通過積分或 查表求得，再利用平行移軸公式，便可求得各 簡單圖形對組合圖形的形心軸的慣性矩。 組合圖形的慣性矩組合圖形的慣性矩 26教書育人 【例8.5】空心水泥板的截面圖形如圖8.8所示，試求它對z 軸和y軸的慣性矩。 【解】此組合圖形對于z軸或y軸的慣性矩等于矩形對z軸 或y軸的慣性矩減去圓形和對z軸或y軸的慣性矩。 計算慣性