第五章連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式[章節(jié)優(yōu)講]

1、第五章 連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式 金融市場(chǎng)學(xué) 1 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 5.1 5.1 連續(xù)時(shí)間股票模型連續(xù)時(shí)間股票模型 令S（t）代表某股票在t時(shí)刻的價(jià)格，假設(shè) S（t）服從幾何布 朗運(yùn)動(dòng)，即股票價(jià)格變動(dòng)由模型 來(lái)決定。其中S代表股票價(jià)格， 代表期望回報(bào)率， 代表資產(chǎn)波動(dòng)率，dW代表標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 d SS d tS d W （ 1 ） 5.2 5.2 離散模型離散模型 首先看離散資產(chǎn)價(jià)格模型。設(shè)在時(shí)刻 時(shí)的資產(chǎn) 價(jià)格為 ，然后設(shè) 得到在0t T上離 散時(shí)間的資產(chǎn)價(jià)格模型： 其次看連續(xù)資產(chǎn)價(jià)格模型，由(2)式分別表示 ，得到極限形式 i tti t ( ) i S t 0t 1 ()

2、( )( )( )0,1 iiiiii S tS ttS ttS tN （2） ()(2)()StStS L t、 0tL令或 1 0 0 1 L i i S tSttz 2 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 由 對(duì)（3）用中心極限定理，則 可表 示為具有數(shù)學(xué)期 望 和方差 的正態(tài)隨機(jī)變量。即 ： 由此，在t時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格的動(dòng)態(tài)連續(xù)時(shí)間可表達(dá)為： 還能離散地得到任意時(shí)間序列0=t0t1t2tm的資產(chǎn)價(jià)格為： 2 1 22 0 0 0log 1.1 2 1 log3 2 L ii i t St tt ztz S 和則 有 （ ） 0 lo g St S 2 1 2 2t 22 0 1 log, 2 St Ntt S 2

3、1 2 0 0,14 i ttz i S tS ezN 2 11 1 2 1 0,15 iiii i tttt z iii S tS t ez N 3 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 資產(chǎn)價(jià)格路徑的隨機(jī)模擬 可以用（5）計(jì)算資產(chǎn)價(jià)格路徑的計(jì)算機(jī)模擬。假設(shè)以 0=t0t1t2tm =T模擬S（t）的值，則可根據(jù)公式： 來(lái)計(jì)算故軌跡 就是離散資本幾個(gè)路徑，也可以用 公式： 由于在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，所以資產(chǎn)的期望收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r 故（7）可以重寫(xiě)為： 通常以通過(guò)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)或擬隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬資產(chǎn)的幾個(gè)路徑，不妨設(shè) 為n資產(chǎn)價(jià)格路徑（n=1，2，N）則由 （8）可得： 2 11 1 2 1 0,16 iiii i tttt

4、 z iii SSez N 1 M i i S , ii t S 2 1 2 0,17 i ttz i S ttS t ezN 2 1 2 0,18 i rttz i S ttS t ezN 01 ,., nnn k SSS 2 1 2 1 =(9) n i tt nn ii SS e 4 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 其中 代表t-1到t的時(shí)間間隔，r代表無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率， 代表資產(chǎn) 波 動(dòng)率， 代表相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。在估計(jì)期權(quán)價(jià) 格 時(shí)，我們需要估計(jì)到期日的現(xiàn)金流，可以通過(guò)多次價(jià)格路徑模擬 來(lái)估計(jì)。下面通過(guò)一些例子來(lái)看一看離散方法在模擬資產(chǎn)價(jià)格路 徑等方面的應(yīng)用。 對(duì)數(shù)正態(tài)模型 其中WT是均值為0，方差

5、為T(mén)的隨機(jī)正態(tài)分布變量， 將圍繞該直線波動(dòng)，因此，如果 我們（采用對(duì)數(shù)紙）描述股價(jià)的對(duì)數(shù)圖，我們可以看見(jiàn)這些點(diǎn)落在 一條直線上，如果模型更接近現(xiàn)實(shí)的話，會(huì)有一些點(diǎn)偏離直線。 t n i 2 2 0 =5 .7 T rTW T SSe （） 0,1 T WTzzN 2 0 2 0 5.7=ln 2 ln 2 TT T SSrTW SrTW 現(xiàn)將（）兩邊取對(duì)數(shù)，得到ln 是一個(gè)線性公式， 5 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 5.3 5.3 連續(xù)時(shí)間模型的分析連續(xù)時(shí)間模型的分析 方程 是一個(gè)隨機(jī)微分方程（SDE），大多數(shù) 的SDE沒(méi)有簡(jiǎn)潔的的封閉形式的解，但幸運(yùn)的是這個(gè)方程存在。其 解就是幾何布朗運(yùn)動(dòng)。 這正是具有連續(xù)時(shí)

6、間變量T的離散模型（5.7） 這里，Bt是均值為0，方差為t的正態(tài)隨機(jī)變量。由此得到的是股 價(jià)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型（GBM）。注意： 右邊的表達(dá)式是一個(gè)均值為 ，方差為 的正態(tài) 隨機(jī)變量。 在幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型中，有兩個(gè)變量：波動(dòng)率 和漂移 率 ，但在定價(jià)歐式看漲期權(quán)時(shí)只需要估計(jì) 。公式中 并沒(méi)有用到 但這兩個(gè)值如何來(lái)用股票價(jià)格估計(jì)我們還需要給出。 dSSdtSdB 2 2 0 (5 .8 ) t Bt t SSe 2 0 ln 2 t t S Bt S 2 2 t 2t 6 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 幾何布朗運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì) 假設(shè)有一段時(shí)間0,T內(nèi)的股價(jià)記錄。這段時(shí)間由n個(gè)長(zhǎng)度相 等的子區(qū)間 組成，再假設(shè)已知每個(gè)子

7、區(qū)間末的股價(jià)，將 股價(jià)表示為： ：第i個(gè)子區(qū)間末的股價(jià)，樣本觀測(cè)值為 n+1個(gè)。 第一步：計(jì)算時(shí)間序列值： 由幾何布朗運(yùn)動(dòng) 模型 值滿足如下等式： 幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型 具有下面的性質(zhì)： 1、是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量，方差為 ， 均值為0； 2、這些差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。 t i S 112 lnln iiin USSUUU 得到數(shù)值序列、 i U 1 2 1 =(5.9) 2 ii itt UBBt 1ii tt BB 1ii tt BB t 7 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 第二步：計(jì)算系列數(shù)值 的均值和方差。 令 表示均值，則 樣本方差 表示為： U的觀測(cè)值均值為 方差為 第二步：解方程 和 得到 很容易得到： 1

8、2n UUU、 1 1 n i i UnU U 2 S 2 1 2 1 =1 n i i SnUU 2 1 2 t 2 t 2 1 2 Ut 22 St和 2 / 2USS tt 及 8 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 5.4 Black-Scholes5.4 Black-Scholes公式公式 我們先介紹與B-S期權(quán)定價(jià)理論有關(guān)的一些預(yù)備知識(shí)，這些知識(shí) 主要是圍繞著股票價(jià)格的變化過(guò)程而展開(kāi)的，內(nèi)容包括維納過(guò)程 、伊藤過(guò)程、伊藤引理、幾何布朗運(yùn)動(dòng)、對(duì)數(shù)正態(tài)分布等等這些 內(nèi)容是理解期權(quán)定價(jià)和更加復(fù)雜的衍生證券定價(jià)的基礎(chǔ)。 維納過(guò)程 在介紹維納過(guò)程之前，先簡(jiǎn)單介紹一下馬爾科夫過(guò) 程。它是一種特殊的隨機(jī)過(guò)程，在該過(guò)程中，

9、變量的變化僅依賴 于該變量前一瞬間的狀態(tài)。當(dāng)變量遵從馬爾科夫過(guò)程時(shí)，變量在 相鄰時(shí)間內(nèi)變化的方差具有可加性，但標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。馬 爾科夫過(guò)程的重要特征是：變量的隨機(jī)變化是獨(dú)立同分布的。 維納過(guò)程是馬爾科夫過(guò)程的特殊形式。如果變量服 從維納過(guò)程，則該變量的期望為0，方差為1.股票價(jià)格模型通常 用維納過(guò)程表達(dá)。在物理學(xué)中，這種過(guò)程也被稱為布朗運(yùn)動(dòng)。 9 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 如果變量z=z(t)服從維納過(guò)程，則其增量 必須滿足如下 兩個(gè) 基本性質(zhì)： 性質(zhì)1： 之間滿足關(guān)系 其中 為從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)值。 性質(zhì)2：對(duì)任何兩個(gè)不同的時(shí)間間隔的值相互獨(dú)立。 由性質(zhì)1，得出 服從期望值為0，方差為 ，

10、標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布。 性質(zhì)2意味著變量z=z(t)服從馬爾科夫過(guò)程。 再由性質(zhì)1，當(dāng) z zt和 (1)zt tz。 zt t 0tz dzt 時(shí)，的微分形式為 （2） 10 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 一般維納過(guò)程 變量x服從一般維納過(guò)程的定義如下： dx=adt+bdz （3） a是一般維納過(guò)程的預(yù)期漂移率，b是波動(dòng)率。 式（3）由兩項(xiàng)組成，如果不考慮bdz，則有dx=adt或 x=x0+at。其中x0為x在0時(shí)刻的值，經(jīng)過(guò)t時(shí)刻后，x增加值為at。 如果僅考慮bdz，則dx=bdz，其中bdz可以看作是附加在變量x 軌跡上的噪聲或者波動(dòng)，這些噪聲或波動(dòng)是維納過(guò)程的b倍。 將adt和bdz一并來(lái)考慮，則有

11、dx=adt+bdz 。經(jīng)過(guò)時(shí)間增量 之 后，x的增量為 。將（1）代入上式，有 如前所述， 是自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中隨機(jī)抽取的值，因此 服從正 態(tài)分布，期望值是 ，方差是 ，標(biāo)準(zhǔn)差是 t xatbz x a t 2 btbt (4)xatbt 11 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 伊藤過(guò)程和伊藤引理 如果上面隨機(jī)過(guò)程中的a與b是x和t的函數(shù)，則可得到伊藤過(guò)程: dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz （5） 其中dz是維納過(guò)程。伊藤過(guò)程中的預(yù)期漂移率和波動(dòng)率隨時(shí)間 而變化。 定理定理5.4.1（伊藤引理）假設(shè)變量x服從伊藤過(guò)程，設(shè)G=G(x,t)是 x的二次連續(xù)可微函數(shù)，則G(x,t)遵從如下過(guò)程： 2 2 2 1

12、(4 ) 2 GGGG dGabdtbdza xtxx 12 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 證明：由二元函數(shù)的泰勒展開(kāi)公式有： 因?yàn)?由該式有結(jié)果： 根據(jù)（6）有 將（6）（7）和（8）代入（5），得到 令 得到 222 22 22 11 .(5 ) 22 GGGGG Gxtxx tta xtxx tt = ( , )( , )x a x ttb x tt (6) 222 =+xbt ot (7) 3 2 = ( , )( , )x t a x ttb x ttt =o （8） 2 2 2 1 2 GGG Gxtbtot xtx 0t 2 2 2 1 (9) 2 GGG dGdxdtb dt xtx 13 優(yōu)質(zhì)教

13、學(xué) 再將dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz，代入（9）得到： 由伊藤定理可知，如果x,t服從伊藤過(guò)程，則x,t的函數(shù)G也服從 伊藤過(guò)程，不過(guò)漂移率和波動(dòng)率分別為： 2 2 2 2 1 2 GGGG abb xtxx 和 2 2 2 1 2 GGGG dGabdtbdz xtxx 證畢 14 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 不支付紅利股票價(jià)格的行為過(guò)程 如果假設(shè)股票價(jià)格服從一般維納過(guò)程，則有不變的期望漂移率 和波動(dòng)率，這不符合實(shí)際。所以，一般假設(shè)股票價(jià)格變化的比例 dS/S服從一般維納過(guò)程，即： 因此，股票價(jià)格S可用漂移率 和波動(dòng)率 的伊藤過(guò)程描述，即： 其離散形式為： 如果 為常數(shù)，則稱式（10）為幾何布朗運(yùn)

14、動(dòng)。幾何布朗 運(yùn)動(dòng)是最廣泛的描繪股票價(jià)格行為的模型。 如果S服從伊藤過(guò)程，則S和t的函數(shù)G也服從伊藤過(guò)程。 dS dtdz S SS (10)dSSdtSdz (11)SS tS z 和 15 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 注意，S和G都受dz的影響，我們定義G=lnS，因?yàn)椋?則（12）可簡(jiǎn)化為 因?yàn)?為常數(shù)，所以（13）也是維納過(guò)程，其漂移率是 波動(dòng)率是 。因此lnS在t與T時(shí)刻之間的變化服從正態(tài)分 布，其期望值為 方差為 。這意味著： 2 22 1 = 0 GG SSt ， 2 (13) 2 dGdtdz 1 = G SS ， 和 2 2 2 2 Tt 2 Tt 2 2 2 2 lnln, 2 lnln+,

15、 2 T T SSNTtTt SNSTtTt 或 2 2 2 2 22 2 1 2 1 =12 2 GGGG dGabdtbdz xtxx GGGG SSdtSdz xtxx （） 16 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 5.5 Black-Scholes5.5 Black-Scholes公式的推導(dǎo)公式的推導(dǎo) 修正的模型 構(gòu)造一個(gè)只包括股票和現(xiàn)金的簡(jiǎn)單組合，假設(shè)買(mǎi)了a股價(jià)格為 S0 的股票，現(xiàn)金為b元，則投資額為： 經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，投資的資金將變?yōu)?用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r貼現(xiàn)該值，得到 ，將（ 5.11） 變?yōu)?并代入上式得到： 所以： 所以能夠用投資組合未來(lái)價(jià)值的折現(xiàn)值計(jì)算0，即 修正后的股價(jià)模型滿足： 因此修正的股價(jià)模型是

16、： 00 =5.11aSb （） = rt tt aSbe = rtrt tt eaeSb 00 =baS 00 = rtrt tt eaeSaS 00 00 =(5.12) 0(5.13) rtrt tt rtrt tt ea eSS eaE eSS 故 E 0 rt t eE 2 2 00 rtt z r t SeESe 2 2 0 rtt z t SSe 17 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 二叉樹(shù)模型參數(shù)的確定 目的：在衍生證券定價(jià)中，根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)情況確定 二叉樹(shù)模型中的參數(shù)（待定參數(shù)為：N，rf，u，d） 簡(jiǎn)單的：N， rf 周期數(shù)N自定，若衍生證券的有效期限為T(mén)，則每周期時(shí)間長(zhǎng) 度為 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利

17、率 rf ，若按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，則單周期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 為 麻煩的：u, d 由風(fēng)險(xiǎn)中性概率的存在性，記 得 從衍生證券定價(jià)的二叉樹(shù)模型出發(fā)推導(dǎo)B-S公式 /tTN 1 r t f re 11 , ff rdur pq u du d 1 r t f puqdre 18 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 但風(fēng)險(xiǎn)中性概率是未知的，這個(gè)方程提供了p,u,d之間的一個(gè)關(guān)系， 另一個(gè)關(guān)系方程需要從股票價(jià)格的統(tǒng)計(jì)量來(lái)得到。 股票的連續(xù)復(fù)利增長(zhǎng)率（對(duì)數(shù)收益率） 再假定的風(fēng)險(xiǎn)中性概率下，增長(zhǎng)率的期望為： 增長(zhǎng)率的方差為 當(dāng)T=1時(shí)，年增長(zhǎng)率的方差為: 0 0 1 ln rT N T S yS eS TS 即 1 1 1lnln lnln

18、ln N n n n SNpuqd E yEpuqd TSTt 2 22 2 111 111 2 222 1 lnlnln 11 lnlnlnlnln NNN nnn nnn nnn SSSN Var yVarEE TSSS T u puqdpuqdpq TtTtd 22 1 ln u pq td 19 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 股票波動(dòng)率股票年增長(zhǎng)率的標(biāo)準(zhǔn)差 這個(gè)統(tǒng)計(jì)量在現(xiàn)實(shí)中可由股票數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)方法得到，于是成為 關(guān)于p、u、d的第二個(gè)關(guān)系方程。 聯(lián)立方程有 , ln r t r tr t tt pqpq puqde ee ud pqu tdpqepeq 20 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 常見(jiàn)參數(shù)選擇方式 第三個(gè)方程的給出

19、（1）JR樹(shù)p=q=0.5 （2）CRR樹(shù) u=1/d 在這個(gè)模型當(dāng)中，方程被另外兩個(gè)方程所代替： 這樣結(jié)合ud=1可得： 2 2 2 2 1 + 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 r tr ttr tt rtt t t tt r tr ttr tt rtt t t tt eee ue e ee e eee de e ee e lnln lnln puqdt utdt 11 22 t uept 21 優(yōu)質(zhì)教學(xué) （3）Trigeorgis樹(shù)ud=1 與CRR樹(shù)類似，但僅將方程用 代替，結(jié) 合方程與ud=1可解出： 對(duì)這些參數(shù)確定方式，在數(shù)值計(jì)算中繼續(xù)討論。 ln

20、lnpuqdt 222 + 11 22 tt ue pt 22 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 二叉樹(shù)模型的極限形式BS公式 二叉樹(shù)主要是刻畫(huà)股票價(jià)格變化過(guò)程 此時(shí)股票對(duì)數(shù)收益率 為獨(dú)立 同 分布的隨機(jī)變量 的和，而其期望與方差分別為 故期望與方差為： 當(dāng) 時(shí)，忽略一些無(wú)窮小項(xiàng)之后，可以說(shuō)明 從而由中心極限定理可知，當(dāng) 時(shí)，y的極限概率分布是一 個(gè)均值為 ，方差為 的正態(tài)分布 1 01 11 ln=ln N Nn n n SS r TSTS 1 ln n n S S 22 lnlnln u puqdpq d , 22 2 lnln1 11 ln puqd EyN tT u VarypqN TtdT tT 2 2 1

21、 2 E yrVar y T ， 0t 2 1 2 r 2 T 23 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 從而對(duì)t時(shí)刻的股票價(jià)格St有 即 T時(shí)刻的股票價(jià)格St服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，這與連續(xù)模型中假定股 票價(jià)格為幾何布朗運(yùn)動(dòng)是一致的。 2 2 0 1 112 0,1ln+ 2 N yr S ZNZr TST T 22 00 111 ln,ln=+ 22 tt SS ZrtZrt tSSt 2 1 + 2 0 0,1 tZrt t SS eZN 24 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 【獨(dú)立同分布的中心極限定理】設(shè)隨機(jī)變量X1、 X2 XN獨(dú)立同分 布則隨機(jī)變量： 的分布函數(shù)FN（x）滿足： 即當(dāng)N很大時(shí)，yN近似服從N（0,1）。 2 , kk

22、E XVarX 1 N k k N XN y N 2 1 2 1 limlim 2 N tk x k N Nn XN FxPxedt N 2 1 , N k k XN NN 近似服從 25 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 二叉樹(shù)模型的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式 考慮一個(gè)有效期為T(mén)，到期值復(fù)位F(S)的歐式衍生證券，在風(fēng) 險(xiǎn)中性概率測(cè)度下，其價(jià)值為： 若F(S)為線性函數(shù)，則當(dāng) 時(shí)，F(xiàn)(ST)近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分 布，于是采用對(duì)應(yīng)的連續(xù)方法來(lái)求即得到二叉樹(shù)模型的對(duì)數(shù)正 態(tài)逼近模型： 下面利用上面的公式對(duì)歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，此時(shí) 0 rT N VeE F S 0t 2 2 1 2 2 00 1 2 Z rTTZ rTrT T VeF SdP ZeF S eedZ 26 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 首先計(jì)算（5.17）括號(hào)中的表達(dá)式，當(dāng) 成立時(shí)，括號(hào)中的表達(dá)式非零。那么，通過(guò)解 22 2 2 0 11 22 00 1 2 2 0 = 1 ,;5.17 2 rT TTT rTTZrTTZ rT T x rTTZ rT F SSXVeESX SS eV eES eX VC S X TeS eXedx 故有 由因此 從而 （） 通過(guò)積分基本規(guī)則，我們將計(jì)算期望值。 2 0 exp0 2 ST xrTX 2 0 exp=0 2 STxrTX 27 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 2 2 22 2 2 0 020 1 2 2 0 1