第五章連續(xù)時間模型和Black-Scholes公式[章節(jié)優(yōu)講]

1、第五章 連續(xù)時間模型和Black-Scholes公式 金融市場學 1 優(yōu)質教學 5.1 5.1 連續(xù)時間股票模型連續(xù)時間股票模型 令S（t）代表某股票在t時刻的價格，假設 S（t）服從幾何布 朗運動，即股票價格變動由模型 來決定。其中S代表股票價格， 代表期望回報率， 代表資產(chǎn)波動率，dW代表標準布朗運動。 d SS d tS d W （ 1 ） 5.2 5.2 離散模型離散模型 首先看離散資產(chǎn)價格模型。設在時刻 時的資產(chǎn) 價格為 ，然后設 得到在0t T上離 散時間的資產(chǎn)價格模型： 其次看連續(xù)資產(chǎn)價格模型，由(2)式分別表示 ，得到極限形式 i tti t ( ) i S t 0t 1 ()

2、( )( )( )0,1 iiiiii S tS ttS ttS tN （2） ()(2)()StStS L t、 0tL令或 1 0 0 1 L i i S tSttz 2 優(yōu)質教學 由 對（3）用中心極限定理，則 可表 示為具有數(shù)學期 望 和方差 的正態(tài)隨機變量。即 ： 由此，在t時刻資產(chǎn)價格的動態(tài)連續(xù)時間可表達為： 還能離散地得到任意時間序列0=t0t1t2tm的資產(chǎn)價格為： 2 1 22 0 0 0log 1.1 2 1 log3 2 L ii i t St tt ztz S 和則 有 （ ） 0 lo g St S 2 1 2 2t 22 0 1 log, 2 St Ntt S 2

3、1 2 0 0,14 i ttz i S tS ezN 2 11 1 2 1 0,15 iiii i tttt z iii S tS t ez N 3 優(yōu)質教學 資產(chǎn)價格路徑的隨機模擬 可以用（5）計算資產(chǎn)價格路徑的計算機模擬。假設以 0=t0t1t2tm =T模擬S（t）的值，則可根據(jù)公式： 來計算故軌跡 就是離散資本幾個路徑，也可以用 公式： 由于在風險中性世界里，所以資產(chǎn)的期望收益率等于無風險利率r 故（7）可以重寫為： 通常以通過產(chǎn)生隨機數(shù)或擬隨機數(shù)來模擬資產(chǎn)的幾個路徑，不妨設 為n資產(chǎn)價格路徑（n=1，2，N）則由 （8）可得： 2 11 1 2 1 0,16 iiii i tttt

4、 z iii SSez N 1 M i i S , ii t S 2 1 2 0,17 i ttz i S ttS t ezN 2 1 2 0,18 i rttz i S ttS t ezN 01 ,., nnn k SSS 2 1 2 1 =(9) n i tt nn ii SS e 4 優(yōu)質教學 其中 代表t-1到t的時間間隔，r代表無風險利率， 代表資產(chǎn) 波 動率， 代表相互獨立的標準正態(tài)分布隨機數(shù)。在估計期權價 格 時，我們需要估計到期日的現(xiàn)金流，可以通過多次價格路徑模擬 來估計。下面通過一些例子來看一看離散方法在模擬資產(chǎn)價格路 徑等方面的應用。 對數(shù)正態(tài)模型 其中WT是均值為0，方差

5、為T的隨機正態(tài)分布變量， 將圍繞該直線波動，因此，如果 我們（采用對數(shù)紙）描述股價的對數(shù)圖，我們可以看見這些點落在 一條直線上，如果模型更接近現(xiàn)實的話，會有一些點偏離直線。 t n i 2 2 0 =5 .7 T rTW T SSe （） 0,1 T WTzzN 2 0 2 0 5.7=ln 2 ln 2 TT T SSrTW SrTW 現(xiàn)將（）兩邊取對數(shù)，得到ln 是一個線性公式， 5 優(yōu)質教學 5.3 5.3 連續(xù)時間模型的分析連續(xù)時間模型的分析 方程 是一個隨機微分方程（SDE），大多數(shù) 的SDE沒有簡潔的的封閉形式的解，但幸運的是這個方程存在。其 解就是幾何布朗運動。 這正是具有連續(xù)時

6、間變量T的離散模型（5.7） 這里，Bt是均值為0，方差為t的正態(tài)隨機變量。由此得到的是股 價的幾何布朗運動模型（GBM）。注意： 右邊的表達式是一個均值為 ，方差為 的正態(tài) 隨機變量。 在幾何布朗運動模型中，有兩個變量：波動率 和漂移 率 ，但在定價歐式看漲期權時只需要估計 。公式中 并沒有用到 但這兩個值如何來用股票價格估計我們還需要給出。 dSSdtSdB 2 2 0 (5 .8 ) t Bt t SSe 2 0 ln 2 t t S Bt S 2 2 t 2t 6 優(yōu)質教學 幾何布朗運動參數(shù)估計 假設有一段時間0,T內的股價記錄。這段時間由n個長度相 等的子區(qū)間 組成，再假設已知每個子

7、區(qū)間末的股價，將 股價表示為： ：第i個子區(qū)間末的股價，樣本觀測值為 n+1個。 第一步：計算時間序列值： 由幾何布朗運動 模型 值滿足如下等式： 幾何布朗運動模型 具有下面的性質： 1、是一個正態(tài)隨機變量，方差為 ， 均值為0； 2、這些差是相互獨立的隨機變量。 t i S 112 lnln iiin USSUUU 得到數(shù)值序列、 i U 1 2 1 =(5.9) 2 ii itt UBBt 1ii tt BB 1ii tt BB t 7 優(yōu)質教學 第二步：計算系列數(shù)值 的均值和方差。 令 表示均值，則 樣本方差 表示為： U的觀測值均值為 方差為 第二步：解方程 和 得到 很容易得到： 1

8、2n UUU、 1 1 n i i UnU U 2 S 2 1 2 1 =1 n i i SnUU 2 1 2 t 2 t 2 1 2 Ut 22 St和 2 / 2USS tt 及 8 優(yōu)質教學 5.4 Black-Scholes5.4 Black-Scholes公式公式 我們先介紹與B-S期權定價理論有關的一些預備知識，這些知識 主要是圍繞著股票價格的變化過程而展開的，內容包括維納過程 、伊藤過程、伊藤引理、幾何布朗運動、對數(shù)正態(tài)分布等等這些 內容是理解期權定價和更加復雜的衍生證券定價的基礎。 維納過程 在介紹維納過程之前，先簡單介紹一下馬爾科夫過 程。它是一種特殊的隨機過程，在該過程中，

9、變量的變化僅依賴 于該變量前一瞬間的狀態(tài)。當變量遵從馬爾科夫過程時，變量在 相鄰時間內變化的方差具有可加性，但標準差不具有可加性。馬 爾科夫過程的重要特征是：變量的隨機變化是獨立同分布的。 維納過程是馬爾科夫過程的特殊形式。如果變量服 從維納過程，則該變量的期望為0，方差為1.股票價格模型通常 用維納過程表達。在物理學中，這種過程也被稱為布朗運動。 9 優(yōu)質教學 如果變量z=z(t)服從維納過程，則其增量 必須滿足如下 兩個 基本性質： 性質1： 之間滿足關系 其中 為從標準正態(tài)分布中抽取的一個隨機值。 性質2：對任何兩個不同的時間間隔的值相互獨立。 由性質1，得出 服從期望值為0，方差為 ，

10、標準差為 的正態(tài)分布。 性質2意味著變量z=z(t)服從馬爾科夫過程。 再由性質1，當 z zt和 (1)zt tz。 zt t 0tz dzt 時，的微分形式為 （2） 10 優(yōu)質教學 一般維納過程 變量x服從一般維納過程的定義如下： dx=adt+bdz （3） a是一般維納過程的預期漂移率，b是波動率。 式（3）由兩項組成，如果不考慮bdz，則有dx=adt或 x=x0+at。其中x0為x在0時刻的值，經(jīng)過t時刻后，x增加值為at。 如果僅考慮bdz，則dx=bdz，其中bdz可以看作是附加在變量x 軌跡上的噪聲或者波動，這些噪聲或波動是維納過程的b倍。 將adt和bdz一并來考慮，則有

11、dx=adt+bdz 。經(jīng)過時間增量 之 后，x的增量為 。將（1）代入上式，有 如前所述， 是自標準正態(tài)分布中隨機抽取的值，因此 服從正 態(tài)分布，期望值是 ，方差是 ，標準差是 t xatbz x a t 2 btbt (4)xatbt 11 優(yōu)質教學 伊藤過程和伊藤引理 如果上面隨機過程中的a與b是x和t的函數(shù)，則可得到伊藤過程: dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz （5） 其中dz是維納過程。伊藤過程中的預期漂移率和波動率隨時間 而變化。 定理定理5.4.1（伊藤引理）假設變量x服從伊藤過程，設G=G(x,t)是 x的二次連續(xù)可微函數(shù)，則G(x,t)遵從如下過程： 2 2 2 1

12、(4 ) 2 GGGG dGabdtbdza xtxx 12 優(yōu)質教學 證明：由二元函數(shù)的泰勒展開公式有： 因為 由該式有結果： 根據(jù)（6）有 將（6）（7）和（8）代入（5），得到 令 得到 222 22 22 11 .(5 ) 22 GGGGG Gxtxx tta xtxx tt = ( , )( , )x a x ttb x tt (6) 222 =+xbt ot (7) 3 2 = ( , )( , )x t a x ttb x ttt =o （8） 2 2 2 1 2 GGG Gxtbtot xtx 0t 2 2 2 1 (9) 2 GGG dGdxdtb dt xtx 13 優(yōu)質教

13、學 再將dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz，代入（9）得到： 由伊藤定理可知，如果x,t服從伊藤過程，則x,t的函數(shù)G也服從 伊藤過程，不過漂移率和波動率分別為： 2 2 2 2 1 2 GGGG abb xtxx 和 2 2 2 1 2 GGGG dGabdtbdz xtxx 證畢 14 優(yōu)質教學 不支付紅利股票價格的行為過程 如果假設股票價格服從一般維納過程，則有不變的期望漂移率 和波動率，這不符合實際。所以，一般假設股票價格變化的比例 dS/S服從一般維納過程，即： 因此，股票價格S可用漂移率 和波動率 的伊藤過程描述，即： 其離散形式為： 如果 為常數(shù)，則稱式（10）為幾何布朗運

14、動。幾何布朗 運動是最廣泛的描繪股票價格行為的模型。 如果S服從伊藤過程，則S和t的函數(shù)G也服從伊藤過程。 dS dtdz S SS (10)dSSdtSdz (11)SS tS z 和 15 優(yōu)質教學 注意，S和G都受dz的影響，我們定義G=lnS，因為： 則（12）可簡化為 因為 為常數(shù)，所以（13）也是維納過程，其漂移率是 波動率是 。因此lnS在t與T時刻之間的變化服從正態(tài)分 布，其期望值為 方差為 。這意味著： 2 22 1 = 0 GG SSt ， 2 (13) 2 dGdtdz 1 = G SS ， 和 2 2 2 2 Tt 2 Tt 2 2 2 2 lnln, 2 lnln+,

15、 2 T T SSNTtTt SNSTtTt 或 2 2 2 2 22 2 1 2 1 =12 2 GGGG dGabdtbdz xtxx GGGG SSdtSdz xtxx （） 16 優(yōu)質教學 5.5 Black-Scholes5.5 Black-Scholes公式的推導公式的推導 修正的模型 構造一個只包括股票和現(xiàn)金的簡單組合，假設買了a股價格為 S0 的股票，現(xiàn)金為b元，則投資額為： 經(jīng)過時間t后，投資的資金將變?yōu)?用無風險利率r貼現(xiàn)該值，得到 ，將（ 5.11） 變?yōu)?并代入上式得到： 所以： 所以能夠用投資組合未來價值的折現(xiàn)值計算0，即 修正后的股價模型滿足： 因此修正的股價模型是

16、： 00 =5.11aSb （） = rt tt aSbe = rtrt tt eaeSb 00 =baS 00 = rtrt tt eaeSaS 00 00 =(5.12) 0(5.13) rtrt tt rtrt tt ea eSS eaE eSS 故 E 0 rt t eE 2 2 00 rtt z r t SeESe 2 2 0 rtt z t SSe 17 優(yōu)質教學 二叉樹模型參數(shù)的確定 目的：在衍生證券定價中，根據(jù)標的資產(chǎn)價格的波動情況確定 二叉樹模型中的參數(shù)（待定參數(shù)為：N，rf，u，d） 簡單的：N， rf 周期數(shù)N自定，若衍生證券的有效期限為T，則每周期時間長 度為 無風險利

17、率 rf ，若按連續(xù)復利計算，則單周期的無風險利率 為 麻煩的：u, d 由風險中性概率的存在性，記 得 從衍生證券定價的二叉樹模型出發(fā)推導B-S公式 /tTN 1 r t f re 11 , ff rdur pq u du d 1 r t f puqdre 18 優(yōu)質教學 但風險中性概率是未知的，這個方程提供了p,u,d之間的一個關系， 另一個關系方程需要從股票價格的統(tǒng)計量來得到。 股票的連續(xù)復利增長率（對數(shù)收益率） 再假定的風險中性概率下，增長率的期望為： 增長率的方差為 當T=1時，年增長率的方差為: 0 0 1 ln rT N T S yS eS TS 即 1 1 1lnln lnln

18、ln N n n n SNpuqd E yEpuqd TSTt 2 22 2 111 111 2 222 1 lnlnln 11 lnlnlnlnln NNN nnn nnn nnn SSSN Var yVarEE TSSS T u puqdpuqdpq TtTtd 22 1 ln u pq td 19 優(yōu)質教學 股票波動率股票年增長率的標準差 這個統(tǒng)計量在現(xiàn)實中可由股票數(shù)據(jù)和統(tǒng)計方法得到，于是成為 關于p、u、d的第二個關系方程。 聯(lián)立方程有 , ln r t r tr t tt pqpq puqde ee ud pqu tdpqepeq 20 優(yōu)質教學 常見參數(shù)選擇方式 第三個方程的給出

19、（1）JR樹p=q=0.5 （2）CRR樹 u=1/d 在這個模型當中，方程被另外兩個方程所代替： 這樣結合ud=1可得： 2 2 2 2 1 + 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 r tr ttr tt rtt t t tt r tr ttr tt rtt t t tt eee ue e ee e eee de e ee e lnln lnln puqdt utdt 11 22 t uept 21 優(yōu)質教學 （3）Trigeorgis樹ud=1 與CRR樹類似，但僅將方程用 代替，結 合方程與ud=1可解出： 對這些參數(shù)確定方式，在數(shù)值計算中繼續(xù)討論。 ln

20、lnpuqdt 222 + 11 22 tt ue pt 22 優(yōu)質教學 二叉樹模型的極限形式BS公式 二叉樹主要是刻畫股票價格變化過程 此時股票對數(shù)收益率 為獨立 同 分布的隨機變量 的和，而其期望與方差分別為 故期望與方差為： 當 時，忽略一些無窮小項之后，可以說明 從而由中心極限定理可知，當 時，y的極限概率分布是一 個均值為 ，方差為 的正態(tài)分布 1 01 11 ln=ln N Nn n n SS r TSTS 1 ln n n S S 22 lnlnln u puqdpq d , 22 2 lnln1 11 ln puqd EyN tT u VarypqN TtdT tT 2 2 1

21、 2 E yrVar y T ， 0t 2 1 2 r 2 T 23 優(yōu)質教學 從而對t時刻的股票價格St有 即 T時刻的股票價格St服從對數(shù)正態(tài)分布，這與連續(xù)模型中假定股 票價格為幾何布朗運動是一致的。 2 2 0 1 112 0,1ln+ 2 N yr S ZNZr TST T 22 00 111 ln,ln=+ 22 tt SS ZrtZrt tSSt 2 1 + 2 0 0,1 tZrt t SS eZN 24 優(yōu)質教學 【獨立同分布的中心極限定理】設隨機變量X1、 X2 XN獨立同分 布則隨機變量： 的分布函數(shù)FN（x）滿足： 即當N很大時，yN近似服從N（0,1）。 2 , kk

22、E XVarX 1 N k k N XN y N 2 1 2 1 limlim 2 N tk x k N Nn XN FxPxedt N 2 1 , N k k XN NN 近似服從 25 優(yōu)質教學 二叉樹模型的風險中性定價公式 考慮一個有效期為T，到期值復位F(S)的歐式衍生證券，在風 險中性概率測度下，其價值為： 若F(S)為線性函數(shù)，則當 時，F(xiàn)(ST)近似服從對數(shù)正態(tài)分 布，于是采用對應的連續(xù)方法來求即得到二叉樹模型的對數(shù)正 態(tài)逼近模型： 下面利用上面的公式對歐式看漲期權進行定價，此時 0 rT N VeE F S 0t 2 2 1 2 2 00 1 2 Z rTTZ rTrT T VeF SdP ZeF S eedZ 26 優(yōu)質教學 首先計算（5.17）括號中的表達式，當 成立時，括號中的表達式非零。那么，通過解 22 2 2 0 11 22 00 1 2 2 0 = 1 ,;5.17 2 rT TTT rTTZrTTZ rT T x rTTZ rT F SSXVeESX SS eV eES eX VC S X TeS eXedx 故有 由因此 從而 （） 通過積分基本規(guī)則，我們將計算期望值。 2 0 exp0 2 ST xrTX 2 0 exp=0 2 STxrTX 27 優(yōu)質教學 2 2 22 2 2 0 020 1 2 2 0 1