研究領(lǐng)域微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)電子商務(wù)中最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)拍賣方案

1、研究領(lǐng)域：微觀經(jīng)濟(jì)學(xué) 電子商務(wù)中最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)拍賣方案內(nèi)容摘要：本文研究了電子商務(wù)環(huán)境中，當(dāng)拍賣參與者不確定時(shí)拍賣人的最優(yōu)拍賣方案的設(shè)計(jì)和特征。我們用泊松過程來描述拍賣參與者得到達(dá)，比較了兩種拍賣的停止規(guī)則下的最優(yōu)拍賣，并用例子進(jìn)行了說明和比較。關(guān)鍵詞： 拍賣 泊松過程 停止規(guī)則 An Optimal Internet Auction in Electronic CommerceAbstract: In the article, we characterize a class of optimal internet auction in Electronic Commerce when auctio

2、neer is not sure of the number of people who will participate in his auction. We use the poisson process to model the arrivals of the players of the internet auction. And we characterize the optimal auctions under two type of terminating rules: time fixed rule and member fixed rule. Then we use an e

3、xample to find the optimal revenue. Key word : Auction Poisson Process Terminating Rule作者： 聶海峰單位： 北京大學(xué)光華管理學(xué)院郵件地址： hfengpku聯(lián)系電話電子商務(wù)中最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)拍賣方案內(nèi)容摘要：本文研究了電子商務(wù)環(huán)境中，當(dāng)拍賣參與者不確定時(shí)拍賣人的最優(yōu)拍賣方案的設(shè)計(jì)和特征。我們用泊松過程來描述拍賣參與者得到達(dá)，比較了兩種拍賣的停止規(guī)則下的最優(yōu)拍賣，并用例子進(jìn)行了說明和比較。關(guān)鍵詞： 拍賣 泊松過程 停止規(guī)則 拍賣這種交易方式有著悠久的歷史，拍賣這種交易方式起源很早，根據(jù)記載公

4、元前500年的中亞巴比倫地區(qū)，男人們通過拍賣的方式來得到妻子。拍賣在古羅馬也很盛行，人們用拍賣的方式出售戰(zhàn)利品，貨物，地產(chǎn)甚至王位。關(guān)于拍賣的形式和歷史，在Cassady(1967)的書中有很詳細(xì)的記載，可惜這本書國內(nèi)不易見到。古往今來，被拍賣的物品也形形色色，從古玩字畫到日常用品，從農(nóng)產(chǎn)品到海鮮，政府債券，營業(yè)執(zhí)照，電波頻率的各種有形無形的物品無所不報(bào)。最近幾年，拍賣被用來出售政府資產(chǎn)，電信執(zhí)照以及電力市場的產(chǎn)品引起了人們的關(guān)注。另一方面，因特網(wǎng)和電子商務(wù)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)拍賣也日漸興盛。不但出現(xiàn)了專業(yè)的拍賣網(wǎng)站，許多交易也采用拍賣的方式。拍賣理論是最近二十年蓬勃發(fā)展的經(jīng)濟(jì)學(xué)分枝，1996年現(xiàn)代拍

5、賣理論的奠基人Vikery獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)就是一個(gè)重要的標(biāo)志。拍賣的方式起源很早，但是有記載的理論研究卻是從上世紀(jì)的五六十年代開始的。Vikery提出了正式的拍賣模型，并得到了著名的“收益等價(jià)原理”。Vikery的模型是私人價(jià)值(Private value)模型，不久之后，Wilson提出了公共價(jià)值模型(Common value)，對于各種拍賣的研究出現(xiàn)在各種管理學(xué)的雜志中。到了八十年代，拍賣理論的研究也出現(xiàn)了新的重要進(jìn)展。Reliey和Samuelson(1981),Myerson(1981)同時(shí)證明了更加一般的“收益等價(jià)原理”：在任何兩個(gè)不同私人價(jià)值拍賣模型中，如果物品總是由評價(jià)最高的

6、人得到，并且評價(jià)最低的人在兩個(gè)模型的收益是一樣的，那么這兩中拍賣產(chǎn)生相同的預(yù)期收益。而且，Myerson(1981)也證明了一般的最優(yōu)拍賣機(jī)制的設(shè)計(jì)要滿足的條件。同時(shí)，Milgrom和Weber(1982)提出了“Affiliated Value”模型，統(tǒng)一了私人價(jià)值和公共價(jià)值模型，為拍賣理論的研究提供了新的框架。收益等價(jià)原理成為拍賣理論發(fā)展的基準(zhǔn)，之后的理論進(jìn)展在于放松假設(shè)原理的假設(shè)條件。收益等價(jià)成立的條件有：（1）參與者風(fēng)險(xiǎn)中性。不論是拍賣者（auctioneer）,還是竟價(jià)者（bidder）都是風(fēng)險(xiǎn)中性。（2）只有一件物品拍賣。（3）不同竟價(jià)者對拍賣品的評價(jià)是獨(dú)立的私人評價(jià)，不受其他人評

7、價(jià)的影響。（4）竟價(jià)者之間不存在合謀和勾結(jié)。（5）竟價(jià)者之間是對稱的，他們的評價(jià)有相同的分布，對于拍賣的結(jié)構(gòu)有相同的信息。同時(shí)，文獻(xiàn)提出了四種標(biāo)準(zhǔn)的拍賣模型：英式拍賣，荷蘭式拍賣，第一價(jià)格拍賣和第二價(jià)格拍賣。其中。前兩種拍賣是公開拍賣，后兩種拍賣是密封價(jià)格拍賣。在所有放松收益等價(jià)原理?xiàng)l件的研究中，往往考察四種標(biāo)準(zhǔn)拍賣的收益比較情況，得到的結(jié)論有時(shí)是英國式拍賣最優(yōu)，有時(shí)是第一價(jià)格最優(yōu)。拍賣的機(jī)制設(shè)計(jì)有重要的影響，沒有普遍最優(yōu)的拍賣方式。一方面，隨著上世紀(jì)九十年代政府用拍賣的方式來頒發(fā)電信執(zhí)照，電力管制和進(jìn)行公用事業(yè)的私有化，現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象對拍賣理論提出了新的問題；另一方面，隨著理論的進(jìn)展，拍賣理

8、論的研究突破了單一物品拍賣的研究，討論同時(shí)多單位產(chǎn)品同時(shí)拍賣的問題。早期的研究中關(guān)注的是各種拍賣形式的收益問題，逐漸轉(zhuǎn)移到討論最有效率的拍賣的問題：即拍賣的結(jié)果是對物品評價(jià)最高的竟價(jià)者獲得拍賣品。這反映了在政府主持的拍賣中效率問題是考慮的關(guān)鍵，是理論和實(shí)踐結(jié)合的顯著例子。不但政府方面重視拍賣，隨著電子商務(wù)和網(wǎng)絡(luò)交易的發(fā)展，網(wǎng)上拍賣的日漸發(fā)展對理論也提出了要求。在最優(yōu)拍賣理論的研究中，拍賣的參與者的數(shù)目是固定的。從機(jī)制設(shè)計(jì)的角度來看，拍賣就是一組規(guī)則，決定拍賣的嬴家和所有參與者的支付，Myerson(1981)證明的一般最優(yōu)拍賣機(jī)制中參與者的數(shù)目就是固定的。在重要物品的拍賣時(shí)，通常要有一段籌備時(shí)

9、間，為傳播拍賣的消息以便吸引足夠的竟價(jià)者，使拍賣順利進(jìn)行。但是在網(wǎng)絡(luò)的環(huán)境中，參與拍賣的參加者是可以變化的，拍賣的參與者受瀏覽拍賣網(wǎng)頁的人數(shù)的影響，可以認(rèn)為這是一個(gè)隨機(jī)變量，因而在拍賣的設(shè)計(jì)時(shí)要考慮這個(gè)因素。對于這種情況，我們可以用下面的一個(gè)例子來說明。假設(shè)你有一臺隨身聽，現(xiàn)在的潮流是聽各種款式的MP3播放機(jī)，你也想加入潮流之中，但是你的現(xiàn)款不夠。這時(shí)，你想到把隨身聽賣掉。你經(jīng)常上網(wǎng)，知道網(wǎng)上拍賣很流行，你就想把它拍賣掉。你需要錢，希望隨身聽越快賣掉越好，但是你也希望能賣一個(gè)好價(jià)錢。你開始拍賣時(shí)不知道會有多少人參加拍賣，但你知道上網(wǎng)的人中參與你的拍賣的人有一定的分布。你可以確定拍賣持續(xù)的時(shí)間來

10、進(jìn)行拍賣，你也可能等不急，只要有一定的參與者可以結(jié)束拍賣。這樣，就有兩種不同的規(guī)則可以結(jié)束拍賣，在這不同的規(guī)則下，最優(yōu)的拍賣應(yīng)當(dāng)是什么樣的形式？由于參與者到達(dá)是隨機(jī)的，你要在人數(shù)和時(shí)間之間進(jìn)行權(quán)衡。本文研究這樣一類模型，參與網(wǎng)上拍賣的竟價(jià)者服從泊松過程，拍賣者具有時(shí)間偏好的情況下，兩種拍賣結(jié)束規(guī)則下的最優(yōu)拍賣設(shè)計(jì)。第一種規(guī)則是“定時(shí)規(guī)則”：規(guī)定拍賣開始和結(jié)束的時(shí)間，拍賣持續(xù)的時(shí)間是事前規(guī)定的，在拍賣進(jìn)行的時(shí)間內(nèi)，參與者服從泊松分布。第二種規(guī)則是“定員規(guī)則”：規(guī)定拍賣開始的時(shí)間和參與者數(shù)目，當(dāng)拍賣持續(xù)到參與者達(dá)到規(guī)定的數(shù)目時(shí)拍賣結(jié)束。在文章接下來的部分中，第二節(jié)模型的基本定義和假設(shè)。為了便于比較

11、和分析，第三節(jié)是參與者數(shù)目固定時(shí)最優(yōu)拍賣機(jī)制的設(shè)計(jì)，第四節(jié)和第五節(jié)分別討論“定員規(guī)則”和“定時(shí)規(guī)則”下的最優(yōu)拍賣機(jī)制設(shè)計(jì)問題，第六節(jié)是一個(gè)例子，最后一節(jié)是對文章的總結(jié)和評注。二 、模型這里我們使用私人價(jià)值的框架，參與者都是風(fēng)險(xiǎn)中型的，只拍賣一單位的物品。對于此物品，拍賣者的估價(jià)為，拍賣者的貝努利函數(shù)，這里是拍賣者的時(shí)間偏好率，是拍賣結(jié)束的時(shí)間，我們假設(shè)拍賣結(jié)束時(shí)，得到收入。這樣，拍賣者的效用函數(shù)=，這里，其中表示“定時(shí)規(guī)則”，表示“定員規(guī)則”，不同的規(guī)則下有不同的參與者數(shù)目和拍賣結(jié)束時(shí)刻。我們假設(shè)當(dāng)拍賣開始后，到達(dá)的買者的數(shù)目服從參數(shù)為的泊松過程，即有：（1）；（2）；（3）有獨(dú)立增量的性質(zhì)。

12、這里，我們記拍賣開始的時(shí)刻為0，表示到時(shí)刻時(shí)買者的數(shù)目。是泊松過程的參數(shù)，表示單位時(shí)間到達(dá)的人數(shù)。下面我們定義拍賣的停止規(guī)則：“定時(shí)規(guī)則”是一個(gè)實(shí)數(shù)，表示拍賣持續(xù)到時(shí)刻停止，拍賣者決定拍賣停止。 （2.1）“定員規(guī)則”是一個(gè)整數(shù),表示當(dāng)參與者的數(shù)目達(dá)到時(shí)，拍賣者決定拍賣結(jié)束。 （2.2）我們可以看到，在“定時(shí)規(guī)則”下，拍賣持續(xù)的時(shí)間是固定的，但是參與者的數(shù)目是不確定的，根據(jù)泊松過程的性質(zhì)我們知道在有限的時(shí)間內(nèi)參與人數(shù)也是有限的；在“定員規(guī)則”下，參與者的數(shù)目是確定的但是拍賣持續(xù)的時(shí)間是不確定的。我們令表示在“定員規(guī)則”下拍賣結(jié)束的時(shí)刻，則根據(jù)泊松過程的性質(zhì)我們知道服從參數(shù)為和的伽馬分布，分布密

13、度函數(shù)為，平均等待時(shí)間為有限值。令表示拍賣結(jié)束時(shí)竟價(jià)者的集合。表示拍賣參與者的數(shù)目，在不同的規(guī)則下，有不同的含義。在“定時(shí)規(guī)則”下，是個(gè)隨機(jī)變量，。在“定員規(guī)則”下=，是一個(gè)固定的數(shù)。對于每一個(gè)，參與者的私人評價(jià)為，貝努利函數(shù)。這里有連續(xù)分布表示評價(jià)小于的概率，具有連續(xù)密度函數(shù)，分布的支撐為=，在上嚴(yán)格正。同時(shí)，我們假設(shè)是的單調(diào)增函數(shù)。我們用表示拍賣結(jié)束時(shí)所有可能的參與者類型組合的笛卡兒集，。對于每個(gè)，我們用表示其他參與者所有可能的類型組合。我們假設(shè)參與者之間的評價(jià)是獨(dú)立的，并且都獨(dú)立于到達(dá)的泊松過程。三、固定數(shù)目參與者的最優(yōu)機(jī)制根據(jù)顯示原理（revelation principle）(Mye

14、rson,1981)我們可以考慮直接顯示機(jī)制。拍賣者設(shè)計(jì)每個(gè)參與者得到物品得到概率和支付滿足：， 和 （3.1） 在拍賣結(jié)束時(shí)拍賣者根據(jù)每個(gè)參與者報(bào)告他的私人評價(jià)，計(jì)算和，我們用表示概率組合，表示參與者的支付組合。這樣，一個(gè)機(jī)制就是組合。在這樣一個(gè)機(jī)制下，參與者報(bào)告時(shí)的預(yù)期贏得物品的條件概率為，條件預(yù)期支付為。參與者的效用函數(shù)為=-，由于參與是自愿的，任何可行的機(jī)制都要滿足參與者的參與約束 ：對，有 （3.2）在這個(gè)機(jī)制下我們這里考慮的拍賣人面對固定個(gè)數(shù)的買者，這里拍賣人面對的不確定性只是賣者評價(jià)的不確定性，拍賣人的收入為 （3.3）由于參與人對拍賣品的評價(jià)為私人信息，任何機(jī)制都必須使得參與者

15、真實(shí)報(bào)告是一個(gè)Nash均衡,滿足激勵(lì)相容機(jī)制: -對任意的， （3.4）這樣，在拍賣的直接機(jī)制中，一個(gè)可行機(jī)制就是組合滿足（3.1）（3.2）（3.4）。 使用通常的技巧，充分的利用激勵(lì)相容約束我們可以得到下面的引理：引理 1 是可行機(jī)制當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件滿足：如果，那么有，、， （3.5）， （3.6） （3.7）以及 ， 和 （3.1）這個(gè)引理充分刻畫了可行機(jī)制的特征，這樣拍賣者的問題就是選擇滿足引理1的機(jī)制，來最大化他的預(yù)期收益（3.3）。利用條件（3.6）和，的定義我們得到拍賣者的收入為= （3.8）這樣一來，拍賣者的問題就是在滿足約束（3.1）（3.5）（3.7）的機(jī)制中選擇來最大化

16、收入（3.8）。解這個(gè)最大化問題，由于問題關(guān)于是凹函數(shù)，而且是線性的，我們在上逐點(diǎn)最大化就得到了引理2，就是拍賣人的最優(yōu)機(jī)制。引理 2 是最優(yōu)機(jī)制當(dāng)且僅當(dāng)滿足約束（3.5）（3.1）最大化并且， （3.9） （3.7）以及 ， 和 （3.1）這樣，由引理2和我們關(guān)于參與者評價(jià)分布的假設(shè)就得到固定數(shù)目參與者時(shí)的最優(yōu)拍賣機(jī)制。我們可以知道，由于是線性函數(shù)，因而時(shí)，拍賣人保留物品不予售出，僅當(dāng)時(shí)，0。可以解釋為邊際收益，只把物品分配給具有最高邊際收益的買者。由于我們假設(shè)是單調(diào)遞增的，對任給，最優(yōu)機(jī)制就是最大化同時(shí)滿足約束， 。由的單調(diào)性，我們可以知道也是單調(diào)的，因而滿足約束（3.5）。 為了得到參與

17、者的支付函數(shù)，對任何關(guān)于其他人的估價(jià)的向量，我們定義，是參與者相對于的最小成功出價(jià)。這樣我們就可以根據(jù)（3.9）和上邊的分析得到下面的推論。推論1 當(dāng)參與者數(shù)目固定時(shí)，最優(yōu)拍賣機(jī)制的結(jié)構(gòu)如下： 參與者獲得成功的概率 滿足： 參與者的支付最優(yōu)機(jī)制滿足具有最高邊際評價(jià)的買者的到物品，他的支付是最小獲勝評價(jià)。由于分布是連續(xù)的，出現(xiàn)相同邊際評價(jià)的概率為0。四、“定員規(guī)則”下的最優(yōu)機(jī)制 這里和整篇文章一致，我們假設(shè)拍賣者有完全的承諾能力（full commitment）,拍賣者對物品的評價(jià)是公共知識。在“定員規(guī)則”下，拍賣人在事前就確定了拍賣的參與人，拍賣人對參與者的人數(shù)沒有不確定；拍賣人在這時(shí)不確定拍

18、賣停止的時(shí)刻。由于買者到達(dá)的時(shí)刻和他的信息的分布是獨(dú)立的，因而拍賣人在拍賣停止時(shí)的參與人數(shù)事固定的，因而在給定人數(shù)時(shí)，第三節(jié)的推論1的機(jī)制是最優(yōu)的。由于在“定員規(guī)則”和第三節(jié)分析的不同之處在于前邊的參與者人數(shù)是固定的，在這時(shí)我們要選擇拍賣的結(jié)束人數(shù)。這時(shí)，一個(gè)可行的拍賣機(jī)制就是一個(gè)三元組（，），其中滿足約束（2.2），給定，（，）滿足引理1。此時(shí)的可行機(jī)制由停止規(guī)則，物品分配概率向量和支付向量組成。從第二節(jié)我們知道=，由于評價(jià)和到達(dá)時(shí)間是獨(dú)立的對任意可行的機(jī)制，我們知道和是獨(dú)立的，因而對任一可行機(jī)制有：= （4.1）這樣，拍賣者就可以在可行機(jī)制中進(jìn)行選擇最大化他的效用（4.1）。這一目的可以通

19、過兩步來的到，首先給定，計(jì)算最優(yōu)機(jī)制得到和（，）,這里（，）滿足推論1。第二步我們計(jì)算最優(yōu)的最大化導(dǎo)出的效用=，就可以得到最優(yōu)的停止人數(shù)。這樣我們就得到：引理 3 “定員規(guī)則”下的最優(yōu)機(jī)制是如下的三元組（，），滿足條件：（1） ；（2）給定，（，）滿足推論1。由于，不一定具有可微性，同時(shí)沒有明確參加者評價(jià)的分布函數(shù)時(shí)，不易得到一般的結(jié)論。后面在第六節(jié)我們用例子來說明機(jī)制的結(jié)構(gòu)。簡單分析可以知道，時(shí)間偏好對機(jī)制的選擇有影響。前邊我們也看到，時(shí)間偏好對分配機(jī)制的影響只是通過停止規(guī)則來發(fā)生作用。六、“定時(shí)規(guī)則”下的最優(yōu)機(jī)制和“定員規(guī)則”不同，在“定時(shí)規(guī)則”下拍賣結(jié)束時(shí)拍賣參與人的數(shù)目時(shí)不確定的。拍賣

20、人在事前確定了拍賣的停止時(shí)刻，拍賣人對參與者的人數(shù)是不確定的；拍賣人對拍賣停止的時(shí)刻的選擇就是對參與人數(shù)概率分布的選擇。由于買者到達(dá)的時(shí)刻和他的信息的分布時(shí)獨(dú)立的，同樣拍賣人在給定拍賣停止時(shí)的參與人數(shù)固定時(shí)，第三節(jié)的推論1的機(jī)制是最優(yōu)的。由于在“定員規(guī)則”和第三節(jié)分析的不同之處在于后者的參與者人數(shù)是固定的，在這里我們要選擇拍賣的結(jié)束時(shí)間。不同的結(jié)束時(shí)間對應(yīng)著結(jié)束時(shí)參與人數(shù)不同的概率分布?！岸〞r(shí)規(guī)則”下一個(gè)可行的拍賣機(jī)制就是一個(gè)三元組（，），其中滿足約束（2.2）。這里，與前邊的不同之處在于，拍賣者事前無法確定結(jié)束時(shí)刻買者的數(shù)目，于是它的可行的配置必須對每一個(gè)可能的參與者數(shù)目都給出規(guī)定。（，）=

21、就是結(jié)束時(shí)刻人數(shù)的函數(shù)，對于每一個(gè)給定，滿足引理1。此時(shí)的可行機(jī)制由停止規(guī)則，物品分配概率向量和支付向量組成。從第二節(jié)我們知道=，由于評價(jià)和到達(dá)時(shí)間是獨(dú)立的對任意可行的機(jī)制，我們知道是事前選擇的，因而對任一可行機(jī)制有：= （5.1）這里我們看到，拍賣者獲得收入的時(shí)刻時(shí)確定的這樣，拍賣者就可以在可行機(jī)制中進(jìn)行選擇最大化他的效用（5.1）。這一目的可以通過兩步來的到，首先給定，計(jì)算最優(yōu)機(jī)制得到最優(yōu)機(jī)制下的條件效用和條件最優(yōu)機(jī)制（，）,這里（，）滿足推論1。第二步我們選擇最優(yōu)的來選擇參與人數(shù)的分布萊最大化的效用=，就可以得到最優(yōu)的停止時(shí)間。這樣我們就得到：引理 4 “定時(shí)規(guī)則”下的最優(yōu)機(jī)制是如下的三

22、元組（，），滿足條件：（1） ；（2）給定，對結(jié)束時(shí)刻的任意人數(shù),滿足推論1。由于，不一定具有可微性，同時(shí)沒有明確參加者評價(jià)的分布函數(shù)時(shí)，我們選擇停止時(shí)刻是在不同概率分布之間選擇，我們可以預(yù)料這使得最大化問題更復(fù)雜。我們甚至不能一般性的證明解的存在性。在第六節(jié)我們用例子來說明機(jī)制的復(fù)雜性。七、一個(gè)簡單的例子 這里，我們假設(shè)買者是對稱的，他們的私人評價(jià)服從相同的分布，都是服從區(qū)間上的均勻分布。拍賣者對拍賣品的估價(jià)為=0。 （i）在給定參與者人數(shù)為的時(shí)候，我們可以計(jì)算出拍賣者最優(yōu)的預(yù)期收益=，同時(shí)，我們可得到最優(yōu)的概率分配機(jī)制， (7.1)我們可以看到評價(jià)最高的參與者獲得了拍賣的勝利。此時(shí)最優(yōu)的支

23、付為 ， (7.2)這里，=1，2，.，n表示買者的集合,勝者的支付為最高的失敗價(jià)格。這和通常的第二價(jià)格拍賣是一致的，可以通過第二價(jià)格拍賣來執(zhí)行最優(yōu)機(jī)制。(ii)在“定員規(guī)則”下，我們計(jì)算最優(yōu)的機(jī)制。首先，給定任一可行的停止規(guī)則，我們可以計(jì)算得到停止時(shí)的期望收益為=，這樣，在這種規(guī)則下。拍賣者的效用函數(shù)=接下來選取停止人數(shù)最大化，我們得到。從這里我們可以看出，最優(yōu)停止人數(shù)的選擇受拍賣人的時(shí)間偏好和買者到達(dá)特征決定的。當(dāng)，有，當(dāng)拍賣人沒有耐心時(shí)，他會和遇到的第一個(gè)人交易，他的期望收益為0。當(dāng)，有，拍賣人不存在時(shí)間偏好的時(shí)候，他會充分利用買者的特征，等待足夠多的買者，得到更大的效用。在本例中，當(dāng)，

24、時(shí)，拍賣者可以得到最高的收益1。但是為了得到這一收益，拍賣者的平均等待時(shí)間要接近取窮大。（iii）在“定時(shí)規(guī)則”下，首先，給定任一可行的停止規(guī)則，我們可以計(jì)算得到停止時(shí)參與人數(shù)為=時(shí)的，期望收益為=，這樣，在這種規(guī)則下。拍賣者的效用函數(shù)=我們可以看到，簡化的效用函數(shù)是關(guān)于停止時(shí)刻的一個(gè)復(fù)雜的超越函數(shù)，我們沒有辦法得到關(guān)于最優(yōu)停止時(shí)間的解析解，但是如果知道具體參數(shù)的值，我們可以用數(shù)值解法來得到最優(yōu)的時(shí)刻。為了說明最優(yōu)時(shí)刻的存在性，我們?nèi)?shù)，作圖如下，說明確實(shí)存在最優(yōu)的時(shí)刻。這一性質(zhì)是普遍成立的。=Exp-0.5t(1 2(1 - Exp-2t)/(2t), t, 0, 10當(dāng)然，我們可以假設(shè)其

25、他的分布函數(shù)計(jì)算最優(yōu)拍賣機(jī)制的特征，不同的停止規(guī)則造成拍賣結(jié)束時(shí)不同的參與人數(shù)分布，這是本文考察的兩類停止規(guī)則的最大的不同。八、結(jié)語拍賣理論仍然是一個(gè)具有廣泛發(fā)展前景的研究領(lǐng)域，仍然有許多為解決的問題需要討論同時(shí)隨著拍賣實(shí)踐的發(fā)展，也不斷的出現(xiàn)新的問題。本文假設(shè)參與拍賣的買者服從泊松分布，比較了兩種不同停止規(guī)則下的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題。本文沒有涉及的一個(gè)問題是這兩種規(guī)則是否等價(jià)：即給定一種規(guī)則下達(dá)到的效用，存在另一種規(guī)則下的一個(gè)選擇達(dá)到同樣的效用；或者這兩種規(guī)則中的一種帶來更大的收益。更進(jìn)一步的，是否存在一個(gè)一般的最優(yōu)的停止規(guī)則，而不僅僅局限在這兩種規(guī)則中進(jìn)行選擇？這需要進(jìn)一步研究的方向。另一方面，本文沒有涉及的內(nèi)容是買者的策略問題，即沒有考慮最有機(jī)制如何實(shí)施的問題。本文中，買者只是被動的報(bào)告評價(jià)。如果買者到達(dá)是外生隨機(jī)的，在許多常用的拍賣形式中就會有一個(gè)買者選擇出價(jià)時(shí)間的問題。這在“定時(shí)規(guī)則”下就是買者出價(jià)時(shí)間的選擇，這超出了本文的框架。對于這一現(xiàn)象的研究可以參看Roth(1999)文章對于