均勻帶電圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)下的磁場分

1、均勻帶電圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)下的磁場分布西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 20090994 朱鵬飛摘要文章通過麥克斯韋方程導(dǎo)出電磁輻射公式在圓盤上任取一個(gè)帶電小圓環(huán)小圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)形成電流電流產(chǎn)生電磁場利用場強(qiáng)疊加原理得整個(gè)帶電環(huán)產(chǎn)生的電磁場再計(jì)算整個(gè)圓盤繞對(duì)稱軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的電磁場并進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠懻?，在此基礎(chǔ)上增加了數(shù)字模擬下的均勻帶電圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)下的磁場立體分布，并加以討論。關(guān)鍵詞均勻帶電圓盤 麥克斯韋方程 推遲勢 磁感應(yīng)強(qiáng)度 引言人們?cè)谏詈蜕a(chǎn)中利用圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)數(shù)不勝數(shù)，這些圓盤一旦帶上電后就成為繞對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻帶電圓盤，由于轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生電流，電流激電磁場.這種情況可看作若干環(huán)形線電荷所激發(fā)的電徽?qǐng)龅寞B加，這是 電磁學(xué)中

2、的一個(gè)較重要的問題。本文采用矢勢對(duì)其進(jìn)行求解.先通過 麥克斯韋方程，達(dá)朗貝爾方程和洛倫茲變換條件推導(dǎo)出了載流圓盤周圍空間的磁場分布完整的解析表達(dá)式。進(jìn)而求解轉(zhuǎn)動(dòng)帶電圓盤的磁場，并對(duì)結(jié)果講行討論.1原理和公式的推導(dǎo)1. 1波動(dòng)方程繞對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)在均勻帶電圓盤的電磁輻射場應(yīng)滿足麥克斯韋方程組在真空中,取(1)式第一式的旋度并利用第二式及得: 同樣在(1)中消除電場，可得磁場的偏微分方程:1. 2電磁場的矢勢和標(biāo)勢在恒定場中，由的無源性引入矢勢使:在變化情況下電場與磁場發(fā)生直接關(guān)系。因而電場的表達(dá)式必然包含矢勢在內(nèi)，把(4)代入(1)第一式得: 該式表示是無旋場，因此它可以用標(biāo)勢描述 因此，一般情況下

3、電場的表達(dá)式為:1. 3達(dá)朗貝爾方程及求解現(xiàn)在由麥克斯韋方程組推導(dǎo)矢勢和所滿足的基本方程，把(4)和(5)代入(1)中第二式和第三式并應(yīng)用得:采用洛倫茲規(guī)范 由(6)和(7)式得: 用洛倫茲規(guī)范時(shí)，和的方程具有相同形式，其意義也特別明 顯。方程（8）稱為達(dá)朗貝爾方程，它是非齊次的波動(dòng)方程，其自由項(xiàng)為電流密度和電荷密度。由(8)式，電荷產(chǎn)生標(biāo)勢波動(dòng)，電流產(chǎn)生矢勢波動(dòng)。離開電荷電流分布區(qū)域后，矢勢和標(biāo)勢都以波動(dòng)形式在空間中傳播，由它們導(dǎo)出的電磁場和也以波動(dòng)形式在空間中傳播.對(duì)(8)式進(jìn)行求解得 2勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的空間磁場2. 1推導(dǎo)矢勢表達(dá)式設(shè)圓盤在xoy平面，對(duì)稱軸為z軸，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度恒定不變，圓盤

4、(厚度不計(jì))均勻帶電，電量為Q，圓盤半徑為a，則電荷密度圖1薄圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的空間電磁場在圓盤上任取一細(xì)圓環(huán)，設(shè)圓環(huán)的半徑r寬度為dr，則由于圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電流為：由定義可知，沿閉合回路流動(dòng)的電流I在r點(diǎn)產(chǎn)生的矢勢為：對(duì)圓環(huán)電流I來說，由于對(duì)稱性，在以Z軸為中心的周圍(圓周Z=常數(shù)的平面內(nèi))上.任何一點(diǎn)，的大小A都應(yīng)相同.因此，A應(yīng)與方位角無關(guān)，為方便，我們求=0處點(diǎn)的，如圖所示，電流元的線元為：電流元到P點(diǎn)的距離為：式中為和之間的夾角。球坐標(biāo)系中任意兩矢量與之間夾的公式為：令故將(12 ), (13), (15)代入(11)得：(16)式中于是（16)得：由圖可知，在球坐標(biāo)電P點(diǎn)的，故可寫

5、作：利用幕級(jí)數(shù)：(20)式的分母利用幕級(jí)數(shù)展開，同時(shí)設(shè)P點(diǎn)在中、遠(yuǎn)區(qū)，rr級(jí)數(shù)只取二級(jí)近似值： 把(21)式代入(20)式中得于是得：2.3求解磁感強(qiáng)度由(4)式計(jì)算磁感強(qiáng)度如下：其中由(23)式有由球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式： （25）可將結(jié)果表示成直角坐標(biāo)下的磁場表達(dá)式： （26） 利用DTP平臺(tái)制作旋轉(zhuǎn)帶點(diǎn)盤磁場三維模型如下： 圖二 只畫兩個(gè)磁場面時(shí) 圖三 多磁場面時(shí)磁場分布3結(jié)果分析3.1在軸線上時(shí)，由式（25）可得 該關(guān)系在圖三中可清晰表示，在圓盤軸線上，隨其離圓盤距離增加，磁場線分布越稀少，磁場強(qiáng)度越小，在圓盤中心附近磁場線密集，則此時(shí)磁場強(qiáng)度很大.3.2在z=0平面上時(shí)，由式（25

6、）可得在圓盤上的磁場在圖三中也可清晰表示，在盤上磁場方向豎直向下，磁場在半徑小時(shí)分布密集，磁場強(qiáng)度很大，而半徑增大時(shí)，磁場分布稀少，磁場強(qiáng)度較小，磁場大小隨半徑增大而減小。3.3由數(shù)字模擬的結(jié)果可判斷空間任意一點(diǎn)的磁場方向并間接由該點(diǎn)磁場密集程度判斷磁場強(qiáng)度.3. 3適用條件本文的理論僅適合圓盤移去負(fù)電荷后成為的帶正電體，對(duì)于由多余電子形成帶負(fù)電體不適用，因?yàn)殡娮釉诟咚俎D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)電荷會(huì)重新分布.另外，也只適用離圓心較遠(yuǎn)的空間，即討論中、遠(yuǎn)區(qū)的電磁輻射場，即只使用于的情況，a越大，電磁場強(qiáng)度越大，離圓心o越遠(yuǎn)，電磁場強(qiáng)度越小，在無窮遠(yuǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度為o. 3.4結(jié)論由(23)式及以上討論，并結(jié)合圖2、圖3可知，繞均勻帶電圓盤對(duì)稱軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電磁場是一個(gè)相當(dāng)于一個(gè)平面螺線管產(chǎn)生的電磁場，為穩(wěn)恒磁場，沒有輻射的電磁場。4討論通過數(shù)字模擬的方式實(shí)現(xiàn)了磁場的可視化，進(jìn)而將磁場的各項(xiàng)性質(zhì)同時(shí)表達(dá)于一個(gè)圖中，這種方式將復(fù)雜的公式與變量關(guān)系可視化，在物理教學(xué)于物理學(xué)習(xí)中至關(guān)重要。通過圖三一圖就可將整個(gè)數(shù)學(xué)模型清晰描述，這是其他任何工具都無法