向量代數(shù)與空間解析幾何12160PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何12160 第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo) 二、空間兩點(diǎn)間的距離二、空間兩點(diǎn)間的距離 三、小結(jié)三、小結(jié) 空間解析幾何空間解析幾何 與向量代與向量代 數(shù)數(shù) 第1頁(yè)/共69頁(yè) x 橫軸橫軸 y 縱縱 軸軸 z豎軸豎軸 定定 點(diǎn)點(diǎn) o 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向 符合符合右手系右手系. 即以右手握住即以右手握住z軸，軸， 當(dāng)右手的四個(gè)手指當(dāng)右手的四個(gè)手指 從正向從正向x軸以軸以 2 角 角 度轉(zhuǎn)向正向度轉(zhuǎn)向正向y軸軸 時(shí)，大拇指的指向時(shí)，大拇指的指向 就是就是

2、z軸的正向軸的正向. 第2頁(yè)/共69頁(yè) x yo z xoy面面 yoz面 面 zox面面 空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限八個(gè)卦限 第3頁(yè)/共69頁(yè) 空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11 特殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示: )0 , 0 , 0(O ),(zyxM x y z o )0 , 0 ,(xP )0 , 0(yQ ), 0 , 0(zR )0 ,(yxA ), 0(zyB ),(zoxC 坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),P,Q,R 坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),A ,B,C 第4頁(yè)/共69頁(yè) 坐標(biāo)軸 : 軸x 0 0 z y 0 0 x z 軸y 軸z 0 0 y x 坐標(biāo)

3、面 : 面yox0 z 面zoy0 x 面xoz0 y x y z o 第5頁(yè)/共69頁(yè) 設(shè)設(shè)),( 1111 zyxM、),( 2222 zyxM為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn) x y z o 1 M PN Q R 2 M ? 21 MMd 在在直直角角 21NM M 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定 理理知知 , 2 2 22 1 2 NMPNPMd 第6頁(yè)/共69頁(yè) , 121 xxPM , 12 yyPN , 122 zzNM 2 2 22 1 NMPNPMd . 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式 特殊地：若兩點(diǎn)分別特殊

4、地：若兩點(diǎn)分別 為為 ,),(zyxM)0 , 0 , 0(O OMd . 222 zyx x y z o 1 M PN Q R 2 M 第7頁(yè)/共69頁(yè) 第二節(jié) 向量及其加減法向量及其加減法 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 一、向量的概念一、向量的概念 二、向量的加減法二、向量的加減法 三、向量與數(shù)的乘法三、向量與數(shù)的乘法 四、小結(jié)四、小結(jié) 第8頁(yè)/共69頁(yè) 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. . 向量表示：向量表示： 以以 1 M為起點(diǎn)，為起點(diǎn)， 2 M為終點(diǎn)的有向線段為終點(diǎn)的有向線段. 1 M 2 M a 21M M 模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為1 1的向量的向量. . 21M M 0

5、0 a 零向量：零向量：模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為0 0的向量的向量. .0 |a 21M M| |向量的模：向量的模：向量的大小 向量的大小. . 單位向量：?jiǎn)挝幌蛄浚?或或 或或 或或 第9頁(yè)/共69頁(yè) 自由向量：自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量 不考慮起點(diǎn)位置的向量. . 相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. . 負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. . a a b a a 第10頁(yè)/共69頁(yè) 1. 向量的加法向量的加法 三角形法則: 平行四邊形法則: 運(yùn)算規(guī)律 :交換律 結(jié)合律 三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 . b b abba cba

6、)()(cbacba a b c ba cb )(cba cba)( a a ba ba 第11頁(yè)/共69頁(yè) s 3 a 4 a 5 a 2 a 1 a 54321 aaaaas 第12頁(yè)/共69頁(yè) 三角不等式 ab)( ab 有時(shí)特別當(dāng),ab aa )( aa baba ab a b ab a 0 baba 第13頁(yè)/共69頁(yè) 設(shè)設(shè) 是是一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，向向量量a 與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為 , 0)1( a 與與a 同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a 反向，反向，|aa a a 2 a 2 1 第14頁(yè)/共69頁(yè) 數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)與向

7、量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律： （1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a )( （2 2）分配律：）分配律：aaa )( baba )( . 0 ab aba ，使，使一的實(shí)數(shù)一的實(shí)數(shù)分必要條件是：存在唯分必要條件是：存在唯 的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量設(shè)向量設(shè)向量定理定理 兩個(gè)向量的平行關(guān)系兩個(gè)向量的平行關(guān)系 第15頁(yè)/共69頁(yè) 設(shè) a 為非零向量 , 則 ( 為唯一實(shí)數(shù)) 證證: “ ”. , 取 且 再證數(shù) 的唯一性 .則 ,0故.即 ab ab 設(shè) ab b a 取正號(hào), 反向時(shí)取負(fù)號(hào), , a , b 同向時(shí) 則 b 與 a 同向, 設(shè)又有 b a , 0)(a aa b

8、 a a b .ab故 ,0a而 第16頁(yè)/共69頁(yè) “ ” 則 ,0 時(shí)當(dāng) 例例1. 設(shè) M 為 M B A C D 解解: ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn), ,0 時(shí)當(dāng) b a ,0 時(shí)當(dāng) ,aAB ,bDA ACMC2MA2 BDMD2MB2 已知 b a , b0 a , b 同向 a , b 反向 ab .,MDMCMBMAba表示與試用 ba ab )( 2 1 baMA)( 2 1 abMB )( 2 1 baMC)( 2 1 abMD 第17頁(yè)/共69頁(yè) 同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aa 0 按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，

9、0 |aaa . | 0 a a a 上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是 一個(gè)與原向量同方向的單位向量一個(gè)與原向量同方向的單位向量. 第18頁(yè)/共69頁(yè) 第三節(jié)第三節(jié) 向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo) 一、向量夾角一、向量夾角 二、向量的坐標(biāo)表示二、向量的坐標(biāo)表示 三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式 第19頁(yè)/共69頁(yè) 一、空間兩向量的夾角的概念：一、空間兩向量的夾角的概念： , 0 a, 0 b a b 向向量量a 與與向向量量b 的的夾夾角角 ),(ba ),(ab 類似地，可定義類似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間

10、兩軸空間兩軸的夾角的夾角. 特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定 它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 第20頁(yè)/共69頁(yè) 在空間直角坐標(biāo)系下, 設(shè)點(diǎn) M , ),(zyxM 則 沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量分向量. kzjyixr ),(zyx x o y z M N B C i j k A ,軸上的單位向量分別表示以zyxkji 的坐標(biāo)為 此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 , rkzjyix 稱為向量, r 任意向量 r 可用向徑 OM 表示. NMONOMOCOBOA , ixOA , jyOB kzOC

11、第21頁(yè)/共69頁(yè) x y z o 1 M P N Q R 2 M 以以kji ,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量. i j k kajaiaa zyx 向量在 向量在 軸上的投影軸上的投影 x 向量在 向量在 軸上的投影軸上的投影 y 向量在 向量在 軸上的投影軸上的投影 z 12 xxax 12 yya y 12 zzaz kzzjyyixxMM )()()( 12121221 第22頁(yè)/共69頁(yè) kzzjyyixxMM )()()( 12121221 按基本單位向量的按基本單位向量的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式： 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量分向量：,kaj

12、aia zyx 向量的向量的坐標(biāo)坐標(biāo)：, zyx aaa 向量的向量的坐標(biāo)表達(dá)式坐標(biāo)表達(dá)式：, zyx aaaa , 12121221 zzyyxxMM 特殊地：特殊地： ,zyxOM 第23頁(yè)/共69頁(yè) 向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式 , zyx aaaa , zyx bbbb , zzyyxx babababa , zzyyxx babababa , zyx aaaa ;)()()(kbajbaiba zzyyxx ;)()()(kbajbaiba zzyyxx .)()()(kajaia zyx 第24頁(yè)/共69頁(yè) 1. 向量的模

13、與兩點(diǎn)間的距離公式向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 222 zyx ),(zyxr 設(shè)則有 OMr 222 OROQOP x o y z M N Q R P 由勾股定理得 ),( 111 zyxA 因 A B 得兩點(diǎn)間的距離公式: ),( 121212 zzyyxx 2 12 2 12 2 12 )()()(zzyyxx 對(duì)兩點(diǎn)與, ),( 222 zyxB , rOM 作 OMr OROQOP BABA OAOBBA 第25頁(yè)/共69頁(yè) )3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4( 321 MMM 證證: 1 M 2 M 3 M 21M M 2 )47( 2 )31 ( 2 ) 12

14、( 14 32M M 2 )75( 2 ) 12( 2 )23( 6 31M M 2 )45( 2 )32( 2 ) 13( 6 3132 MMMM 即 321 MMM 為等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 為頂點(diǎn) 第26頁(yè)/共69頁(yè) o y z x 設(shè)有兩非零向量 ,ba 任取空間一點(diǎn) O ,aOA 作 ,bOB O A B 稱 =AOB (0 ) 為向量 ba ,的夾角. ),(ab 或 類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . ,0),( zyxr給定與三坐標(biāo)軸的夾角 , , r r 稱 為其方向角方向角. cos r x 222 zyx x 方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. 記

15、作),(ba 第27頁(yè)/共69頁(yè) o y z x r cos r x 222 zyx x cos r y 222 zyx y cos r z 222 zyx z 1coscoscos 222 方向余弦的性質(zhì): :的單位向量向量 r r r r )cos,cos,(cos 第28頁(yè)/共69頁(yè) )2,2,2( 1 M和 , )0,3, 1( 2 M 的模 、方向余弦和方向角 . 解解: ,21,23)20 計(jì)算向量 )2, 1, 1( 222 )2(1) 1( 2 , 2 1 cos, 2 1 cos 2 2 cos , 3 2 , 3 4 3 21M M ( 21 MM 21M M 第29頁(yè)/共

16、69頁(yè) 解解: 已知 角依次為, 43 求點(diǎn) A 的坐標(biāo) . , 43 則 222 coscos1cos 4 1 因點(diǎn) A 在第一卦限 ,故,cos 2 1 于是 (6, 2 1 , 2 2 ) 2 1 )3,23,3( 故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 . )3,23,3( 向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 ,6AO且 OA OAAO 第30頁(yè)/共69頁(yè) 32 空間一點(diǎn)在軸上的投影 u A A 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) A作軸作軸 u的垂直的垂直 平面，交點(diǎn)平面，交點(diǎn) A 即為點(diǎn)即為點(diǎn) A在軸在軸 u上的投影上的投影. 第31頁(yè)/共69頁(yè) 33 空間一向量在軸上的投影 u A A B B 已知向量的起點(diǎn)已知向量的起點(diǎn)

17、A和終點(diǎn)和終點(diǎn) B在在 軸軸 u上的投影分別為上的投影分別為BA , , 那那 么軸么軸 u上的有向線段上的有向線段BA 的值的值, 稱為向量在軸稱為向量在軸 u上的上的投影投影 . 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影記記為為 .jPrAB u 第32頁(yè)/共69頁(yè) 34 關(guān)于向量的投影定理(1) 向量向量 AB 在軸在軸 u 上的投影等于向量的模乘上的投影等于向量的模乘 以軸與向量的夾角的余弦：以軸與向量的夾角的余弦： 證 u A B A B B cos| AB u AB u Prj cos| AB AB u PrjAB u Prj 第33頁(yè)/共69頁(yè) 35 兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩

18、個(gè)向量在 該軸上的投影之和. 關(guān)于向量的投影定理(2) .PrjPrj)(Prjbaba uuu A A B B C C （可推廣到有限多個(gè)） u a b 第34頁(yè)/共69頁(yè) 36 關(guān)于向量的投影定理(3) .Prj)(Prjakak uu 若向量若向量, zyx aaaa , ,則則 zyx aaa,就是就是 a 在三條坐標(biāo)軸上的投影在三條坐標(biāo)軸上的投影. . x y z o M cos|rax cos|ra y cos|raz x a y a z a 第35頁(yè)/共69頁(yè) 第四節(jié)第四節(jié) 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 混合積混合積 一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積 二、兩向量的向量積二、兩向

19、量的向量積 三、向量的混合積三、向量的混合積 第36頁(yè)/共69頁(yè) 一一物物體體在在常常力力F 作作用用下下沿沿直直線線從從點(diǎn)點(diǎn) 1 M移移動(dòng)動(dòng) 到到點(diǎn)點(diǎn) 2 M，以以s 表表示示位位移移，則則力力F 所所作作的的功功為為 cos|sFW (其中其中 為為F 與與s 的夾角的夾角) 啟示啟示 向量向量a 與與b 的的數(shù)量積數(shù)量積為為ba cos|baba (其中其中 為為a 與與b 的夾角的夾角) 實(shí)例實(shí)例 兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量結(jié)果是一個(gè)數(shù)量. 定義定義 第37頁(yè)/共69頁(yè) a b cos|baba 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)積內(nèi)積”. 結(jié)論結(jié)論

20、 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量?jī)上蛄康臄?shù)量積等于其中一個(gè)向量 的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投 影的乘積影的乘積. . 第38頁(yè)/共69頁(yè) 關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明： 0)2( ba .ba )(, 0 ba , 0| a , 0| b , 0cos .ba .|)1( 2 aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba 證證 , 2 , 2 第39頁(yè)/共69頁(yè) 數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律： （1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： ),

21、()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()()(baba 第40頁(yè)/共69頁(yè) ,kajaiaa zyx kbjbibb zyx 設(shè)設(shè) ba )(kajaia zyx )(kbjbib zyx ,kji , 0 ikkjji , 1| kji . 1 kkjjii zzyyxx babababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式 第41頁(yè)/共69頁(yè) cos|baba , | cos ba ba 222222 cos zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba 0 zzyyxx bababa 由此可知兩向量垂直

22、的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為 第42頁(yè)/共69頁(yè) 例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a ，2 , 2, 1 b ，求，求（1） ba ；（2）a 與與b 的夾角；的夾角；（3）a 在在b 上的投影上的投影. 解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222 cos)2( zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa , 2 1 ajbba b Pr|)3( . 3 | Pr b ba ajb . 4 3 第43頁(yè)/共69頁(yè) 2021-7-1845 例 2 證明向量c 與向量acbbca )()( 垂 直. 證證 cacbbca )()( )()(cacb

23、cbca )(cacabc 0 cacbbca )()( 第44頁(yè)/共69頁(yè) 2021-7-1846 解解 ; 1100111 AMB cos AMB BAM 求求 和和、已知三點(diǎn)已知三點(diǎn)例例),2 , 1 , 2()1 , 2 , 2()1 , 1 , 1( 3 .,的夾角的夾角與與就是向量就是向量作向量作向量 MBMAAMBMBMA 1 , 0 , 1,0 , 1 , 1 MBMA MBMA 2,2 MBMA MBMA MBMA 2 1 22 1 3 AMB 第45頁(yè)/共69頁(yè) |FOQM sin|FOP M 的的方方向向垂垂直直于于OP與與F 所所決決 定定的的平平面面, 指指向向符符合

24、合右右手手系系. 實(shí)例實(shí)例 L F P Q O 第46頁(yè)/共69頁(yè) 向向量量a 與與b 的的向向量量積積為為 bac sin|bac (其中其中 為為a 與與b 的夾角的夾角) 定義定義 關(guān)于向量積的說(shuō)明：關(guān)于向量積的說(shuō)明： . 0)1( aa)0sin0( ba )2(/ . 0 ba)0, 0( ba 向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”. 第47頁(yè)/共69頁(yè) 向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律： （1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a , 0| b , 0s

25、in , 0 )(0sin . 0sin| baba 證證 ba / ba /或或0 第48頁(yè)/共69頁(yè) )(kajaia zyx )(kbjbib zyx 設(shè)則,kajaiaa zyx ,kbjbibb zyx ba )(iiba xx )(jiba yx )(kiba zx )(ijba xy )(kjba zy )(ikba xz )(jkba yz )(jjba yy )(kkba zz i j k 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy )()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式 第49頁(yè)/共69頁(yè) 向量積還可用三階行列式

26、表示向量積還可用三階行列式表示 zyx zyx bbb aaa kji ba ba / z z y y x x b a b a b a 由上式可推出由上式可推出 第50頁(yè)/共69頁(yè) kji x a y a z a x b y b z b , zy zy bb aa , zx zx bb aa yx yx bb aa baibaba yzzy )(jbaba zxxz )( kbaba xyyx )( kajaiaa zyx kbjbibb zyx ( 行列式計(jì)算見(jiàn) P339P342 ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第51頁(yè)/共69頁(yè) z z y x b aaa 00 0, 0 yx a

27、a 補(bǔ)充補(bǔ)充 |ba 表表示示以以a 和和b 為為鄰鄰邊邊 的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積. x b、 y b、 z b不不能能同同時(shí)時(shí)為為零零，但但允允許許兩兩個(gè)個(gè)為為零零， 例如，例如， a b bac 第52頁(yè)/共69頁(yè) 2021-7-1854 結(jié)論 |ba 表表示示以以a 和和b 為為鄰鄰邊邊 的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積. a b bac 例 4 在頂點(diǎn)為 )3 , 2 , 1(A 、 )7 , 4 , 2(),5 , 4 , 3(CB 的三 角形中，求三角形ABC的面積. 4 , 2 , 1 AC2 , 2 , 2 AB 三角形ABC的面積為 | 2 1 ABACS

28、141 , 3, 2 421 222 2 1 kji 解解 第53頁(yè)/共69頁(yè) 解解 zyx zyx bbb aaa kji bac 211 423 kji ,510kj , 55510| 22 c | 0 c c c . 5 1 5 2 kj 第54頁(yè)/共69頁(yè) A B C 解解 D 3, 4 , 0 AC 0 , 5, 4 AB 三角形三角形ABC的面積為的面積為 | 2 1 ABACS 222 161215 2 1 , 2 25 | AC, 5)3(4 22 | 2 1 BDS | AC |5 2 1 2 25 BD . 5| BD 第55頁(yè)/共69頁(yè) 解解),sin(|nmnmnm ,

29、 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與p 同同向向， 第56頁(yè)/共69頁(yè) 定義定義 設(shè)設(shè)已已知知三三個(gè)個(gè)向向量量a 、b 、c ，數(shù)數(shù)量量cba )( 稱稱為為這這三三個(gè)個(gè)向向量量的的混混合合積積，記記為為cba . . cba cba )( zyx zyx zyx ccc bbb aaa ,kajaiaa zyx ,kbjbibb zyx 設(shè)設(shè) ,kcjcicc zyx 混合積的坐標(biāo)表達(dá)式混合積的坐標(biāo)表達(dá)式 第57頁(yè)/共69頁(yè) （1）向量混合積的幾何意義：）向量混合積的幾何意義： 向量的混合積向量的混合積 cba cba )(是這樣

30、是這樣 的一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表的一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表 示以向量示以向量a 、b 、c 為棱的為棱的 平行六面體的體積平行六面體的體積. a c b ba 關(guān)于混合積的說(shuō)明：關(guān)于混合積的說(shuō)明： )2(cba cba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a 、b 、c 共面共面 . 0 cba 第58頁(yè)/共69頁(yè) 已知已知2 cba ， 計(jì)算計(jì)算)()()(accbba . 解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()( acbaacaaba )(0)()( 0 0 0 0 cba )( cba )(2 2cba . 4 例例6 第59

31、頁(yè)/共69頁(yè) 例例 7 7 已知空間內(nèi)不在一平面上的四點(diǎn)已知空間內(nèi)不在一平面上的四點(diǎn) ),( 111 zyxA、),( 222 zyxB、),( 333 zyxC、 ),( 444 zyxD, 求四面體的體積求四面體的體積. 解解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、 AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一. 6 1 ADACABV , 121212 zzyyxxAB 第60頁(yè)/共69頁(yè) , 131313 zzyyxxAC , 141414 zzyyxxAD 141414 131313 121212 6 1 zzyyxx

32、 zzyyxx zzyyxx V 式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致. 第61頁(yè)/共69頁(yè) 設(shè) 1. 向量運(yùn)算 加減: 數(shù)乘: 點(diǎn)積: ),( zzyyxx babababa ),( zyx aaaa zzyyxx babababa ),(, ),(, ),( zyxzyxzyx ccccbbbbaaaa 叉積: kji x a y a z a x b y b z b ba 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第62頁(yè)/共69頁(yè) 2. 向量關(guān)系: x x a b y y a b z z a b 0 zzyyxx bababa ba/ ba 0ba zy

33、x zyx zyx ccc bbb aaa cba)(cba 共面cba, 0 zyx zyx zyx ccc bbb aaa 0)(cba 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0ba 第63頁(yè)/共69頁(yè) 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積 向量的向量積向量的向量積 向量的混合積向量的混合積 （結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量） （結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)向量） （結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量） （注意共線、共面的條件）（注意共線、共面的條件） 第64頁(yè)/共69頁(yè) 一一、 填填空空題題： 1 1、 已已知知a = =3 3，b = =2 26 6，ba = =7 72 2, ,則則ba = =_

34、 _ _ _ _ _ _ _ _ _； 2 2、 已已知知（ba , ）= = 3 2 ，且且a = =1 1，b = =2 2，則則 2 )(ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 3 3、ba 的的幾幾何何意意義義是是以以 ba , 為為其其鄰鄰邊邊的的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 4 4、 三三向向 量量cba ,的的 混混 合合 積積 cba 的的 幾幾 何何 意意 義義 是是 _ _ _ _ _ _ _； 5 5、 兩兩向向量量的的的的內(nèi)內(nèi)積積為為零零的的充充分分必必要要條條件件是是至至少少其其中中有有 一一個(gè)個(gè)向向量量為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它們們互互相相 _ _ _ _ _ _ _ _ _； 6 6、 兩兩向向量量的的外外積積為為零零的的充充分分必必要要條條件件是是至至少