線性代數(shù)-同濟大學(xué)(第五版)課件

1、2021/3/111 線性代數(shù)線性代數(shù)（第五版）（第五版） 2 2021/3/11 在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過二在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過二 元、三元等簡單的線性方程組元、三元等簡單的線性方程組. . 但是，從許多實踐或理論問題里但是，從許多實踐或理論問題里 導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng)導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng) 多的未知量，并且未知量的個數(shù)多的未知量，并且未知量的個數(shù) 與方程的個數(shù)也不一定相等與方程的個數(shù)也不一定相等. . 3 2021/3/11 我們先討論未知量的個數(shù)與方程我們先討論未知量的個數(shù)與方程 的個數(shù)相等的特殊情形的個數(shù)相等的特殊情形. . 在討論這一類線性方程組時，我在討論這一

2、類線性方程組時，我 們引入行列式這個計算工具們引入行列式這個計算工具. . 4 2021/3/11 第一章第一章 行列式行列式 n內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1 1 二階與三階行列式二階與三階行列式 2 2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù) 3 3 n 階行列式的定義階行列式的定義 4 4 對換對換 5 5 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 6 6 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開 7 7 克拉默法則克拉默法則 行列式的概念行列式的概念. . 行列式的行列式的性質(zhì)及計算性質(zhì)及計算. . 線性方程組的求解線性方程組的求解. . （選學(xué)內(nèi)容）（選學(xué)內(nèi)容） 行列式是線性代行列式是線性代 數(shù)的一種工具！數(shù)的一種

3、工具！ 學(xué)習(xí)行列式主要學(xué)習(xí)行列式主要 就是要能計算行列就是要能計算行列 式的值式的值. . 2021/3/115 1 二階與三階行列式二階與三階行列式 我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探 求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式. . 6 2021/3/11 一、二元線性方程組與二階行列式一、二元線性方程組與二階行列式 二元線性方程組二元線性方程組 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 由消元法，得由消元法，得 211211221122211 )(abbaxaaaa 212221121122211 )(baab

4、xaaaa 當(dāng)當(dāng) 時，該方程組有唯一解時，該方程組有唯一解 0 21122211 aaaa 21122211 212221 1 aaaa baab x 21122211 211211 2 aaaa abba x 7 2021/3/11 求解公式為求解公式為 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 122122 1 11221221 112121 2 11221221 b aa b x a aa a a bb a x a aa a 二元線性方程組二元線性方程組 請觀察，此公式有何特點？請觀察，此公式有何特點？ 分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定分母相同，由方程組的四個系數(shù)確

5、定. 分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再 相減而得相減而得. 8 2021/3/11 其求解公式為其求解公式為 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 122122 1 11221221 112121 2 11221221 b aa b x a aa a a bb a x a aa a 二元線性方程組二元線性方程組 我們引進新的符號來表示我們引進新的符號來表示“四個四個 數(shù)分成兩對相乘再相減數(shù)分成兩對相乘再相減”. . 1112 11221221 2122 aa Da aa a aa 1112 2122 aa aa 記號記號 1112

6、2122 aa aa 數(shù)表數(shù)表 表達式表達式 稱為由該稱為由該 數(shù)表所確定的數(shù)表所確定的二階行列式二階行列式，即，即 11221221 a aa a 其中，其中， 稱為稱為元素元素. .(1,2;1,2) ij aij i 為為行標(biāo)行標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 為為列標(biāo)列標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. . 原則：橫行豎列原則：橫行豎列 9 2021/3/11 二階行列式的計算二階行列式的計算 1112 2122 aa aa 11221221 a aa a 主對角線主對角線 副對角線副對角線 即：主對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積即：主對角線上兩元素之

7、積副對角線上兩元素之積 對角線法則對角線法則 10 2021/3/11 二元線性方程組二元線性方程組 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 若令若令 1112 2122 aa D aa 12 1 1 222 b b a D a 1 2 2 11 21 ba D ab ( (方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式) ) 則上述二元線性方程組的解可表示為則上述二元線性方程組的解可表示為 1122122 1 11221221 D D b aa b x a aa a 1121212 2 11221221 a bb aD x a aa aD 11 2021/3/11 例例1 求解

8、二元線性方程組求解二元線性方程組 12 1223 21 21 xx xx 解解 因為因為 12 23 D07)4(3 14)2(12 11 212 1 D 21243 12 123 2 D 所以所以 1 1 14 2, 7 D x D 2 2 21 3 7 D x D 12 2021/3/11 二、三階行列式二、三階行列式 定義定義 設(shè)有設(shè)有9個數(shù)排成個數(shù)排成3行行3列的數(shù)表列的數(shù)表 原則：橫行豎列原則：橫行豎列 引進記號引進記號 稱為稱為三階行列式三階行列式. . 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 112233122331132132 132231122133

9、112332 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 主對角線主對角線 副對角線副對角線 二階行列式的對角線法則二階行列式的對角線法則 并不適用！并不適用！ 13 2021/3/11 三階行列式的計算三階行列式的計算 對角線法則對角線法則 111213 212223 313233 aaa Daaa aaa 132132 a a a 112233 a a a 122331 a a a 132231 a a a 122133 a a a 112332 a a a 注意：注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式

10、對角線法則只適用于二階與三階行列式. . 實線上的三個元素的乘積冠正號，實線上的三個元素的乘積冠正號， 虛線上的三個元素的乘積冠負(fù)號虛線上的三個元素的乘積冠負(fù)號. . 14 2021/3/11 12-4 -221 -34-2 D 例例2 計算行列式計算行列式 解解按對角線法則，有按對角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 15 2021/3/11 方程左端方程左端解解 由由 得得 2 111 230. 49 x x 例例3 求解方程求解方程 12291843 22 xxxxD , 65 2 xx 2 560 xx 3.2

11、 xx或或 2021/3/1116 2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù) 17 2021/3/11 引例引例用用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒三個數(shù)字，可以組成多少個沒 有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 解解1 2 3 123百位百位 3 3種放法種放法 十位十位1231 個位個位12 3 2 2種放法種放法 1 1種放法種放法 種放法種放法. .共有共有6123 18 2021/3/11 問題問題 把把 n 個不同的元素排成一列，共有多少種不同的個不同的元素排成一列，共有多少種不同的 排法？排法？ 定義定義 把把 n 個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 n

12、 個元素個元素 的的全排列全排列. n 個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用 Pn 表示表示. (1) (2)3 2 1! n Pnnnn 顯然顯然 即即n 個不同的元素一共有個不同的元素一共有n! 種不同的排法種不同的排法. 19 2021/3/11 所有所有6種不同的排法中，只有一種排法種不同的排法中，只有一種排法 （123）中的數(shù)字是按從小到大的自然）中的數(shù)字是按從小到大的自然 順序排列的，而其他排列中都有大的順序排列的，而其他排列中都有大的 數(shù)排在小的數(shù)之前數(shù)排在小的數(shù)之前. . 因此大部分的排列都不是因此大部分的排列都不是“順序順序”， 而是而是“逆序

13、逆序”. . 3個不同的元素一共有個不同的元素一共有3! =6種不同的排法種不同的排法 123，132，213，231，312，321 20 2021/3/11 對于對于n 個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序. n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序. 定義定義 當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時， 就就稱這兩個元素組成一個稱這兩個元素組成一個逆序逆序. 例如例如 在排列在排列32514中，中， 3 2 5 1 4 逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考題：思考題：還

14、能找到其它逆序嗎？還能找到其它逆序嗎？ 答：答：2和和1，3和和1也構(gòu)成逆序也構(gòu)成逆序. 21 2021/3/11 定義定義 排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù). 排列排列 的逆序數(shù)通常記為的逆序數(shù)通常記為 . . 1 2n i ii 1 2 () n t i ii 奇排列：奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列. . 偶排列：偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列. . 思考題：思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？ 答：答：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：123）的逆序數(shù)

15、）的逆序數(shù) 等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列. . 22 2021/3/11 計算排列的逆序數(shù)的方法計算排列的逆序數(shù)的方法 則此排列的逆序數(shù)為則此排列的逆序數(shù)為 12n tttt 設(shè)設(shè) 是是 1, 2, , n 這這n 個自然數(shù)的任一排列，個自然數(shù)的任一排列， 并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序. 先看有多少個比先看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ； 再看有多少個比再看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ; 最后看有多少個比最后看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ; 12n p pp 1 p 1 p 1 t

16、 2 p 2 p 2 t n p n p n t 23 2021/3/11 例例1：求排列求排列 32514 的逆序數(shù)的逆序數(shù). 解：解：(32514)010315t 練習(xí)：練習(xí)：求排列求排列 453162 的逆序數(shù)的逆序數(shù). 9t 解：解： 2021/3/1124 3 n 階行列式的定義階行列式的定義 25 2021/3/11 一、概念的引入一、概念的引入 111213 212223 313233 aaa Daaa aaa 112233122331132132 132231122133112332 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 規(guī)律：規(guī)律： 三階行列式共有三

17、階行列式共有6項，即項，即3!項項 每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積 每一項可以寫成每一項可以寫成 （正負(fù)號除外），其中（正負(fù)號除外），其中 是是1、2、3的某個排列的某個排列. . 當(dāng)當(dāng) 是是偶排列偶排列時，對應(yīng)的項取時，對應(yīng)的項取正號正號； 當(dāng)當(dāng) 是是奇排列奇排列時，對應(yīng)的項取時，對應(yīng)的項取負(fù)號負(fù)號. . 123 123ppp aaa 123 p p p 123 p p p 123 p p p 26 2021/3/11 所以，三階行列式可以寫成所以，三階行列式可以寫成 123 123 123 () 123 ( 1)t p p p ppp

18、p p p aaa 其中其中 表示對表示對1、2、3的所有排列求和的所有排列求和. 123 p p p 二階行列式有類似規(guī)律二階行列式有類似規(guī)律.下面將行列式推廣到一般的情形下面將行列式推廣到一般的情形. 111213 212223 313233 aaa Daaa aaa 112233122331132132 132231122133112332 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 27 2021/3/11 二、二、n 階行列式的定義階行列式的定義 n 階行列式共有階行列式共有 n! 項項 每一項都是位于不同行不同列的每一項都是位于不同行不同列的 n 個元素的乘積個

19、元素的乘積 每一項可以寫成每一項可以寫成 （正負(fù)號除外），其中（正負(fù)號除外），其中 是是1, 2, , n 的某個排列的某個排列. . 當(dāng)當(dāng) 是是偶排列偶排列時，對應(yīng)的項取時，對應(yīng)的項取正號正號； 當(dāng)當(dāng) 是是奇排列奇排列時，對應(yīng)的項取時，對應(yīng)的項取負(fù)號負(fù)號. . 12 12 n ppnp aaa 12n p pp 12n p pp 12n p pp 12 12 12 11121 21222() 12 12 ( 1) n n n n nt p pp ppnp p pp nnnn aaa aaa Daaa aaa 簡記作簡記作 ， 其中其中 為行列式為行列式D的的( (i, j) )元元 det(

20、) ij a ij a 28 2021/3/11 思考題：思考題： 成立成立嗎？嗎？ 答：答：符號符號 可以有兩種理解：可以有兩種理解： 若理解成絕對值，則若理解成絕對值，則 ； 若理解成一階行列式，則若理解成一階行列式，則 . . 11 1 11 11 注意：注意：當(dāng)當(dāng)n = 1時，一階行列式時，一階行列式|a| = a，注意不要與，注意不要與 絕對值的記號相混淆絕對值的記號相混淆. 例如：一階行列式例如：一階行列式 . 11 29 2021/3/11 11121314 222324 3 3334 44 0 00 000 aaaa aaa D aa a 例：例：寫出四階行列式中含有因子寫出四

21、階行列式中含有因子 的項的項. . 2311a a 例：例：計算行列式計算行列式 解：解： 11233244 a a a a 11233442. a a a a和和 14 23 2 32 41 000 000 000 000 a a D a a 11 22 1 33 44 000 000 000 000 a a D a a 11 2122 4 323233 41424344 000 00 0 a aa D aaa aaaa 30 2021/3/11 解：解： 11 22 1 33 44 000 000 000 000 a a D a a 14 23 2 32 41 000 000 000 00

22、0 a a D a a 11223344 a a a a (4321) 14233341 ( 1)ta a a a 14233341 a a a a (4321)0123t 3 4 6. 2 其中其中 31 2021/3/11 11121314 222324 3 3334 44 0 00 000 aaaa aaa D aa a 11 2122 4 323233 41424344 000 00 0 a aa D aaa aaaa 11223344 a a a a 14233341 a a a a 32 2021/3/11 1 2,1 1 n n n a a D a 11 22 nn a a D

23、a 四個結(jié)論：四個結(jié)論： (1) (1) 對角行列式對角行列式 nn aaa 2211 (2) (2) (1) 2 12,11 ( 1) n n nnn a aa 33 2021/3/11 nnnn aaa aa a D 21 2221 11 0 00 nn n n a aa aaa D 00 0 222 11211 (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主對角線下側(cè)元素都為（主對角線下側(cè)元素都為0 0） nn aaa 2211 (4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主對角線上側(cè)元素都為（主對角線上側(cè)元素都為0 0） nn aaa 2211 34 2021/3/11 思考題

24、：思考題：用定義計算行列式用定義計算行列式 解：用樹圖分析解：用樹圖分析 11 1 1 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 11 22 22 11 12134）（ 22143）（ 32413）（ 42431）（ 491223D 故故 1130 2300 2101 1210 D 35 2021/3/11 思考題思考題 已知已知 ，求，求 的系數(shù)的系數(shù). 1211 123 111 211 x x x x xf 3 x 36 2021/3/11 故故 的系數(shù)為的系數(shù)為1. 解解含含 的項有兩項，即的項有兩項，即 3 x 1211 123 111 211 x x x x xf 對應(yīng)于對應(yīng)于 124

25、3 11223443 ( 1)ta a a a (1234) 11223344 ( 1)ta a a a (1234)3 11223344 ( 1), t a a a ax 12433 11223443 ( 1)2 t a a a ax 3 x 2021/3/1137 4 對換對換 38 2021/3/11 111lmn aabbcb ca 一、對換的定義一、對換的定義 定義定義 在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素 不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換對換 將相鄰兩個元素對換，叫做將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換相鄰對換

26、 例如例如 11lm a baabb 11lm b aaabb 111lmn aabbca cb 39 2021/3/11 備注備注 相鄰對換是對換的特殊情形相鄰對換是對換的特殊情形. . 一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現(xiàn)一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現(xiàn). . 1.1. 如果連續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了如果連續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了. . m 次相鄰對換次相鄰對換 111lmn aabbcb ca 111 lmn aabbcbca 111 lmn aabbca cb m+1次相鄰對換次相鄰對換 m 次相鄰對換次相鄰對換 111 lmn aabbcacb

27、 111 lmn aabbcb ca m+1次相鄰對換次相鄰對換 40 2021/3/11 二、對換與排列奇偶性的關(guān)系二、對換與排列奇偶性的關(guān)系 定理定理1 1對換改變排列的奇偶性對換改變排列的奇偶性. . 證明證明先考慮相鄰對換的情形先考慮相鄰對換的情形 11 lm a baabb 11 lm b aaabb 11lm abaabb ttttttt 11lm baaabb rrtttrt 41 2021/3/11 11 lm a baabb 11 lm b aaabb 11lm abaabb ttttttt 11lm baaabb rrtttrt 注意到除注意到除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變

28、外，其它元素的逆序數(shù)不改變. ., a b 42 2021/3/11 11 lm a baabb 11 lm b aaabb 11lm abaabb ttttttt 11lm baaabb rrtttrt 當(dāng)當(dāng) 時，時， ， ， . . ab 當(dāng)當(dāng) 時，時， ， ， . . ab 因此相鄰對換改變排列的奇偶性因此相鄰對換改變排列的奇偶性. . 1 aa rt bb rt aa rt 1 bb rt 1rt 1rt 43 2021/3/11 既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么 2m+1次相鄰對換次相鄰對換 因此，一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變因此

29、，一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變. . 111lmn aabbcb ca 111 lmn aabbca cb 推論推論 奇排列奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)奇數(shù)， 偶排列偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)偶數(shù). . 由定理由定理1 1知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次 數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列( (逆序數(shù)為零逆序數(shù)為零) )，因此可知推論，因此可知推論 成立成立. . 證明證明 44 2021/3/11 1 1212212 1122 , nnnn i ji ji jpp

30、pnpnpp aaaaaaaaa 因為數(shù)的乘法是可以交換的，因為數(shù)的乘法是可以交換的，所以所以 n 個元素相乘的次個元素相乘的次 序是可以任意的，即序是可以任意的，即 每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列 與與 都同時作一次對換，即都同時作一次對換，即 與與 同同 時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的奇偶性時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的奇偶性 不變不變. . 1 2n i ii 12n j jj 12n j jj 1 2n i ii 45 2021/3/11 于是于是 與與 同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù). . 即即

31、是偶數(shù)是偶數(shù). . 因為對換改變排列的奇偶性，因為對換改變排列的奇偶性， 是奇數(shù)，是奇數(shù)， 也是奇數(shù)也是奇數(shù). . 設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 . . s t s t 所以所以 是偶數(shù)，是偶數(shù)， ss tt ()()sstt ()()stst ()st ()st 因此，交換因此，交換 中任意兩個元素的位置后，其中任意兩個元素的位置后，其 行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變. . 1 12 2 , n n i ji ji j aaa 設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為設(shè)經(jīng)過一次對

32、換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 46 2021/3/11 1 21 212 12 ()()(12)() () ( 1)( 1) ( 1) nnn n t i iit j jjtnt p pp t p pp 經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此. . 所以，所以， 在一系列對換之后有在一系列對換之后有 47 2021/3/11 定理定理2 n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 12 12 12 () 12 ( 1) n n n t p pp ppp n p pp Daaa 定理定理3 n 階行列式也可定義為階行列式也可

33、定義為 1 21 2 1 12 2 1 2 1 2 ()() ( 1) nn n n n n t i iit j jj i ji ji j i ii j jj Daaa 48 2021/3/11 例例1 試判斷試判斷 和和 142331425665 a a a a a a 324314512566 a a a a a a 是否都是六階行列式中的項是否都是六階行列式中的項. 解解下標(biāo)的逆序數(shù)為下標(biāo)的逆序數(shù)為 4312650122016t 142331425665 a a a a a a 所以所以 是六階行列式中的項是六階行列式中的項. 142331425665 a a a a a a 行標(biāo)和列標(biāo)

34、的逆序數(shù)之和行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和 (341526)(234156)538tt 324314512566 a a a a a a 所以所以 不是六階行列式中的項不是六階行列式中的項. 324314512566 a a a a a a 49 2021/3/11 例例2 用行列式的定義計算用行列式的定義計算 00010 00200 10000 0000 n D n n 50 2021/3/11 12 2 1! nn n Dn 解解 1,12,21,1 1 1 1 21 1! t nnnnnn t t Daaaa nn n 1221 2321 122 tnnn nn nn 51 2021/3/11

35、1. 對換改變排列奇偶性對換改變排列奇偶性 2. 行列式的三種表示方法行列式的三種表示方法 三、小結(jié)三、小結(jié) 12 12 12 () 12 ( 1) n n n t p pp ppnp p pp Daaa 12 12 12 () 12 ( 1) n n n t p pp ppp n p pp Daaa 1 21 2 1 12 2 1 2 1 2 ()() ( 1) nn n n n n t i iit j jj i ji ji j i ii j jj Daaa 2021/3/1152 5 5 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 53 2021/3/11 一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì) 1112 12

36、2122 1 2 , n n nnnn aaa a a a a a D a 行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式. . T DD 若記若記 ，則，則 .det(), det() T ijij DaDb ijji ba 記記 性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, ,即即 . T DD 21 22 111 2 12 12 n n n n T nn a a a a a a D aaa 54 2021/3/11 12 12 12 () 12 ( 1) n n n t p ppT ppnp p pp Dbbb 性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行

37、列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. . 證明證明 根據(jù)行列式的定義，有根據(jù)行列式的定義，有 若記若記 ，則，則det(), det() T ijij DaDb ,1,2, ijij bai jn 1 12 12 2 1 () 2 ( 1) n n n pp t p pp p pp p n aaa D 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, ,行列式的性質(zhì)凡是對行行列式的性質(zhì)凡是對行 成立的對列也同樣成立成立的對列也同樣成立. . 55 2021/3/11 性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. . 驗證驗證 于是于是 175 662 3

38、58 175 358 662 196 196 175175 662358 358662 推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零. . 證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 ，所以，所以 . DD 0D 備注：交換第備注：交換第 行（列）和第行（列）和第 行（列），記作行（列），記作 . .j i() ijij rr cc 56 2021/3/11 性質(zhì)性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個 倍數(shù)倍數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘以此行列式乘以此行列式. . 驗證驗證 k

39、k 111213 212223 313233 , aaa Daaa aaa 我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 記記 根據(jù)三階行列式的對角線法則，有根據(jù)三階行列式的對角線法則，有 111213 1212223 313233 kk aaa Daaa aaa k 備注：第備注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，記作，記作 . . ki() ii rk ck 57 2021/3/11 111213 1212223 313233 kk aaa Daaa aaa k 112233122331132132 132231122133112332 ()()() ()()() aaaaaaaaa aa

40、aaaa kkk kkkaaa 112233122331132132 132231122133112332 a a aa a aa a a a a aa a aaa k a Dk 推論推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提 到行列式符號的外面到行列式符號的外面 備注：第備注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，記作，記作 . . ki() ii rk ck 58 2021/3/11 2122232421222324 31323334 111213141112 3 111213141112 132 1 3 3 334 31 14 1

41、4 00 aaaaa kk kak aaaaaaaa aaaaaaa akakaaaaa aa a a 驗證驗證我們以我們以4階行列式為例階行列式為例. . 性質(zhì)性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列 式為零式為零 59 2021/3/11 性質(zhì)性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和, , 例如例如： 1212 2222 1113 2123 31332323 aa Daa ab ab abaa 則則 11131113 21232123 3133 1212 2222 32331323 aa

42、aa Daaa ab ab ab a aaaa 60 2021/3/11 1212 2222 1113 2123 31332323 aa Daa ab ab abaa 22 123 13 123 22 () 13 ( 1)() pp t p p p pp p p p abaa 123123 1313 123 22 123 ()() 132213 ( 1)( 1) t p p pt p p p pppp p p pp p p pp aaaaba 11131113 21232123 3133313 1212 2222 23332 aaab a a b a aaaa aabaaa 驗證驗證我們以我們

43、以三三階行列式為例階行列式為例. . 61 2021/3/11 性質(zhì)性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù) 然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )對應(yīng)的元素上去，行列式不變對應(yīng)的元素上去，行列式不變 則則 1. DD 驗證驗證 12 22 1113 2123 313323 , aa Daa aaa a a 我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 記記 111213 12122 13 23 33 23 313233 aaa Daaa ka ka kaaaa 備注：以數(shù)備注：以數(shù) 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列

44、）上，記作行（列）上，記作 . . ki (). ijij rkr ckc j 62 2021/3/11 例例 2101044 614753 12402 59733 13211 D 二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例 計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為 上三角形行列式，從而算得行列式的值上三角形行列式，從而算得行列式的值 ij rkr 3 63 2021/3/11 2101044 614753 12402 59733 13211 D 3 解解 2101044 614753 12402 20100 13211 3 12 rr 64 2021/3/11 2101

45、044 614753 14020 20100 13211 2101044 614753 12402 20100 13211 3 12 rr 2 3 12 2rr 4 65 2021/3/11 42 rr 22200 20100 14020 35120 13211 22200 35120 14020 20100 13211 14 4rr 13 3rr 66 2021/3/11 22200 01000 21100 35120 13211 34 rr 22200 20100 21100 35120 13211 23 rr 2 67 2021/3/11 60000 01000 21100 35120

46、13211 612 45 4rr .12 64000 01000 21100 35120 13211 35 2rr 4 68 2021/3/11 例例2 計算計算 階行列式階行列式n abbb babb bbab bbba D 解解 abbbna babbna bbabna bbbbna 1 1 1 1 D 將第將第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2 69 2021/3/11 1 1 (1)1 1 bbb abb anbbab bba 1 (1) bbb ab anb ab ab 0 0 1 (1) (). n anb a b 70 2021/3/11 例例3 設(shè)設(shè) 111 1

47、 111111 11 0 k kkk kn nnknnn aa aa D ccbb ccbb ,)det( 1 111 1 kkk k ij aa aa aD ,)det( 1 111 2 nnn n ij bb bb bD . 21D DD 證明證明 71 2021/3/11 證明證明 11 111 1 0 ; kk kkk p Dpp pp 對對 作運算作運算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 1 D ij rkr 1 D 設(shè)為設(shè)為 對對 作運算作運算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 2 D ij ckc 2 D 11 211 1 0 . nn nnk q D

48、qq qp 設(shè)為設(shè)為 72 2021/3/11 對對 D 的前的前 k 行作運算行作運算 ，再對后，再對后 n 列作運算列作運算 ， 把把 D 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 , 0 1 11 1 111 1 11 nnnnkn k kkk qq q cc cc pp p D 1111kknn Dppqq 12. D D ij rkr ij ckc 故故 73 2021/3/11 ( (行列式中行與列具有同行列式中行與列具有同 等的地位等的地位, , 凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成 立立).). 計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：(1)(1)利用定義利

49、用定義;(2);(2)利利 用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得 行列式的值行列式的值 三、小結(jié)三、小結(jié) 行列式的行列式的6 6個性質(zhì)個性質(zhì) 74 2021/3/11 計算計算4 4階行列式階行列式 思考題思考題 1 11 1 11 1 11 1 11 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d c c c c b b b b a a a a D 1abcd 已已知知 75 2021/3/11 思考題解答思考題解答 解解 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 d dd c cc b bb a aa D 1 11 1 11 1 11

50、1 11 2 2 2 2 d d d c c c b b b a a a 76 2021/3/11 dd d cc c bb b aa a abcd 11 1 11 1 11 1 11 1 2 2 2 2 dd d cc c bb b aa a 11 1 11 1 11 1 11 1 1 2 2 2 2 3 . 0 2021/3/1177 6 行列式按行行列式按行(列列)展開展開 對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式. . 本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高 階行列式階行列式. . 78 2021/3/11 一、引言一、引言

51、 12233111122 122133 3332132 132231112332 a a aa a a a a a a aaaa aa aa 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 12233 13213 11 2223 22331213332 1 23 aa aaaa aa aa aa a aa 222321232123 111213 323331333133 aaaaaa aaa aaaaaa 結(jié)論結(jié)論 三階行列式可以用二階行列式表示三階行列式可以用二階行列式表示. . 思考題思考題 任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？任意一個行列式是否都可以用較低階的

52、行列式表示？ 79 2021/3/11 例如例如 11121314 21222324 31323334 41424344 aaaa aaaa D aaaa aaaa 111214 23313234 414244 aaa Maaa aaa 2 3 232323 1AMM 把把 稱為元素稱為元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式 1 ij ijij AM ij a 在在n 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃后，列劃后， 留下來的留下來的n1階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作 . i j ij M ij a ij a 結(jié)論結(jié)論 因為行標(biāo)和列

53、標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以因為行標(biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以行列行列 式中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式式中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式. . 80 2021/3/11 引理引理 一個一個n 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于外都為零，那么這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘與它的代數(shù)余子式的乘 積，即積，即 ijij Da A 11121314 21222324 33 41424344 000 aaaa aaaa D a aaaa 111214 3 3 33212224 414244

54、1 aaa aaaa aaa 例如例如 3 3 33333333 1a Aa M 111214 33212224 414244 aaa aaaa aaa i ij a ij a 81 2021/3/11 11 21222 12 00 n nnnn a aaa D aaa 即有即有 1111. Da M 又又 1 1 111111 1,AMM 從而從而 1111. Da A 下面再討論一般情形下面再討論一般情形. 分析分析 當(dāng)當(dāng) 位于第位于第1 1行第行第1 1列時列時, , ij a （根據(jù)（根據(jù)P.14例例10的結(jié)論）的結(jié)論） 82 2021/3/11 11121314 21222324 4

55、1424344 34 000 aaaa aaaa aaaa a 我們以我們以4階行列式為例階行列式為例. . 23 34 11121314 21222324 41424344 000 ( 1) rr aaaa aaaa aaaa a 12 11121314 21222324 414243 3 44 4 2 000 ( 1) rr aaaa aaaa aaaa a 11121314 21222324 4142434 34 (3 1 4 ) 000 ( 1) aaaa aaaa aaaa a 思考題：思考題：能否以能否以 代替上述兩次行變換？代替上述兩次行變換？ 13 rr 83 2021/3/1

56、1 23 12 34 2 34 4142434441424344 11121 212223 314 1112131424 21222324 000 ( 1) 000 rr rr a a aa aaaa aaaa a aa aaaaa aa aaaa 思考題：思考題：能否以能否以 代替上述兩次行變換？代替上述兩次行變換？ 13 34 34 41 11121 42 314 111 4344414 212223242122232 213 234 1 4 4 4 4 000 ( 1) 000 rr aaaa aaa aaaaaaa a a aaaaaaa a a a 答：答：不能不能. . 13 rr

57、 84 2021/3/11 11121314 21222324 4142434 34 (3 1 4 ) 000 ( 1) aaaa aaaa aaaa a 34 23 12 14111213 24212223 444 34 (3 1) 3 3 1424 000 ( 1)( 1) cc cc cc a a aaa aaaa aaaa 141112 34 (13 1)3 24212223 44414243 (4 1) 000 ( 1)( 1) aaaa aaaa aaa a a 3 4 2 ( 1) 3 4 34 ( 1)a 3434 a A 被調(diào)換到第被調(diào)換到第1行，第行，第1列列 34 a 1

58、11213 212223 414243 34 aaa aaa aaa a34 M 11121314 21222324 41424344 34 000 aaaa aaaa aaaa a 85 2021/3/11 二、行列式按行（列）展開法則二、行列式按行（列）展開法則 定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對 應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 1122 1,2, iiiiinin Da Aa Aa Ain 86 2021/3/11 111213111213 212223212223 313233313233 000000aa

59、aaaa aaaaaa aaaaaa 111213 212223212223212223 313233313233313233 000000aaa aaaaaaaaa aaaaaaaaa 1111 a A 1212 a A 1313 a A 212122222323 a Aa Aa A 313132323333 a Aa Aa A 同理可得同理可得 87 2021/3/11 例例（P.12例例7續(xù)）續(xù)） 3112 5134 2011 1533 D 5111 11131 0010 5530 31 2 cc 34 cc 3 3 511 ( 1)1111 550 511 620 550 21 rr

60、1 3 62 ( 1) 55 82 05 40. 88 2021/3/11 證明證明 用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法 2 12 11 D xx 21 () ij ij xx 例例 證明范德蒙德證明范德蒙德( (Vandermonde) )行列式行列式 12 222 12 1 111 12 111 (). n nnij n ij nnn n xxx xxxDxx xxx (1) 所以所以n=2時時(1)式成立式成立. 21 xx 89 2021/3/11 21311 2213311 222 2213311 1111 0 0()()() 0()()() n nnn nnn nn xxxxxx xxxxx