高等數(shù)學2017年最新課件數(shù)學精神與方法第六講

1、數(shù)學精神與方法數(shù)學精神與方法 第六講第六講 運算與迭代的威力運算與迭代的威力 （二）（二） 3.2 3.2 經典數(shù)學的統(tǒng)一經典數(shù)學的統(tǒng)一 “數(shù)形合一數(shù)形合一”（續(xù)）（續(xù)） 上一節(jié)我們已看到怎樣從ZFC系統(tǒng)制定出自然數(shù) 系，整數(shù)系，直至有理數(shù)系。 本節(jié)將帶領大家看一看： 怎樣由有理數(shù)系制定出實數(shù)系？ 怎樣理解實數(shù)系與直線的統(tǒng)一？ 怎樣理解數(shù)與形的統(tǒng)一？ 無理量的存在性無理量的存在性 思考題：證明上述命題。 “萬物皆數(shù)”的信條。搖了畢達哥拉斯學派的 發(fā)現(xiàn)動無理數(shù)”了。無理量的無理量”的數(shù)也就是“無理量”，而表示“ 稱作正方形的對角線被他們是有理數(shù)。因此，單位對角線與它的邊之比不 形的理他們又能證明

2、，正方疑；但是，利用勾股定憑直覺他們對此深信不 數(shù)”，兩條線段之比都是有理之母”，依據(jù)是“任何弟子們“自然數(shù)是萬物 他的危機。畢達哥拉斯教導數(shù)學史上的第一次數(shù)學動和不安，這就爆發(fā)了 的震們的心理上引起了巨大是，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)在他他們發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)?？?正是勾股定理引領定理證明了勾股定理及其逆他們的另一重要貢獻是 ，獻是發(fā)現(xiàn)了“無理數(shù)”達哥拉斯學派的最大貢在數(shù)學的發(fā)展史上，畢 不是有理數(shù)。命題2 “ 完備化” 觀念 無理數(shù)的存在說明有理數(shù)系并不像畢達哥拉斯想象的那么“完備”，有理數(shù)系還有必要 作進一步的擴充?？墒?，“完備”究竟意味什么意思呢？簡單地說，這里的“完備”是數(shù)學家 渴望達到的一種境界“數(shù)與

3、形統(tǒng)一” 。讓我們自然地設想一下： 在一條連綿不斷的直線上，選定一個原點和一個序向，并選定單位長度，那么可以將 有理數(shù)0對應于直線上的原點，將數(shù)目1對應于直線上沿序向離原點有一個單位長度的點， 將數(shù)目2對應于沿序向離原點有二個單位長度的點，等等凡是有理數(shù)都唯一地對應于 直線上 一點，這一點離開原點的距離與單位長度是可公度的，并且不同的有理數(shù)對應于 直線上不同的點這樣就實現(xiàn)了從有理數(shù)系Q到直線上某個稠密子集間的一個保序雙射。 可是，這條連綿不斷的直線上終歸本性地存在著不能被任何有理數(shù)對應的點，這一現(xiàn)象 正是有理數(shù)系Q“不完備” 的表象。透過Q的這種“不完備” 表象，可以體會“完備” 的意味 “完

4、備”是“數(shù)與直線（形）統(tǒng)一”的想法。 “完備完備” = “數(shù)與直線（形）統(tǒng)一數(shù)與直線（形）統(tǒng)一” 分析數(shù)學的基本問題 怎樣將有理數(shù)系擴充成一個完備的有序數(shù)系，從而達成“數(shù)與直 線的統(tǒng)一”呢？ 這事實上是事關“分析數(shù)學”基礎的一個大問題。 牛頓和萊布尼茲在17世紀發(fā)明的微積分理論，被譽為“人類精神 的最高勝利”，開啟了“分析”這樣一個在觀念和方法上都具有鮮明特 點的數(shù)學領域。然而，牛頓和萊布尼茲的微積分是不嚴格的，特別 在使用無窮小概念上是隨意和混亂的。這種狀況長期困擾著數(shù)學家 們，長達200年之久。 數(shù)學家們經過幾代人的不懈努力才搞清楚，徹底消除微積分理 論的漏洞，靠的是有理數(shù)系的“完備化”思

5、想，即將有理數(shù)系擴充成 一個完備的有序數(shù)系實數(shù)系的理論。 牛頓（牛頓（Isaac Newton, 16421727)，最偉大的科學家，最偉大的科學家 之一。之一。自然哲學的數(shù)學原理自然哲學的數(shù)學原理于于1687年出版。年出版。 萊布尼茨（萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 1716），德國數(shù)學家，微積分的創(chuàng)立者。），德國數(shù)學家，微積分的創(chuàng)立者。 牛頓與萊布尼茨 牛頓和萊布尼茨都是他們所處時代的科學巨人，他們在相互獨立的情 況下各自創(chuàng)立了微積分。就發(fā)明時間而言，牛頓早于萊布尼茨；就發(fā) 表時間而言，萊布尼茨先于牛頓。 微積分發(fā)明權的爭論被認為是“科學史上最不幸

6、的一章”。由此產生的 嚴重影響是，整個18世紀英國與歐陸國家在數(shù)學發(fā)展上分道揚鑣。雖 然牛頓在微積分應用方面的輝煌成就極大地促進了科學的進步，但由 于英國數(shù)學家固守牛頓的傳統(tǒng)而使自己逐漸遠離了分析的主流。分析 的進步，在18世紀，主要是由歐陸國家的數(shù)學家在發(fā)展萊布尼茨微積 分方法的基礎上而取得的。 英雄世紀英雄世紀 微積分誕生之后，數(shù)學迎來一次空前繁榮的時期。18世 紀被稱為數(shù)學史上的英雄世紀。這個時期的數(shù)學家們在 幾乎沒有邏輯支持的前提下，勇于開拓并征服了廣泛的 科學領域。 18世紀的數(shù)學家知道他們的微積分概念是不清楚的，證 明也不充分，但他們卻自信他們的結果是正確的。 在微積分的發(fā)展過程中

7、，一方面是成果豐碩，另一方面 是基礎的不穩(wěn)固；這使得在微積分的研究和應用中出現(xiàn) 了越來越多的謬論和悖論。數(shù)學的發(fā)展又遇到了深刻的 令人不安的危機。由微積分的基礎所引發(fā)的危機在數(shù)學 史上稱為第二次數(shù)學危機。 因此在18世紀結束時，微積分和建立在其上的其他分析 分支，在邏輯上，處于一種混亂的狀態(tài)之中。 歷史要求給微積分以嚴格的基礎。 微積分的嚴格基礎微積分的嚴格基礎 微積分理論和應用經過整個18世紀的空前展開和長期發(fā)展，在說明這一理論極其有 效的同時，也使得它的邏輯基礎備受數(shù)學家們的關注，數(shù)學界再也不能無視微積分 建立在一個“隨意的和混亂的”無窮小概念之上。進入19世紀，分析基礎嚴格化的時 代到來

8、了。 法國數(shù)學家柯西首先向分析的全面嚴格化邁出了關鍵的一步，他的許多定義和論述 已經相當接近微積分的現(xiàn)代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了微積分基礎問題 上長期存在的混亂，但他的理論還只能說是“比較嚴格”，人們不久就發(fā)現(xiàn)他的理論 也存在漏洞。例如，他用了許多“無限趨近” 、“想要多小就多小”等直觀描述的語言。 事實上，要真正為微積分奠定牢固的基礎是必須充分理解實數(shù)系的完備性才能辦得 到的。可是，直到19世紀中葉，對于什么是實數(shù)竟沒有嚴格的定義，數(shù)學家對實數(shù) 系的理解僅停留在數(shù)軸這種直觀的感覺上，他們相當隨便地使用無理數(shù)而沒有考察 它們的確切意義和性質。 柯西對柯西對“無理數(shù)無理數(shù)”是什么的問題

9、作了一個表面的是什么的問題作了一個表面的 回答：回答：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。這里產生這里產生 了了“邏輯循環(huán)邏輯循環(huán)”的毛病。的毛病。 柯西柯西（Augustin Louis Cauchy, 1789-1857），法國 數(shù)學家。他對數(shù)學的最大貢獻 是在微積分中引進了清晰和嚴 格的表述與證明方法，使微積 分擺脫了對于幾何與運動的直 觀理解和物理解釋，從而形成 微積分的現(xiàn)代體系。 “分析算術化分析算術化”綱領綱領 對于實數(shù)缺乏認識，不僅造成邏輯上的間斷，而且導致錯誤結果時常出現(xiàn)，同時使人 無法明辨錯誤出在哪里。19世紀后半葉，數(shù)學家們開展了一場數(shù)學史上著名的“分析 算

10、術化”運動，其目的就是要把分析建立在“純粹算術”的基礎上。這場運動的主帥是德 國數(shù)學家魏爾斯特拉斯，他關于分析嚴格化的貢獻使他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號。 魏氏的嚴格化突出表現(xiàn)在，他創(chuàng)造了一套-語言，用于重建分析體系。他用這套 嚴格語言去代替前人的“無限地趨近”等說法而重新定義了極限、連續(xù)、導數(shù)等分析學 的基本概念，特別是引進了以往被忽視的“一致收斂性”概念，從而消除了微積分中不 斷出現(xiàn)的各種混亂和異議?？梢哉f，數(shù)學分析達到今天所具有的嚴密形式，本質上歸 功于魏氏的工作。 魏爾斯特拉斯認為，實數(shù)賦予我們極限、連續(xù)等基本概念，因而成為整個分析的邏輯 本源。要使分析嚴格化，首先就要使實數(shù)系本身嚴

11、格化。為此，最可靠的辦法是，按 照嚴密的邏輯將實數(shù)歸結為整數(shù)（有理數(shù)）。這樣，分析的所有概念便可以由整數(shù)導 出，以往的漏洞和缺陷就能得以彌補。這就是魏氏的“分析算術化”綱領。 1857年，魏爾斯特拉斯在解析函數(shù)論課程里向他年，魏爾斯特拉斯在解析函數(shù)論課程里向他 的學生講授了歷史上第一個嚴格的實數(shù)定義。的學生講授了歷史上第一個嚴格的實數(shù)定義。 外爾斯特拉斯外爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815- 1897），德國數(shù)學家。他的主 要貢獻在函數(shù)論和分析方面。 他發(fā)現(xiàn)了函數(shù)項級數(shù)的一致收 斂性，借助級數(shù)構造了復變函 數(shù)論，開始了分析的算術化過 程。他

12、給出的處處連續(xù)處處不 可微的函數(shù)震動了數(shù)學界。在 代數(shù)方面，他第一個給出了行 列式的嚴格定義。他被譽為“現(xiàn) 代分析之父”。 實數(shù)的實數(shù)的“戴德金分割戴德金分割”理論理論 鑒于各種實數(shù)理論本質上是一回事，我們只簡介戴德金的實數(shù)定義方 案。如上所見，戴德金定義實數(shù)的方法以有理數(shù)系 的分割為基礎。 。作的集合稱作實數(shù)系，記為實數(shù)，全體實數(shù)組成 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱稱之為是一個無理數(shù)。了一個無理數(shù)，或干脆 稱作是定義割三種情況出現(xiàn)時，將分之間的界數(shù)），而當?shù)?與是（特征：看作有理數(shù)分割前兩種情況出現(xiàn)時，將 中無最小者。中無最大者，而 ；之間的界數(shù)與是有一個最小者 ；之間的界數(shù)與是有一個最大者 三種情況之

13、一：不外乎是且只能是以下。任意一個分割 金分割，記作的一個戴德的這樣一種分割稱作那么，有理數(shù)系 中的任意一個有理數(shù)，中的每一個有理數(shù)小于 ，即， ，使得和兩類法，把全體有理數(shù)分成定義：如果給定某種方 R R Q Q rr rr rr yxyx 3 2 1 Q 數(shù)與構造數(shù)的方法達成了統(tǒng)一！數(shù)與構造數(shù)的方法達成了統(tǒng)一！ 的的戴戴德德金金分分割割2 2對對應應于于 .202 20, 02 2 2 rrr rrrr 且 ，且或其中 Q Q ,222 之間的界數(shù)。與 ）作為了分割的方法本身（拿對的對象時，我們干脆就 之間的界數(shù)與中找不到可以作為當我們在有理數(shù)系 22 22 22 Q Q 實數(shù)系的完備性實

14、數(shù)系的完備性 實數(shù)系的完備性究竟是什么意思呢？這需從實數(shù)的大小關系說起。實數(shù)系的完備性究竟是什么意思呢？這需從實數(shù)的大小關系說起。 稠密性，使得，則，且若 傳遞性，則，且若 三擇一性 關系之一成立：，則有且僅有下列三種若 ：不難證明以下三條性質 ， ，定義，命設 上的序，即大小關系：定義實數(shù)系在上述約定下，我們來 內沒有最大數(shù)。都適合 以下考慮的戴德金分割內；這樣，我們約定：移到我們總是將 為界數(shù)，那么以金分割。為確定起見，若戴德看作有理數(shù) 它們都可以為界數(shù)的分割有兩種，以對于任意的有理數(shù) .,3 .,2 ., ,1 . , : rr r rr rr Q QR R R R R R R R R

15、R 戴戴 德德 金金 完完 備備 性性 定定 理理 現(xiàn)在建立起來的全序集（現(xiàn)在建立起來的全序集（R, ）本質上已具有將有理數(shù)系）本質上已具有將有理數(shù)系Q擴充成一個擴充成一個 完備的有序數(shù)系的功能。這里需說明（完備的有序數(shù)系的功能。這里需說明（R, ）具有完備性是什么意思，然后）具有完備性是什么意思，然后 再將再將Q上的加法和乘法運算擴充到上的加法和乘法運算擴充到R上（擴充到上（擴充到R上的加法和乘法運算是唯一上的加法和乘法運算是唯一 確定的）。這樣，（確定的）。這樣，（R, ，+，-）就構成了我們理想中的）就構成了我們理想中的完備有序數(shù)系完備有序數(shù)系 即我們精神世界中的即我們精神世界中的理想直

16、線理想直線。 （R, ）的完備性是什么意思呢？）的完備性是什么意思呢？ 的最小元。元，或者是 的最大或者是，即，那么 ， ，且， 分割，即 的一個戴德金，是如果的完備性），定理（戴德金， yxyx yxyx R R RR 1 2 1 （R, ）的完備性表達出直線的）的完備性表達出直線的“ “連通性連通性” ”，而在，而在（R, ）上定義）上定義算術四則運算算術四則運算則可以表達出直線的則可以表達出直線的“ “直性直性” ” 這里我們不打算陷入定義實數(shù)之算術運算的細節(jié)中。這里我們不打算陷入定義實數(shù)之算術運算的細節(jié)中。 那么直線又是什么呢？歐幾里得下定義說：那么直線又是什么呢？歐幾里得下定義說：“

17、 “線只有長線只有長 度沒有寬度度沒有寬度” ”；這只是不能使用的；這只是不能使用的“ “假定義假定義” ”而已。希爾而已。希爾 伯特提出：將伯特提出：將“ “直線直線” ”作為無定義的原始概念處理。作為無定義的原始概念處理。 注意：注意： 戴德金（戴德金（Dedekind, J. W. Richard ，1831-1916），），德 國數(shù)學家，他因提出了把每 個實數(shù)都定義成是有理數(shù)集 的一個“戴德金分割”的理論， 而成為現(xiàn)代實數(shù)理論的奠基 人 。 “自然數(shù)是萬物之母自然數(shù)是萬物之母”的復生的復生 現(xiàn)在想來， “直線”只是一個不能加以定義的幾何對象盡管 它在我們心中的影像是那么地確定無疑與其讓

18、它這般地亦 真亦幻，不如將它就“等同等同”于實數(shù)系（R，+，-）好了。這 種“等同等同”實現(xiàn)了“數(shù)與直線的統(tǒng)一數(shù)與直線的統(tǒng)一”。 進一步，利用笛卡爾的坐標幾何的思想就可以實現(xiàn)“數(shù)與形的統(tǒng)數(shù)與形的統(tǒng) 一一”。 笛卡爾（笛卡爾（Rene. Descartes, 1596-1650），法），法 國哲學家兼數(shù)學家，解析幾何的發(fā)明者。他試圖在國哲學家兼數(shù)學家，解析幾何的發(fā)明者。他試圖在 一個毋庸置疑的基礎上重建知識體系，他選擇數(shù)學一個毋庸置疑的基礎上重建知識體系，他選擇數(shù)學 推理方法作為惟一可靠的方法。推理方法作為惟一可靠的方法。 有理數(shù)的連分數(shù)表示法有理數(shù)的連分數(shù)表示法 注：注意有理數(shù)的連分數(shù)表示法中有有限個整數(shù) 被使用；若使用無限個，那么就可以表示無理數(shù)了。 ，并且表示法唯二。其中 ，則，若定理 。數(shù)表示法的價值之所在示法，這正體現(xiàn)出連分 示法，但仍有連分數(shù)表理數(shù)，我們沒有分數(shù)表連分數(shù)表示法；對于無 可給出更有價值的有分數(shù)表示法，而且還對于有理數(shù)，我們不僅 0NZ, 0NZ n n n aaa aaa a a a a a b a ba , , 111 1 1 1 1 1 10 21 0 2 1 0 n a ,a ,a 10 的的連連分分數(shù)數(shù)表表示示2 2 . x x x xx x . x x,xx x 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1