圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)

1、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及應(yīng)用初探一、 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)11橢圓的光學(xué)性質(zhì)： 從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上； (見圖1.1)橢圓的這種光學(xué)特性，常被用來設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置例如在處放置一個(gè)熱源，那么紅外線也能聚焦于處，對(duì)處的物體加熱。電影放映機(jī)的反光鏡也是這個(gè)原理。證明：由導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率，而的斜率，的斜率到所成的角滿足，在橢圓上，同理，到所成的角滿足，而，12雙曲線的光學(xué)性質(zhì) ：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上；(見圖1.2)雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)

2、鏡的設(shè)計(jì)等方面，也能找到實(shí)際應(yīng)用13 拋物線的光學(xué)性質(zhì) ： 從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸（如圖1.3） 拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點(diǎn)處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可通過轉(zhuǎn)動(dòng)拋物線的對(duì)稱軸方向，控制照射方向衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，一般也是以拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號(hào)射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在焦點(diǎn)，把對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)

3、星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號(hào)射線能平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置，同樣保證接收效果最常見的太陽能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽光，以加熱焦點(diǎn)處的貯水器的圖1.3F2F1圖1.2AF1F2DO圖1.1B要探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，首先必須將這樣一個(gè)光學(xué)實(shí)際問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行解釋論證。二、問題轉(zhuǎn)化及證明21圓錐曲線的切線與法線的定義設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線連續(xù)變動(dòng)時(shí)，兩點(diǎn)沿著曲線漸漸靠近，一直到，重合為一點(diǎn),此時(shí)直線稱為曲線在點(diǎn)處的切線，過與直線垂直的直線稱為曲線在點(diǎn)處的法線。此時(shí)，我們可以借助圓錐曲線的切線和法線，對(duì)這一問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化：2.2圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明預(yù)備定理 1.若點(diǎn)是橢圓

4、上任一點(diǎn)，則橢圓過該點(diǎn)的切線方程為：。證明：由，1當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的切線斜率一定存在，且，對(duì)式求導(dǎo)：，切線方程為，點(diǎn)在橢圓上，故 ，代入得，而當(dāng)時(shí)， 切線方程為，也滿足式，故是橢圓過點(diǎn)的切線方程.預(yù)備定理2. 若點(diǎn)是雙曲線上任一點(diǎn)，則雙曲線過該點(diǎn)的切線方程為：證明：由，1當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的切線斜率一定存在，且，對(duì)式求導(dǎo)：，切線方程為，點(diǎn)在雙曲線上，故 代入得，而當(dāng)時(shí)， 切線方程為，也滿足式，故是雙曲線過點(diǎn)的切線方程.預(yù)備定理 3.若點(diǎn)是拋物線上任一點(diǎn)，則拋物線過該點(diǎn)的切線方程是證明：由，對(duì)求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，切線方程為，即，而，而當(dāng)時(shí)，切線方程為也滿足式，故拋物線在該點(diǎn)的切線方程是.定理1. 橢圓上一個(gè)點(diǎn)的兩

5、條焦半徑的夾角被橢圓在點(diǎn)處的法線平分（圖2.1）已知：如圖，橢圓的方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，是過橢圓上一點(diǎn)的切線，為垂直于且過點(diǎn)的橢圓的法線，交軸于，設(shè)，xyDP求證：.證法一：在上，則過點(diǎn)的切線方程為：，是通過點(diǎn)且與切線垂直的法線，則，法線與軸交于，又由焦半徑公式得：，是的平分線，故可得證法二：由證法一得切線的斜率，而的斜率，的斜率，到所成的角滿足：在橢圓上，同理，到所成的角滿足，而，證法三：如圖，作點(diǎn)，使點(diǎn)與關(guān)于切線對(duì)稱，連結(jié)，交橢圓于點(diǎn)下面只需證明點(diǎn)與重合即可。一方面，點(diǎn)是切線與橢圓的唯一交點(diǎn)，則，是上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和的最小值（這是因?yàn)樯系钠渌c(diǎn)均在橢圓外）。另一方面，在直線上任取

6、另一點(diǎn)，即也是直線上到兩焦點(diǎn)的距離這和最小的唯一點(diǎn)，從而與重合，即而得證定理2 雙曲線上一個(gè)點(diǎn)P的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分（圖2.2）；已知：如圖，雙曲線的方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，是過雙曲線上的一點(diǎn)的切線，交軸于點(diǎn)，設(shè)，xy圖2.2求證：證明：，兩焦點(diǎn)為， ，在雙曲線上，則過點(diǎn)的切線，切線與軸交于。由雙曲線的焦半徑公式得：，雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故故 ，切線為之角分線。yx圖2.3定理3 拋物線上一個(gè)點(diǎn)P的焦半徑與過點(diǎn)P且平行于軸的直線的夾角被拋物線在點(diǎn)P處法線平分（圖2.3）。已知：如圖，拋物線的方程為為，直線是過拋物線上一點(diǎn)的切線，交軸于，反射線與所成角記為，求證：證

7、明： 如圖 ，拋物線的方程為，點(diǎn)在該拋物線上，則過點(diǎn)的切線為，切線與軸交于，焦點(diǎn)為，(同位角)，通過以上問題轉(zhuǎn)化可知，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是可以用我們學(xué)過的知識(shí)證明的。那么它在解題和生產(chǎn)生活中有何應(yīng)用呢？三、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用31解決入射與反射問題例1. 設(shè)拋物線，一光線從點(diǎn) (5，2)射出，平行 的對(duì)稱軸，射在 上的點(diǎn)，經(jīng)過反射后，又射到上的點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_，點(diǎn)的坐標(biāo)為_。解：如圖，直線平行于對(duì)稱軸且(5，2)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），圖3.1.1反射線過點(diǎn)，設(shè)，則，解得：圖3.1.1，圖3.1.2例2. 已知橢圓方程為+= 1，若有光束自焦點(diǎn)(3，0)射出，經(jīng)二次反射回到點(diǎn)，設(shè)二次反

8、射點(diǎn)為，如圖3.1.2所示，則的周長(zhǎng)為。解：橢圓方程為+= 1中， (3，0)為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，自(3，0)射出的光線反射后，反射光線AC定過另一個(gè)焦點(diǎn) (-3，0)故的周長(zhǎng)為：。圖3.1.3例3.雙曲線，又，已知(4，2)， (4，0)，若由射至的光線被雙曲線反射，反射光通過，則。解：入射線反射后得到的光線的反向延長(zhǎng)線定過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，32 解決一類“距離之和”的最值問題張奠宙教授說“在一般情況下，光線在傳播過程中，總是選擇最近的路線從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)。這雖然還只是一種停留“經(jīng)驗(yàn)、感覺”層面上的結(jié)論，但卻為我們研究一類“距離之和” 取值范圍問題時(shí)指明了思考的方向，從而解決了一個(gè)從“想

9、不到”到“想得到”的關(guān)鍵問題。如果再輔以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這種“經(jīng)驗(yàn)、感覺”依然是很有價(jià)值的、不可替代的?！蔽易x了他的文章，深受啟發(fā)，并用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解決了我們經(jīng)常見到而又覺得復(fù)雜的一類最值問題。例4已知橢圓，、為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍。圖3.2.1圖3.2.2圖3.2.3（一）分析猜想：（1）經(jīng)計(jì)算，點(diǎn)在橢圓內(nèi),由于橢圓是封閉圖形，因此應(yīng)該有一個(gè)封閉的取值范圍，既有最小值也有最大值。（2）同樣根據(jù)光線的“最近傳播法則”，結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，可得：從射出被橢圓反射后經(jīng)過點(diǎn)的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的。這種情況又分為兩類，一是被上半橢圓反射（如圖3.2.1，光線從）

10、，二是被下半橢圓反射（如圖3.2.2，光線從），究竟哪種情況距離之和更小呢？顯然，根據(jù)橢圓定義，圖3.2.1中的 (為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng))，而圖3.2.2中的，可見圖3.2.1所示的情況距離之和更小。但是，最大值又是多少呢？圖3.2.2所示的光線又有什么特點(diǎn)呢？將圖3.2.1.和圖3.2.2中的光線反射路線合并圖3.2.3，由于是定值 (為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng))，而由前面知最小，由此猜測(cè)可能就是最大值。（二）證明是最小值。如圖3.2.2，連接，延長(zhǎng)交橢圓于，在橢圓上另取一點(diǎn)， 由橢圓定義知： （*） ，因?yàn)椋耄?）式得：，所以，。猜想得證。（三）計(jì)算：綜上所述，只需求出，可得最小值為，最大值為.例5已知雙

11、曲線，、為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍。分析猜想：經(jīng)計(jì)算，點(diǎn)在雙曲線右支開口內(nèi)部。由于雙曲線是不封閉曲線，顯然可以無限大，故要求的取值范圍，關(guān)鍵是求出的最小值。根據(jù)光線的“最近傳播”特點(diǎn)，我們猜想：從射出經(jīng)雙曲線反射后經(jīng)過點(diǎn)的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的，再結(jié)合雙曲線的光學(xué)性質(zhì)（從一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓周反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)），可作出從射出被雙曲線反射后經(jīng)過點(diǎn)的光線：連接，與雙曲線的交點(diǎn)即為使得最小的點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)，光線從。（見圖2）（二）證明：如圖2：按猜想作出點(diǎn)，由于所求點(diǎn)顯然不在雙曲線的左支上（此時(shí)顯然距離之和不會(huì)最?。?，故在右支上另取一點(diǎn)，由雙曲線定

12、義知：，即，因?yàn)?，兩邊同加得：所以圖3.2.5，故，猜想得證。（三）計(jì)算：由題意知，=例6已知拋物線，是其焦點(diǎn)，點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍。分析：由于拋物線不是封閉曲線，顯然沒有最大值，因此關(guān)鍵是求最小值。根據(jù)拋物線光學(xué)性質(zhì)（從焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射，反射光線與對(duì)稱軸平行，反之也成立），結(jié)合光線的“最近傳播”特點(diǎn)，我們猜想：過與對(duì)稱軸平行的直線與拋物線的交點(diǎn)可能就是使距離之和最小的點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)（見圖3.2.6）?？捎蓲佄锞€的定義證明猜想是正確的。且 33 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在解決與“切線”相關(guān)問題時(shí)起簡(jiǎn)捷作用。光線反射總是滿足反射定律（入射角等于反射角），光線被曲線反射也不例外，此時(shí)的法線就

13、是過反射點(diǎn)的曲線的切線的垂線?？梢?，曲線的切線和與曲線有關(guān)的反射問題有著密切聯(lián)系。以橢圓為例：如圖3.3.1，l是過橢圓周上一點(diǎn)的橢圓的切線，是點(diǎn)處的法線，光線從射出被橢圓反射經(jīng)過，滿足1=2，且3=4。圖3.3.1圖3.3.2例7已知是過橢圓上一動(dòng)點(diǎn)的橢圓的動(dòng)切線，過的左焦點(diǎn)作的垂線，求垂足的軌跡方程。分析：如圖3.3.2，本題如果忽視了橢圓的光學(xué)性質(zhì)將很難著手，或許借助橢圓參數(shù)方程可以求解，但運(yùn)算相當(dāng)繁瑣。由于是橢圓的切線，切點(diǎn)為，聯(lián)想到橢圓光學(xué)性質(zhì)及反射定律，可知：是的外角平分線，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上。這樣，由于，故，而、分別是、的中點(diǎn)，所以。從而點(diǎn)軌跡是以為圓心、以4為半徑的圓

14、。即點(diǎn)的方程為34在生產(chǎn)生活中的作用 例8某種碟形太陽能熱水器的外形示意圖如圖3.4.1，其中為加熱點(diǎn)；碟形反射壁是拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面；拋物線以為單位的設(shè)計(jì)尺寸如圖3.4.2為了達(dá)到最佳加熱效果，應(yīng)距碟底多少？F圖3.4.1圖3.4.28540xy5O解 ：以碟形內(nèi)壁底為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為軸，開口方向?yàn)檩S的正向，建立坐標(biāo)系如圖3.4.2，則內(nèi)壁拋物線方程為據(jù)所示尺寸，拋物線過坐標(biāo)為(40,85)的點(diǎn)，所以，加熱點(diǎn)應(yīng)置于拋物線的焦點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)(45.2,0)所以應(yīng)距碟底約。四圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在實(shí)際生活中應(yīng)用舉例圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角坐標(biāo)系，它們又與

15、二次方程對(duì)應(yīng)，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線一直是幾何學(xué)研究的重要課題之一，在我們的實(shí)際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線。雖然我不知道為什么，天體分別按照橢圓，雙曲線，拋物線運(yùn)行時(shí)，其總能量與離心率有很奇妙的關(guān)系，天體總能量橢圓0,拋物線=0，（橢圓e1,拋物線e=1）。相對(duì)于一個(gè)物體，按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運(yùn)動(dòng)，不可能有任何其他的軌道了。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式。我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽的橢圓軌跡上運(yùn)行，太陽系其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。如果這些行星運(yùn)行速度增大到某種程度，它們就會(huì)沿拋物線或雙曲線運(yùn)行。人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個(gè)原理。 由拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，可得到一個(gè)叫做旋轉(zhuǎn)物面的曲面。它也有一條軸，即拋物線的軸。在這個(gè)軸上有一個(gè)具有奇妙性質(zhì)的焦點(diǎn)，任何一條過焦點(diǎn)的直線由拋物面反射出來以后，都成為平行于軸的直線。這就是我