341相似三角形的判定

1、相似三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì) 本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.4 3.4.1 相似三角形的判定相似三角形的判定 如圖，在如圖，在ABC中，中，D 為為AB上任意上任意 一點(diǎn)一點(diǎn). 過點(diǎn)過點(diǎn)D作作BC的平行線的平行線DE，交，交 AC于點(diǎn)于點(diǎn)E. . （1）ADE與與ABC的三個(gè)的三個(gè) 角分別相等嗎角分別相等嗎？ （2）分別度量）分別度量ADE 與與 ABC 的邊長(zhǎng)，它們的邊長(zhǎng)是否對(duì)應(yīng)成比例的邊長(zhǎng)，它們的邊長(zhǎng)是否對(duì)應(yīng)成比例 ？ （3）ADE 與與ABC之間有什么關(guān)系？平行之間有什么關(guān)系？平行 移動(dòng)移動(dòng)DE的位置，你的結(jié)論還成立嗎？的位置，你的結(jié)論還成立嗎？ 動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 F 我發(fā)現(xiàn)只要我發(fā)

2、現(xiàn)只要 DEBC，那么，那么 ADE 與與ABC 是相似的是相似的 結(jié)論結(jié)論 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊平行于三角形一邊的直線與其他兩邊 相交，截得的三角形與原三角形相似相交，截得的三角形與原三角形相似. . 由此得到如下結(jié)論：由此得到如下結(jié)論： 舉舉 例例 例例1 如圖，在如圖，在ABC 中，已知點(diǎn)中，已知點(diǎn)D， E分別是分別是AB，AC邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn). . 求證：求證：ADE ABC. . ADE ABC. 證明證明 點(diǎn)點(diǎn)D，E分別是分別是AB，AC 邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn)， DEBC. 例例2 2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)D為為ABC的邊的邊AB的中點(diǎn)，過的中點(diǎn)，過 點(diǎn)點(diǎn)D作作DEBC，交邊，

3、交邊AC于點(diǎn)于點(diǎn)E. .延長(zhǎng)延長(zhǎng)DE 至點(diǎn)至點(diǎn)F ，使，使DE= EF 求證：求證：CFEABC 練習(xí)練習(xí) 如圖，在如圖，在RtABC中，中，C = 90正正 方形方形EFCD的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、D分別分別 在邊在邊AB，BC，AC 上上. . 已知已知AC= 7.5， BC= 5，求正方形的邊長(zhǎng)，求正方形的邊長(zhǎng) 1. 設(shè)正方形設(shè)正方形EFCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為x,則有則有 7 5 7 55 .xx . 答：正方形答：正方形EFCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為3. 3x.解得解得 如圖，已知點(diǎn)如圖，已知點(diǎn)O在四邊形在四邊形ABCD 的對(duì)的對(duì) 角線角線AC上，上，OEBC，OFCD. . 試試 判斷四

4、邊形判斷四邊形AEOF與四邊形與四邊形ABCD是是 否相似，并說明理由否相似，并說明理由. . 2. 動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形是相似的我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形是相似的. . 任意畫任意畫ABC 和和ABC ，使，使A= A B= B . （1） C = C 嗎嗎？ （2） 分別度量這兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，它們分別度量這兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，它們 是否對(duì)應(yīng)成比例是否對(duì)應(yīng)成比例？ （3） 把你的結(jié)果與同學(xué)交流，你們的結(jié)論把你的結(jié)果與同學(xué)交流，你們的結(jié)論 相同嗎相同嗎？由此你有什么發(fā)現(xiàn)由此你有什么發(fā)現(xiàn)？ 下面我們來證明：下面我們來證明： DE 結(jié)論結(jié)論 由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定

5、定理1： 兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似. . 舉舉 例例 例例3 3 如圖，在如圖，在ABC 中中, ,C=90從從 點(diǎn)點(diǎn)D分別作邊分別作邊AB，BC的垂線，垂足分別的垂線，垂足分別 為點(diǎn)為點(diǎn)E，F(xiàn)，DF與與AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)H求證：求證： DEHBCA 舉舉 例例 證明證明 C=90， DFBC， BHF =A， DHE =A. 又又 DEH= 90=C， DFAC. DEH BCA（兩角分別相等的兩個(gè)兩角分別相等的兩個(gè) 三角形相似三角形相似.) ) 舉舉 例例 例例4 4 如圖，在如圖，在RtABC 與與RtDEF 中，中，C=90， F = 90若若A =D，A

6、B = 5，BC = 4， DE = 3，求，求 EF的長(zhǎng)的長(zhǎng) EF = 2.4. ABC DEF. . ABBC DEEF 又又 AB = 5，BC = 4，DE = 3， C = 90，F(xiàn)= 90， A=D ，解解 練習(xí)練習(xí) 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)E為平行四邊形為平行四邊形ABCD的邊的邊BC延延 長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，交，交CD于點(diǎn)于點(diǎn)F. .請(qǐng)指請(qǐng)指 出圖中有幾對(duì)相似三角形，并說明理由出圖中有幾對(duì)相似三角形，并說明理由. . 1. 答：有三對(duì)相似三角形答：有三對(duì)相似三角形. .即即 CEFBEA. ADFEBA, ADFECF, 理由是每組三角形中有兩個(gè)角分別相等理由是每組三

7、角形中有兩個(gè)角分別相等. . RtABC Rt ACD. ABCD . BCED 2 2 4 1 CD BC AB. ED 解解 ACB+A =90， ACB+ECD =90， 2. 如圖，如圖，ABBD，EDBD，點(diǎn)，點(diǎn)C是線段是線段 BD的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且ACCE. . 已知已知ED= 1， BD= 4，求，求AB的長(zhǎng)的長(zhǎng) A = ECD. 動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 任意畫任意畫ABC 和和 ABC ABC，使，使 A=A， （1）分別度量）分別度量B和和B B ，C和和CC的大的大 小，它們分別相等嗎小，它們分別相等嗎？ （2）分別量出）分別量出BC和和 BC BC的長(zhǎng)，它們的比等的長(zhǎng)，它們的比等

8、 于于k嗎嗎？ （3）改變）改變A或或k的大小，的大小， 你的結(jié)論相同嗎你的結(jié)論相同嗎？由此你有由此你有 什么發(fā)現(xiàn)什么發(fā)現(xiàn)? ? A AB BA AC C A A B B A A C C k 下面我們來證明：下面我們來證明： D E 結(jié)論結(jié)論 兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似. . 結(jié)論結(jié)論 由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理2： 兩邊成比例，不是夾角相等兩個(gè)三形會(huì)相似嗎？?jī)蛇叧杀壤?，不是夾角相等兩個(gè)三形會(huì)相似嗎？ 例例5 5如圖，在如圖，在ABC與與DEF中，已中，已 知知C=F=70，AC=3.5cm ， BC=2.5cm，DF

9、 =2.1cm， EF=1.5cm. 求證：求證：ABC DEF. 例例6 6 如圖，在如圖，在ABC中，中，CD是邊是邊AB 上的上的 高，且高，且 ADCD CDBD . 求證：求證：ACB = 90. 練習(xí)練習(xí) 如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCD中，中，B =ACD， AB = 6， BC = 4，AC = 5，CD= 7.5， 求求AD的長(zhǎng)的長(zhǎng) 1. 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)B，C分別在分別在ADE 的邊的邊AD，AE 上，上， 且且AC = 6，AB = 5，EC = 4，DB=7. 求證：求證：ABCAED 2. 動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 任意畫兩個(gè)三角形任意畫兩個(gè)三角形ABC 和和 ABC 使使A

10、BC的邊長(zhǎng)是的邊長(zhǎng)是 ABC 的邊長(zhǎng)的邊長(zhǎng) 的的k倍倍. 分別度量分別度量A和和 A ，B 和和 B ，C和和 C 的大小，它們分的大小，它們分 別相等嗎別相等嗎？ 由此你得出什么結(jié)論？由此你得出什么結(jié)論？ 結(jié)論結(jié)論 三邊成比例的兩個(gè)三角形相似三邊成比例的兩個(gè)三角形相似. . 由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理3： 判斷下圖中的兩個(gè)三角形是否相似，判斷下圖中的兩個(gè)三角形是否相似， 并說明理由并說明理由. 舉例舉例 例例8 8 練習(xí)練習(xí) 如圖，已知點(diǎn)如圖，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是分別是ABC 三邊的中點(diǎn)，三邊的中點(diǎn)， 求證：求證：EDFACB. . 1. 判斷圖中的兩個(gè)三角形是否相似，判斷圖中的兩個(gè)三角形是否相似， 并說明理由并說明理由. . 2. 中考中考 試題試題 例例1 如圖所示，已知如圖所示，已知ACPABC，AC=4，AP=2， 則則AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 . . 8 解解 因?yàn)橐驗(yàn)锳CPABC， 所以所以 ， 所以所以 = APAC ACAB 22 4 =8. 2 AC AB AP B A C P 中考中考 試題試題 例例2 已知已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為的三邊長(zhǎng)分別為6cm，7.5cm，9cm， DEF的一邊長(zhǎng)為的一邊長(zhǎng)為4cm，當(dāng)，當(dāng)DEF的另兩邊長(zhǎng)是下的另兩邊長(zhǎng)是下 列哪一組時(shí)，這兩個(gè)三角形相似（列哪一組時(shí)，這兩個(gè)三角形相似（ ）. . A.