文科高數(shù)習(xí)題(一)答案在(三)中

1、一、極限1.證明：不存在.2.證明：當(dāng)時(shí)，與是同階無(wú)窮小量.3.證明：.4.當(dāng)時(shí)，兩無(wú)窮小和中哪一個(gè)是高階的？5.當(dāng)時(shí)，無(wú)窮小和下列無(wú)窮小是否同階？是否等價(jià)？(1); (2).6.設(shè)當(dāng)時(shí)，求的值.7.求極限：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)8.求極限：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)(8)(9)(10) (11)(12) (13)(14) (15)(16) (17)(18) (19)(20) (21) (22) (23)(24) (25)*9.若，求，的值.10.求下列極限：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12

2、)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24)(25) (26)11.已知，求常數(shù).二、連續(xù)函數(shù)12.設(shè)函數(shù)，求，.13.設(shè)，求，.14.設(shè)，求，.15.設(shè)，求.16.設(shè)，求.17.設(shè)，求.18.設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求及.19.設(shè) ，求函數(shù)的定義域.20.設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)減少. 試證明：在上也單調(diào)減少.21.設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，且對(duì)一切有. 證明：.22.證明任一定義在區(qū)間上的函數(shù)可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和.23.求下列各函數(shù)的定義域：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)24.求函數(shù)的定義域與值域.2

3、5.求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1) (2)(3) (4)(5) (6)26.已知，求及其定義域.27.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋笙铝懈骱瘮?shù)的定義域：(1) (2) (3) 28.求函數(shù)當(dāng)，時(shí)的增量.29.求函數(shù)當(dāng)，時(shí)的增量.30.若，求.31.下列函數(shù)在處是否連續(xù)？為什么？(1) (2)(3)32.討論函數(shù) 在處的連續(xù)性.33.設(shè)，已知在處連續(xù)，試確定，的值.34.設(shè)，要使在內(nèi)連續(xù)，應(yīng)當(dāng)怎樣選擇？35.求極限：(1) (2)(3) (4)(5) (6)36.求證：當(dāng)時(shí)，.37.求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求.*38.若，求的值.*39.若，求，的值.40.根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證方程至少有一個(gè)根介于1和2之間.

4、41.證明方程在開區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.42.試證方程至少有一個(gè)小于1的正根.43.試證方程，其中，至少有一個(gè)正根，并且它不超過(guò).44.證明方程在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根.45.證明曲線在與值之間至少與軸有一個(gè)交點(diǎn).*46.若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，. 證明：至少有一點(diǎn)，使得.三、導(dǎo)數(shù)與微分47.按照導(dǎo)數(shù)定義，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (2)48.一物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度.49.求在拋物線上點(diǎn)處的切線方程.50.求曲線在點(diǎn)處的切線方程.51.曲線上哪一點(diǎn)處的切線與直線平行？52.試求曲線在它與直線的交點(diǎn)處的切線方程和法線方程.53.求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.54.確定，之值，使曲

5、線與直線相切于點(diǎn).55.設(shè)曲線與都通過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)有公共切線，求，的值.*56.設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，證明曲線與曲線在交點(diǎn)處相切.57.設(shè)，求.58.設(shè)，求.59.設(shè)在處可導(dǎo)，求.*60.設(shè) ，求，.*61.設(shè) ，又在處可導(dǎo)，求.*62.設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，求.63.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24) (25) (26) *(27)(28) (29)(30) (31)(32) (33)(34)64.求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（其

6、中，為常數(shù)）：(1) (2)(3) (4)(5)65.方程確定是的函數(shù)，求.66.方程確定y是x的函數(shù)，求.67.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (2)(3) (4)68.已知，求.69.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1) (2)(3) (4)(5) (6)70.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（其中函數(shù)二階可導(dǎo)）：(1) (2) (3) (4)(5) 71.設(shè)函數(shù)由方程確定，求.72.設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求.73.求下列函數(shù)的微分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)74.求函數(shù)當(dāng)由變到的微分.75.求由，復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的微分.四、中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用76.證明：，. 77.證明：，其中0 a 1.78.設(shè)

7、在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，又. 證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.79.求極限：(1) (2)(3)（為任何實(shí)數(shù)）(4) (5)(6) (7)(8) (9)(10) (11)(12) (13)(14) （為正整數(shù)，）(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24)(25) (26)(27) (28)(29) (30)(31) (32)(33) (34)(35) (36)(37) (38)*(39) *(40)*(41) *(42)*(43) *(44)80.證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加，而在區(qū)間上單調(diào)減少.81.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1) (2)(3) (4)82.證明

8、不等式：(1) (2)(3) (4) (5) (6) ， .83.求下列函數(shù)的極值：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)84.求下列函數(shù)在所給區(qū)間的最大值與最小值：(1) (2) (3)85.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.86.試證方程只有一個(gè)正實(shí)根.87.討論方程有幾個(gè)實(shí)根.88.欲做一個(gè)底為正方形，容積為108立方米的長(zhǎng)方體開口容器，怎樣做法所用材料最??？89.欲用圍墻圍成面積為216平方米的一塊矩形土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問(wèn)這塊土地的長(zhǎng)和寬選取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？90.欲做一個(gè)容積為300立方米的無(wú)蓋

9、圓柱形蓄水池，已知池底單位造價(jià)為周圍單位造價(jià)的2倍. 問(wèn)蓄水池的尺寸應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)才能使總造價(jià)最低？五、不定積分91.求下列不定積分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)92.求下列不定積分：(1) (2) (3)93.設(shè)，求.94.已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，并當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)值等于，求這個(gè)函數(shù).95.已知曲線上任一點(diǎn)的切線的斜率為，且時(shí)，是極大值，求和的極小值.96.已知的圖形過(guò)點(diǎn)，的圖形是過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線，2是的極值，求.97.求下列不定積分：(1) (2) (3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)

10、 (11) (12)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24) (25) (26)(27) (28)(29) (30)(31) (32)(33) (34)(35) (36) 98.求下列不定積分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13)99.求下列不定積分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)*(23)100.設(shè)的原函數(shù)為，求.1

11、01.設(shè)，求.102.求下列不定積分：(1) (2)(3) *(4)*(5) *(6)六、定積分103.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)*104.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，求.105.設(shè) ，其中有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且. 研究：(1)在處的連續(xù)性；(2)在處的可導(dǎo)性.*106.試求由所確定的隱函數(shù)對(duì)于的導(dǎo)數(shù).*107.設(shè)，求.108.求下列極限：(1) (2) 109.判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.110.求函數(shù)的極值.111.求函數(shù)在上的最大值與最小值.*112.設(shè)函數(shù)在內(nèi)可微，且，試求.113.求下列定積分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8) (9

12、) (10)(11)114.設(shè)在上連續(xù)，試證 .115.證明，其中為連續(xù)函數(shù).116.證明.117.證明.118.求下列定積分：(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)119.已知，求.120.求下列定積分：(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8)(9) (10)121.已知常數(shù)，且，求的值.*122.設(shè)，求.123.求下列各題中平面圖形的面積：(1)曲線與軸所圍成的圖形.(2)曲線在區(qū)間0，1上的曲邊梯形.(3)曲線與所圍成的圖形.(4)曲線與直線、所圍成的圖形.(5)在區(qū)間上，曲線與直線所圍成的圖形.(6)曲線與

13、直線所圍成的圖形.(7)曲線與直線所圍成的圖形.124.求由拋物線，橫軸及直線所圍成的圖形的面積.125.求由曲線，橫軸及直線所圍成的圖形的面積.126.求由曲線，縱軸與直線，(ba0)所圍成的圖形的面積.127.求由拋物線與橫軸所圍成的圖形的面積.128.拋物線分割圓成兩部分，分別求出這兩部分的面積.129.求下列平面圖形分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體的體積：(1)曲線與直線所圍成的圖形.(2)在區(qū)間上，曲線與直線所圍成的圖形.(3)曲線與直線所圍成的圖形.(4)曲線與所圍成的兩個(gè)圖形中較小的一塊.130.求曲線與直線，及所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.131.設(shè)平面圖形由，所圍成，(1)

14、求此平面圖形的面積；(2)求此平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.132.證明圓錐體的體積為其底面積與高的乘積的三分之一.133.求下列廣義積分：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)(9) (10) (11) 134.計(jì)算與直線之間位于第一象限內(nèi)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積.習(xí)題答案與部分題解1.證 ，即 ， 不存在.2.證 ，與是同階無(wú)窮小量. 3.提示：只要證明.4.為等價(jià)無(wú)窮小 5.(1)為同階無(wú)窮小 (2)為等價(jià)無(wú)窮小 6.7.(1)解 ， 根據(jù)無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系，原式 =.(2)（根據(jù)無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系） (3) (4)解 當(dāng)時(shí)，根據(jù)無(wú)窮小與有

15、界量的乘積仍為無(wú)窮小，原式 = 0 .(5)（根據(jù)無(wú)窮小與有界量的乘積仍為無(wú)窮?。?(6) (7)解 原式 =8. (1)解 . （無(wú)窮小量分出法） (2) （利用無(wú)窮小量分出法）(3)解 (4)解 (5) (6) (7) (8) (9).注：令 ，得.比較等式兩邊的同次冪的系數(shù)，得 ，解得 .于是 . （此法稱為待定系數(shù)法）(10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)解 (17) (18) 1 (19) (20) (21) (22)(23) (24) (25)解 .9.解 原式 =要使上等式成立，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ，10.(1)解 (2) (3) (4) (5) (6)

16、 (7)解 (8) (9) (10)解 (11)解 (12)解 .(13) (14) (15) (16)解 (17) (18) (19) (20) (21) (22)(23)解 (24) (25) (26) 11. 12. ；13.；14.；15.解 ； .16. 17.解 令，則， ，18.； 19. 20. 略 21. 略 22. 略23. (1) (2)(3) (4) (5)(6) (7)24.定義域?yàn)椋恢涤驗(yàn)?25. (1)， (2)，(3)， (4)，(5)， (6)26.；27. (1)(2)， 或，(3)當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，定義域?yàn)?28. 29

17、. 30.31.(1)解 即在處的極限不存在，所以在處不連續(xù).(2)解 ，在處連續(xù). (3)解 ，在處連續(xù). 32.不連續(xù)33.解 ，在處連續(xù)，有，即，即，.34.解 當(dāng)或時(shí)，為初等函數(shù)，連續(xù). 要使在內(nèi)連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)在處連續(xù).，.35.(1)解 (2) (3) (4)解 在處不連續(xù)，所以不能直接利用連續(xù)函數(shù)求極限的法則.令，當(dāng)時(shí)，. 在處連續(xù)，所以原式 =另解：原式 = (5) (6)36.證 ，37.； 38.解 設(shè)，時(shí)，為時(shí)的無(wú)窮小，即有. 又是連續(xù)函數(shù)，有，即，即.39.解 設(shè)，時(shí)，有. 又連續(xù)，有，即，即 (1).將(1)代入原式，得，即，代入(1)，得.，. 40. 提示：利用零點(diǎn)

18、定理 41. 略 42. 略43.證 設(shè)，在上連續(xù)， (1)當(dāng)，即為所求；(2)當(dāng)，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使，即為所求.綜上得證. 44. 略 45. 略46.證 設(shè)，在上連續(xù).，根據(jù)零點(diǎn)定理，在內(nèi)至少有一個(gè)根，即，至少有一點(diǎn)，使得，即.47.(1) (2)48.， 49.50. 51.52.切線方程為 ；法線方程為 53.解 在方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得將，代入上式，整理，得.所求切線方程為，或；法線方程為，或.54.， 55.， 56.證 設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為，則有，已知，有，從而有.，即，在交點(diǎn)處兩曲線的切線斜率相等，所以兩曲線在交點(diǎn)處相切.57.解 原式 =58. 59. 60.解 ，. 當(dāng)時(shí)，.6

19、1.解 .，即.62.解 ，當(dāng)時(shí)，與為同階無(wú)窮小，即有又在處連續(xù)，有從而 ，即 63.(1) (2) (3)(4) (5) (6)(7) (8) (9)(10) (11) (12)(13) (14) (15)(16) (17)(18) (19) (20)(21) (22) (23)(24) (25)(26)(27)解 ， (28)解 ，(29) (30) (31)解 ， (32)解 ， (33)(34)64.(1)解 在方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得，整理，得 .(2) (3) (4) (5)65.解 在方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得， .66. 67.(1) 解 .(2) (3)(4)68.69.(1)(2)

20、(3) (4)(5) (6)70.(1)解 ，.(2)解 ，.(3)(4)(5)71.解 在方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 (1)再在(1)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 (2)當(dāng)時(shí)，由原方程解得. 將，代入(1)，得.將，代入(2)，得.72.73.(1) (2) (3)(4) (5) (6) (7)74.解 由題設(shè)，x由變到，得.，.所求微分.75.76.證 設(shè)，在上滿足拉格朗日中值定理的條件.在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即有 .，從而有. 77.提示：設(shè)，. 利用拉格朗日中值定理證.78.證 由題設(shè)，在內(nèi)連續(xù)，可導(dǎo)，且有 ，根據(jù)羅爾定理，在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得又 ，它在內(nèi)連續(xù)，可導(dǎo)，且有，根據(jù)羅爾定理，在內(nèi)至少有一點(diǎn)

21、，使得79.(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8) (9) (10) (11) (12)(13) (14) (15) (16)解.(17) (18)解 .（當(dāng)時(shí)，）(19)解 .(20)解 .(21) (22) (23) (24)解 ，. 原式 =.(25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35)解 ， ，原式 =.(36)解 令，則，即原式 =.(37) (38) (39) (40) (41) (42) (43)解 令，則，即，原式 =.(44)解 令，則，即原式 = .80. 略81.(1)解 ，令，得駐點(diǎn)：

22、，.xy單調(diào)增加區(qū)間：；單調(diào)減少區(qū)間：.(2)單調(diào)增加區(qū)間：；單調(diào)減少區(qū)間：(3)單調(diào)增加區(qū)間：；單調(diào)減少區(qū)間：(4)解 函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得駐點(diǎn)：.當(dāng)，；當(dāng)，. 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為；單調(diào)減少區(qū)間為.82.(1)證 設(shè)，在上連續(xù)，在上單調(diào)增加.又 ，當(dāng)時(shí)，有 即，(3)證 設(shè)，在上單調(diào)增加. 又 在上連續(xù)，且，當(dāng)時(shí)，有，即， ，83.(1)解 函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得駐點(diǎn)：，.x01y極大極小為極大點(diǎn)，函數(shù)的極大值為；為極小點(diǎn)，函數(shù)的極小值為.(2)極大值：，；極小值：(3)極大值：；極小值：(4)極大值：；極小值：，(5)極大值：；極小值：(6)極小值：(7)解 函數(shù)的定義域?yàn)?，令，

23、得駐點(diǎn)：，函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)：.x0y極大極小為極小點(diǎn)，函數(shù)的極小值為；為極大點(diǎn)，函數(shù)的極大值為.(8)極大值：；極小值：(9)極大值：；極小值：(10)極大值：84.(1)解 .令，得駐點(diǎn)：，（舍去）.，函數(shù)的最大值為；最小值為.(2)最大值：；最小值：(3)最大值：；最小值：85.單調(diào)增加區(qū)間為；單調(diào)減少區(qū)間為.函數(shù)在上的最大值為，最小值為.86.證 設(shè)，在上單調(diào)增加. 又在上連續(xù)，且， ，由根的存在定理及的單調(diào)性可知，方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根，即方程只有一個(gè)正實(shí)根.87.當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根.88.解 設(shè)容器的底邊長(zhǎng)為，高為，則其容積為，即容器的表面積

24、為 ，令，得駐點(diǎn)：. 由問(wèn)題的性質(zhì)知，容器的最小表面積一定存在. 現(xiàn)在只求得唯一駐點(diǎn)，故當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)米時(shí)，容器表面積最小. 當(dāng)時(shí)，. 即容器的底邊長(zhǎng)6米，高3米時(shí)，所用材料最省. 當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)米，高時(shí)，所用材料最省.89.當(dāng)土地的長(zhǎng)米，寬米時(shí)，所用建筑材料最省.90.當(dāng)池底半徑米，高為底半徑的2倍時(shí)，總造價(jià)最低.91.(1)(2) (3)(4) (5)(6) (7)(8) (9)(10) (11)(12) (13)(14)92.(1)解 .(2)解 .(3)93. 94.95.，極小值為96.解 由題意，設(shè)，. 從而有.的圖形過(guò)點(diǎn)，有. 即，.是可導(dǎo)函數(shù)，且是它的唯一駐點(diǎn)，是的極值點(diǎn)，即有，解得.97

25、.(1)解 當(dāng)時(shí)，原式 =；當(dāng)時(shí)，原式 =.(2)解 .(3)解 .(4)(5)解 .(6) (7)(8) (9)(10)解 . (11)解 (12) (13)解 .(14) (15)(16)解 .或 .(17) (18)(19)(20) (21) (22) (23)(24) (25)(26)解 .(27)解 .(28)解 .(29)(30)(31) (32)解 .(33) (34)解 .(35) (36)98.(1)解 令，則，.原式 = .(2)解 令，則.原式 =.(3)解 令，則，.原式 =.(4)解 令，則，.原式 = .(5)解 令，則.1x原式 = . (6) (7)解 令，則.xa原式 = .(8) (9)(10) (11)(12) (13)99.(1)解 .(2) (3)(4)(5)解 .(6)(7)(8)解 移項(xiàng)，整理，得 .(9) (10)解 .(11)(12) (13)解 移項(xiàng)，整理，得 .(14)(15)(16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23)100.解 (1) (2)將(2)代入(1)，得.101.102.(1)解 令 ，得，比較等式兩邊x同次冪的系數(shù)，得，解得.原式= .(2)解