振動習題答案

1、精品感謝下載載振動力學(xué)習題第二章 單自由度系統(tǒng)的自由振動2- 1如圖2-1所示，重物Wi懸掛在剛度為k的彈簧上并處于靜止平衡位置，另 一重物W2從高度為h處自由下落到Wi上且無彈跳。試求W2下降的最大距離和兩 物體碰撞后的運動規(guī)律。平衡位置x解:W2hV2，2gh動量守恒：W2W w2W2一 VVi2 ， Vi22ghggW W2平衡位置：Wikxi， XiwkW1W2kxi2，X12W Wk故：Xo*2XiW2kIkkgnWW2 gW w2故:X0xXd cos ntSin ntnXo cos nt*sin2-2 一均質(zhì)等直桿，長為I，重量為w，用兩根長h的相同的鉛垂線懸掛成水平 位置，如圖

2、2-2所示。試寫出此桿繞通過重心的鉛垂軸做微擺動的振動微分方程， 并求出振動固有周期。7/7/7/haa一 ThI 2丄2解：給桿一個微轉(zhuǎn)角旦2 = h2F= mg由動量矩定理：I M1 2 Iml12M Fa sin其中cos2amg-mg一8hsinmg4hcos22Pn2nTPn2-3 一半圓薄壁筒，平均半徑為R, 試求置于粗糙平面上做微幅擺動，如圖2-3所示其擺動的固有頻率。TFT6H ,L圖2-3圖2-42-4如圖2-4所示，一質(zhì)量m連接在一剛性桿上，桿的質(zhì)量忽略不計，試求下 列情況系統(tǒng)作垂直振動的固有頻率：（1 ）振動過程中桿被約束保持水平位置；（2）桿可以在鉛垂平面內(nèi)微幅轉(zhuǎn)動；（

3、3）比較上述兩種情況中哪種的固有頻率較高，并說明理由解:（1 ）保持水平位置:（2）微幅轉(zhuǎn)動：xx1xF1k1X2X1 I1I1 I2JmgI1 12 k1I1hI112 I112 k22I112 k1JmgI1 I2 k1I1I1 I211 k112*2mgh I2 k212k21112112k11,2 k?2h I2 k1 k2mg221& 加故:2-5試求圖2-5所示系統(tǒng)中均質(zhì)剛性桿 AB在A點的等效質(zhì)量。已知桿的質(zhì)量為m，A端彈簧的剛度為k。并問鉸鏈支座C放在何處時使系統(tǒng)的固有頻率最高？圖2-5圖2-62-6在圖2-6所示的系統(tǒng)中，四個彈簧均未受力。已知m=50kg , ki 9800

4、 N m ,k2 k3 4900 N m，k4 19600 N m。試問：（1）若將支撐緩慢撤去，質(zhì)量塊將下落多少距離？（2）若將支撐突然撤去，質(zhì)量塊又將下落多少距離？2.17 圖T 2-17所示的系統(tǒng)中，四個彈簧均未受力，ki= k2= k3= k4= k，試問:(1) 若將支承緩慢撤去，質(zhì)量塊將下落多少距離？(2) 若將支承突然撤去，質(zhì)量塊又將下落多少距離?解:(1 )mgki234Xo , XoX tx0cosnt ,圖 T 2-17k2k32kkl23k12342mgkXmax2 X0k1 k23kik23ki23k4kl23k41k24mgk2-7圖2-7所示系統(tǒng)，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓

5、盤在水平面上作無滑動的滾動，鼓輪繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為I，忽略繩子的彈性、質(zhì)量及各軸承間的摩擦力。試求此系統(tǒng)解:系統(tǒng)動能為:221 21 ,x1 2112 xTm1x-Im2xm2r22R2222r1I322 口R2m22x1 2mex2系統(tǒng)動能為:21.21R,k2xk1x22R2k2klR2根據(jù):kex22k2kimi3 m222-8如圖2-8所示的系統(tǒng)中，鋼桿質(zhì)量不計，建立系統(tǒng)的運動微分方程，并求 臨界阻尼系數(shù)及阻尼固有頻率圖2-8十a(chǎn)c a:Fb廣kb解:m l l c a a k b b 0ml ca kb 0ncaml224c a m4m2l2b2 kn ?1bln由 1 c ymka2

6、-9 圖 2-9 所示的系統(tǒng)中，m = 1kg ,k = 24N/m ,c = 48N.s/m ,li = 1 = 0.49m ,I= l/2 , l3= l/4，不計鋼桿質(zhì)量。試求系統(tǒng)的無阻尼固有頻率n及阻尼。r”._iILJb I圖2-92.26 圖 T 2-26 所示的系統(tǒng)中，m = 1 kg , k = 144 N / m , c = 48 N ?s / m , li=l = 0.49 m , l2 = 0.5 l, l3 = 0.25 I,不計剛桿質(zhì)量，求無阻尼固有頻率 n及阻尼om圖 T 2-261113km h答案圖T 2-25解:受力如答案圖T 2-26。對O點取力矩平衡，有：

7、m l1 l1C I3 I3k l2 120ml：Cl；kl；011mck016421kn364mn6rad / s1c16 2! nmc10.2516m 2第三章 單自由度系統(tǒng)的強迫振動3- 1如圖3-1所示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，兩個彈簧的連接處有一激振力P(t)Posint。試求質(zhì)量塊的振幅圖3-1解：設(shè)彈簧1 , 2的伸長分別為X1和X2，則有,xx1x2由圖（1）和圖（2）的受力分析,k1 x1k2x2mx得到P0 sintk2x2(B)(C)聯(lián)立解得,mx& k?xk1k2k2k k2P0 sin txk2)m（匕k2k2)mP0sin tPn所以,m(kjk2)，得,3-2 圖 3-2P

8、（t） Pos inh2)2(2n )2圖3-2所示系統(tǒng)中，剛性桿H1k 、(12)2 (2 )2ABt，寫出系統(tǒng)運動微分方程, 系統(tǒng)發(fā)生共振；（2）Pok1t的質(zhì)量忽略不計,1 E)2端作用有激振力并求下列情況中質(zhì)量m作上下振動的I2l c (2l)3lk( 3l) 3IPsin t又 1= ml24ck3.丄P0 sintmmml振幅值：（1）解：圖（1）為系統(tǒng)的靜平衡位置，以等于固有頻率n的一半。為系統(tǒng)的廣義坐標，畫受力如圖（2）則2Pn9km3poml4c2nmh/ 22、2 2,(Pn)(2n )B IB1 ）系統(tǒng)共振，即 Pnhl匚22 72.(Pn )(2n )Bhl2npn(3

9、p/ml) l4cm4i mPo m4c 1 k2Pnhl(n Pn)2並lml27k 2 4c2 9k4m m2 m4p。19k 64c2；81mk，阻尼比3-3建立圖3-3所示系統(tǒng)的運動微分方程，并求出系統(tǒng)的固有頻率以及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅。圖3-3解：以剛桿轉(zhuǎn)角為廣義坐標，由系統(tǒng)的動量矩定理令,PnB 2l2nc4m4l2mc4mPnk(lk4m(p2Xs)lcl2P(1ka .sinlc8mpnka4mlPn得到h2)2(2n )2ka4ml22)2 (2 n )2 P npn Pn2l2a2、2.(12)2 (2)23-4一機器質(zhì)量為450kg，支撐在彈簧隔振器上，彈簧靜變形為 0.5cm，

10、機器 有一偏心重，產(chǎn)生偏心激振力F0 2.254 2,g，其中 是激振頻率，g是重力加速度。試求:(1)在機器轉(zhuǎn)速為1200r/min解：設(shè)系統(tǒng)在平衡位置有位移x，F(xiàn)。則mx&kx時傳入地基的力；(2)機器的振幅。X&即Flmmg又有mg k ststFo(1)2(2 )且Pn40 rad/s (3)所以機器的振幅為上_g_m st (4 )(2) (4 )代入(2)得機器的振幅 B =0.584 mmkB 514.7N又有 將(1)則傳入地基的力為 PT2-9 一個粘性阻尼系統(tǒng)在激振力F (t) Fo sin t作用下的強迫振動力為x(t) Bsi n t20 nrad/s，求最初1秒及1/

11、4秒n6，已知 Fo 19.6n，B =5 cm ， 內(nèi)，激振力作的功w及W。由已知可得：P(t) F0sinwt 19.6sin 20 tcos(20 t )X(t) Bwcos(wt )61W= 0 P(t)x(t) dto19.6sin 20 tcos(20 t )dtcos40 t .11 /4.9 一3b 4.9(1 cos80 t)dt40015.39J同理可得：1W040 P(t)x(t)dt1cos(20 t6)dt4019.6sin20 t00.0395J3-5證明：粘滯阻尼利在一個振動周期內(nèi)消耗的能量可表示為P)22k(12)2(2 )2證明E c 2B2cos( t )d

12、tc B2Fo/k2 2 ,2243-6單自由度無阻尼系統(tǒng)受圖F2/k圖3-6解：由圖得激振力方程為P 0 t t1F(t) R 匕 t t20 t t2當 0 t ti 時，F(xiàn)( ) Pl，則有由于2Pn當tlx(t) tpi所以有0 si npn(t )d0 mpnP1X(t)計 t2 時，F(xiàn) ()P，則有R2【1 COSPnt mpnCOSPntt1 P1x(t)sin Pn(t)dt Pisi npn(t )d mpnPCOSPnt匸1 COspn(ti t)1川lit解：如圖選擇廣義坐標。求質(zhì)量矩陣及利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為m003kkkM0m0Kk3kk00mkk3k由頻率方

13、程1P0，得3k2mpkkk3k2mpk0kk3k2mp解出頻率為精品由特征矩陣BPlP2P32K p M的伴隨矩陣的第一列,(3kadjB k2k22 2mp )k(3kk(3kk2 mp2) mp2)pik將，m代入得系統(tǒng)的第一階主振型為A滿足如下關(guān)系：（A）TMA展開以上二式得，AA 即有P；M)A(2)0取 A22)0，(Ka(2)1，可得到a3刀1(A )T MA 0(a(2)TMA(3)0(K展開以上二式得，A1A2a33)0A1(3)AA1，1，可得到A23）2。即得A(3) 12 1T主振型矩陣為111A102111A滿足如下關(guān)系:p；M）A 00，聯(lián)立得AA3。取圖4-24-

14、2試計算圖4-2所示系統(tǒng)對初始條件X）0 0 0 0 T和& vOOvT的響應(yīng)。解：在習題4-6中已求得系統(tǒng)的主振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為1 1 11 2112感謝下載載 _（1 、2）1（1、2）1 1 1ApA1A2A3A4精品正則振型的第i列為AN)，由此得到正則振型振型為0.50000.65730.50000.270610.50000.2706AN ,m 0.50000.27060.50000.65330.50000.65330.50000.65330.50000.27061 1111 1 2A1 12m0001 2 11 12M0m001 11100m0000m主質(zhì)量振型為4.0000

15、0000.41400M P AtMAm004.000000013.657感謝下載載正則坐標初始條件為0.50000.50000.50000.5000 10.27060.65330.6533 0.2706 0001 000.50000.50000.50000.50001000v1T_0.65330.27060.27060.6533010000XN (0) AN MX0 Jm-mv0.50000.50000.50000.50000010010.27060.65330.65330.27060001v00.27060.27060.6533 0100000.50000.5000 0.5000 00100

16、0T l 0.6533XN(0)介驅(qū)0.5000xn (0) A nMx 0 = 0X N (0)A N M X 0=m vT0 v 0正則坐標的響應(yīng)為Xn1mvtvJm.丄Xn3sin P3tXN20P3XN40 :其中頻率2kp3為 m。最終得到響應(yīng)，由|XA(N)Xn1(2)(3)(4)A N X N 2 A N X N3A N X N4，展開得到X111X2vt 1 v1丄cos p3tX32 12P31X411A 1A 2A 3A 4X AN XN1 AN Xn2 AJ Xn3 Aj 冷4V2(t1 si npt) P3V “1.丄、(tsi npt)2P3V(t si npt)2P

17、3V(t si npt)P3解：從6 6中可得主頻率和主振型矩陣為由質(zhì)量矩陣M p ApTMAi匸kI22mP3m0000m0000m0000m1002&4m0000M0010P10 , P22kP4m，可求出主質(zhì)量矩陣則正則振刑矩陣為AN(2(2222222 2212)212 222)122122XnX。2222222 2212212212 2212 22T0于是得xn1XN1 o tvtvmXn2 0XN2 sin p2t 0P2買n3 0 .v4m .Xn3 sin P3t sin P3tP3P3Xn 40XN4 sin P4t0P4所以響應(yīng)為XA NXn1A n2x,N2 A n X

18、Nc5 A N X N45X111X21v,1v .,-tsin P3tX31212P3(2k即X411，其中，P3-m，4.000000T00.41400M P A MA m004.000000013.6574-3試確定題4-2的系統(tǒng)對作用于質(zhì)量 m1和質(zhì)量m4上的階躍力p1p4 p的響應(yīng)。4-4如圖4-4所示，已知機器質(zhì)量為m1=90kg，吸振器質(zhì)量為m2=2.25kg，若機 器上有一偏心質(zhì)量 m 0.5kg，偏心距e=1cm，機器轉(zhuǎn)速n=1800r/m 。試問：（1）吸振器的彈簧剛度k2多大，才能使機器振幅為零？（2）此時吸振器的振幅B2為多大？若使吸振器的振幅B2,應(yīng)如何改變吸振器的參

19、數(shù)?圖4-4第六章彈性體系統(tǒng)的振動6.1 一等直桿沿縱向以速度v向右運動，求下列情況中桿的自由振動:(1) 桿的左端突然固定;(2) 桿的右端突然固定;(3) 桿的中點突然固定。圖6-1Uo& x,0解；(1)桿的左端突然固定; 桿的初始條件為：U x,01 a,i有題可知Pi 2l21,3,5 UiiDi sin x, i2l1,3,5i xDi sin2ldx 1 Di得2 ui x.i sin x 2liAVDi sin xdx02lAVDi i& 0所以有：Pi進而有:ou x,tui i tDi sini 1,3,5i 1,3,5全部改成：Uii2%Uiavd啟色2li i asin

20、 ptsin Pit8Vl1 . i x . i a丄22 sin sin tai 1,3,5 i2l 2l4圖6-26-2圖6-2所示一端固定一端自由的等直桿，(1)若受到均勻分布力p(x) -P0的 作用， 試求分布力突然移去時桿的自由振動響應(yīng)；(2)若桿上作用的軸向均勻分布 干擾力為唇int，試求桿的穩(wěn)態(tài)強迫振動PoX解：t-=0時的應(yīng)變?yōu)?EA桿的初始條件為uo(x):罟 ydy2PoX2EAuo(x)0一端自由一端固定，可知桿的因有頻率和主振型為P 罟(i 1,3,5)Ui(x)DiSin 2yx(i 1,3,5將主振型代入上式歸一化為2A(DiS計)dxDi以正則坐標表示初始條件為

21、i(0)Au0(x)DjS J xdx2lP0 8l3 /Sin i2E i2 22i(0)0(i1,3,5)2E0Di84(4i2 22以正則坐標表示對初始條件的響應(yīng)為i(0)cos pit于是桿的自由振動為3u(x,t)Ui i(t)Di si n？ Dim(竺i 1,3,5.i 1,3,5.2l 2E i2 22216 p0l1. i nx i 冗a ,33si n cos tn3 EA i 1,3,l i3 2l 2l16FI1 . i nxi na xu(x,t) 飛3sin cos tn3 EAi 1,3, i3 2l 2l桿左端固定端，右端為自由端u x,t U (x)(Acos

22、pt Bsin pt)U (x) C cos -PxDsaa邊界條件dU0U(0)0dxx l得固有頻率，主振型p 罟 a U(x) Disxi=1,2,u(x,t)i 1,3,sin U (A cost Bi sint)2l2l2l桿在x處的應(yīng)變FolEAdxFx22EAl初始條件F0X32EAl0u(x,0) U(x)0X? ?u(x,0) U0(x)由 u(x,0) U0(x)0 得Bi 0u(x,t)si nAcos/ti 1,3,2l2l再利用三角函數(shù)正交性Ai0sin2(評X0xsini x2ldxl3.1 Fox.1 Xsin dx 0 2EAI 2l16FI iEAu(x,t)

23、i 1,3,sinA2Ii acos t2I16FI33EAi 1,31 . yySin ii x i a cos 2I 2I(2)解：因為桿是一端固定，可得固有頻率和主振型為P 空i 1,3,52IUi x Di sin x i 1,3,52I將主振型代入歸一化條件，得IUii x2I2dx 1又第i個正則方程為xIsinx i 1,3,52Iq x, t l%dx0l F00T述 sin t i所以可得正則坐標的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為sin tsin xdx2I1,3,5sin2 Di F。22Pi桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振動為u x,tUii tUii ti 1,2,i 1,3,5,4Fsin tAl i 1,

24、3,5 i12-Pii 廠 sin x 2 2Ii a其中pi百，a6-3試寫出圖6-3所示系統(tǒng)的縱向振動頻率方程,并寫出主振型的正交性表達式。解：邊界條件為:u(0)0,EA上xm t2ku(x,t)ppU (x) C cos x D sin x aaU (x)( Acos pt Bsin pt)u(x,t)U(0)0,得 C 0，u p p一 D cos x(Acospt Bsin pt) a a2ut22 pDp sin x(Acos ptaBsin pt)由條件(2 )得EAD 衛(wèi) cos衛(wèi) I a a2 pmDp sin 丨 kDsinaEA%s 衛(wèi)Ia(mp2 k)si nl a所以Ui(x)Di sin R xatg衛(wèi)laEApa(mp2 k)這就是我們所要求的頻率方程AUjU jd