大學數(shù)學下綜合自測答案

1、上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 一、一、B C C C C 高等數(shù)學綜合自測題高等數(shù)學綜合自測題(I) 二、二、 1041 222 yxxyyx且且),(. 2. (2,-2,0) 3. -6(x-1)+11(y-2)+14(z+1)=0 x exccxccy)(. 4 4321 )1(. 5 2 a e 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 三三1、求過點、求過點(1,0,-1)且與直線且與直線l : 0523 02 zyx zyx 垂直的平面垂直的平面 的方程的方程. 解：解： ,211 1 n ,123 2 n kji kji n573 123 211 所以平面方程為：所以平面方程為：-3

2、(x-1)+7y+5(z+1)=0 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 2、設、設 yx xyz )(1., y z 求求 解解: ：方程兩邊同時取對數(shù)得方程兩邊同時取對數(shù)得 xy)ln(1 y)(x lnz x xy yxxyz z y 1 1 1 1 )()ln( )ln( )( xy xy yxx zz y 1 1 )ln( )( )(xy xy yxx xy y z yx 1 1 1即即 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 3、設、設 ),( xy eyxfz 22 ，其中，其中 f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，具有二階連續(xù)偏導數(shù)， . yx z 2 求求 解：解： 21 2fyexf x z xy

3、 222121211 222fxeyfyexyeeffxeyfx yx z xyxyxyxyxy 22 2 1112 22 2 421fxyexyffyxefxye xyxyxy )()( 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 4、求函數(shù)、求函數(shù) 22 4yxyxyxf )(),( 的極值的極值 解：由解：由 024 024 yyxf xyxf y x ),( ),( 得駐點為：得駐點為：(2,-2) 2 xx fA 2 yy fC0 xy fB 004 2 ABAC且且 (2,-2)為極大值點，為極大值點，極大值為極大值為 822 ),(f 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 D yx yxyxD

4、dxdye15| ),(,.其其中中計計算算 解：解： 1 0 1 1 0 1 1 1 dyedxdyedx x x yx x x yx 原式原式 1 0 11 0 1 11 dxeeedxeee xxxxxx )()( 1 0 12 0 1 112 dxeedxee xx )()( 1 ee 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 xxyx yy P 2)2( 2 xyx xx Q 2)( 42 解解 x Q y P ， 原積分與路徑無關原積分與路徑無關 故故原原式式 1 0 1 0 42 )1(dyydxx. 15 23 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 .cos2 . 7 2 的通解的通解求微

5、分方程求微分方程xyy 2 2cos1 2 x yy 解：原方程可化為 02 2 rr征方程為：所對應的奇次方程的特 x eccy 2 21 奇次方程的通解為：奇次方程的通解為： * 1 2 1 2 yyy的特解為設 4 1 , 2 1 2 , * 1 AyyAxy可得代入則 xy 4 1 * 1 ）得）得代入方程（代入方程（ 不是特征根不是特征根 的特解為的特解為設設 2)2sin2cos( 020,)2sin2cos( )2sin02cos 2 1 (2cos 2 1 2 * 2 0 * 2 0 xBxAy kiexBxAxy exxxyy xk x 16 2sin 16 2cos * 2

6、 xx y 特解為特解為 16 2sin 16 2cos 4 1 : 2 21 * 2 * 1 xx xecc yyyy x 原方程的通解為原方程的通解為 2 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 xyzdxdy 1 222 zyx 00 yx, 8、計算曲面積分、計算曲面積分，其中，其中 是球面是球面 外側在外側在的部分的部分. 22 1 1yxz : 22 2 1yxz :解：解： 0,0 1 : 22 0,0 1 : 22 2222 11 yx yx D yx yx D xyxy dxdyyxxydxdyyxxy原式原式 00 1 22 22 12 yx yx Dxy dxdyyxxy ,

7、: 15 2 12 1 0 23 2 0 drrrd sincos 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 22 42yxz 132 zyx 四、在曲面四、在曲面上求一點，使它到平面上求一點，使它到平面 的距離最近的距離最近 解：設所求點為：解：設所求點為：),( 000 zyx 2 0 2 00 000 42 14 132 yxz zyx d | min 22 132 14 1 )( zyxd 0024 222 zzyx, 即為求使即為求使取最小值取最小值 的點的點 且滿足且滿足 2 132 14 1 )(),(zyxzyxF)(24 222 zyx 令令 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 024

8、 0 7 3 7 6 7 3 7 9 2 0 7 2 7 6 7 2 7 4 8 0 7 1 7 3 7 2 7 1 2 222 zyxF yxzF zxyF zyxF z y x )( )( )( yz xz yx 6 3 2 解得解得 14 6 14 1 14 2 z y x 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 五、設圓錐底半徑為五、設圓錐底半徑為a，高為，高為h，質量分布均勻，其質量為，質量分布均勻，其質量為M，在，在 圓錐體頂點處有一單位質量的質點，求圓錐對此質點的引力圓錐體頂點處有一單位質量的質點，求圓錐對此質點的引力.(8） 解解:設圓錐的密度為設圓錐的密度為 ，由錐體的對稱性及及質

9、量分布的均，由錐體的對稱性及及質量分布的均 勻性知勻性知 0 0 yx FF 錐面方程為：錐面方程為： 所求引力沿所求引力沿z軸的分量為：軸的分量為： 22 yx a b z )1ln( 2 )(2 )( )( 22 2 0 022222 0 2 3 22 0 2 0 0 3222 02 hha h hh G d hha a G dz z z ddGdv zyx z GFz a h a h a 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 2 1 0 11 0 2 1 dxxfdyyfxfdx x )()()( )(xf 10, 六、證明：六、證明： ，其中，其中 在 上連續(xù)上連續(xù). 證明：交換積分秩序證

10、明：交換積分秩序 1 00 y dxyfxfdy左邊左邊 x dyyfxfdx 0 1 0 0 0 1 0 11 0 x x dyyfxfdxdyyfxfdx則則 0 0 11 0 x x dyyfdyyfdxxf 01 1 0 dxxf)(上式顯然成立上式顯然成立 11 00 1 2 1 02 x x x dyyfdyyfdyyfdyyf)( 2 1 0 2 1 dxxf左左邊邊 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 高等數(shù)學綜合測試題（高等數(shù)學綜合測試題（II） 0 123 . 1 22 z yx 一一、 111,12 ，. 23. 3 7 44R. 5 二二 C D A D C x eBAx

11、xy 2 )( 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 三、解答下列各題三、解答下列各題 1、設一平面經(jīng)過原點及點（、設一平面經(jīng)過原點及點（6，-3，2），且與平面），且與平面 824 zyx 垂直，求平面方程垂直，求平面方程. 解：平面過原點，設方程為解：平面過原點，設方程為0 CzByAx，則有：，則有： BC BA CBA CBA 2 3 0236 024 所以平面方程為：所以平面方程為： 0 2 3 zyx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 2、),( x y yxfz 2 ，f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求 2 2 x z 2 2 1 2 21 22f x y xyf x y

12、 fxyf x z 解：解： 2 2221 2 2 32 12111 2 2 2 2 222 x y fxyf x y f x y x y fxyfxyyf x z 22 4 2 21 2 2 3 12 2 11 22 1 222 42f x y f x y f x y f x y fyxyf 22 4 2 12 2 11 22 2 3 1 4 4 2 2f x y f x y fyxf x y yf 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 3、在橢球面、在橢球面1222 222 zyx 上求一點，使函數(shù)上求一點，使函數(shù) 222 zyxzyxf ),(沿沿A（1，1，1）到）到B（2，0，1） 的方

13、向導數(shù)有最大值的方向導數(shù)有最大值. 解：方向導數(shù)取得最大值的方向即為梯度方向。解：方向導數(shù)取得最大值的方向即為梯度方向。 zyxf, zyxzyxf222grad, 的梯度為：的梯度為： ,011 ABl fAB grad/ 已知方向為：已知方向為： 0 2 1 2 1 2zyx xy z0 則有則有 代入球面方程得：代入球面方程得： 2 1 y ),(0 2 1 2 1 ),(0 2 1 2 1 故求得兩點滿足題目要求：故求得兩點滿足題目要求： 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 14 04 01032 4 222 zyx x zy L作與球面作與球面過直線過直線:. 程。程。相切的平面，求平

14、面方相切的平面，求平面方 的平面束方程為：的平面束方程為：解：設過直線解：設過直線 04 01032 x zy L: 041032 )(xzy 041032 zyx即即 41114 32 |410| 222 或或由題意可得：由題意可得： 0154324101432 zyxzyx或或所求平面方程為：所求平面方程為： 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 dxdye D yx ),max( 22 1010 yxyx,| ),( 5.計算計算 ，其中，其中D ),( | ),( ),( | ),( 2 2 2 1 21 2 2 xyDyxyxD xyDyxyxD DDD 且且 且且 解：解： 2 2 1

15、 2 D x D y dxdyedxdye原式原式 1 00 1 00 22x x y y dyedxdxedy 1 0 1 0 22 dxxedyey xy 12 1 0 1 0 22 eedxxe xx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 ,()()(dxdyayzdzdxaxydydzazx 232323 222 yxRz 6.計算計算，其中，其中 是是 的上側的上側. 解：補充曲面：解：補充曲面： 222 0Ryxz 的下側的下側 的的下下側側 原原式式 222 2222 3 Ryx dxdyaydvzyx)( 222 2 0 4 2 0 2 0 3 Ryx R dxdyaydrrdd

16、sin R drardR 0 3 2 0 5 5 3 2 sin 45 6 4 5 Ra R 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 02)3(. 7 22 xydxdyxy解解微微分分方方程程 3 2 3 2 2 222 x y x y xy xy y解解：原原方方程程可可化化為為 3 2 2 u u xuuu x y 則則令令： 3 2 2 2 )1( ) 1 13 1 1 ( 1)-u(u u-3 u uc x du uuu du x dx 即即 即得原方程的通解為即得原方程的通解為)( 223 xycy 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 yxuyxu dyyeyxdxxyye xx ，的全微

17、分，并求出的全微分，并求出， 是某二元函數(shù)是某二元函數(shù)驗證驗證sin22cos8 22 是是某某二二元元函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分，證證明明 x q ysinexy4 y p x 關關的的條條件件推推出出的的公公式式利利用用曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無解解1 y 0 x 0 dyyxqdx0 xpyxu， x 0 y 0 22x dyysineyx2dxe 0 y ycose 0 y yx 0 x e x22x 1yxycose 22x 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 四、在過點四、在過點P（1，3，4）的所有平面中，求一平面，使之與三個）的所有平面中，求一平面，使之與三個 坐標面所圍四面

18、體的體積最小坐標面所圍四面體的體積最小. 解：設平面方程為：解：設平面方程為：1 c z b y a x ，且，且P(1,3,4)滿足方程滿足方程 1 431 cba 的條件極值的條件極值在條件在條件1 431 2 1 3 1 cba cabV)( )1 431 ( 6 1 ),( cba abccbaF 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 1 431 0 4 6 0 3 6 0 6 2 2 2 cba c ba F b ac F a bc F c b a 1 431 0 4 6 0 3 6 0 6 2 2 2 cba c ba F b ac F a bc F c b a 1 431 4 3 c

19、ba ac ab 12 9 3 c b a 所求平面方程為：所求平面方程為：1 1293 zyx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 由由對對稱稱性性知知 1 4AA , 1 D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222 yxaz , 于于是是 22 1 y z x z , 222 yxa a 解解 )0,( yx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 面面積積dxdyzzA D yx 1 22 14 1 222 4 D dxdy yxa a cos 0 22 0 1 4 2 a rdr ra da .42 22 aa 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 r u 1 0 2 2 2 2 2 2 z u

20、 y u x u 222 zyxr 六、證明函數(shù)六、證明函數(shù) 滿足方程滿足方程 ，其中，其中 . 證明：證明： 3 222 22 2 2 111 r x zyx x r r rx u x 5 2 3 222 432 2 312 2 11 3 1 r x r zyx x r x rx u )( 5 2 32 2 31 r y ry u 同理可得：同理可得： 5 2 32 2 31 r z rz u 0 33 5 2 32 2 2 2 2 2 r r rz u y u x u 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 高等數(shù)學綜合測試題（高等數(shù)學綜合測試題（III） 一、一、1. (-2,10,6) y

21、x y x y 2 1 2 sectan . 6 1 3. drrd a 3 2 0 2 0 4 cos . 二、二、 D D C C D 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 三、解答下列各題三、解答下列各題 1、求過點、求過點M（2，1，3）且與直線）且與直線 12 1 3 1 zyx 垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程. 解：設交點為解：設交點為),( 000 zyx 則則,312 000 zyxl t zyx 12 1 3 1 000 tztytx 000 1213, 7 3 1233233 ttttl垂直，所以有：垂直，所以有：與與, , 7 24 7 6 7 12 l 4 3 1 1

22、 2 2 zyx 直直線線方方程程為為： 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 1、求過點、求過點M（2，1，3）且與直線）且與直線 12 1 3 1 zyx 垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程. 解：設交點為解：設交點為), 12 , 13( 0 tttM MMtttMM 00 ,3,2 , 33則直線垂直于則直線垂直于 034)33(3 ttt 7 3 t 7 24 , 7 6 , 7 12 直線的方向向量為直線的方向向量為 4 3 1 1 2 2 zyx 直直線線方方程程為為： 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 的全微分的全微分求求 32 2 zxy eu . 32 32zxy ezy x

23、 u 解：解： 32 3 2 zxy exyz y u 32 22 3 zxy ezxy z u )(dzzxydyxyzdxzyedu zxy22332 32 32 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 ),( y x xfz f yx z 2 3、設、設 ，其中，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求 . 解：解： y ff x z1 21 )()( 2 22 2 2 2 12 2 11 y x f yy f y x f yx z )( 22212 2 1 f y x fxf y d x x D sin 1 xxy, 0 y 4、計算、計算，其中，其中D是由直線是由直線和和 所圍成的

24、區(qū)域所圍成的區(qū)域. 解：原式解：原式 1 00 x dy x x dx sin 1 0 xdxsin11 0 1 coscos x 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 時針時針軸正向看去，圓周為逆軸正向看去，圓周為逆，若從，若從及及：圓周：圓周 計算計算 zzzyx yzdzxzdyydx 22 35 22 . 解解：用用斯斯托托克克斯斯公公式式 dxdy3zdydzxz yzxzy3 zyx dxdydzdxdydz 2 2 原式原式 4yxD2z 22 xy ：，則，則：所張的曲面，取所張的曲面，取為為 xy D dxdy32原式原式 20 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 6. 求解微分方

25、程求解微分方程 1332 2 2 tx dt dx dt xd 解：特征方程解：特征方程032 2 解得：解得： 1, 3 21 tt ececx 2 3 1 齊齊次次方方程程的的通通解解為為： 設設特特解解不不是是特特征征根根， 0, 13)( ttfBtAx 代入原方程比較系數(shù)得到：代入原方程比較系數(shù)得到： 1, 3 1 BA 原原方方程程的的通通解解為為： 3 1 2 3 1 tececx tt 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 dsyx 2 )( 1 22 zyx 7.計算曲面積分計算曲面積分 ，其中，其中 為立體為立體 的邊界曲面的邊界曲面. dsyxdsyx zyx yx z 2 : 2 1 1 : )()( 22 2 2 2 1 dxdyyxdxdyyx yxyx 2 1 2 1 )()(2 2222 xydxdydxdyyx yxyx1 22 1 2222 122)(12 解：原式解：原式 drrd 2 0 1 0 3 12 2 12 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 dyxeydxexyI yy )(cos)( 12 2 xy 0 y 8.計算曲線積分計算曲線積分 ，其中，其中 是是A（-1，1）沿）沿到到O（0，0），再沿），再沿 至至B（2，0）的路徑）的路徑. 解：解： 2 0 1 0