證券市場期權(quán)定價的理論

1、第十章第十章 衍生資產(chǎn)定價：衍生資產(chǎn)定價： 期權(quán)定價理論及其應(yīng)用期權(quán)定價理論及其應(yīng)用 4期權(quán)定價的技巧被廣泛的應(yīng)用到許多金融領(lǐng)域 和非金融領(lǐng)域，包括各種衍生證券定價、公司 投資決策等。 4學(xué)術(shù)領(lǐng)域內(nèi)的巨大進(jìn)步帶來了實際領(lǐng)域的飛速 發(fā)展。期權(quán)定價的技巧對產(chǎn)生全球化的金融產(chǎn) 品和金融市場起著最基本的作用。 4近年來，從事金融產(chǎn)品的創(chuàng)造及定價的行業(yè)蓬 勃發(fā)展，從而使得期權(quán)定價理論得到不斷的改 進(jìn)和拓展。 4所以，無論從理論還是從實際需要出發(fā)，期權(quán) 定價的思想都具有十分重要的意義。 1. 一些基本定義一些基本定義 4例子：投資者B和W計劃簽定一份合同：現(xiàn)在 B支付給W 200元，交換條件是在接下來的六

2、個 月的任何時間，允許B自愿從W那里以150元/ 股的價格購買100股IBM公司股票。 IBM公司 股票現(xiàn)在的價格為145元/股。問題： B和W為什么都愿意簽定這個合同？ B如果不支付給W 200元，W是否愿意簽定這個合同？ 4例子：投資者B和W計劃簽定一份合同：現(xiàn)在 B支付給W 200元，交換條件是在接下來的六個 月的任何時間，允許B可自愿以135元/股的價 格賣給W 100股IBM公司股票。 IBM公司股票 現(xiàn)在的價格為145元/股。問題： B和W為什么都愿意簽定這個合同？ B如果不支付給W 200元，W是否愿意簽定這個合同？ 4看漲期權(quán)、看跌期權(quán) 4一種期權(quán)具有四個特征： 1）這種期權(quán)能

3、夠買（對于看漲期權(quán)而言）或者賣 （對于看跌期權(quán)而言）的對象，或者說，合約是關(guān) 于哪種資產(chǎn)的合約，我們稱這種資產(chǎn)為標(biāo)的物標(biāo)的物 (underlying asset)。 以股票為標(biāo)的物的期權(quán)，每份期權(quán)通常包括100份特定的股票。 例如，持有一份以IBM公司股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)，是一份可 以買100份IBM公司股票的權(quán)利。 2）執(zhí)行價格）執(zhí)行價格(exercise price, 或者strike price)。 這個價格是執(zhí)行期權(quán)合約時，可以以此價格購買標(biāo)的物的價格。 對于以IBM公司股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)，如果執(zhí)行價格為150 美元，則在執(zhí)行這種期權(quán)時，按每份股票150美元購買。 3）期權(quán)有效的

4、時間區(qū)間由到期日）期權(quán)有效的時間區(qū)間由到期日(expiration date)來 確定。 這段時間區(qū)間可以是一天、一個星期、或者一年。以IBM公司股 票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)，如果到期日為六個月，則在這六個月里， 這份權(quán)利都是有效的。 4）期權(quán)應(yīng)該包括是否可以在到期日之前執(zhí)行這種 權(quán)利。 如果在到期日之前的任何時間以及到期日都能執(zhí)行，我們稱這種 期權(quán)為美式期權(quán)美式期權(quán)。如果只能在到期日執(zhí)行，稱為歐式期權(quán)歐式期權(quán)。 美式和歐式這兩個名詞曾代表了以股票為標(biāo)的物的期權(quán)在美洲和 歐洲的結(jié)構(gòu)形式。但是現(xiàn)在，它們已成為反映兩種不同結(jié)構(gòu)的期 權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)名詞，而不管期權(quán)是在哪兒發(fā)行的。 4看漲期權(quán)(call opt

5、ion)、看跌期權(quán)(put option)、 鞍式期權(quán)(straddle option)、蝶式期權(quán)(butterfly spread option)、實值期權(quán)(in the money option)、 兩平期權(quán)(at the money option)、虛值期權(quán)(out of the money option) 4所有合約都是由看漲期權(quán)、看跌期權(quán)、股票和 債券四種基本證券構(gòu)成地。 4Exotic option: Asian option Barrier option Lookback option Currency-translated option Binary option 4所有股票期

6、權(quán)合約在標(biāo)的股票發(fā)生拆股 或者分紅股的情況時，執(zhí)行價格和合約 中規(guī)定的股數(shù)都要作相應(yīng)的調(diào)整。 例子：假如在購買上述期權(quán)的當(dāng)天， IBM公司股票的價格為 145元，第二天，1股拆成6股。股價變?yōu)?45/6元。 4 期權(quán)的這四個特征標(biāo)的物、是看漲 還是看跌、執(zhí)行價格、到期日（包括是 美式還是歐式）說明了一種期權(quán)的 各個細(xì)節(jié)。 4期權(quán)是兩人之間的一種合約，其中的一 人給予另外一人在規(guī)定的一段時間內(nèi)， 可以以規(guī)定的價格買或者賣某種規(guī)定的 資產(chǎn)的權(quán)利。 4獲得權(quán)利的一方需要做出是否接受該權(quán) 利的決定，我們稱這一方為期權(quán)的買者期權(quán)的買者 (option buy)，因為他需要付錢來獲得這 種權(quán)利。 4提供權(quán)

7、利的一方稱為期權(quán)的寫者期權(quán)的寫者(option writer)。 4例如，歐式看漲期權(quán)是一種證券，這種 證券給出了期權(quán)持有者在到期日以執(zhí)行 價格購買標(biāo)的物的權(quán)利。 4何時買看漲期權(quán)，何時買看跌期權(quán)？ 4既然期權(quán)的持有者獲得的是權(quán)利而不需 要承擔(dān)什么義務(wù)，他就必須花錢購買這 個權(quán)利，那么，公平的價格應(yīng)該是多少？ 這是證券投資學(xué)研究的重要內(nèi)容。 2 影響歐式期權(quán)價格的因素影響歐式期權(quán)價格的因素 4本章的主要目的：如何確定以金融證券 為標(biāo)的物的歐式期權(quán)的價格。 4在整個一章中假設(shè)：如果無特殊說明，在整個一章中假設(shè)：如果無特殊說明， 標(biāo)的物在到期日以前不支付紅利。標(biāo)的物在到期日以前不支付紅利。 4期權(quán)

8、理論之所以重要，不僅僅因為期權(quán) 在證券市場結(jié)構(gòu)中具有重要的作用，也 因為期權(quán)理論說明了投資學(xué)的基本原理 被提高到了一個新的水平在以動態(tài) 結(jié)構(gòu)為基本結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中應(yīng)用這些 原理。 4假設(shè)一種歐式看漲期權(quán)，它以某種股票為標(biāo)的 物，該股票在時間 t 的價格以 表示，期權(quán)的 執(zhí)行價格為 ，到期日為 ，期權(quán)在時間 t 的 價格為 。 t S KT t c 4第一，在到期日 T，期權(quán)的價值為多少。 1） 2） 把期權(quán)在 T 時的價格顯示地表示成股票價格的函數(shù)。 這個函數(shù)如下圖所示。該圖說明當(dāng) ，期權(quán) 的價值為零，當(dāng) 時，期權(quán)的價值隨著股票 價格的增加而線性增加。 例子： 期權(quán)不可能有負(fù)的價值，責(zé)任有限金

9、融工具。 KST KST KSKSc TTT , 0max KST KST 圖1看漲期權(quán)在到期日的收益 T S K T c 4對于歐式看跌期權(quán)而言，上述結(jié)果正好 反過來。假設(shè)一種看跌期權(quán)，它以某種 股票為標(biāo)的物，該股票在時間 t 的價格 以 表示，期權(quán)的執(zhí)行價格為 ，到期 日為 T，期權(quán)在時間 t 的價格為 t SK t p 4在到期日 T，期權(quán)的價值。 1） 2） 把期權(quán)在 T 時的價格顯示地表示成股票價格的函數(shù)。 這個函數(shù)如下圖所示。該圖說明當(dāng) ，期權(quán)的 價值為零，當(dāng) 時，期權(quán)的價值隨著股票價格 的增加而線性減少。 KST KST TTT SKSKp, 0max KST KST T S K

10、 p 圖圖2 看跌期權(quán)在到期日的收益 4注意，看跌期權(quán)在 時的價值是有界的， 而看漲期權(quán)在 時的價格是無界的。相 反，當(dāng)寫一份看漲期權(quán)時，可能的損失 是無界的。 T T 4期權(quán)的寫者的收益 看漲期權(quán)的寫者在到期日的收益 看跌期權(quán)的寫者在到期日的收益 4 對于看漲期權(quán)而言，如果分別有 、 、 ，則稱一份看漲期權(quán)分別 為實值期權(quán)實值期權(quán)(in the money option)、兩平期兩平期 權(quán)權(quán)(at the money option)、虛值期權(quán)虛值期權(quán)(out of the money option)。這些名稱適用于任何 時間，但在到期日，這些名稱描述了期 權(quán)價值的特征。對于看跌期權(quán)，我們也

11、有類似的名稱。 KST KSTKST 4第二，期權(quán)的時間價值。 即使在到期日以前的任何時間，歐式期權(quán)均 有價值，因為它提供了將來執(zhí)行權(quán)利的可能 性。 例如，以GM公司股票為標(biāo)的物的一種期權(quán)，其執(zhí) 行價格為40美元，到期日為三個月。假設(shè)GM公股 票現(xiàn)在的價格為37美元。顯然，在接下來的三個月 中，該股票的價格有可能上漲而超過40美元，從而 有執(zhí)行該期權(quán)而獲得利潤的可能。從這兒可以看出， 即使現(xiàn)在期權(quán)是虛值的，它也具有價值。 4在到期日以前的任何時間 t ，這里 ， 作為股票價格的函數(shù)，歐式看漲期權(quán)的 價格 是 t 時股票價格 的光滑函 數(shù)，其圖形如圖3所示。 Tt )( tt Sc t S 6個

12、月 3個月 圖3 具有不同到期日的 期權(quán)價格曲線 t S )( tt Sc 時 間 價 值 4這條光滑曲線可以利用歷史的實際數(shù)據(jù)，通過 回歸分析來得到。在圖中，粗的折線表示在到 期日，期權(quán)的價格曲線。這條線上面的曲線對 應(yīng)于到期日不同的期權(quán)的價格曲線。在粗折線 上的第一條對應(yīng)的到期日為三個月，緊接著的 一條曲線對應(yīng)的到期日為六個月，到期日越長 的曲線越在上面。這表明，在到期日以前的任 何時間，對于同一股票價格，到期日越長的期 權(quán)，其價格越高。這是因為，到期日越長，標(biāo) 的股票價格上揚，從而增加最后支付的可能性 越大。 4當(dāng)股票的價格遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于或者小于執(zhí)行價格時， 隨著到期日的增加，期權(quán)價格增加的幅

13、度越 來越小。 當(dāng)股票的價格遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于執(zhí)行價格時，持有期權(quán)并 不比持有股票占多大的優(yōu)勢。 當(dāng)股票的價格遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于執(zhí)行價格時，股票價格上 漲超過的可能性很小，從而期權(quán)的價格為零。 4第三，還有哪些因素影響期權(quán)的價格？ 1）執(zhí)行價格 從(1)和(2)式可以看出，一種看漲期權(quán)，其執(zhí)行價格越小， 股票價格超過的可能性就越大，這種看漲期權(quán)也就越有價 值。對于看跌期權(quán)，結(jié)果正好相反。 2）標(biāo)的股票價格的方差 在投資的過程中，投資者偏好以方差較大的股票為標(biāo)的物 的期權(quán)。方差越大，股票價格超過執(zhí)行價格的概率越大， 這種期權(quán)對投資者也就越有價值。 假設(shè)有兩種期權(quán)，具有相同的執(zhí)行價格，但標(biāo)的股 票價格的分布不同，如圖

14、4，這兩個分布的期望值 相同，方差不同。我們偏好于哪一種期權(quán)？ 圖4 股票價格的分布 S Sf 因為只有當(dāng)股票的價格大于執(zhí)行價格時，我們才能 從期權(quán)合約中獲得收益。股票價格分布的方差越大， 股票價格超過執(zhí)行價格的概率也就越大，我們獲得 收益的概率也就越大。所以，我們偏好以方差較大 的股票為標(biāo)的物的期權(quán)。 期權(quán)的價值與標(biāo)的資產(chǎn)的價值之間的重大差別：如 果持有標(biāo)的資產(chǎn)，我們獲得收益的可能性由標(biāo)的資 產(chǎn)價格的整個概率分布決定。作為風(fēng)險厭惡者，我 們不喜歡高風(fēng)險。如果我們持有期權(quán)，我們獲得收 益的可能性由標(biāo)的資產(chǎn)價格的尾部概率分布決定。 期權(quán)的這種性質(zhì)使得大的方差更具有吸引力。 4例子：假設(shè)某家公司得

15、到一筆長期貸款， 每年應(yīng)支付的利息為8000元。該公司可 以把這筆貸款用于下面兩個項目中的一 個。這兩個項目具有相同的5000元的期 望現(xiàn)金流。 4 項目1 項目2 4概率 現(xiàn)金流 概率現(xiàn)金流 40.2 4,0000.40 40.6 5,0000.25,000 40.2 6,0000.410,000 如果投資到第一個項目，該公司將破產(chǎn)，因為所 有可能的現(xiàn)金流都比償還利息所需的8000元少。 由于第二個項目的方差較大，所以有40%的機會， 除能夠償還利息外，還有2000元的剩余。顯然， 該公司將選擇第二個項目。盡管它的風(fēng)險更大， 但是存在40%的機會給公司帶來正的利潤。 這個例子形象地說明了期權(quán)

16、的持有者為什么更偏好大的方 差。同時，這個例子也引入了一種重要的觀點。一個公司 的股東實際上是一種期權(quán)的持有者，這種期權(quán)以公司的市 場值為標(biāo)的物。當(dāng)公司的市場值比它所需償還的債務(wù)低時， 公司破產(chǎn)。這時，股東允許期權(quán)到期而不執(zhí)行，股東所持 有的股票的價值為零；股東把公司移交給債權(quán)人，債權(quán)人 獲得公司作為補償。當(dāng)公司的市場值比它所需償還的債務(wù) 高時，股東執(zhí)行期權(quán)，償還債權(quán)人的債務(wù)后，股東獲得剩 余的利潤。 3）無風(fēng)險利率。 在所有的因素里，這個因素是最不直觀的。一般 說來，無風(fēng)險利率越大，執(zhí)行價格的現(xiàn)值也就越 小，這樣的期權(quán)也就越有價值。而且，當(dāng)市場處 于均衡狀態(tài)時，無風(fēng)險利率越大，股票的回報率

17、也應(yīng)該越高。從而，在到期日，股票的價格也應(yīng) 該越高，這時，期權(quán)的價格也應(yīng)該越高。 在確定歐式看漲期權(quán)的價格時，有五種因素 是重要的：標(biāo)的資產(chǎn)的價格，期權(quán)的執(zhí)行價 格，標(biāo)的資產(chǎn)價格的方差，到期日（實際應(yīng) 該是剩下的到期時間），以及無風(fēng)險利率。 把歐式看漲期權(quán)的價格寫成如下的函數(shù)形式： (3) ftt rtTKSfc, 2 3 期權(quán)在證券市場中的作用期權(quán)在證券市場中的作用 4金融市場中一個引人注目的發(fā)展就是衍生證券 的日趨普遍。在許多情況下，套期保值者和投 機者都發(fā)現(xiàn)交易某項資產(chǎn)的衍生證券比交易資 產(chǎn)本身更具有吸引力。原因在于，衍生證券往 往具有現(xiàn)有上市證券所不具備的特點，從而能 夠滿足一些套期保

18、值者和投機者的特殊要求， 所以，證券公司經(jīng)常根據(jù)客戶的需要，開發(fā)一 些衍生證券來滿足要求。 4衍生行業(yè)的蓬勃發(fā)展，說明了現(xiàn)有的證券市場 并不是完備的市場，因為作為一個完備的市場， 總能通過構(gòu)造證券組合來滿足投資者的各種要 求。同時，也說明了衍生產(chǎn)品在資源配置有效 化中所起的作用。 4 期權(quán)組合策略，圖形表示期權(quán)組合策略，圖形表示 4假設(shè)：歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)具假設(shè)：歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)具 有相同的到期日和相同的標(biāo)的股票，并有相同的到期日和相同的標(biāo)的股票，并 且假設(shè)執(zhí)行價格等于標(biāo)的股票期初的價且假設(shè)執(zhí)行價格等于標(biāo)的股票期初的價 格。格。 當(dāng) 時歐式看漲期權(quán)在到期日的利潤 0 SK S

19、 W Trf ec0 Trf ec0 當(dāng) 時歐式看跌期權(quán)在到期日的利潤 0 SK S W Trf ep0 Trf ep0 股票在到期日的利潤 S W 債券在到期日的利潤 S W Trf Be Trf Be 上述證券可以按下面的關(guān)系任意組合 S W BcpS 買一份股票并買一份以此股票為標(biāo)的物的看 跌期權(quán)所獲得的收益，和持有一份債券并買 一份以同樣股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)所獲得 的收益是一樣的。 鞍式期權(quán) S W 5 歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價格之間歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價格之間 的平價關(guān)系的平價關(guān)系(put-call parity) f f r KSr pc 1 1 0 00 4假設(shè)歐式看漲、看跌

20、期權(quán)具有相同的標(biāo)的物、 相同的到期日、相同的執(zhí)行價格 4簡單一期模型 4連續(xù)復(fù)利 Tr f eSpc 000 4買一份股票，買一份看跌期權(quán)，再賣一 份看漲期權(quán)，在到期日，該證券組合的 收益為 4有紅利時歐式期權(quán)的平價關(guān)系 4美式期權(quán)不存在平價關(guān)系 6 關(guān)于期權(quán)價格界的定理關(guān)于期權(quán)價格界的定理 4看漲期權(quán)價格的界。 定理1：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的美 式看漲期權(quán)不會提前執(zhí)行。 證明：買一份歐式看漲期權(quán)，買面值為K 債券， 再賣空一份股票。 定理2：當(dāng)標(biāo)的股票支付紅利時，美式看漲 期權(quán)可能被提前執(zhí)行。 定理3：無論標(biāo)的股票是否支付紅利，美式 看跌期權(quán)都有可能提前執(zhí)行。 1 S 2 S 2 S

21、7 期權(quán)定價理論期權(quán)定價理論二項式方法二項式方法 4Black-Scholes 模型模型 4等價鞅測度模型等價鞅測度模型 4二項分布方法二項分布方法 在應(yīng)用這種方法時，最重要的是套期保值套期保值的概念。 套期保值最形象、最簡單的例子是有關(guān)保險中的定 價問題。 可用于對美式期權(quán)的定價 可用于對標(biāo)的物有紅利的期權(quán)定價 4假設(shè)1：標(biāo)的股票不支付紅利 4假設(shè)2：證券市場是無摩擦的和完全競爭 的，且不存在套利機會。 4A. 以股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)的簡單二項模型 標(biāo)的股票的價格服從二項分布產(chǎn)生的過程： 4 4 圖9 一期二項式生成過程 S uS dS q q1 4這里 =股票現(xiàn)在的價格 =股票價格上漲的

22、概率 =一期的無風(fēng)險利率 =股票價格上漲的幅度 =股票價格=下跌的幅度 S q f r u d 例子： 4 4 20S 24uS 4 .13dS q q1 1 . 0 f r 21K2 . 1u67. 0d 4注：對 的假設(shè)，在這個假設(shè)之下，不 管經(jīng)過多少期，股票的價格永遠(yuǎn)不會跌 到零以下。但是，對股票價格上漲的界 沒有限制。 d 4每期的無風(fēng)險利率為 。對 的限制 為 ，這是無套利條件。直觀 地可以看出，無論是 （這時，無 風(fēng)險利率總比股票的風(fēng)險回報率高）還 是 （這時，無風(fēng)險利率總比股 票的風(fēng)險回報率低），都存在套利機會。 不失一般性，假設(shè) 。 f r f r dru f 1 durf1

23、f rdu1 0 f r 4以股票為標(biāo)的物的歐式看漲期權(quán)，執(zhí)行 價格為 ，到期日為一期，它的現(xiàn)價以 表示。該期權(quán)在到期日的支付如下圖 4 4 圖10 歐式看漲期權(quán)的支付 K c q q1 c KuSc u , 0max KdScd, 0max 構(gòu)造無風(fēng)險套期保值證券組合：以價格 買一份股票，寫 份以股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)（ 稱為套期保值比率）。下 圖說明了這個套期保值證券組合的到期支付。如果這個套期 保值證券組合在每種狀態(tài)下的到期支付都相等，則這個證券 組合是無風(fēng)險的。 圖11 套期保值證券組合的到期支付 S m m q q1 mcS u mcuS d mcdS 4讓支付相等，得到： 4 =

24、4從上式中解出看漲期權(quán)的份數(shù) ： 4 (21) 4把例子里的數(shù)字代入，得到 =3.53 4因此，無風(fēng)險套期保值證券組合包括買一份股票，寫 3.53份看漲期權(quán)。在兩個狀態(tài)下的支付相等，如下表： 不確定狀態(tài) 證券組合 支付 好狀態(tài) 1.2(20元)-3.53(3元)=13.40元 壞狀態(tài) 0.67(20元)-3.53(0元)=13.40元 u mcuS d mcdS m du cc duS m m u mcuS d mcdS 4因為套期保值證券組合是無風(fēng)險的，它的終端支付應(yīng) 該等于它的現(xiàn)價乘以 ，即， 從這個式子得出期權(quán)的價格： 4 (22) 4設(shè) 4則 f r1 uf mcuSmcSr1 f f

25、 d f u r du ru c du dr c c 1 11 du dr P f 1 du ru P f 1 1 4 f du r pcpc c 1 1 4這里定義 的總是大于0而小于1，具有概率的性質(zhì)， 我們稱之為套期保值概率套期保值概率。 4從 的定義可以看出，無套利條件 成立 當(dāng)且僅當(dāng) 大于0而小于1（即，保證 是概率）。 P P dru f 1 PP 4 是當(dāng)市場達(dá)到均衡時，風(fēng)險中性者所認(rèn)為 的 值，即，股票價格上漲的概率。作為風(fēng) 險中性者，投資者僅僅需要投資在風(fēng)險股票上 的回報率為無風(fēng)險利率： 4從中解出值，得到： 4所以，對一個風(fēng)險中性者來說， = ，而(24) 式中看漲期權(quán)的價

26、格可以解釋為，在一個風(fēng)險 中性環(huán)境中，期權(quán)的期望終端支付的折現(xiàn)值。 P q dSqquSSrf)1 (1 du dr q f 1 P q 4在求得看漲期權(quán)價格的過程中，有兩點 是至關(guān)重要的： 套期保值證券組合的存在性； 無風(fēng)險的套期保值證券組合的的回報率為無 風(fēng)險利率。 4 看漲期權(quán)的定價公式具有以下三個有趣 的特征： 1該公式不依賴于股票價格上漲的概率。這 使得，即使投資者對的預(yù)期不一致，只要他們 對別的參數(shù)的估計一致（包括 ）， 他們就會有一樣的定價公式。 2該公式的獲得不依賴個體對風(fēng)險的偏好。 所需的假設(shè)僅僅只是無套利。 3該公式依賴的唯一隨機變量是標(biāo)的股票。 （例如，與市場證券組合無關(guān)

27、） f rKSdu, 4B. 兩期模型 4 圖12 股票價格 S q q1 uS dS udS Su2 Sd 2 4 4 圖13 歐式看漲期權(quán)的支付 c q q1 u c d c duud cc uu c dd c 4假設(shè)兩期的無風(fēng)險利率為 。利用一 期期權(quán)的定價公式(24)得到期權(quán)在一期末 的價值 和 ： 4 (25) 4 (26) 2 1 f r u c d c f uduu u r pcpc c 1 1 f dddu d r pcpc c 1 1 4把和當(dāng)作一期模型的終端支付，再一次 利用一期期權(quán)的定價公式(24)得到期權(quán)的 現(xiàn)在價格： f du r pcpc c 1 1 4把(25)和

28、(26)式代入得到： (27) 2 2 2 1 1)1 (1 f ddduuduu r cppcpcppcp c 4可以把(27)式中的分子部分看成是一期模 型的定價公式(24)式的分子的二項展開。 4(27)式的另外一種解釋是，看漲期權(quán)的價 格等于期權(quán)在兩期末的期望支付的折現(xiàn) 值，這里所用的概率為套期保值概率， 折現(xiàn)利用無風(fēng)險利率。 C. 看漲期權(quán)定價的完全二項式模型看漲期權(quán)定價的完全二項式模型 4T期模型 這里 T f T n nTn r KSdupTnB c 1 ,0max, 0 pTanBrKpTanSB T f ,1, du dr p f 1 p r u p f 1 41. 在0時刻

29、，買 份股票，賣空 份債券所構(gòu)成的證券組合在到期日的支付，即為以該 股票為標(biāo)的物，以 為執(zhí)行價格的歐式看漲期權(quán)在到 期日的支付。以此觀點，如果把到期日以前任意的第 t 期當(dāng)作起始時刻，則歐式看漲期權(quán)在到期日以前的任 意第 t 期的價格為： (32) 4所以，(32)式不但給出了歐式看漲期權(quán)在第 t 期的定價 公式，而且給出了第 t 期為了模擬歐式看漲期權(quán)在到 期日的支付所應(yīng)該采用的策略。 , pTanBpTanKB, K ptTanBSc tt , ptTanBrK tT f ,1 42從(31)式可以看出，當(dāng)股票價格 增加，執(zhí)行價格 減少時，期權(quán)的價格都會增加。另外，當(dāng)無風(fēng)險利率 增加時，它

30、的主要影響是減少執(zhí)行價格的現(xiàn)值，從而 增加期權(quán)的價格（盡管無風(fēng)險利率增加時，會導(dǎo)致 p、 p 減少，但這種影響是次要的）。至于到期日和股 票價格的方差，它們的變化對期權(quán)價格的絕對影響并 不是顯然的，需要通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明來得到。 0 S D. 二項模型推廣到連續(xù)時間二項模型推廣到連續(xù)時間Black- Scholes 期權(quán)定價模型期權(quán)定價模型 4在實際操作中應(yīng)該注意，Black-Scholes期 權(quán)定價公式僅僅適用于標(biāo)的股票不支付 紅利的情形。 4只適用于歐式期權(quán) 4用途 4連續(xù)時間看漲期權(quán)定價公式，Black和 Scholes（1973）： 4 (33) 4這里 4 21 dNKedNSc t

31、Tr tt f tT tT tTr K S d f t 2 1 ln 1 tT tT tTr K S d f t 2 1 ln 2 4連續(xù)時間看跌期權(quán)定價公式： 4這里 21 dNKedNSp tTr tt f tT tT tTr K S d f t 2 1 ln 1 tT tT tTr K S d f t 2 1 ln 2 4與二項式模型的對照 4比較靜態(tài)分析 看漲期權(quán) 看跌期權(quán) 4標(biāo)的股票風(fēng)險的估計 樣本方差 市場估計 4Hedging ratio 股票價格變化導(dǎo)致期權(quán)價格的變化 為了構(gòu)造無風(fēng)險組合，一份期權(quán)需要多少份 股票 當(dāng)期權(quán)的到期日變小，股票價格變化時， Hedging ratio

32、也發(fā)生變化，所以為了套期保 值需要連續(xù)調(diào)整組合策略。 4期權(quán)價格的漸進(jìn)行為 1 dN S c 圖14 期權(quán)價格曲線 t S )( tt Sc tTr tt f KeSc 4在實際應(yīng)用中注意： 股票實際是一種期權(quán) 風(fēng)險是隨時間變化的 9 美式期權(quán)的定價 10. 指標(biāo)期權(quán)(index option) 11 Portfolio insurance 4一個投資者持有風(fēng)險高度分散的證券組 合，現(xiàn)價100000元，投資者目標(biāo)：從牛 市中充分獲利，但從熊市中免遭損失。 購買保險 購買看跌期權(quán) 構(gòu)造合成看跌期權(quán) 4購買保險 4 100 4 Uninsured portfolio value A B 4購買看跌期權(quán) 4 100 4 Uninsured portfolio value A B Create a synthetic put A 100000 B 125000 C 80000 D F E G Uninsured portfolio 156250 Insured portfolio 156250 100000100000 100000 100000 64000