測量誤差的基本知識.doc

1、第五章測量誤差的基本知識本章摘要： 本章主要介紹測量誤差的種類；偶然誤差的統(tǒng)計特征和處理方法；精度的含義；評定測量精度的指標(biāo)；不同精度指標(biāo)表達(dá)的意義及其適用范圍。5-1測量誤差及分類摘要內(nèi)容： 學(xué)習(xí)誤差理論知識的目的，使我們能了解誤差產(chǎn)生的規(guī)律，正確地處理觀測成果，即根據(jù)一組觀測數(shù)據(jù)，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同時，根據(jù)誤差理論制定精度要求，指導(dǎo)測量工作選用適當(dāng)觀測方法，以符合規(guī)定精度。講課重點： 測量誤差的概念、測量與觀測值分類、測量誤差及其來源、測量誤差的種類、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)。講課難點： 偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)。講授重點內(nèi)容提要：一、測量誤差的概念人們對客

2、觀事物或現(xiàn)象的認(rèn)識總會存在不同程度的誤差，這種誤差在對變量進(jìn)行觀測和量測的過程中反映出來，稱為測量誤差 。二、測量與觀測值通過一定的儀器、工具和方法對某量進(jìn)行量測，稱為觀測 ，獲得的數(shù)據(jù)稱為觀測值 。三、觀測與觀測值的分類1.同精度觀測和不同精度觀測觀測條件 ：構(gòu)成測量工作的要素包括觀測者、測量儀器和外界條件，通常將這些測量工作的要素統(tǒng)稱為觀測條件。同精度觀測 ：在相同的觀測條件下，即用同一精度等級的儀器、設(shè)備，用相同的方法和在相同的外界條件下， 由具有大致相同技術(shù)水平的人所進(jìn)行的觀測稱為同精度觀測，其觀測值稱為同精度觀測值 或等精度觀測值。反之，則稱為不同精度觀測，其觀測值稱為不同（不等）精

3、度觀測值。2.直接觀測和間接觀測直接觀測 ：為確定某未知量而直接進(jìn)行的觀測，即被觀測量就是所求未知量本身，稱為直接觀測，觀測值稱為直接觀測值。間接觀測 ：通過被觀測量與未知量的函數(shù)關(guān)系來確定未知量的觀測稱為間接觀測， 觀測值稱為間接觀測值。（說明 ：例如，為確定兩點間的距離，用鋼尺直接丈量屬于直接觀測；而視距測量則屬于間接觀測。）13.獨立觀測和非獨立觀測獨立觀測 ：各觀測量之間無任何依存關(guān)系，是相互獨立的觀測，稱為獨立觀測，觀測值稱為獨立觀測值。非獨立觀測 ：若各觀測量之間存在一定的幾何或物理條件的約束，則稱為非獨立觀測，觀測值稱為非獨立觀測值。（說明 ：如對某一單個未知量進(jìn)行重復(fù)觀測，各次

4、觀測是獨立的，各觀測值屬于獨立觀測值。觀測某平面三角形的三個內(nèi)角，因三角形內(nèi)角之和應(yīng)滿足180這個幾何條件，則屬于非獨立觀測，三個內(nèi)角的觀測值屬于非獨立觀測值。）四、測量誤差及其來源1.測量誤差的定義測量中的被觀測量，客觀上都存在著一個真實值，簡稱真值 。對該量進(jìn)行觀測得到觀測值 。真值與觀測值之差，稱為真誤差 ，即：真誤差=真值 -觀測值2.測量誤差的反映測量中不可避免地存在著測量誤差。“多余觀測 ”導(dǎo)致的差異事實上就是測量誤差。換句話說，測量誤差正是通過“多余觀測 ”產(chǎn)生的差異反映出來的。（說明 ：例如，為求某段距離，往返丈量若干次；為求某角度，重復(fù)觀測幾測回。這些重復(fù)觀測的觀測值之間存在

5、著差異。又如，為求某平面三角形的三個內(nèi)角，只要對其中兩個內(nèi)角進(jìn)行觀測就可得出第三個內(nèi)角值。但為檢驗測量結(jié)果，對三個內(nèi)角均進(jìn)行觀測，這樣三個內(nèi)角之和往往與真值180產(chǎn)生差異。第三個內(nèi)角的觀測是“多余觀測 ”。）3.測量誤差的來源（ 1）測量儀器（說明 ：任何儀器只具有一定限度的精密度，使觀測值的精密度受到限制。例如， 在用只刻有厘米分劃的普通水準(zhǔn)尺進(jìn)行水準(zhǔn)測量時，就難以保證估讀的毫米值完全準(zhǔn)確。同時，儀器因裝配、搬運、磕碰等原因存在著自身的誤差，如水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸不平行于水準(zhǔn)管軸，就會使觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差。）（ 2）觀測者（ 說明 ：由于觀測者的視覺、聽覺等感管的鑒別能力有一定的局限，所以在儀器的安

6、置、使用中都會產(chǎn)生誤差，如整平誤差、照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差等。同時，觀測者的工作態(tài)度、技術(shù)水平和觀測時的身體狀況等也是對觀測結(jié)果的質(zhì)量有直接影響的因素。）（ 3）外界環(huán)境條件（ 說明 ：如溫度、風(fēng)力、大氣折光等因素，這些因素的差異和變化都會直接對觀測結(jié)果產(chǎn)生影響，必然給觀測結(jié)果帶來誤差。 ）2測量工作由于受到上述三方面因素的影響，觀測結(jié)果總會產(chǎn)生這樣或那樣的觀測誤差，即在測量工作中觀測誤差是不可避免的。測量外業(yè)工作的責(zé)任就是要在一定的觀測條件下，確保觀測成果具有較高的質(zhì)量，將觀測誤差減少或控制在允許的限度內(nèi)。五、測量誤差的種類粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三類。1.粗差粗差也稱錯誤。（說明 ：是由于觀測

7、者使用儀器不正確或疏忽大意，如測錯、讀錯、聽錯、算錯等造成的錯誤，或因外界條件發(fā)生意外的顯著變動引起的差錯。粗差的數(shù)值往往偏大，使觀測結(jié)果顯著偏離真值。因此，一旦發(fā)現(xiàn)含有粗差的觀測值，應(yīng)將其從觀測成果中剔除出去。一般地講，只要嚴(yán)格遵守測量規(guī)范，工作中仔細(xì)謹(jǐn)慎，并對觀測結(jié)果作必要的檢核。粗差是可以發(fā)現(xiàn)和避免的。）2.系統(tǒng)誤差（ 1）概念系統(tǒng)誤差： 在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行的一系列觀測中，數(shù)值大小和正負(fù)符號固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差 。準(zhǔn)確度： 是指觀測值對真值的偏離程度或接近程度。（說明 ：系統(tǒng)誤差具有累積性 ，它隨著單一觀測值觀測次數(shù)的增多而積累。系統(tǒng)誤差的存在必將給觀

8、測成果帶來系統(tǒng)的偏差，反映了觀測結(jié)果的準(zhǔn)確度。）（ 2）系統(tǒng)誤差分析為了提高觀測成果的準(zhǔn)確度， 首先要根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計的原理和方法判斷一組觀測值中是否含有系統(tǒng)誤差，其大小是否在允許的范圍以內(nèi)；然后采用適當(dāng)?shù)拇胧┫驕p弱系統(tǒng)誤差的影響。通常有以下三種方法：a.測定系統(tǒng)誤差的大小，對觀測值加以改正（說明 ：如用鋼尺量距時，通過對鋼尺的檢定求出尺長改正數(shù)，對觀測結(jié)果加尺長改正數(shù)和溫度變化改正數(shù)，來消除尺長誤差和溫度變化引起的誤差這兩種系統(tǒng)誤差。）b.采用對稱觀測的方法（說明 ：使系統(tǒng)誤差在觀測值中以相反的符號出現(xiàn)，加以抵消。如水準(zhǔn)測量時，采用前、后視距相等的對稱觀測， 以消除由于視準(zhǔn)軸不平行于水準(zhǔn)管軸

9、所引起的系統(tǒng)誤差；經(jīng)緯儀測角時，用盤左、盤右兩個觀測值取中數(shù)的方法可以消除視準(zhǔn)軸誤差等系統(tǒng)誤差的影響。）c.檢校儀器（說明 ：將儀器存在系統(tǒng)誤差降低到最小限度，或限制在允許的范圍內(nèi)，以減弱其對觀測結(jié)果的影3響。如經(jīng)緯儀照準(zhǔn)部水準(zhǔn)管軸不垂直于豎軸的誤差對水平角的影響，可通過精確檢校儀器并在觀測中仔細(xì)整平的方法，來減弱其影響。）系統(tǒng)誤差的計算和消除，取決于我們對它的了解程度。用不同的測量儀器和測量方法，系統(tǒng)誤差的存在形式不同， 消除系統(tǒng)誤差的方法也不同。必須根據(jù)具體情況進(jìn)行檢驗、定位和分析研究，采取不同措施，使系統(tǒng)誤差減小到可以忽略不計的程度。3.偶然誤差偶然誤差 ：在相同的觀測條件下對某量進(jìn)行一

10、系列觀測，單個誤差的出現(xiàn)沒有一定的規(guī)律性，其數(shù)值的大小和符號都不固定，表現(xiàn)出偶然性，這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機(jī)誤差。偶然誤差反映了觀測結(jié)果的精密度。精密度 ：是指在同一觀測條件下，用同一觀測方法對某量多次觀測時，各觀測值之間相互的離散程度。（說明 ：例如，用經(jīng)緯儀測角時，就單一觀測值而言，由于受照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差、外界條件變化所引起的誤差、 儀器自身不完善引起的誤差等綜合的影響，測角誤差的大小和正負(fù)號都不能預(yù)知，具有偶然性。所以測角誤差屬于偶然誤差。）六、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)1.偶然誤差的特性偶然誤差單個出現(xiàn)時不具有規(guī)律性，但在相同條件下重復(fù)觀測某一量時，所出現(xiàn)的大量的偶然誤差

11、卻具有一定的規(guī)律性。由于偶然誤差本身的特性，它不能用計算改正和改變觀測方法來簡單地加以消除，只能用偶然誤差的理論加以處理，以減弱偶然誤差對測量成果的影響。這種規(guī)律性可根據(jù)概率原理，用統(tǒng)計學(xué)的方法來分析研究。2.舉例說明例如， 在相同條件下對某一個平面三角形的三個內(nèi)角重復(fù)觀測了358 次，由于觀測值含有誤差，故每次觀測所得的三個內(nèi)角觀測值之和一般不等于180。三角形 各次觀測的真誤差i =180 -(a i +b i +c i )現(xiàn)取誤差區(qū)間d（間隔）為0.2 ，將誤差按數(shù)值大小及符號進(jìn)行排列，統(tǒng)計出各區(qū)間的誤差個數(shù)k 及相對個數(shù)k/n，見表。誤差統(tǒng)計表誤差區(qū)間 d負(fù)誤差正誤差個數(shù) k相對個數(shù)個

12、數(shù) k相對個數(shù)0.00.2450.126460.1280.20.4400.112410.1150.40.6330.092330.09240.60.8230.064210.0590.81.0170.047160.0451.01.2130.036130.0361.21.460.01750.0141.41.640.01120.0061.6 以上00.00000.000總和1810.5051770.495從上表的統(tǒng)計數(shù)字中，可以總結(jié)出在相同的條件下進(jìn)行獨立觀測而產(chǎn)生的一組偶然誤差，具有以下四個統(tǒng)計特性：（ 1）有界性 ：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度，即偶然誤差是有界的；（ 2

13、）單峰性 ：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會大；（ 3）對稱性 ：絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等；（ 4）補(bǔ)償性 ：在相同條件下，對同一量進(jìn)行重復(fù)觀測，偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零，即lim12n0nlimnnn式中： 表示求和。上述第四個特性是由第三個特性導(dǎo)出的，它說明偶然誤差具有補(bǔ)償性。這個特性對深入研究偶然誤差具有十分重要的意義。3.概率密度函數(shù)表中相對個數(shù) k/n 稱為頻率。若以橫坐標(biāo)表示偶然誤差的大小，縱坐標(biāo)表示頻率/組距，即 k/n 再除以 d（本例取 d=0.2 ） ,則縱坐標(biāo)代表k/0.2n 之值，可繪出誤差統(tǒng)計直方圖。密度函數(shù)，其公式為12

14、f ()e 2224. 削減偶然誤差措施（ 1）在必要時或儀器設(shè)備允許的條件下適當(dāng)提高儀器等級。（ 2）多余觀測。（ 3）求最可靠值。一般情況下未知量真值無法求得，通過多余觀測，求出觀測值的最或是值，即最可靠值。最常見的方法是求得觀測值的算術(shù)平均值。（ 說明 ：由偶然誤差的特性可知，當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值必然趨近于零。5但實際上， 對任何一個未知量不可能進(jìn)行無限次觀測，通常為有限次觀測，因而不能以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論去理解這個表達(dá)式，它只能說明這個趨勢。但是，由于其正的誤差和負(fù)的誤差可以相互抵消，因此，我們可以采用多次觀測，取觀測結(jié)果的算術(shù)平均作為最終結(jié)果。）5-2衡量測量精度的

15、指標(biāo)摘要內(nèi)容： 在測量中，用精度來評價觀測成果的優(yōu)劣。精密度簡稱精度。建立一個統(tǒng)一的衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)，給出一個數(shù)值概念，使該標(biāo)準(zhǔn)及其數(shù)值大小能反映出誤差分布的離散或密集的程度，稱為衡量精度的指標(biāo)。講課重點： 精度、中誤差、容許誤差、相對誤差。講課難點： 中誤差、容許誤差、相對誤差。講授重點內(nèi)容提要：一、精度精確度 ：是準(zhǔn)確度與精密度的總稱。準(zhǔn)確度主要取決于系統(tǒng)誤差的大小；精密度主要取決于偶然誤差的分布。精度 ：對基本排除系統(tǒng)誤差，而以偶然誤差為主的一組觀測值，用精密度來評價該組觀測值質(zhì)量的優(yōu)劣。精密度簡稱精度。衡量精度的指標(biāo)：建立一個統(tǒng)一的衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)，給出一個數(shù)值概念，使該標(biāo)準(zhǔn)及其數(shù)值大小能

16、反映出誤差分布的離散或密集的程度，稱為衡量精度的指標(biāo)。（說明 ：在相同的觀測條件下，對某量所進(jìn)行的一組觀測，這一組中的每一個觀測值，都具有相同的精度。 為了衡量觀測值精度的高低，可以采用誤差分布表或繪制頻率直方圖來評定，但這樣做十分不便，有時不可能。 ）二、中誤差中誤差 ：為了避免正負(fù)誤差相抵消和明顯地反映觀測值中較大誤差的影響， 通常是以各個真誤差的平方和的平均值再開方作為評定該組每一觀測值的精度的標(biāo)準(zhǔn)，即m22212nnn（說明 ：m 稱為中誤差， 由于是等精度觀測，因此中誤差是指該組每一個觀測值都具有這個值的精度，也稱為觀測值中誤差。它是一組真誤差的代表值，中誤差值的大小反映了這組觀測值

17、精度的高低，而且它能明顯地反映出測量結(jié)果中較大誤差的影響。因此一般都采用中誤差作為評定觀測質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)。）例如 ，設(shè)有甲、乙兩個小組，對三角形的內(nèi)角和進(jìn)行了9 次觀測，分別求得其真誤差為：甲組：5,6,8,6,7,4,3,8,7；乙組：6,5,4,4,7,4,7,5,3。從計算結(jié)果可以看出m 甲 =6. 2 ，m 乙 =5. 2 ，說明乙組的觀測精度比甲組高。6三、容許誤差由偶然誤差的第一個特性可知，在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。如果在測量工作中某觀測值的誤差超過了這個限值，就認(rèn)為這次觀測的質(zhì)量不符合要求，該觀測結(jié)果應(yīng)該舍去重測，這個界限稱為容許誤差或限差。通常以三倍中誤

18、差作為偶然誤差的限差，即容3m ；在對精度要求較高時，常取二倍中誤差作為容許誤差，即容 2 m 。（說明 ：根據(jù)誤差理論和實踐的統(tǒng)計證明：在等精度觀測的一組誤差中， 絕對值大于一倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的機(jī)會為32%；大于兩倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的機(jī)會只有5%；大于三倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的機(jī)會僅有3 ）四、相對誤差相對誤差 ：就是中誤差的絕對值與相應(yīng)觀測量之比。它是一個無量綱數(shù)，在測量上通常以分子為1的分?jǐn)?shù)式表示。M1KD D / M（ 說明 ：前面提及的真誤差、中誤差都是絕對誤差，單純比較絕對誤差的大小，有時還不能判斷觀測結(jié)果精度的高低。例如，丈量二段距離，第一段的長度為100m，其中誤差為D=2cm；第二段長度為 200m，其中誤差為D=3cm。如果單純用中誤差的大小評定其精度，就會得出前者精