湖北省十一校2021屆高三數學下學期3月第二次聯考試題（含解析）

1、湖北省十一校2021屆高三數學下學期3月第二次聯考試題（含解析）一、選擇題（共8小題）.1已知（1+2i）2i，則復數z（）A1BiCiD2+i2已知，且sin，則tan（）A7BCD3已知等差數列an的第5項是（x+2y）6展開式中的常數項，則a2+a8（）A20B20C40D404下列命題錯誤的是（）A兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1B設N（1，2），且P（0）0.2，則P（12）0.2C線性回歸直線x+一定經過樣本點的中心（，）D在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬帶越狹窄，其模型擬合的精度越高5設A，B，C，D是同一個半徑為6的球的球面上四點，且ABC是邊長為9

2、的正三角形，則三棱錐DABC體積的最大值為（）ABCD6已知非空集合A，B滿足以下兩個條件：（1）AB1，2，3，4，AB；（2）A的元素個數不是A中的元素B的元素個數不是B中元素則有序集合對（A，B）的個數為（）A1B2C4D67直線xy+10經過橢圓1（ab0）的左焦點F，交橢圓于A，B兩點，交y軸于C點，若2，則該橢圓的離心率是（）ABC22D18已知函數f（x），若mn，且f（m）+f（n）4，則m+n的最小值是（）A2Be1C43ln3D33ln2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9

3、一個口袋中有大小形狀完全相同的3個紅球和4個白球，從中取出2個球下面幾個命題中正確的是（）A如果是不放回地抽取，那么取出兩個紅球和取出兩個白球是對立事件B如果是不放回地抽取，那么第2次取到紅球的概率一定小于第1次取到紅球的概率C如果是有放回地抽取，那么取出1個紅球1個白球的概率是D如果是有放回地抽取，那么在至少取出一個紅球的條件下，第2次取出紅球的概率是10設函數f（x）sin（x+）+cos（x+）（0，|）的最小正周期為，且過點（0，），則下列正確的為（）ABf（x）在（0，）單調遞減Cf（|x|）的周期為D把函數f（x）的圖像向左平移個長度單位得到的函數g（x）的解析式為g（x）cos2

4、x11正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F，G分別為BC，CC1，BB1的中點則（）A直線D1D與直線AF垂直B直線A1G與平面AEF平行C平面AEF截正方體所得的截面面積為D點A1和點D到平面AEF的距離相等12數學中的很多符號具有簡潔、對稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術家設計作品的主要幾何元素如我們熟悉的符號，我們把形狀類似的曲線稱為“曲線”經研究發(fā)現，在平面直角坐標系xOy中，到定點A（a，0），B（a，0）距離之積等于a2（a0）的點的軌跡C是“曲線”若點P（x0，y0）是軌跡C上一點，則下列說法中正確的有（）A曲線C關于原點O中心對稱Bx0的取值范圍

5、是a，aC曲線C上有且僅有一個點P滿足|PA|PB|DPO2a2的最大值為2a2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13已知單位向量，滿足|+|2|，則與的夾角為 14從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調查，發(fā)現其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖所示，則直方圖中x的值為 15寫出一個漸近線的傾斜角為60且焦點在y軸上的雙曲線標準方程為 16已知不等式（2axlnx）x2（a+1）x+10對任意x0恒成立，則實數a的取值范圍是 四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17在平面四邊形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5（1）求c

6、osADB；（2）若DC2，求BC18如圖，在平行四邊形ABCD中，AB，BC2，ABC，四邊形ACEF為矩形，平面ACEF平面ABCD，AF1，點M在線段EF上運動（1）當AEDM時，求點M的位置；（2）在（1）的條件下，求平面MBC與平面ECD所成銳二面角的余弦值19已知數列an，a11，an+an+12n+1（nN*）（1）求an的通項公式；（2）數列bn滿足bn，Sn為數列bn的前n項和，是否存在正整數m，k（1mk），使得Sk4Sm2？若存在，求出m，k的值；若不存在，請說明理由20高爾頓板是英國生物統計學家高爾頓設計用來研究隨機現象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的

7、圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內如圖1所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2，7的球槽內例如小球要掉入3號球槽，則在6次碰撞中有2次向右4次向左滾下（）如圖1，進行一次高爾頓板試驗，求小球落入5號球槽的概率；（）小紅、小明同學在研究了高爾頓板后，利用高爾頓板來到社團文化節(jié)上進行盈利性“抽獎”活動小紅使用圖1所示的高爾頓板，付

8、費6元可以玩一次游戲，小球掉入m號球槽得到的獎金為元，其中|164m|小明改進了高爾頓板（如圖2），首先將小木塊減少成5層，然后使小球在下落的過程中與小木塊碰撞時，有的概率向左，的概率向右滾下，最后掉入編號為1，2，5的球槽內，改進高爾頓板后只需付費4元就可以玩一次游戲，小球掉入n號球槽得到的獎金為n元，其中（n4）2.兩位同學的高爾頓板游戲火爆進行，很多同學參加了游戲，你覺得小紅和小明同學誰的盈利多？請說明理由21已知動點P在x軸及其上方，且點P到點F（0，1）的距離比到x軸的距離大1（1）求點P的軌跡C的方程；（2）若點Q是直線yx4上任意一點，過點Q作點P的軌跡C的兩切線QA、QB，其中

9、A、B為切點，試證明直線AB恒過一定點，并求出該點的坐標22已知函數f（x）在x2時取到極大值（1）求實數a、b的值；（2）用minm，n）表示m，n中的最小值，設函數g（x）minf（x），x（x0），若函數h（x）g（x）tx2為增函數，求實數t的取值范圍答案一、選擇題（共8小題）.1已知（1+2i）2i，則復數z（）A1BiCiD2+i解：（1+2i）2i，i，zi，故選：C2已知，且sin，則tan（）A7BCD解：，+（，），sin，cos（+），tan（+），tantan（+）7故選：A3已知等差數列an的第5項是（x+2y）6展開式中的常數項，則a2+a8（）A20B20C40D

10、40解：（x+2y）6表示6個因式（x+2y）的乘積，故當有3個因式取x，其余的3個因式取 時，可得它的常數項為20a5，等差數列an的第5項是（x+2y）6展開式中的常數項，則a2+a82a540，故選：D4下列命題錯誤的是（）A兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1B設N（1，2），且P（0）0.2，則P（12）0.2C線性回歸直線x+一定經過樣本點的中心（，）D在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬帶越狹窄，其模型擬合的精度越高解：兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1，故A正確；設N（1，2），且P（0）0.2，則P（12）0.3，故B不正確；線性回歸

11、直線x+一定經過樣本點的中心（，），故C正確在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬帶越狹窄，其模型擬合的精度越高，故D正確；故選：B5設A，B，C，D是同一個半徑為6的球的球面上四點，且ABC是邊長為9的正三角形，則三棱錐DABC體積的最大值為（）ABCD解：設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，ABC為等邊三角形，AB2sin6099，球心為O，三角形ABC 的外心為O，顯然D在OO的延長線與球的交點如圖：OC3，OO3，則三棱錐DABC高的最大值為：3+69，則三棱錐DABC體積的最大值為：9故選：D6已知非空集合A，B滿足以下兩個條件：（1）AB1，2，3，4，AB；（2）A的

12、元素個數不是A中的元素B的元素個數不是B中元素則有序集合對（A，B）的個數為（）A1B2C4D6解：若A中只有1個元素，則B中有3個元素，則1A，3B，即3A，1B，此時有1個，若A中有2個元素，則B中有2個元素，則2A，2B，不符合題意；若A中有3個元素，則B中有1個元素，則3A，1B，即3B，1A，此時有1對，綜上，有序集合對（A，B）的個數2個故選：B7直線xy+10經過橢圓1（ab0）的左焦點F，交橢圓于A，B兩點，交y軸于C點，若2，則該橢圓的離心率是（）ABC22D1解：如圖所示：對直線xy+10，令x0，解得y1，令y0，解得x1，故F（1，0），C（0，1），則，設A（x0，y

13、0），則，而2，則，解得，點A又在橢圓上，所以，（c1，a2b2+c2），整理得4a44a22a21，所以，所以e故選：A8已知函數f（x），若mn，且f（m）+f（n）4，則m+n的最小值是（）A2Be1C43ln3D33ln2解：由函數解析式可知函數在每一段都為單調遞增函數，且當x1時，f（x）2，當x1時，f（x）2，所以函數f（x）在R上為單調遞增函數，又mn，且f（m）+f（n）4，所以m，n中有一個小于1，一個大于等于1，不妨設n1，m1，則f（m）+f（n）2+3lnm+n+14，即n13lnm，所以m+nm3lnm+1，m1，令g（x）x3lnx+1，x1，所以g（x）1，當1

14、x3時，g（x）0，函數g（x）為單調遞減函數，當x3時，g（x）0，函數g（x）為單調遞增函數，所以當x3時，函數g（x）min33ln3+143ln3，無最大值，故m+n的最小值為43lln3，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9一個口袋中有大小形狀完全相同的3個紅球和4個白球，從中取出2個球下面幾個命題中正確的是（）A如果是不放回地抽取，那么取出兩個紅球和取出兩個白球是對立事件B如果是不放回地抽取，那么第2次取到紅球的概率一定小于第1次取到紅球的概率C如果是有放回地抽取，那么取出

15、1個紅球1個白球的概率是D如果是有放回地抽取，那么在至少取出一個紅球的條件下，第2次取出紅球的概率是解：對于A：如果是不放回地抽取，那么取出兩個紅球和取出兩個白球是既不是互斥事件，也不是對立事件，故A錯誤；對于B：如果是不放回地抽取，那么第2次取到紅球的概率為，第1次取到紅球的概率為，故B錯誤；對于C：如果是有放回地抽取，那么取出1個紅球1個白球的概率是，故C正確；對于D：至少取出一個紅球的概率為，至少取出一個紅球且第二次取出紅球的概率P2P（兩紅）+P（第一次白第二次紅）故；故選：D故選：CD10設函數f（x）sin（x+）+cos（x+）（0，|）的最小正周期為，且過點（0，），則下列正確

16、的為（）ABf（x）在（0，）單調遞減Cf（|x|）的周期為D把函數f（x）的圖像向左平移個長度單位得到的函數g（x）的解析式為g（x）cos2x解：函數f（x）sin（x+）+cos（x+）sin（x+） （0，|）的最小正周期為，2，f（x）過點（0，），sin（+），f（x）sin（2x+）cos2x故A不正確；當x（0，），2x（0，），f（x）單調遞減，故B正確；f（|x|）cos2|x|cos2x 的周期為，故C正確；把f（x）cos2x的圖象向左平移個長度單位得到的函數g（x）的解析式為g（x）cos（2x+）cos2x，故D錯誤，故選：BC11正方體ABCDA1B1C1D1的棱

17、長為2，E，F，G分別為BC，CC1，BB1的中點則（）A直線D1D與直線AF垂直B直線A1G與平面AEF平行C平面AEF截正方體所得的截面面積為D點A1和點D到平面AEF的距離相等解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系則A（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，1），D（0，0，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），G（2，2，1），對于A，（0，0，2），（2，2，1），20，直線D1D與直線AF不垂直，故A錯誤；對于B，（0，2，1），（1，2，0），（2，2，1），設平面AEF的法向量（x，y，z），則，取y1，得（2，1，2），0，A1

18、G平面AEF，直線A1G與平面AEF平行，故B正確；對于C，連接AD1，FD1，E，F分別是BC，CC1的中點，面AEF截正方體所得的截面為梯形AEFD1，面AEF截正方體所得的截面面積為：S，故C正確；對于D，由B知平面AEF的法向量（2，1，2），點A1到平面AEF的距離h，點D到平面AEF的距離d，點A1和點D到平面AEF的距離相等，故D正確故選：BCD12數學中的很多符號具有簡潔、對稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術家設計作品的主要幾何元素如我們熟悉的符號，我們把形狀類似的曲線稱為“曲線”經研究發(fā)現，在平面直角坐標系xOy中，到定點A（a，0），B（a，0）距離之積

19、等于a2（a0）的點的軌跡C是“曲線”若點P（x0，y0）是軌跡C上一點，則下列說法中正確的有（）A曲線C關于原點O中心對稱Bx0的取值范圍是a，aC曲線C上有且僅有一個點P滿足|PA|PB|DPO2a2的最大值為2a2解：在平面直角坐標系xOy中，到定點A（a，0），B（a，0）距離之積等于a2（a0）的點的軌跡C是“曲線”故點P（x0，y0）滿足，點M（x0，y0）代入，得到，故A正確；對于B：設x軸上x0范圍的最大值為xm，所以，解得，故x0的范圍為故B錯誤；對于C：若PAPB，則點P在AB的垂直平分線上，即xP0，設點P（0，yP），所以，所以yP0，即僅原點滿足，故C正確；對于D：，

20、兩邊平方化簡為：（x2+y2）2a2（x2y2），根據xcos，ysin，得到22a2cos，所以PO2a2的最大值為a2，故D錯誤故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13已知單位向量，滿足|+|2|，則與的夾角為解：，解得，且，14從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調查，發(fā)現其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖所示，則直方圖中x的值為0.0044解：由頻率分布直方圖，得（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）501x0.0044故答案為：0.004415寫出一個漸近線的傾斜角為60且焦點在y軸上的雙曲線標準方程為（答案不唯一

21、）解：因為雙曲線的焦點坐標在y軸，所以設雙曲線方程為：，一條漸近線方程為：byax0，漸近線的傾斜角為60，所以，所以滿足題意的一個雙曲線方程為：，故答案為：（答案不唯一）16已知不等式（2axlnx）x2（a+1）x+10對任意x0恒成立，則實數a的取值范圍是解：令f（x）2axlnx，x（0，+），g（x）x2（a+1）x+1，函數g（x）的對稱軸xf（x）2a，a0時，f（x）0，函數f（x）單調遞減f（1）2a0，x（1，+），f（x）0；而g（x）在x（1，+）上單調遞增，g（x）g（1）1a0因此a0時不符合題意，舍去a0時，f（x），可得函數f（x）在（0，）上單調遞減，在（，+

22、）上單調遞增x時，函數f（x）取得極小值，即最小值，f（）1+ln（2a），（i）若f（）1+ln（2a）0，則a；而g（）+10，不滿足f（x）g（x）0對任意x0恒成立，舍去（ii）若f（）1+ln（2a）0，則a；而函數g（x）的對稱軸x0，g（）（a+1）+110，解得a1，a1時，滿足不等式（2axlnx）x2（a+1）x+10對任意x0恒成立，因此實數a的取值范圍是，1四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17在平面四邊形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5（1）求cosADB；（2）若DC2，求BC解：（1）ADC90，A45，AB2

23、，BD5由正弦定理得：，即，sinADB，ABBD，ADBA，cosADB（2）ADC90，cosBDCsinADB，DC2，BC518如圖，在平行四邊形ABCD中，AB，BC2，ABC，四邊形ACEF為矩形，平面ACEF平面ABCD，AF1，點M在線段EF上運動（1）當AEDM時，求點M的位置；（2）在（1）的條件下，求平面MBC與平面ECD所成銳二面角的余弦值解：（1），AB2+AC2BC2，ABAC，又AFAC，平面ACEF平面ABCD，平面ACEF平面ABCDAC，AF平面ACEF，AF平面ABCD，以AB，AC，AF為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖：，設則，AEDM，解得，當A

24、EDM時，點M為EF的中點（2）由（1），設平面MBC的一個法向量為，則，取y12，則，易知平面ECD的一個法向量為，平面MBC與平面ECD所成二面角的余弦值為19已知數列an，a11，an+an+12n+1（nN*）（1）求an的通項公式；（2）數列bn滿足bn，Sn為數列bn的前n項和，是否存在正整數m，k（1mk），使得Sk4Sm2？若存在，求出m，k的值；若不存在，請說明理由解：（1）將n1代入an+an+12n+1得a2312，由an+an+12n+1，可以得到an+1+an+22n+3，由得：an+2an2，所以數列an的奇數項、偶數項都是以2為公差的等差數列，當n2k（nN*）時

25、，ana2+2（k1）2kn，當n2k1（nN*）時，ana1+2（k1）2k1n，；（2）由（1）可得：，若，即，整理得：，1mk，解得：，矛盾，不存在m，k滿足題意20高爾頓板是英國生物統計學家高爾頓設計用來研究隨機現象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內如圖1所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經過6次與小木塊碰

26、撞，最后掉入編號為1，2，7的球槽內例如小球要掉入3號球槽，則在6次碰撞中有2次向右4次向左滾下（）如圖1，進行一次高爾頓板試驗，求小球落入5號球槽的概率；（）小紅、小明同學在研究了高爾頓板后，利用高爾頓板來到社團文化節(jié)上進行盈利性“抽獎”活動小紅使用圖1所示的高爾頓板，付費6元可以玩一次游戲，小球掉入m號球槽得到的獎金為元，其中|164m|小明改進了高爾頓板（如圖2），首先將小木塊減少成5層，然后使小球在下落的過程中與小木塊碰撞時，有的概率向左，的概率向右滾下，最后掉入編號為1，2，5的球槽內，改進高爾頓板后只需付費4元就可以玩一次游戲，小球掉入n號球槽得到的獎金為n元，其中（n4）2.兩位同學的高爾頓板游戲火爆進行，很多同學參加了游戲，你覺得小紅和小明同學誰的盈利多？請說明理由解：（）設這個小球掉入5號球槽為事件A掉入5號球槽，需要向右4次向左2次，所以P（A）所以這個小球掉入5號球槽的概率為（）小紅的收益計算如下：每一次游戲中，的可能取值為0，4，8，12.，04812P一次游戲