數(shù)學(xué)歸納法肖PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 數(shù)學(xué)歸納法肖數(shù)學(xué)歸納法肖 2 22 222 2222 1 2 3 1, 6 2 3 5 12, 6 3 4 7 123, 6 4 5 9 1234, 6 . 情境情境1.觀察下列各等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？觀察下列各等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 歸納歸納 問(wèn)題情境問(wèn)題情境 22222 (1) (21) 1234. 6 nnn n 思考思考：你由不完全歸納：你由不完全歸納 法所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確嗎法所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確嗎 ？若不正確，請(qǐng)舉一個(gè)？若不正確，請(qǐng)舉一個(gè) 反例反例;若正確，如何證明若正確，如何證明 呢？呢？ 第1頁(yè)/共16頁(yè) 情境情境2.觀察多米諾骨牌的游戲。觀察多米諾骨牌的游戲。 第2頁(yè)/共16頁(yè)

2、 學(xué)生活動(dòng)學(xué)生活動(dòng) 思考思考（1）你能說(shuō)出使所有多米諾骨牌全部倒你能說(shuō)出使所有多米諾骨牌全部倒 下的條件是什么嗎下的條件是什么嗎? （2）你能類(lèi)比多米諾骨牌游戲證明）你能類(lèi)比多米諾骨牌游戲證明情境情境1 中的猜想嗎中的猜想嗎? ， (1)第一張牌能倒下；第一張牌能倒下； 使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是 ： (2)假設(shè)第假設(shè)第k張能倒下，則一定能壓倒緊挨的張能倒下，則一定能壓倒緊挨的 第第k1張牌張牌. 第3頁(yè)/共16頁(yè) 數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu) 類(lèi)比多米諾骨牌游戲證明類(lèi)比多米諾骨牌游戲證明情境情境1中的猜想中的猜想 的步驟為：的步驟為： (1)證明當(dāng)證明當(dāng)n=1時(shí)猜想

3、成立時(shí)猜想成立 (2)證明若當(dāng)證明若當(dāng)n=k時(shí)命題成立，則時(shí)命題成立，則n=k+1時(shí)命時(shí)命 題也成立題也成立. 22222 (1) (21) 1234. 6 nnn n 完成了這兩個(gè)步驟以后就可以證明完成了這兩個(gè)步驟以后就可以證明上述猜上述猜 想想對(duì)于所有的正整數(shù)對(duì)于所有的正整數(shù)n都是成立的。都是成立的。 相當(dāng)于第一張牌能倒下相當(dāng)于第一張牌能倒下 相當(dāng)于使所有骨牌倒下的第相當(dāng)于使所有骨牌倒下的第2個(gè)條件個(gè)條件 第4頁(yè)/共16頁(yè) 222222 (1)(1) 12(1) 1 1234(1) 6 kkk kk 目標(biāo)： 證明證明 當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊1 1 右邊右邊, ,等式顯然成立。等式

4、顯然成立。 例例 證明：證明： 數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用 遞推基遞推基 礎(chǔ)礎(chǔ) 遞推依遞推依 據(jù)據(jù) 22222* (1) (21) 1234(). 6 nnn nnN 22222 (1) (21) 1234 6 kkk k 222222 2 1234(1) (1)(21) (1) 6 (1)(1)12(1)1 6 kk kkk k kkk 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)等式成立，即時(shí)等式成立，即 那么那么, ,當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，有時(shí)，有 這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)時(shí), ,等式也成立。等式也成立。 根據(jù)和，可知對(duì)任何根據(jù)和，可知對(duì)任何n n N N* *等式都成立。等式都成立。

5、第5頁(yè)/共16頁(yè) 先證明當(dāng)先證明當(dāng)n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n0(例如例如n0=1或或n0=2) 時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k (kN, kn0)時(shí)命時(shí)命 題成立題成立,證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，這種證明時(shí)命題也成立，這種證明 方法叫做數(shù)學(xué)歸納法方法叫做數(shù)學(xué)歸納法. 一般地，對(duì)于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命一般地，對(duì)于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命 題我們常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性題我們常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性 ： 數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟：數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟： ()證明當(dāng)證明當(dāng)nn0 (如如n0 1或或2等等)時(shí)，結(jié)論正確；時(shí)，結(jié)論正確； ()假設(shè)假設(shè)nk(

6、kN*且且kn0)時(shí)結(jié)論正確，時(shí)結(jié)論正確，并應(yīng)用并應(yīng)用 此假設(shè)此假設(shè)證明證明nk1時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確 數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)理論 第6頁(yè)/共16頁(yè) dnaan)1( 1 如果如果 是等差數(shù)列，已知首項(xiàng)為是等差數(shù)列，已知首項(xiàng)為 ，公差為，公差為 ，那么，那么 n a 1 a d 對(duì)一切對(duì)一切 都成立都成立 Nn 證明證明：（：（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)，, 1 a 左邊左邊 ,0 11 ada 右邊右邊 等式是成立的等式是成立的 （2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是時(shí)等式成立，就是,)1( 1 dkaak 那么當(dāng)那么當(dāng)n=k+1時(shí)，時(shí)， daa kk 1 dkaddka 1) 1() 1( 11

7、 這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立時(shí)，等式也成立 由（由（1）和（）和（2）可知，等式對(duì)任何）可知，等式對(duì)任何 都成立都成立 Nn 練習(xí)練習(xí)1 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 遞推基遞推基 礎(chǔ)礎(chǔ) 遞推依遞推依 據(jù)據(jù) 11 (1) 1 k aakd 目標(biāo)： 第7頁(yè)/共16頁(yè) 練習(xí)練習(xí)2 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 2* 1 3 5(21)().nn n N 證明證明（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊=1，右邊，右邊=1，等式成立，等式成立 2 1 3 5(21) 2(1) 1(1)kkk 目標(biāo)： 這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立時(shí)，等式也成立

8、由（由（1）和（）和（2），可知等式對(duì)任何正整數(shù)），可知等式對(duì)任何正整數(shù)n都成立都成立 （2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即時(shí)，等式成立，即 2 1 3 5(21).kk 遞推基遞推基 礎(chǔ)礎(chǔ) 遞推依遞推依 據(jù)據(jù) 22 2 1 3 5(21) 2(1) 1 (2(1) 121 (1) kk kkkk k 那么當(dāng)那么當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，時(shí)， 第8頁(yè)/共16頁(yè) 用數(shù)學(xué)歸納法證明與用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是：有關(guān)命題的步驟是： （1）證明當(dāng)證明當(dāng) 取第一個(gè)值取第一個(gè)值 （如（如 或或2等）時(shí)結(jié)論正確等）時(shí)結(jié)論正確 ； 1 0 nn 0 n （2）假設(shè)時(shí)假設(shè)時(shí) 結(jié)論正確，

9、證明結(jié)論正確，證明 時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確 )N( 0 nkkkn 且 且 1 kn 遞推基遞推基 礎(chǔ)礎(chǔ) 遞推依據(jù)遞推依據(jù) “找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)” “用上假設(shè)，遞推才真用上假設(shè)，遞推才真” “綜合（綜合（1）、（）、（2），），”不可少！不可少！ 注意注意:數(shù)學(xué)歸納法使用要點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法使用要點(diǎn)： 兩步驟兩步驟,一結(jié)論。一結(jié)論。 第9頁(yè)/共16頁(yè) 分析下列各題用分析下列各題用數(shù)學(xué)歸數(shù)學(xué)歸 納法納法證明過(guò)程中的錯(cuò)誤：證明過(guò)程中的錯(cuò)誤： 練習(xí)3 糾錯(cuò)! 第10頁(yè)/共16頁(yè) （1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(n N*) 證明證明 ：假設(shè)當(dāng)：假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)等式成立，即

10、時(shí)等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+4+6+8+2k=k2 2+k+1(k+k+1(k N N* *) ) 那么，當(dāng)那么，當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，有時(shí)，有 2+4+6+8+2k+22+4+6+8+2k+2（k+1)k+1) =k =k2 2+k+1+2(k+1)+k+1+2(k+1) =(k+1) =(k+1)2 2+(k+1)+1 ,+(k+1)+1 , 因此，對(duì)于任何因此，對(duì)于任何n n N N* *等式都成立。等式都成立。 缺乏缺乏“遞推基礎(chǔ)遞推基礎(chǔ) ” 事實(shí)上，我們可事實(shí)上，我們可 以用等差數(shù)列求以用等差數(shù)列求 和公式驗(yàn)證原等和公式驗(yàn)證原等 式是不成立的！式是不成立的！ 第1

11、1頁(yè)/共16頁(yè) 這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),命題也成立命題也成立. 11111 (1)()() 22312 11 1= 2(1)1 kk k kk 左邊 右邊 * 111 (2)() 1 223(1)1 n nN nnn 沒(méi)有用上沒(méi)有用上“假假 設(shè)設(shè)”，故此法，故此法 不是數(shù)學(xué)歸納不是數(shù)學(xué)歸納 法法 請(qǐng)修改為數(shù)學(xué)請(qǐng)修改為數(shù)學(xué) 歸納法歸納法 證明證明 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左邊左邊= , 2 1 21 1 1) 1( 1 32 1 21 1 k k kk 假設(shè)假設(shè)n=k(kN*)時(shí)原等式成立時(shí)原等式成立 ，即，即 此時(shí)，原等式成立。此時(shí)，原等式成立。 那么那么n=k+1時(shí)時(shí), 由由 知知,

12、對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù)n,原等式均正確原等式均正確. 11 = 1+12 右邊 第12頁(yè)/共16頁(yè) 證明證明 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左邊左邊= , 2 1 21 1 * 111 (2)() 1 223(1)1 n nN nnn 1) 1( 1 32 1 21 1 k k kk 1111 1 22 3(1)(1) (2) 11 1 (1) (2)(1) 1 kkkk kk kkkk 這這 才才 是是 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 歸歸 納納 法法 假設(shè)假設(shè)n=k(kN*)時(shí)原等式成立時(shí)原等式成立 ，即，即 2 1 11 1 右邊右邊= 此時(shí)，原等式成立。此時(shí)，原等式成立。 那么那么n=k+1時(shí)時(shí), 這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),命題也成立命題也成立. 由由 知知,對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù)n,原等式均正確原等式均正確. 第13頁(yè)/共16頁(yè) (2)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論； (3)數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點(diǎn)：即克服了數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點(diǎn)：即克服了完全歸納法完全歸納法的繁雜的缺的