高斯型多維積分公式PPT優(yōu)秀課件

1、Company LOGO 高斯型多維積分公式高斯型多維積分公式 報告人：肖報告人：肖 青青 導導 師：周少武師：周少武 Hunan University of Science and Technology 內(nèi)內(nèi) 容容 4、總、總 結(jié)結(jié) 3、多、多 變變 量量 函函 數(shù)數(shù) 1、研、研 究究 背背 景景 2、單、單 變變 量量 函函 數(shù)數(shù) of Mechanical and Electrical Engineering 2.1 數(shù)數(shù) 值值 積積 分分 研研 3.1 張張 量量 積積研研 3.2 稀稀 疏疏 網(wǎng)網(wǎng) 格格 法法 2.2 多多 項項 式式 混混 沌沌 展展 開開研研 3.3 容容 積積

2、量量 法法 3.4 算算 例例 2 Hunan University of Science and Technology 1. 研究研究背景背景 v 輸輸 入入 X 非線性傳非線性傳 遞系統(tǒng)遞系統(tǒng) 輸輸 出出 y 1im y= H x ,x ,x(1) 3 Hunan University of Science and Technology 1. 研究研究背景背景 v m rr 1m1m1 E y=Hx ,xx ,xdxdx (2) 4 Hunan University of Science and Technology 1. 研究研究背景背景 v n s s 1 t rr s,1s,m E

3、yw H,t (3) 5 Hunan University of Science and Technology 2. 單變量函數(shù)單變量函數(shù) v (4) 1 n ss s E y =H xx dxw H t (5) 0 R r r r y= H xa x 6 Hunan University of Science and Technology 2. 單變量函數(shù)單變量函數(shù) v (6) 00 RR rr rr rr E yEa xa E x (7) ( ) rr r mE xxx dx (8) 0 R rr r E ya m 7 Hunan University of Science and Tec

4、hnology 2.1 數(shù)值積分數(shù)值積分 v (9) (10) 11001 nnRRn rr sssr srs s ssrrs E yw H twa taw t 1 0,1, n r s sr s w tmrR ， 8 Hunan University of Science and Technology 2.1 數(shù)值積分數(shù)值積分 圖1：基于泰勒展開式對sin(x)的逼近 21 0 ( 1) ( ) (21)! kk k x sin x k 21 0 ( 1) ( ) (21)! kk k x sin x k 21 0 ( 1) ( ) (21)! k k k sin xx k 9 Hunan

5、University of Science and Technology 2.1 數(shù)值積分數(shù)值積分 圖2：基于Hermite多項式對sin(x)的逼近 21 0 ( 1) ( ) (21)! kk k x sin x k 21 0 ( 1) ( ) (21)! kk k x sin x k 10 Hunan University of Science and Technology 2.1 數(shù)值積分數(shù)值積分 v 21 0,1,21 Rn rn 11 Hunan University of Science and Technology 2.1 數(shù)值積分數(shù)值積分 v 01 121 12 0 n n

6、nnn mmm mmm det mmm 12 Hunan University of Science and Technology 2.1 數(shù)值積分數(shù)值積分 011 12 1 1 22 121 1 1 ( ) 1 n n n n n n n nnn n n mmmm mmmm P xdet D mmmm xxx 011 12 1 122 n n n nnn mmm mmm Ddet mmm (11) 13 Hunan University of Science and Technology 2.1 數(shù)值積分數(shù)值積分 v 2 2 1 ( ) 2 x xe 0 1 2 2 3 3 11 ( )1

7、( ) ( )1 ( )3 ( )( )( ) nnn P x P xx P xx P xxx PxxP xnPx 14 Hunan University of Science and Technology 2.1 數(shù)值積分數(shù)值積分 v (12) 12 ( )()( )( ) nnnnnn P xA xB PxC Px 15 Hunan University of Science and Technology 2.1 數(shù)值積分數(shù)值積分 0 1 121 2222 122 n-1n-1n-1 121 111 n n n nn m w tttm w tttm w tttm (13) 1 0,1, n

8、 r s sr s w tmrR ， 16 Hunan University of Science and Technology 2.1 數(shù)值積分數(shù)值積分 v 1 n ss s E y =H xx dxw H t 17 Hunan University of Science and Technology 2.2 多項式混沌展開多項式混沌展開 v (14) 1 0 ( ),( )( )( )( ) krkrr r kr P x P x=P xP xx dxD kr D (15) 011 121 12221 2121 rr rr r rrrr rrrr mmmm mmmm Ddet mmmm mm

9、mm 18 Hunan University of Science and Technology 2.2 多項式混沌展開多項式混沌展開 011 12 1 1 22 121 1 1 ( ) 1 r r r r r r r rrr r r mmmm mmmm P xdet D mmmm xxx ,( )( )( )( ) iii rrr x P xxP xx dxE x P x 19 Hunan University of Science and Technology 2.2 多項式混沌展開多項式混沌展開 011 12 1 1 22 121 1 011 12 1 1 122 21 11 1 ,(

10、) 1 1 r r r r ii r r r rrr r r r r r r r rrr r i r iii r mmmm mmmm x P xE xdet D mmmm xxx mmmm mmmm E det D mmmm xxxx 20 Hunan University of Science and Technology 2.2 多項式混沌展開多項式混沌展開 011 12 1 1 122 21 11 011 121 1 12221 11 1 ,( ) 1 r r r r i r r rrr r i r iii r rr rr r rrrr i riii r mmmm mmmm x P xd

11、et D mmmm E xE xE xE x mmmm mmmm det D mmmm mmmm 21 Hunan University of Science and Technology 2.2 多項式混沌展開多項式混沌展開 v ,( )0 i r x P x 1 ,( ) ir r r D x P x D 0 ( ) k i ki i P xb x 0 0 0 ( )( )( ) ( ) k i krirk i r kr P xP x=bxP x bxP xkr ， ， 22 Hunan University of Science and Technology 2.2 多項式混沌展開多項式

12、混沌展開 v 1 0 ( )( ) krr r kr P xP xD kr D ， 0 1 ( )( ) krr rr r D bxP xxP x D ， 1 0 ( )( )( )( ) krrkr r rk P xP xP xP xD rk D ， 23 Hunan University of Science and Technology 2.2 多項式混沌展開多項式混沌展開 v (16) 0 ( ) rr r y= H xc P x 0 0 1 ( )( )( )( ) ( )( ) rkkr k kkr k r r r H xP xc P xP x cP xP x D c D ， ，

13、24 Hunan University of Science and Technology 2.2 多項式混沌展開多項式混沌展開 v (17) (18) (19) 0 1 ( )( )( ) n ss s cH xx dxw H t 00 0 1 ( )( )( )( )( )cH xP xx dxH xx dx D 11 ( )( )( )( )( ) rr rrr rr DD cH xP xH xP xx dx DD ， 25 Hunan University of Science and Technology 2.2 多項式混沌展開多項式混沌展開 基于式（16）計算的數(shù)學期望，有： (2

14、0) 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1( ) ( ) 1 ( ) rr r rr r rr r n ss s E y = H xc E P x cP xx dx cP x cw H t ， 26 Hunan University of Science and Technology 2.2 多項式混沌展開多項式混沌展開 v (21) 2 2 0 00 00 222 0 11 1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) rr r rkrk rk rkrk rk n r rrrr rr r E yEc P x c c E P x P x c cP xP x D cP xP xcc D

15、 ， ， 27 Hunan University of Science and Technology 2.2 多項式混沌展開多項式混沌展開 若計算二階原點矩，數(shù)值積分的算法為： 對比可知：在求取二階原點矩時，數(shù)值積分更方便。 此外，延用這種思想可以方便求取更高階的原點矩； 若采用多項式混沌展開法，用系數(shù)表示輸出量的高 階矩，計算很繁瑣。 或許說，在計算高階矩時，數(shù)值積分對信息的處理或許說，在計算高階矩時，數(shù)值積分對信息的處理 更有效率。更有效率。 22 1 ( ) n ss s E yw Ht (22) 28 Hunan University of Science and Technology

16、 3. 多變量函數(shù)多變量函數(shù) v i1m yH x ,x ,x(23) im1 rrr k1im k yaxxx (24) ,1, 11 , nn sssss is m ss E yw H Tw H ttt (25) 11 ,1,1 1 , imim n rrrrrr s ss is mim s w ttt= E xxx (26) 29 Hunan University of Science and Technology 3.1 張量積張量積 v 1 1 021 im rrr kimii k yaxxxrn ，(27) 12m nnn yIIIH (28) 30 Hunan Universit

17、y of Science and Technology 3.1 張量積張量積 表1：Gauss-Hermite積分的節(jié)點和權(quán)重 n權(quán)重權(quán)重節(jié)點節(jié)點 1 2 3 31 Hunan University of Science and Technology 3.1 張量積張量積 v 111 11 422 111 11 422 111 11 422 111 11 422 ss w 權(quán)重節(jié)點T ， ， ， ， 22 ss yIIH w H T 32 Hunan University of Science and Technology 3.1 張量積張量積 v 112 10 323 111 13 1226

18、 111 13 1226 112 10 323 111 13 1226 111 13 1226 ss w 權(quán)重節(jié)點T ， ， ， ， ， ， 23 ss yIIH w H T 33 Hunan University of Science and Technology 3.2 稀疏網(wǎng)格法稀疏網(wǎng)格法 v (29) 12 1 1 1 max, 1 ( 1) m m m L m L N nnn Nm LnnN m yIIIH NL 1 1 im rrr kim k yaxxx ， (30) 34 Hunan University of Science and Technology 3.2 稀疏網(wǎng)格法稀

19、疏網(wǎng)格法 表2：稀疏網(wǎng)格法的計算量 計算量計算量 優(yōu) 點：代數(shù)精度較高、計算量較低。 缺 點：仍不適用于較多的變量。 35 Hunan University of Science and Technology 3.3 容積量法容積量法 v 1 1 1 im rrr kim k im yaxxx rrrR ， (31) 11 ,11 1 , iimm n rrrrrr ss is mims s w ttt= E xxx 36 Hunan University of Science and Technology 3.3 容積量法容積量法 為滿足所有方程，有： 計算量： 優(yōu) 點：若要求的代數(shù)精度較低

20、時，計算量較低。 缺 點：不適用于高階精度，且目前尚無較好的配 點方法。 1(2)() 1! mRmmR n RmR (32) 1 mR nm R （） 37 Hunan University of Science and Technology 3.4 算例算例 v 10 2 1 k k yx (33) 方法方法計算量計算量結(jié)果結(jié)果 張量積 （3節(jié)點）10.00 稀疏網(wǎng)格法（L=2）10.00 稀疏網(wǎng)格法（L=3）10.00 表3：不同積分法的計算結(jié)果 38 Hunan University of Science and Technology 3.4 算例算例 v 9 22 1 1 kk k yx x (34) 方法方法計算