平面向量常見錯誤的分析與對策

1、平面向量常見錯誤的分析與對策平面向量是高一新教材的內(nèi)容，也是第一次進入中學數(shù)學教材。學生在學習這部分內(nèi)容時常常會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，有的錯誤不容易察覺。在平時的教學中常遇到的有以下幾種典型的錯誤。我總結(jié)出來讓學生以后在解題中避免或減少類似的錯誤。利用錯題教學，有時會起到更好的教學效果。一錯用向量的方向致誤DABC例1：三邊長均為2，且錯誤的解法：，同理可得，。分析：這里誤認為與的夾角為，兩向量的夾角應為平面上同一起點表示向量的兩條有向線段間的夾角，范圍是，因此與的夾有應為。正確的解法：如圖作，與即向量與的夾角為2， 同理可得6。對策：在求兩個向量的夾角時，要特別注意它們的方向。二、忽略共線向

2、量致誤例2：已知同一平面上、三向量所成的角均相等，且=1，=2，=3。求|+|的值。錯誤的解法：易知、皆為非零向量，設(shè)、所成的角均為，則+=。=。1 ， 同理=3，=。由=+2（+）=1+4+9+2(13)14113。|+|=。分析：本例誤認為、為不共線，而當、向量共線同向時，所成的角都為，符合題意。正確的解法：（1）當共線同向時，所成角都為。|+|=|+|+|=1236（2）當、不共線時，同上解。綜上所述，|+|的值為或6。對策：在研究兩個或兩個以上的向量時，通常要注意共線與不共線。特別注意，別忘了還有共線的可能。三、以特殊代替一般致誤例3：已知、是非零向量，則向量+=是、能構(gòu)成三角形的什么

3、條件？說明理由。錯誤的解法：（1）當、能構(gòu)成三角形時，設(shè)=，=，=。+=+=。（2）當+時，取，符合題意，但此時、共線，不構(gòu)成三角形。由（1）、（2）可知是、能構(gòu)成三角形的必要但不充分條件。分析：必要性的證明是一廂情愿，犯了用特殊代替一般的邏輯錯誤。正確的解法：在ABC中，若，則+=2，因此上述條件既非充分又非必要條件。對策：在證明時，不要用特殊代替一般。四忽視平移公式的應用范圍例4、已知A（4，2），B（5，3），將按向量（1，2）平移后所得向量的坐標是（）（A）（9，1）（B）（1，5）（C）（1，7）（D）（2，7）錯誤的解法： A（4，2），B（5，3）（1，5）將1，5，及1，2。代

4、入平移公式得112，527。故按向量平移后所得向量的坐標是(2，7)，選（D）。分析：平移公式提示的是點沿著向量平移后前后坐標的變化關(guān)系，它并不適合向量平移的規(guī)律，上述的錯誤是典型的亂用公式。正確的解答1： A（4，2），B（5，3）按（1，2）平移后分別變?yōu)椋?，0）和（6，5），所以（1，5），故選（B）。正確的解答2：因向量平移后仍與原向量相等，故=(1，5)，選（B）。對策：掌握數(shù)學公式時，通常要記清公式成立的條件和范圍。五分不清平移前后致誤例5：若把一個函數(shù)的圖像按平移后得到的函數(shù)的圖像，則原圖像的函數(shù)解析式為（）。A BCD錯誤的解法：由向量平移公式得，則，代入得。故選（C）。分析

5、：錯選C是分不清前后所致，是平移圖像后得到的函數(shù)解析式，應為。正確的解法：由向量平移公式得，代入得。故選D。對策：在解有關(guān)圖形平移的題目的時候，要注意哪個圖形是移動前的，哪個是移動后的。六、混淆向量平移與直線平移的內(nèi)涵致誤例6：若將直線按向量平移到直線6，那么向量（）A只能是（2,0），B只能是（0,6），C是（2,0）或（0,6）D有無數(shù)個錯誤的解法：（1）選A項。63（x+2），向左平移2個單位得到直線+6，=(2,0)。（2）選B項。直線向上平移6個單位得到直線6，=(0,6) 。分析：A、B、C三個選項中，都使直線經(jīng)過平移得到直線6，但忽視了直線平移的特殊性，以上任一點為起點，6上任一

6、點為終點的向量都符合題意。正確的解法：記（，）設(shè)(，)是平移后直線上任一點坐標，其平移前對應點坐標為（，）。由平移公式，得，。代入得3（），即33，又36，36，故的坐標只要滿足36都符合題意。有無數(shù)個。（選D）對策：要注意向量平移與直線平移內(nèi)涵的差別。直線是沒有長度的，而向量是有長度的。七錯用假命題，導致解題錯誤。例7：已知、都是非零向量，且4與72垂直，3與75垂直。求與的夾角。錯誤的解法：由題意得即（1）（2）得46230，即（2）0，或20。，20，與同向，即與的夾角為。分析：實數(shù)、滿足0，則必有0或0，但對向量、滿足0，卻不能推出或，（如1，2，與的角為。則0，但，。）這里將實數(shù)的一述性質(zhì)錯用到向量中錯誤推出或2。正確的解法：（接上）(2)（1）得2，代入（2）中，71615(2)0即2，2，于是=，即與的角為。對策：在解有關(guān)向量的題目時，以下幾點要明確：（1）向量的數(shù)量積不滿足消去律，即由（）不能推出；（2）向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即（）（）；（3）長度相等的向量與相等向量或相反向量的區(qū)別，即，由不能推出；（4）平行向量不滿足傳遞性，即，由/，/不能推出/；（5）由，/不能推出/；（6）如果若，則不能推出“=或=” 。八忽視問題的充要條件例8：已知（3，2）與（，）平行，求的值。錯誤的解