二次量子化方法[行業(yè)相關]

1、場的量子化方法 1技術教學 o 使力學量變成算符的量子化手續(xù)稱為一次量 子化，使波場量子化手續(xù)稱為二次量子化。 2技術教學 場的拉氏形式和哈密頓形式 22 11 ( ,) tt tt SLdtdtdx 場的作用量 ( , )x t 描寫場的變換分為隨時間變化的廣義速度 和隨空間變化的梯 度 ，進而引入了拉格朗日密度( , )x t 為了對波場采用量子化手續(xù)，需要建立場的場的拉氏 和哈密頓形式 。對于實數波場，我們通過廣義速度， 和梯度，考慮到連續(xù)，我們引入拉格朗日密度 3技術教學 . 0,( , )( , )0) tt Sx tx t 根據最小作用量原理，場的實際運動滿足下列極值 2 1 t

2、t Sdtdx 場的動力學方程 對于 4技術教學 3 1 3 1 () () () i i i i i i x x tx x 2 1 3 1 () () 0 t t i i i Sdtdx tx x 將 上 式 帶 入 動 力 學 方 程 可 得 5技術教學 3 1 ()0 () i i i tx x 由于 任意，所以上式可得出 (,)xt 我們引入廣義坐標相聯(lián)系的廣義動量 6技術教學 場的哈密頓密度 ( , , )xt 總的哈密頓量Hd x 3 1 () () i i i x x 系統(tǒng)的動力學 方程 7技術教學 薛定諤波場的量子化 薛定諤方程 2 2 ( , )( , )( , )( , )

3、 2 x tVx tx tix t u 為經典場的波動方程，但它是一個復數場，所以又存在 2 2 2 Vi u 這里將外勢場視為實數場 8技術教學 拉氏密度 2 22 2 , ,0 , ()2()2 iiii iV u ViV i xuxxux 拉氏密度需要將它代入拉式方程中得到上面的薛定諤方程 9技術教學 2 2 ( , )( , )( , ) ( , ) 0 2 ixtxtV xtxt u 2 2 0 2 Vi u 對于 對于 找到拉式密度，得出相應的正則動量和哈密頓量 10技術教學 ( , )x ti 2 2 V u 2 2 () 2 HdxdxV u ( , )0 x t 哈密頓密度

4、總哈密頓量 正則動量 11技術教學 薛定諤波場的量子化 采用正則量子化的方法對薛定諤波場進行量子化 其中要求廣義坐標和正則動量滿足下面對易關系 , , , (, ),(, )0 (, ),(, )0 (, ),(, )() x txt x txt x txtixx 12技術教學 , , , (,),(,)0 (,),(,)0 (,),(,)() x txt x txt x txtxx (,)xti 利用正則動量公式 可將上面對易關系轉換為 13技術教學 由于場量 已轉換為算符，所以總的哈密頓量也變成了算符 2 2 () 2 ( ) HdxV u dxHx 算符是來源場量 和 的算符性，所以是二

5、次量子化 的算符。 H 14技術教學 轉化到粒子數表象 (,)()() (,)()() a a a aa a xtbtx xtbtx 為了引入粒子數表象，我們取了正交完全函數集，將場算符展開 1 ( )( ) ik x ak xxe 可取一次量子化理論中一單粒子力學量算符的 本證函數集 ( ) a x 15技術教學 ( )( , )( ) ( )( , )( ) a a aa xx t dxbt xx t dxbt ( )( ) a xx dx 利用的正交歸一性 可得算符展開式是逆變換關系 16技術教學 () ,()0 () ,()0 () ,() a a aa btbt btbt btbt

6、利用變換關系和算符對易關系得出 17技術教學 量子化波場的哈密頓算符公式 2 2 2 2 () 2 ( )()( ) 2 a HdxV u b bdxxVx u 2 2 ( )()( ) 2 aHb b H HdxxVx u 其中 18技術教學 二次量子化中的力學量二次量子化中的力學量 一次量子化理論中概率密度和粒子數密度，以及所有力學量 的平均值都變成了算符，這種算符就是二次量子化中的力學量。 , ( )( ) ( )( ) () ( )xxxdxxx xx 概率密度和粒子數密度 , ( )( ) ( )( ) () ( )xxxdxxx xx 二次量子化中它變成了算符 19技術教學 ( )

7、( ) a xb bx 在粒子數表象中可表示為 , ( )( ) ()( )( )( ) aa xdxxx xxxx 注： () a nx dxbb 總 概 率 20技術教學 粒子數密度期望 ( )( ) ( ) a xxx bb ( )00 0 ()() 0 iai iiii xb b b b b bb b 假設0 a b 21技術教學 ( )0 0( )( )( )( ) iiiiii xxxxx 00b 因為 和 化簡上式 00b 22技術教學 坐標算符 二次量子化中的算符是由量子力學中的坐標算符平均值轉換而來 , ( )( )xdxx xx a xb b x 粒子數表象 , ( )()

8、xdxx xx 其中 23技術教學 0 a b 計算只有一個態(tài)指標i的坐標期望 00 ( )( ) a iiii ii xb b b bxx dxx xx 和量子力學中結果相同 24技術教學 ( )( ) a Vdxx xxb b V 外場中粒子化波場中的勢能算符 ( )( )Vdxx Vx 其中矩陣元 25技術教學 動力學方程動力學方程 二次量子化中的力學量是通過場算符來構造的，如果一次量子化中采用薛定諤繪景， 那么二次量子化采用海森堡繪景 1 ( ), F F tH ti ( , )1 ( , ), ( ) xt xt H t ti 以算符是運動方 程為例 26技術教學 2 2 ( )( )( )( ) ( )=(,) 2 H tdxt H xt H xV x t u 量子場的哈密頓算符 其中（） , , ( , ),(, )()(, ) ()()(, ) idxx tx tH xx t t dxxx H xx t 將哈密頓算符帶入運動方程中 27技術教學