微分幾何-§3-曲面的第二基本形式PPT優(yōu)秀課件

1、1 3 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式 3.1 曲面的第二基本形式 前面研究了曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何，而與的曲面的形式 無關(guān)，本節(jié)研究外在形式-曲面的彎曲性 曲面在一點(diǎn)的彎曲性，自然地用曲面偏離此點(diǎn)的 切平面來描述 r=r(u,v)u=u(s),v=v(s) p n Q P T C M 2 2 0000 0 2 00 22 00 1 ()()()()()lim0 2! 1 ( ()()() ) 2! 111 ()()()()( 2!2!2! s PQr ssr sr ssr ss QPs nMQnPQn r ssr ss n r ssn r ssnr ds （）， 由 作點(diǎn)的切平面點(diǎn)M,一定時(shí),

2、|pM|大則曲面彎曲厲害. 記 =（） （）（ 2 222 ) 2()2 , uuuvvv uuuvvv nr dsnr dur ndudvnr dv LnrMr n Nnr 令有定義 3 定義：稱 為曲面的第二基本 形式，其中L，M，N為曲面的彎曲系數(shù)。 22 2IILduMdudvNdv 2222 (, )(, )(, ) , | uvuvuuuvuvuvvvuv uv rrrrrr rrr rrr r nLMN rr EGFEGFEGFEGF 2 00ndrdndrnd r 幾何意義：曲面的第二基本形式近似地等于P的 切平面中距離的兩倍 計(jì)算公式1 計(jì)算公式2：因?yàn)?所以 可得IIdnd

3、r , u uuvv v Ln r Mr n Nn r 4 cos cos ,cos sin ,sin rRRR 2222 222 coscos ,cos sin ,sin (, )(, )(, ) , cos sincoscos0 sincossinsincos cos0 coscos , uvuuuvuvuvvvuv n rrrr rrr rrr r LM EGFEGFEGFEGF RR rRRR ERFrGr rR n r， ， r r，r， cos sin ,sin coscoscos sin0 sinsinsincos coscoscos sinsin RR rRR rRRR r，

4、，0 ，- 第二 解： 所以第二 222 (cos)IIRdRd 5 ),(,yxzyxr , 1 , 1 , 1 22 22 22 qp t nN qp s nM qp r nL r r r yy xy xx , y z q x z p , 2 22 x z r yx z s 2 2 y z t 對(duì)于曲面 有有 其中： 注1 第二基本形式不是正定型： 2、參數(shù)變換下最多差有一個(gè)符號(hào)： 6 kn 22 22 2 2 GdvFdudvEdu NdvMdudvLdu 3.2 曲面上曲線的曲率 只要在p點(diǎn)及與C相切的曲線，這個(gè)值不變，這就是曲面 在P點(diǎn)沿C方向的法曲率 r=r(u,v) u=u(s)

5、,v=v(s) 2222 , ()()cos ()() cos rrknnn rn dskn dskdsdsI k I ， 共面,設(shè) ， 夾角則 II= II P是C上一點(diǎn) 定義定義3.4.2 設(shè)點(diǎn)P是曲面上曲線C上一點(diǎn), k是C在點(diǎn)p 的曲率,. 則稱 為C在點(diǎn)p的曲率向量曲率向量, 稱 為在 曲面S上的點(diǎn)P處沿曲線C的切方向的法曲率法曲率.記為 k k n n 7 曲面法曲率是曲面上點(diǎn)P和方向 的函數(shù) 同一點(diǎn)只要方向相同，則法曲率相同 )(d ( ,) n du kf p dv 對(duì)法曲率，是否存在一條曲線使得這條曲線的曲率就 是法曲率呢？只要 即可，這就是法截線 cos1 S上點(diǎn)p的切方向

6、d和曲面的法向確定的平面稱為曲面 上一點(diǎn)處沿切方向的法截面 ，法截面 和曲面的交線 就是P點(diǎn)處沿切方向的法截線 n 8 c0 梅尼埃定理：曲面上曲線 在給定點(diǎn)p處的曲率中 心C就是與曲線具有相同切線的法截線 在同一 點(diǎn)p的曲線中心 在曲線C的密切平面上的投影。 例例 在球面上驗(yàn)證梅尼埃定理: 把梅尼埃定理中的取 為一個(gè)球面上的小圓, 取為與該小圓相切于點(diǎn)的大 圓. 則梅尼埃定理顯然成立. 0 0 9 12 22 NyMxyLx 3.3 杜邦指標(biāo)線杜邦指標(biāo)線 曲面在一點(diǎn)處的杜邦指標(biāo)線方程為 v dur dv u dr=r ( ,) n du kf p dv 1 | n PN k 法曲率是曲面上點(diǎn)

7、P和方向 的函數(shù) 在P點(diǎn)沿方向dr取線段PN使得 的點(diǎn)N的軌跡曲面在P點(diǎn)處的杜邦指標(biāo)線 11 | uv uv v nnu drr dur dv PNxryr kkdrr dur dv 兩邊平方得 N 10 曲面上點(diǎn)的分類曲面上點(diǎn)的分類 平點(diǎn)平點(diǎn) 由曲面在一點(diǎn)處的杜邦指標(biāo)線方程知是以P為中 心的有心二次曲線 2 0LNM 2 0LNM 2 0LNM 0LMN 橢圓點(diǎn)橢圓點(diǎn) 雙曲點(diǎn)雙曲點(diǎn) 拋物點(diǎn)拋物點(diǎn) 11 :Crr s rr svs 2 , , ,0,. ,0,0, s vss sv svvv sv rsvssvk rsrk vvkkvk rrvk rkrn vk rr LvkMN 2 0LNM

8、 例:求證曲線的切線曲面上的點(diǎn)都是拋物點(diǎn)。 證：設(shè)曲線 其切線曲面的方程為 由于 ，所以曲面上的點(diǎn)都是拋物點(diǎn)。 12 曲線上的曲線,如果它上面每一點(diǎn)的切方向都是漸近 方向,則稱為漸近曲線.漸近曲線的方程是 3.4 曲面的漸近方向和共軛方向 定義:如果P點(diǎn)是曲面的雙曲點(diǎn),則它的杜邦指標(biāo)線有 一對(duì)漸近線,我們把沿漸近線的方向 稱為曲面在P點(diǎn)的漸近方向.由解析幾何中二次曲線 的理論可知,這兩個(gè)漸近方向滿足方程 分別表示 在P點(diǎn)的值. ( ):ddu dv 22 000 20L duM dudvN dv 000 L、M 、N L、M、N 22 20L duM dudvN dv 13 命題命題1 如果曲

9、面上有直線，則它一定是曲面上的漸如果曲面上有直線，則它一定是曲面上的漸 進(jìn)曲線。進(jìn)曲線。 證明證明:因?yàn)橹本€的曲率因?yàn)橹本€的曲率 ,所以沿直線方向的所以沿直線方向的 法曲率法曲率 ,即即 因而直線是曲面的漸近曲線因而直線是曲面的漸近曲線. 0k cos0 n kk 22 20L duM dudvN dv 14 命題命題2 曲面在漸進(jìn)線上一點(diǎn)的切平面一定是漸進(jìn)曲曲面在漸進(jìn)線上一點(diǎn)的切平面一定是漸進(jìn)曲 線的密切平面線的密切平面 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 漸近曲線是直線漸近曲線是直線,這時(shí)曲面的切平面這時(shí)曲面的切平面 過它過它,因此切平面又是密切平面因此切平面又是密切平面. 當(dāng)當(dāng) 曲面的法向量垂直于漸近曲曲面的

10、法向量垂直于漸近曲 線的線的 主法向量主法向量,因此曲面的切平面除通過漸近曲線的切線外因此曲面的切平面除通過漸近曲線的切線外 還通過主法向量還通過主法向量,所以它又是漸近曲線的密切平面所以它又是漸近曲線的密切平面. cos0 n kk 0cos0.k或 0,cos0k 時(shí)， 0k 證明證明:沿漸近曲線有沿漸近曲線有 得到得到 如果曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)如果曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn),則曲面上存在兩族漸近則曲面上存在兩族漸近 曲線曲線,這兩族漸近曲線、稱為曲面上的漸近網(wǎng)這兩族漸近曲線、稱為曲面上的漸近網(wǎng). 15 命題命題3 3 曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸進(jìn)網(wǎng)的充分必要條件 是 證明證明: :漸近網(wǎng)的方程是 曲

11、紋坐標(biāo)網(wǎng)的方程是 即 若 代入漸近網(wǎng)方程可得 即 反之,若 代入漸近網(wǎng)方程可知 0.LN 22 20,LduM dudv N dv 0dudv 00.dudv或 0,L N 0,Mdudv 00.dudv或 00,dudv或 0.LN 16 設(shè)曲面上P點(diǎn)處的兩個(gè)方向?yàn)?和 如果包含這兩個(gè)方向的直線是P點(diǎn) 的杜邦指標(biāo)線的共軛直徑,則方向 稱為曲 面的共軛方向共軛方向. ( ):,ddu dv ( )( )d和 ( ):uv )( 00vdvvduuduML 0 0 vdvN 12 22 NyMxyLx 由解析幾何二次曲線理論 17 )(vdvvduMuLdu 0 vNdv 0 bdvAdu 0 u BA NMML vuv 由方程組有非零解