有限長單位脈沖響應(yīng)FIR濾波器的設(shè)計方法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 有限長單位脈沖響應(yīng)有限長單位脈沖響應(yīng)FIR濾波器的設(shè)計方濾波器的設(shè)計方 法法 1）從頻域出發(fā)，對理想頻響加以等間隔采樣 ，并以 此作為實際FIR的頻率特性的離散樣本，確定 2）通過IDFT，求有限長序列h(n)，為 3）利用N個頻域的離散樣本H(k)，同樣求出H(z)及其 頻響。 kk H、 2 ()( ), k jj k ddk N HeHkH e 1, 1 , 0Nk ,)( 1 )( 1 0 /2 N k Nnkj ekH N nh 1, 1 , 0Nn 1 0 )()( N n n znhzH 第1頁/共23頁 為了設(shè)計線性相位的FIR濾波器，采樣值 H（k）要 滿足一定的約

2、束條件。 前已指出,具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖 響應(yīng)h(n)是實序列，且滿足 ，由此 得到的幅頻和相頻特性，就是對H(k)的約束。（表4.1） 。 例如，要設(shè)計第一類線性相位FIR濾波器，即N為奇數(shù)， h(n)偶對稱，則 幅度函數(shù)H()應(yīng)具有偶對稱性： ( )(1)h nh Nn 2 1 )( N jj eHeH )2()( HH 第2頁/共23頁 令 則 必須滿足偶對稱性： 而 必須取為： k j ke HkH )( k N kNN k N k ) 1( 2 1 2 同樣，若要設(shè)計第二種線性相位FIR濾波器，N為偶數(shù) ，h(n)偶對稱，由于幅度特性是奇對稱的， 2HH kNk H

3、H k H1, 1 , 0Nk 1, 1 , 0Nk 第3頁/共23頁 kNk HH 1, 1 , 0, ) 1( Nk N kN k 1, 1 , 0Nk 第4頁/共23頁 由 或 H(z)。 由上述設(shè)計過程得到的 與 的逼近程度 ，以及 與H（k）的關(guān)系？ 由 j kk eHkHH)(, j eH j d eH j eH 1, 1 , 0,)( 1 )( 1 0 /2 NnekH N nh N k Nnkj 1 0 1 0 /2 1 0 )( 1 )()( N n n N k Nnkj N n n zekH N znhzH 1 0 /2 1 0 )( 1 N n nNnkj N k zek

4、H N 1/2 1 0 1 1 )( 1 ze z kH N Nkj N N k 第5頁/共23頁 令 ，則 1 0 1 1 )(1 )( N k k N zW kH N z zH Nj eW /2 單位圓上的頻響為： 1 0 /2 1 )(1 N k jNkj Nj j ee kH N e eH 這是一個內(nèi)插公式。 1 1 1 2 0 1 1 2 0 2 1 1 2 2 0 2 ( )sin/ 21 sin2/ 2 sin/ 21 ( ) sin sin 1 ( ) sin N N Nk N j N k Nk N j N k k N N k N jk N k k N H kN e NkN N

5、 H ke N N H ke N 第6頁/共23頁 式中 為內(nèi)插函數(shù) 令 則 N kN j j k e Nk N N e 2 1 2/2sin )2/sin(1 ki ki e i N j k 0 1 )( 2 , 1, 1 , 0, 2 Nii N 1, 1 , 0,Ni 第7頁/共23頁 內(nèi)插公式表明： l在每個采樣點上， 逼近誤差為零， 頻響 嚴(yán)格地與理想頻響的采樣值 H(k)相等 ； )()(kHeH k j )( j eH )( j eH l在采樣點之間，頻響由各采樣點的內(nèi)插函數(shù)延伸迭 加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想 頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差小 ；

6、反之，誤差大。在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點附近， 會產(chǎn)生肩峰和波紋。 lN增大，則采樣點變密，逼近誤差減小。 第8頁/共23頁 圖 頻率采樣的響應(yīng) 第9頁/共23頁 例3：設(shè)計一個FIR數(shù)字 LP 濾波器，其理想特性為 采樣點數(shù) N=33，要求線性相位。 解：根據(jù)P.142的表4.1，能設(shè)計低通線性相位數(shù)字濾波器的只 有1、2兩種，因N為奇數(shù)，所以只能選擇第一種。 即 h(n)=h(N-1-n)， 幅頻特性關(guān)于偶對稱，也即 HK 偶對稱。 利用 HK 的對稱性,求2區(qū)間的頻響采樣值。 5 .00 5 .001 j d eH 第10頁/共23頁 根據(jù)指標(biāo)要求，在02內(nèi)有33個取樣點，所以第k點對 應(yīng)

7、頻率為 而截止頻率 0.5位于 之間 ，所以，k=08時，取樣值為1；根據(jù)對稱性， 故 k=2532時，取樣值也為1，因 k=33 為下一周期，所 以0區(qū)間有9個值為 1的采樣點，2區(qū)間有8個值為 1 的采樣點，因此： k 33 2 9 33 2 8 33 2 和 258 HH 330 HH 321 HH 第11頁/共23頁 320 33 32 2 1 2490 3225; 801 2 kk N k k H k N k k 將 代入內(nèi)插公式，求H(ej)： k j ke HkH )( 1 0 16 32 2/2sin 2/sin1 N k N k j N k j kj ee Nk NH N e

8、H 16 32 0 2/33/2sin 332 33sin 33 1 j k k e k k H 考慮到8k25時 Hk=0，而其它k時，Hk=1,令 k=33-n，則 第12頁/共23頁 32 25 2/33/2sin 332 33sin k k k k H 8 1 33/)33( 2 sin 33 )33( 2 33sin n n n 8 1 8 1 332 sin 332 33sin 332 sin 332 33sin nn n n k n 8 1 332 sin 332 33sin 332 sin 332 33sin 2 sin 2 33 sin 33 1 )( k j k k k k

9、 eH 相應(yīng)地頻率響應(yīng)見圖4.12(b) 第13頁/共23頁 從圖上可以看出，其過渡帶寬為一個頻率采樣間隔 2/33，而最小阻帶衰減略小于20dB。 對大多數(shù)應(yīng)用場合，阻帶衰減如此小的濾波器是不 能令人滿意的。 增大阻帶衰減三種方法： 1）加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。 例如在本例中可在k=9和k=24處各增加一個過渡帶 采樣點H9=H24=0.5，使過渡帶寬增加到二個頻率采樣間 隔4/33，重新計算的H(ej)見圖4.12(c)，其阻帶衰減增加 到約 -40dB。 第14頁/共23頁 第15頁/共23頁 2）過渡帶的優(yōu)化設(shè)計 根據(jù)H(ej)的表達(dá)式，H(ej)是Hk的線性函數(shù)

10、，因此還可 以利用線性最優(yōu)化的方法確定過渡帶采樣點的值，得到要求 的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個過渡帶值）。 例如，本例中可以用簡單的梯度搜索法來選擇H9、H24,使通 帶或阻帶內(nèi)的最大絕對誤差最小化。 要求使阻帶內(nèi)最大絕對誤差達(dá)到最小（也即最小衰減達(dá) 到最大），可計算得H9=0.3904。對應(yīng)的 H(ej)的幅頻特性， 比H9=0.5時 的阻帶衰減大大改善,衰減約-50dB。如果還要進(jìn) 一步改善阻帶衰減，可以進(jìn)一步加寬過渡區(qū)，添上第二個甚 至第三個不等于0的頻率取樣值，當(dāng)然也可用線性最優(yōu)化求取 這些取樣值。 第16頁/共23頁 3）增大N 如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡帶

11、寬，可 增加采樣點數(shù)N。 例如，同樣邊界頻率c=0.5 , 以N=65采樣，并在k=17和 k=48插入由阻帶衰減最優(yōu)化計算得到的采樣值H17=H48=0.5886, 在k=18、47處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計算獲得的采樣值 H18=H47=0.1065 , 這時得到的 H(ej)， 過渡帶為6/65，而阻帶衰 減增加了20多分貝，達(dá)-60dB以上，當(dāng)然，代價是濾波器階數(shù)增 加，運算量增加。 第17頁/共23頁 N=65;k=0:(N-1)/2; Wm=2*pi*k./N; Ad(1:(N+1)/2)=1; %幅值 Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;

12、 Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm); Hd=Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) ); %相位在取后半部分時的值要加共軛,幅度要偶對稱 h=real(ifft(Hd); w=linspace(0,pi-0.1,1000); H=freqz(h,1,w); plot(w/pi,20*log10(abs(H);grid; 第18頁/共23頁 第19頁/共23頁 2c ( )0.5H k 210 1111 , k k 25.52 1121111 23 c kN k HH 10 11 10 11 0,1,2,9,10 ( )0.53,8 0 k k j j ek H kek 其他 例2、用頻率采樣法設(shè)計一個線性相位低通濾波器，N=11， ，邊沿上設(shè)計一點過渡帶 試求各點采樣值H(k)。 解：N=11為奇數(shù)，只能是第一種類型濾波器。 頻率間隔為 ，而 （在k=2,3之間）。 為保證通帶指標(biāo)取k=3,8為過渡點（因為必須滿足 ）。從而有 第20頁/共23頁 頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器函數(shù)： h=fir2(M,f,A) f和A分別是指定頻率及其預(yù)期的幅度響應(yīng) f在0,1，1相應(yīng)于奈奎斯特頻率，所以是除以pi 第21頁/共23頁 小結(jié)： 頻率采樣設(shè)計法優(yōu)點： 直接從頻域進(jìn)行