數(shù)值積分的計(jì)算方法論

1、數(shù)值積分本文應(yīng)用插值積分法和逼近論的思想，簡單重述了推導(dǎo)Newton-Cotes公式 和Gauss-Legendre公式的過程，以及這兩個(gè)公式的系數(shù)、精度等問題。并以這兩種數(shù)值積分的求解方法為基礎(chǔ)，應(yīng)用quad、gimss函數(shù)編寫具體Matlab 程序，通過計(jì)算機(jī)軟件計(jì)算出所給題目的近似數(shù)值積分。對二者所得的結(jié)果進(jìn) 行比較，從而研究了用Newton-Cotes和Gauss-Legendre公式求積分的方法和 二者的精確度問題。得知，這兩種求積公式所得的結(jié)果在精度上的確存在差異, 結(jié)合理論部分更加充分地說明了，n相同時(shí)Gauss-Legendre公式比 Newton-Cotes公式具有更高的代數(shù)

2、精度，但當(dāng)代數(shù)精度相同時(shí)，二者計(jì)算的結(jié) 果仍存在細(xì)微的差異。理論依據(jù)逼近論一一構(gòu)造一個(gè)簡單函數(shù)p(X)近似表示f(X),然后對p(X)求積分得到 f(x)的積分的近似值?；诓逯翟?，推導(dǎo)出數(shù)值積分的基本公式。 1插值求積公式為了用數(shù)值方法求,對被積函數(shù)f(x)在給定的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn) 上作Lagrange插值，用插值函數(shù)Pn(x)代替f (x),就可用I (Pn(x)構(gòu)造求積 公式，近似地計(jì)算定積分I (f(x)o 2Newton一Cotes 公式 2. INewton一Cotes 公式的推導(dǎo)當(dāng)1.1插值求積公式的插值節(jié)點(diǎn)為等距節(jié)點(diǎn)時(shí)，就得到Newton-Cotes公 式。h _ b _ ci將

3、區(qū)間a, bln等分，? 一 , n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)為xk=a+kh (k=0, 1, , n)在節(jié)點(diǎn)上對f (x)的Lagrange插值多項(xiàng)式是：n n r_ Y皿)=工(口)心)k=Q y=0 X# X.用匕(X)代替f(x)構(gòu)造求積公式:亠)/(“)厶 k=0 j=0 Xk Xjyk=fxk)(k=o, l,-,n)作代換XF+th帶入上式，變?yōu)?其中:UJ = 0,ink(k二0, 1, , n)(1-1)這個(gè)積分是有理多項(xiàng)式積分，它與被積函數(shù)f(x)和區(qū)間a,b無關(guān)。只要確定n就能計(jì)算出系數(shù)G。于是得到稱為NewtonCotes公式的求積公式：In=(b-a)Cyk0 (1-2)其中5稱為

4、NewtonCotes系數(shù)。如表1所示。表 1 Newton otes 系數(shù)n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28825/9625/14425/14425/9019/288641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840 2. 2Newton一Cotes公式誤差和穩(wěn)定性在積分公式中用插值多項(xiàng)式Pn(x)代替f(x)的插值誤差是心 = /一幾=(X 一母)( + 1)!篙因此，NewtonCotes公式的截?cái)嗾`差是（1-3）討論舍入誤差對計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生的影響，設(shè)(1-2)式近似計(jì)算f(X)

5、dX 其中計(jì)算函數(shù)值有誤差值J(20,1,2,n)。在(1-2)式中令 f(x) = l,pn(x) = l)kS計(jì)算C；無誤差，舍入誤差也忽略，則，由(1-2)式計(jì) 算時(shí)J引式的誤差為en=(b-a)jCf(xk) 一 C嚴(yán)(/g) + ) = -(b - g%。+. + 勺乜 JJt=ok=Orne = max Ie.I le)J -如果Ck皆為正，并設(shè)0k8時(shí)，Q將出現(xiàn)負(fù)數(shù)，這時(shí)，數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性不能保證，所以節(jié) 點(diǎn)超過8時(shí)NewtonCotes公式不能用。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，NewtonCotes積分公式具有n+1次代數(shù)精度。 2. 3 經(jīng)典 Newton一Cotes 公式當(dāng)n=4, 5點(diǎn)公

6、式稱為經(jīng)典NewtonCotes公式C =祝-(7/(心)+ 32/(xJ + 12/(耳)+ 32/g) + 7/(兀)兒=fgl” = (b-a)CykR(f(x)三 1, p”(x) = 1 a C = 1*=0k=0b a其中xk = a + k (k=o,l,4),它具有5次代數(shù)精度。 3 Gauss-Legendre 求積公式在積分區(qū)間a, b內(nèi)對積分節(jié)點(diǎn)不作限制，不取等距，積分節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù) 都作為待定未知量。通過適當(dāng)選擇節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)，能構(gòu)造更有效的高精度求積 公式。3.1計(jì)算叫階求積公式若”有m次代數(shù)精度，對H （20,1,）應(yīng)有nZ m + 1 A/ ：i = 0rb=J

7、xmdxbk + 1-ak+1k+ 1) !&礦列：嚴(yán)dx而匸03.2 Gauss求積公式的基本原理 更-般形式：心）=伽dxJ以）為權(quán)函數(shù)，設(shè)（“）0,且在a, b上可積，構(gòu)造n階求積公式:=&/(兀)1=0(2-2)積分點(diǎn)兀兀使得（2-2）式達(dá)到2n+l次代數(shù)精度，則積分點(diǎn)稱為Gauss點(diǎn), （22）式稱為Gauss求積公式。 3. 3 Gauss-Legendre 求積公式求積分1丿皿,權(quán)數(shù)。（切二1,1,1cnJ f （x）dx / （xi）11=1其中兀（i二0,1,n）是n+1階Legendre多項(xiàng)式幾+山“）的零點(diǎn)，求積系數(shù)為：4（X7,）加（兀）（口，1,，“）具體Gauss-

8、Legendre公式的插值節(jié)點(diǎn)和系數(shù)見表2 （其中n為插值節(jié)點(diǎn)個(gè) 數(shù)，Xi為積分點(diǎn)，4為對應(yīng)積分點(diǎn)的系數(shù)）。表二Gauss-Legendre公式的插值節(jié)點(diǎn)和系數(shù)nnA00200.568888888891 0.577350269215 0.932469514200.577459666920.555555556 0.66120938650.360761537000.8888888889 0.23861918610.46791393463 0.86113631160.34785484516 0.94910791230.1294849662 0.33998104360.652

9、1451549 0.74153118560.27970539154 0.90617984590.2369268851 0.40584515140.3818300505 0.53846931010.478628670500.4179591837對一般區(qū)間a,b上的積分/(“)，通過代換:x= -(a + b) +(b-a)t dx= -dt2 2 2將* W切轉(zhuǎn)換到G 71 o再用Gauss-Legendre求積公式:a + bI-b-ciTt)dt進(jìn)行積分求解第1章問題描述用NewtonCotes公式、Gauss-Legendre求下列積公式計(jì)算積分，并比較 結(jié)果：亠xJo 1 + X時(shí)1-+

10、 sin訟第2章問題分析題目給出的是用NewtonCotes公式、Gauss-Legendre求。1 +兀 積分的22問題，為了實(shí)現(xiàn)題目要求，應(yīng)編寫Matlab程序，實(shí)現(xiàn)計(jì)算被積函數(shù)1+X在積 分區(qū)間0,1的積分，得到最終結(jié)果。最后將二者得到的結(jié)果進(jìn)行比較，得出關(guān) 與NewtonCotes公式、Gauss-Legendre求積公式精確度的結(jié)論。第3章求解計(jì)算 INewton一Cotes公式求解的Mat lab程序 1. 1方法1：(1)在Mat lab I作窗口中：fn=inline ( 2/ (1+x. 2);yl=quad8 ( fn , 0, 1)運(yùn)行結(jié)果為:yl=l. 5078(2)在

11、Mat lab工作窗口中：fn=inline ( (1-1/2* (sin (x). 2). (1/2);y2=quad8 ( fn, 0, pi/2)運(yùn)行結(jié)果為：y2 = 1. 3506 1. 2方法2：(1) 建立M文件：function f=fn(x)f二2./(l+x. 2)在Mat lab工作窗口中調(diào)用函數(shù)：yl=quad8 ( fn , 0, 1)運(yùn)行結(jié)果為yl=l. 5078(2) 建立M文件：function f=fn(x)f=(1-1/2*(sin(x). 2). (1/2)在Mat lab工作窗口中調(diào)用函數(shù)：y2=quad8 ( fn, 0, pi/2)運(yùn)行結(jié)果為：y2 =

12、 1. 3506 2 Gauss-Legendre求積公式求解的Mat lab程序 2. 1 Gauss-Legendre 方法的一些準(zhǔn)備Gauss-Legendre：= f (XJ/=0具有2n+l次代數(shù)精度。當(dāng)n二2時(shí)，3階Gauss-Legendre公式必(“)在-1, 1上有三個(gè)零點(diǎn):xo=O. 7745967X1=0x2=-0.7745967即為高斯點(diǎn)發(fā)，對應(yīng)的Gauss求積系數(shù)為：人=0.55555556 兔=0.88888889 人=0.55555556對于任意區(qū)間(有界區(qū)間)a,b,將xwS，切轉(zhuǎn)換到蟲再用x= - (a + b) +(b-a)t2 2J：/(x)dx =a +

13、 b2b-cirt)dt進(jìn)行積分求解 2. 2 n=2 的 Gauss-Legendre 方法(1)先建立M文件：function g二gauss2(fun, a, b)h= (b-a)/2;c 二(a+b)/2;x二h*(-0. 7745967)+c, c, h*0. 7745967+c;g二h* (0. 55555556* (gaussf(x(1)+gaussf(x(3)+0.88888889*gaussf(x(2);function y二gaussf(x);y=2. / (1+x. 2);在Mat lab工作窗口中調(diào)用函數(shù)：yl=gauss2 (J gaussf , 0, 1)運(yùn)行結(jié)果為

14、：yl=l. 5705(2)先建立M文件：function g二gauss2(fun, a, b)h= (b-a)/2;c 二(a+b)/2;x二h*(-0. 7745967)+c, c, h*0. 7745967+c;g二h* (0. 55555556* (gaussf(x(1)+gaussf(x(3)+0.88888889*gaussf(x(2);function y二gaussf(x);y=(1-1/2*(sin(x). 2). (1/2);在Mat lab工作窗口中調(diào)用函數(shù)：y2二gauss2( gaussf，, 0, pi/2)運(yùn)行結(jié)果為：y2= 1. 3508第4章結(jié)論通過以上變成和計(jì)算，得到所求的兩組積分： （壽x計(jì)冷sin訟應(yīng)用NewtonCotes積分公式所求的結(jié)果分別是yl=l. 5078, y2 = 1. 3506, 而應(yīng)用Gauss-Legendre方法所求得的結(jié)果分別是yl=l. 5705和y2= 1. 3508。單 從結(jié)果上看，我們也能看出，NewtonCotes積分公式和Gauss-Legendre積分 公式在精度上的確存在著差異（兩者n的取值不同）。而結(jié)果上的差異來源很明 顯是插值積分在近似替代時(shí)產(chǎn)生的，結(jié)合第1章理論依據(jù)的內(nèi)容,Newton-