求解線性方程組的迭代解法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 求解線性方程組的迭代解法求解線性方程組的迭代解法 第1頁(yè)/共65頁(yè) ), 2 , 1 , 0( )() 1( kgMxx kk 第2頁(yè)/共65頁(yè) 第3頁(yè)/共65頁(yè) xx xxxx x Rxxxx k k kk k k nTk n kkk )( )()( )( )()( 2 )( 1 )( lim ,0lim ,),( 記為 收斂于則稱序列 有：如果對(duì)任何向量范數(shù)都對(duì)向量序列 設(shè)向量 第4頁(yè)/共65頁(yè) ), 2 , 1( lim )( )( nixxx RxR i k i k nkn 當(dāng)且僅當(dāng) 向量 中的收斂于中的向量序列 ), 2 , 1( lim ), 2 , 1( 0lim ma

2、x01 0lim, 1 )( )( )()( 1 )( )()( nixx nixx xxxxxxni xxxx i k i k i k i k k j k j nj i k i k k k 亦即 由極限存在準(zhǔn)則得： ，有：而對(duì)任意的 即：收斂于由定義證明 第5頁(yè)/共65頁(yè) AAAA AA nAnA k k k k k k )()( )( )( lim, 0lim 記為收斂于矩陣則稱序列 任何矩陣范數(shù)都有： 階方陣，如果對(duì)于為階方陣序列，為設(shè) ), 2 , 1, 2 , 1( lim , )(), 2 , 1)( )()( )( )()( njni aaAA nA naAkaA ij k ij

3、 k k k ij k ij k ， 收斂于且矩陣序列 階方陣均為則矩陣序列 階方陣均為設(shè) 第6頁(yè)/共65頁(yè) 1)-(4 2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa n j ijij nibxa 1 ),2 , 1( nnnnnnininnn nn nn abxaxaxaxax abxaxaxax abxaxaxax / ) ( / ) ( / ) ( 112211 22223231212 11113132121 第7頁(yè)/共65頁(yè) ), 2 , 1(/ ), 2 , 1,( / niabgnjijiaab iiiiii

4、ijij ，其中 4)-(4 ) , 2 , 1 , 0( )()1( kgBxx kk 3)-(4 ), 2 , 1( )( 1 1 )( 1 1 )() 1( nibxaxa a x i n ij k jij i j k jij ii k i 24 / ) ( / ) ( / ) ( )( 11 )()( 22 )( 11 ) 1( 222 )( 2 )( 323 )( 121 ) 1( 2 111 )( 1 )( 313 )( 212 ) 1( 1 nnn k nnn k ini k n k n k n k nn kkk k nn kkk abxaxaxaxax abxaxaxax ab

5、xaxaxax 第8頁(yè)/共65頁(yè) bDgADIB 11 , ) 1 , 1 , 1 (),( 2211 122 11 2211 nn nn nn aaa diagD a a a aaadiagD ， 第9頁(yè)/共65頁(yè) bxULDxbxULDbAx)()( 則方程組 )()( )( )( 5)-4( )( 11 11 11 11 ULDULDII ULDDIADIB ULDA bDgULDB bDxULDx 則則： 實(shí)實(shí)際際上上，若若： 即即迭迭代代矩矩陣陣： 得得到到等等價(jià)價(jià)方方程程組組： 0 0 0 0 0 0 0 0 , 1 223 11312 121 3231 21 nn n n nnn

6、n a aa aaa U aaa aa a L 第10頁(yè)/共65頁(yè) 425 83210 72210 321 321 321 xxx xxx xxx 6)-(4 )42( 5 1 )832( 10 1 )722( 10 1 )( 2 )( 1 )1( 3 )( 3 )( 1 )1( 2 )( 3 )( 2 )1( 1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 7)-(4 4 . 8 3 . 8 2 . 7 02 . 02 . 0 2 . 001 . 0 2 . 01 . 00 )()1( kk xx 其其矩矩陣陣形形式式為為： 50.11 70.10 71. 9 4 . 8 3 . 8 2

7、 . 7 8.4 3 . 8 2 . 7 02 . 02 . 0 2 . 001 . 0 2 . 01 . 00 )8.4 , 3 . 8 , 2 . 7( )1()2( )0()1( gBxx gBxx T 第11頁(yè)/共65頁(yè) 第12頁(yè)/共65頁(yè) :,)( , , ,., , , , , )( 1 )( 2 )( 1 ) 1( 1 ) 1( 2 ) 1( 1 ) 1( 1 ) 1( 2 ) 1( 1 ) 1() 1( 1 ) 1( 2 其迭代格式為迭代法 塞德?tīng)柗Q為高斯據(jù)此想法構(gòu)造的迭代法似解向量即可 要存貯一個(gè)近可能收斂更快并且只需對(duì)應(yīng)的舊分量進(jìn)行迭代 分量便立即用它取代如果每計(jì)算出一個(gè)新

8、的因此更準(zhǔn)確一些好 更應(yīng)比舊值這些新值情況下 在收斂的從直觀上看被利用這些前面的最新分量未已經(jīng)算出 時(shí)計(jì)算已經(jīng)算出時(shí)即在計(jì)算 加充分利用對(duì)已經(jīng)算出來(lái)的信息未迭代過(guò)程中但在 SeidelGauss xxxxxx xxxxxx Jacobi k i kkk i kk k i kkk i kk 第13頁(yè)/共65頁(yè) bUxxLD bUxLxDx bDUxLxDx kk kkk kkk )()1( )()1()1( 1)()1(1)1( )( )( 其矩陣形式為： ) ( 1 )83( ) ( 1 ) ( 1 )1( 11 )1( 22 )1( 11 )1( 2 )( 2 )( 323 )1( 121

9、22 )1( 2 1 )( 1 )( 313 )( 212 11 )1( 1 n k nnn k n k n nn k n k nn kkk k nn kkk bxaxaxa a x bxaxaxa a x bxaxaxa a x bLDUxLDx kk1)(1)1( )()( : 得等價(jià)的迭代格式 ULDM SeidelGauss 1 )( 法的迭代矩陣為：即： 9)-(3 ), 2 , 1( )( 1 1 11 )() 1() 1( nibxaxa a x i j n ij i k jij k jij ii k i 其分量形式為 第14頁(yè)/共65頁(yè) 10)-(4 5/ )42( 10/ )

10、832( 10/ )722( ) 1( 2 ) 1( 1 ) 1( 3 )( 3 ) 1( 1 ) 1( 2 )( 3 )( 2 ) 1( 1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 第15頁(yè)/共65頁(yè) 500/42500/110 100/22100/ 10 10/210/ 10 000 200 210 5/ 150/ 1500/11 10/ 1100/ 1 10/ 1 )( 5/ 150/ 1500/11 10/ 1100/ 1 10/ 1 )( 511 101 10 )( 1 1 1 1 ULDM LDLD ULDM 則： 其中： ：可利用方法 第16頁(yè)/共65頁(yè) )2)2( 10

11、 1 ( 10 1 )2( 10 1 )( 3 )( 3 )( 2 )( 3 )1( 1 )1( 2 kkkkkk xxxxxx 11)-(4 100 22 100 1 )( 3 )( 2 1)( 2 kkk xxx )(, 11)-(4 , )1( 2 )1( 1 不不管管常常數(shù)數(shù)將將右右端端上上標(biāo)標(biāo)都都化化為為代代入入 分分別別以以第第一一個(gè)個(gè)式式子子及及將將第第三三個(gè)個(gè)式式子子中中右右端端的的 k xx kk 10/)2( 3 )( 2 )1( 1 kkk xxx 第17頁(yè)/共65頁(yè) ) 100 22 100 1 )2( 10 1 ( 5 1 )( 5 1 )( 3 )( 2 )( 3

12、)( 2 )1( 2 )1( 1 )1( 3 kkkk kkk xxxx xxx 12)-(4 500 42 500 11 )( 3 )( 2 )1( 3 kkk xxx 500 42 500 11 0 100 22 100 1 0 10 2 10 1 0 M 第18頁(yè)/共65頁(yè) ), 2 , 1( )( 1 )()1( 1 1 )()1( nixaxab a xx n ij k jij k j i j iji ii k i k i 13)-(4 )( 1 )( 1 1 )1()( n ij k jij i j k jiji ii k i xaxab a x記記 ), 2 , 1( )()()

13、1( nixxx k i k i k i 則： 第19頁(yè)/共65頁(yè) 迭代格式為：修正量改為 松馳法是將得到的一修正量 上加看作是在可以將 , . )( )( )()1( k i k i k i k i x x xx )144(), 2 , 1( )()()1( nixxx k i k i k i 第20頁(yè)/共65頁(yè) ), 2 , 1 , 0 , 2 , 1( 15)-(4 )()(1 )( 1 )( 1 1 )1()( )( 1 1 )1()()1( kni xaxab a x xaxab a xx n ij k jij i j k jiji ii k i n ij k jij i j k j

14、iji ii k i k i bLDxUDLDx bxUDxLD UxLxbxDDx UxLxbDxx kk kk kkkk kkkk 1)(1)1( )()1( )()1()()1( )()1(1)()1( )()1()( : )1()( )1 ( )()1 ( 得到 )1()( 1 UDLDM 第21頁(yè)/共65頁(yè) 56.1)18.1(7.04.0 1)11(7.04.0 1)11(7.04.0 )1 ,1 ,1( ),2,1 ,0( )8.1(7.04.0 )(7.04.0 )1(7.04.0 )154( )1( 3 )1( 2 )1( 1 )0( )1( 2 )( 3 )1( 3 )(

15、3 )1( 1 )( 2 )1( 2 )( 2 )( 1 )1( 1 x x x x k xxx xxxx xxx T kkk kkkk kkk 代代入入 ，有有：解解：由由迭迭代代 8 . 12 02 12 32 321 21 xx xxx xx 第22頁(yè)/共65頁(yè) 第23頁(yè)/共65頁(yè) 6001. 1,3996. 1,2000. 1 )9( 3 )9( 2 )9( 1 xxx 誤差為比較與精確解,)6 . 1 , 4 . 1 , 2 . 1 ( T x 3)9( 10 2 1 0004. 0 xx 第24頁(yè)/共65頁(yè) 的譜。稱為矩陣A A n i ni ),( max)( 21 1 因此有：

16、 的譜是矩陣出由特征值的定義容易得 ), 2 , 1)(,( , 21 k AAAA k n kk k 16)-(4 )()( kk AA 第25頁(yè)/共65頁(yè) AxAx x 0 17)-(4 )(AA xAAxxAxx 相容性 第26頁(yè)/共65頁(yè) AA )( 18)-(4 )( AA 2 )(AA 1)(0lim AAnA k k 充要條件 階方陣，則：為設(shè) 第27頁(yè)/共65頁(yè) 0lim 0limlim 1 2 )(1 )( )184( 0 2 )(1 1)()( k k k k k k k k A AA AA A AA A A 所所以以有有 于于是是 而而 存存在在一一種種矩矩陣陣范范數(shù)數(shù)使

17、使得得由由 取取若若充充分分性性 1)( 0)(lim, )()(0)174()164( 0lim20lim)( A A AAA AA k k kkk k k k k 所所以以 有有于于是是由由極極限限存存在在準(zhǔn)準(zhǔn)則則 有有及及而而利利用用 有有由由定定義義若若必必要要性性 第28頁(yè)/共65頁(yè) 1)( 3 0lim 0*)(lim*)(lim *)( *)( *)( * 194* *lim )0( )()0()( )0()2(2 )1()1()( * )(* M M nx xxxxM xxMxxM xxMgMxgMxxx gMxxx xxxn K k k k k k kk kkk k k 有由

18、定理 必然有：維向量，因此上式成立為任意因?yàn)?有于是 ），有：，由迭代公式（滿足：則： ，使得：維向量）設(shè)存在（ 19)-(4 ), 2 , 1 , 0( )()1( kgMxx kk 1)( )( Mx k 充分必要條件 收斂產(chǎn)生的向量序列 第29頁(yè)/共65頁(yè) 收收斂斂。）產(chǎn)產(chǎn)生生的的向向量量序序列列這這表表明明：由由迭迭代代式式（ ，都都有有：所所以以，對(duì)對(duì)任任意意初初始始向向量量 又又因因?yàn)闉?并并且且 即即：記記為為有有唯唯一一解解方方程程組組 維維向向量量于于是是對(duì)對(duì)任任意意因因而而有有 的的特特征征值值不不是是矩矩陣陣則則若若反反之之 194 0*)(lim*)(lim *)(*)

19、(* 0lim *,)( ,0 1, 1)(,)( )( )0()( )0( )0()1()( k k k k k kkk k k x xxMxx x xxMxxMxx M gMxxxgxMI gnMI MM 收斂若條件下在定理 )( 1,4 k xM 第30頁(yè)/共65頁(yè) 20是松馳法收斂的必要條件 20 1)1()det( )1()1( 1 )( )1()()det( 1)det( 4)()det( , 2211 2211 1 1 21 21 ，即即：因因此此有有： 且且 而而 ，又又因因?yàn)闉椋?松松弛弛法法收收斂斂必必有有： ，由由定定理理因因?yàn)闉椋?有有特特征征值值矩矩陣陣證證明明：設(shè)設(shè)

20、松松弛弛法法的的迭迭代代 n nn n nn n n n M aaaUD aaa LD UDLDM M MM M 第31頁(yè)/共65頁(yè) 322 2 122 321 321 321 xxx xxx xxx 設(shè)設(shè)線線性性方方程程組組： 022 101 220 322 2 122 )( 2 )( 1 ) 1( 3 )( 3 )( 1 ) 1( 2 )( 3 )( 2 ) 1( 1 B xxx xxx xxx kkk kkk kkk 的迭代式：可由原方程組得到等價(jià) 第32頁(yè)/共65頁(yè) 022 101 220 000 100 220 022 001 000 1 1 1 )( 11 ULDADIB也可利用

21、迭代法收斂所以 所以下面求特征方程：無(wú)法判定由于 JacobiB BI B 10)( 00 22 11 22 )det( ,1 321 3 第33頁(yè)/共65頁(yè) 法發(fā)散故 ，其特征方程：顯然： 由： SGM MI M ULDM LDLD 12)(, 2, 0 0)2( 200 320 22 )det( 1| 200 320 220 000 100 220 120 011 001 )( 120 011 001 )( 122 011 001 )( 321 2 1 1 第34頁(yè)/共65頁(yè) 200 320 220 541 (5) 2)32(2222 341 (4) 3222 21 (3) 22 (2)

22、) 1 ( 22 1 )( 3 )( 3 )( 2 )( 3 )( 2 )1( 3 )( 3 )( 2 )( 3 )( 3 )( 2 )1( 2 )1( 2 )1( 1 )1( 3 )( 3 )1( 1 )1( 2 )( 3 )( 2 )1( 1 M xxxxxx xxxxxx xxx xxx xxx kkkkkk kkkkkk kkk kkk kkk ）合起來(lái)可得迭代陣：）、（）、（由（ ）的右端得：）代入（）和（將（ ）的右端得：）代入（將（ 由迭代式： ：代入法求迭代矩陣。方法 第35頁(yè)/共65頁(yè) 的特征值。因而可由此式求解 等價(jià)于因此 由于 因?yàn)椋?可避開(kāi)求逆矩陣 的特征值法迭代陣求：

23、方法 M ULDMI LD ULDLD ULDLDLDMI LD ULDM 0)(det(0)det( 0)det( )(det()det( )()()det()det( )( )( S-G 2 1 1 11 1 1 第36頁(yè)/共65頁(yè) ),2, 1( )( 1 niaaaAn n ij j ijiiij 滿足：階方陣若 第37頁(yè)/共65頁(yè) 511 2101 2110 A 210 121 012 A 第38頁(yè)/共65頁(yè) 的的收收斂斂性性。討討論論用用三三種種迭迭代代法法求求解解 ， 其其中中：組組 設(shè)設(shè)有有線線性性方方程程 12/12/1 2/112/1 2/12/11 , A bAx 均收斂

24、與松馳法 迭代法所以為對(duì)稱正定陣 且其各階主子式為稱陣因?yàn)檫@里 )20( ,0 0 12/1 2/11 , 1, 3 21 SGAAA AAA 第39頁(yè)/共65頁(yè) 迭代法不收斂。 因而 ，其特征方程：對(duì)任何一種范數(shù)顯然 Jacobi B BI B ULDADIB 1)(, 1, 2 1 0) 1() 2 1 ( 4 3 4 1 2/12/1 2/12/1 2/12/1 )det( 1, )( 02/12/1 2/102/1 2/12/10 321 23 11 第40頁(yè)/共65頁(yè) 04/34/3 4/304/3 4/34/30 B 迭迭代代法法求求解解的的收收斂斂性性。迭迭代代法法與與討討論論

25、， 其其中中：組組 設(shè)設(shè)有有線線性性方方程程 SGJacobi A bAx 14/34/3 4/314/3 4/34/31 , 迭代法不收斂。迭代法不收斂。所以所以因而因而 中有一個(gè)根，中有一個(gè)根，在在所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?所以下面求特征方程：所以下面求特征方程：無(wú)法判定無(wú)法判定由于由于 JacobiB fff BIf B i , 1max)( )2, 1(0)(, 32 121 )2(, 0 32 49 )1( 0 32 27 16 27 4343 4343 4343 )det()( ,1 3 第41頁(yè)/共65頁(yè) 0 64 45 64 9 0 16 3 16 9 0 4 3 4 3 )det()

26、( 1| 64 45 64 9 0 16 3 16 9 0 4 3 4 3 0 000 4 3 00 4 3 4 3 0 1 4 3 4 3 01 4 3 001 )( 1 1 MIf M ULDM ，其特征方程：，其特征方程：顯然：顯然： 迭代法收斂。迭代法收斂。所以所以 因此因此 ）（即即 ， SG B i f i , 1650. 014606330max)( 14606330, 0 0 64 27 64 81 )( 22 321 2 第42頁(yè)/共65頁(yè) 法均收斂。迭代法與，對(duì)方程組： 為嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)陣顯然， 其中：序可得其同解方程組：但若交換兩個(gè)方程的次 這兩種方法均不收斂。 它們的譜

27、半徑分別為迭代法的迭代陣迭代法與分別為與 SGJacobibxA A AbxA MB SGJacobiMB MBA 103 49 , 2 15 )(, 2 30 )( , 2 15 0 3 10 0 , 04/9 3/100 49 103 第43頁(yè)/共65頁(yè) 無(wú)無(wú)法法判判定定而而 接接近近于于但但收收斂斂法法對(duì)對(duì) 1 64 93648 64 9 16 9 4 3 )1 16 13 (1 16 13 16 9 4 1 : 16/164/90 4/116/90 04/30 04/10 4/104/3 04/30 410 143 034 1 M MSG MB A 第44頁(yè)/共65頁(yè) 22)-(4 l

28、n )1( ln 21)-4 ( 1 * 20)-(4 1 * *, , 1 )0()1( )0()1()( )1()()( )( )()1( M xx M k k xx M M xx xx M M xx xx MgMxx k k kkk k kk ：次次數(shù)數(shù)，可可以以估估計(jì)計(jì)需需要要迭迭代代的的并并且且對(duì)對(duì)預(yù)預(yù)先先給給的的精精度度 及及 則則有有誤誤差差估估計(jì)計(jì)式式：收收斂斂于于 若若，設(shè)設(shè)有有迭迭代代格格式式： 第45頁(yè)/共65頁(yè) 932.12 4 .8 )4 .0(10 ln 4 .0ln 1 4 .8, 4 .0 4 .8 3 .8 2 .7 , 0 0 0 , 02 .02 .0 2

29、 .001 .0 2 .01 .00 4 )0()1( )1()0( k xxB xxB 第46頁(yè)/共65頁(yè) 無(wú)論是用直接法還是用迭代法求得病態(tài)方程組的計(jì)算 解, 當(dāng)精度不理想時(shí) ， 可以使用迭代改善的辦法進(jìn)行處理，即 使用迭代改善法 此法常用于解不十分嚴(yán)重病態(tài)的方程組 。 迭代改善法迭代改善法 ： （2）也可與直接法結(jié)合進(jìn)行直接求解 。 （1）可用于改善已求得的近似爭(zhēng)的精度， 1. 對(duì)Ax=b 用列主元消元法，分解法均可，分解法（選分解法（選 主元）最好。主元）最好。 即即 ： )1( x yUx bLy LUA 具體步驟為：具體步驟為： 第47頁(yè)/共65頁(yè) 2. 求x(1)的修正量z(1)

30、 ：先求 )1()1( Axbr 然后由 )1( )1( zz yUz rLy LUA 利利用用 即可即可的解。 而 )1()1()2( zxx就是近似解x(1)的改進(jìn)解改進(jìn)解. 這是因?yàn)橛羞@是因?yàn)橛?： bAzrbAzAxzxAAx )1()1()1()1()1()1()2( )( 3. 可繼續(xù)下去：再求; )3()2()2( xzr )1()1( rAz 求求出出 第48頁(yè)/共65頁(yè) 例例1： 002755853. 0 006324242. 0 0068525. 2446949. 1 446949. 1012671. 1 2 1 x x 14 .11508)( 01.94341.1347

31、41.134723.1926 1 ACondA 與準(zhǔn)確解 )1( )9786. 6,9773. 9( xx T T x)9059. 5,4448. 8(* 若用Gauss消元法求解（取五位有效數(shù)字） 比較，相差太遠(yuǎn)。 第49頁(yè)/共65頁(yè) 若用迭代改善法：若用迭代改善法： K )(k x )(k r 0 0 0 0 0 1 9.9773 6.9786 0.0063242 0.0027559 2 8.1665 5.7110 0.00028017 0.0015411 3 8.4954 5.9413 0.00012774 0.0038975 4 8.4356 5.8994 0.00024094 0.0

32、00072077 第50頁(yè)/共65頁(yè) 0 0 1 2000. 02500. 03333. 0 2500. 03333. 05000. 0 3333. 05000. 00000. 1 3 2 1 3 x x x H 例例2 Hilbert 陣陣 較準(zhǔn)確的解為 T x)30.30,32.36,062. 9(* T x)00.31,04.37,190. 9( )1( 若用列主元法求得近似解： 對(duì)x(1)用迭代改善法進(jìn)行改進(jìn)：先求 30.30 32.36 062. 9 2000. 02500. 03333. 0 2500. 03333. 05000. 0 3333. 05000. 00000. 1 0

33、 0 1 )1()1( Axbr 第51頁(yè)/共65頁(yè) 003027. 0 000432. 0 002300. 0 003027. 0 000432. 0 002300. 1 0 0 1 )1()1( Axbr 用Doolittle分解法求解 )1()1( rAz T z)7122. 0,7320. 0 ,1309. 0( )1( x(3)顯然已具有四位有效數(shù)字 T zxx)29.30,31.36,059. 9( )1()1()2( T Axbr)0001353. 0 ,0001230. 0 ,0003430. 0( )2()2( )2()2( rAz T z)01289. 0 ,01349.

34、0,0027792. 0( )2( T zxx)30.30,32.36,062. 9( )2()2()3( 可計(jì)算 可繼續(xù)求： 并由Dolittle分解法解 可得 第52頁(yè)/共65頁(yè) 0),( 0),( 0),( 21 212 211 nn n n xxxf xxxf xxxf 第53頁(yè)/共65頁(yè) nixxxgx nii ,2,1 ),( 21 , 2 , 1 . 0 ;, 2 , 1 ),( )()( 2 )( 1 ) 1( knixxxgx k n kk i k i 并建立迭代格式 第54頁(yè)/共65頁(yè) )()( )()( 2 )( 1 )()( 2 )( 1 )(0)( ),()( 0)(

35、),( k ii k i Tk n kk Tk n kk xxxxF TaylorxxxxF xFxxx ：線性化的近似的線性方程組可得 分展式展開(kāi)后取其線性部處用多元函數(shù)在將 的一組近似解是非線性方程組設(shè) n j k j j nk n kk n n j k j j k n kk n j k j j k n kk x x f xxxf x x f xxxf x x f xxxf 1 )()()( 21 1 )(2)()( 2 )( 12 1 )(1)()( 2 )( 11 0),( 0),( 0),( )( )( )()(: )( ! 2 )( )()()( )( 0)( 1 2 k k kk

36、 kkk k k kkk k xf xf xxx xxxfxf xx xf xxxfxfxf xxf Newtonxf 取線性部分 展開(kāi)：在將 法：的可對(duì)照求 ),( ),( ),( )()( 2 )( 1 )()( 2 2 )( 1 1 )()( 2 )( 12 )( 2 )( 2 2 2 )( 1 1 2 )()( 2 )( 11 )( 1 )( 2 2 1 )( 1 1 1 k n kk n k n n n k n k n k n kkk n n kk k n kkk n n kk xxxfx x f x x f x x f xxxfx x f x x f x x f xxxfx x f

37、 x x f x x f 第55頁(yè)/共65頁(yè) Tk n kkkk k n nnn n n k k xxxxxx xxx f x f x f x f x f x f x f x f x f xF JacobixFxF ),( )( )()( )()( 2 )( 1 )()( )( 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 )( )( 矩陣（系數(shù)矩陣）：的稱為向量函數(shù)其中 次近似解。的第為非線性方程而以 中并從求 中再由方程組解出即可由 方程組有唯一解非奇異則不為對(duì)給定的 構(gòu)成的行列式方程組。當(dāng)系數(shù)矩陣所上述線性方程組稱為 10)( , )(0 )1( )()()1()()()()()1( )

38、()()()( )()( kxFx xxxxxxxxxxx xxxxNewtonx NewtonxFx Newton k kkkkkk i k i k ii k ii k i kk kk )()( )()()(kkk xFxxF可寫(xiě)作向量形式樣 第56頁(yè)/共65頁(yè) 小控制。 相對(duì)誤差充分也可用前后兩次迭代的較大時(shí)當(dāng) ，則可停止迭代。若 若 , max . 2 ),(max)( . 1 )( )() 1( 1 )() 1( ) 1() 1( 2 ) 1( 1 1 ) 1( k k i k i ni kk k n kk i ni k x xxxx xxxfxF 第57頁(yè)/共65頁(yè) )()()(0)

39、( )( ),( ),( 0)()(),( 0)()(),( , , 0),( 0),( )0()0()0( )0( 2 )0( 1 )0( 2 )0( 1)0()0( 2 2 1 2 2 1 1 1 )0( )0( 2 )0( 12 )0( 2 2 2)0( 1 1 2 )0( 2 )0( 11 )0( 2 2 1)0( 1 1 1 )0( 22 2 2)0( 11 1 2)0( 2 )0( 12 )0( 22 2 1)0( 11 1 1)0( 2 )0( 11 )0( 2 )0( 1 )0( 2 )0( 1 212 211 )0( xFxxF f f x x xFxF x f x f x f x f xF xxfx x f x x f xxfx x f x x f xx x f xx x f xxf xx x f xx x f xxf Taylor xxxx xxf xxf xx T 若 取線性部分可得：展式展開(kāi) 附近用二元在初值可將非線性方程組給定對(duì) ，可繼續(xù)迭代作為，以 再由： 也可直接求解出：的逆矩陣的方法求解，可用求 )1( 2 )1( 1 2 1 )0( 2 )0( 22 )0( 1 )0( 11 )0( 22 )0( 2 )0( 01 )0( 1 )0( 2 )0( 10 ,)( x x x x xxx xxx xxx xxx xxxF 第58頁(yè)/共65頁(yè)