兩階段法分析與實(shí)現(xiàn).doc

1、最優(yōu)化方法課程設(shè)計(jì)題目：兩階段法分析與實(shí)現(xiàn)院系：數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)：統(tǒng)計(jì)學(xué)姓名學(xué)號(hào)：張雨坤 16指導(dǎo)教師：李豐兵日期：2015年01月22日摘要常用的解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的方法有圖解法， 單純形法， 對(duì)偶單純形法， 解乘數(shù)法，橢球法等。而本論文即主要闡述的是從屬于單純形法的兩階段法。 兩階段法第一階段是先求解一個(gè)目標(biāo)函數(shù)中只包含人工變量的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題， 當(dāng)?shù)谝浑A段求解結(jié)果表明問(wèn)題有可行解時(shí)， 第二階段是從第一階段的最終單純形表出發(fā)， 去掉人工變量， 并按問(wèn)題原來(lái)的目標(biāo)函數(shù)， 繼續(xù)尋找問(wèn)題的最優(yōu)解， 即是一種為使人工變量被替換出成為非基變量的方法。 與大 M法同時(shí)被廣為使用， 但相較于大M法，兩階

2、段法能夠求的更準(zhǔn)確地結(jié)果。關(guān)鍵詞：線(xiàn)性規(guī)劃；單純形法；兩階段法；大M法AbstractWe usually solve the linear programming problems with graphic method, simplex method and dual simplex method, the multiplier method, ellipsoid method and so paper mainly expounds the two stage method which belongsto simplex method. The first stage of two st

3、age method is used to solve a objective function which only contains artificial variables linear programming problem. When the first phase of solving results show that the problem has a feasible solution, the second stage is from the first stage of the final simplex tableau, remove artificial variab

4、les, and according to the problems of the original objective function, continue to look for the optimal solution of the problem. It is a kind of way to make artificial variables substituted the non variable method. The bigM method is also widely used at the same time, but compared with the big M met

5、hod ,two-phase method can more accurate results.Keywords: ;Linear The bigprogramming；Simplex method;Two M method;stagemethod;目錄1、引言 .12、兩階段法描述 .1基本可行解 .1兩階段法概述 .1兩階段法第一階段 .2兩階段法第二階段 .33、兩階段法求解引例 .4兩階段法計(jì)算步驟 .4例 1 .5例 2 .8引例分析 .94、算法比較 .9大 M法.9算法比較 .10特殊情況 .115、總結(jié) .錯(cuò)誤 ! 未定義書(shū)簽?？偨Y(jié)概括 .12個(gè)人感言 .126、參考文獻(xiàn)：.1

6、31、引言在各種優(yōu)化算法中，兩階段法（ Two stage method）是非常重要的一種。即如果線(xiàn)性規(guī)劃模型中的約束條件系數(shù)矩陣不存在單位向量組，階梯式應(yīng)先加入人工變量，人工構(gòu)成一個(gè)單位向量組，其只起過(guò)渡作用，不應(yīng)影響決策變量的取值，兩階段法即可控制人工變量取值。尋找線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題初始基可行解的一種方法. 把增加人工變量的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題分為Ax xab兩個(gè)階段去求解. 第一階段是構(gòu)造一個(gè)輔助的人工目標(biāo)函數(shù), 即0, xa或x0max Z ( yi ) 。 若原問(wèn)題 有可行 解 , 則 在本階 段的最 終單 純形表中 ,必有 Z0 和yi0(i1,2,L , m) , 并使人工變量均為非基變量.

7、此時(shí) , 劃去人工變量所在的列與人工目標(biāo)函數(shù)所在的行 , 就得到原問(wèn)題的初始可行基對(duì)應(yīng)的單純形表, 進(jìn)入第二階段 .2、兩階段法描述基本可行解當(dāng)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的玉樹(shù)條件全部為“”時(shí)，可按下述方法比較方便的尋找可行解：設(shè)給定線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題為nmaxzcj xjj 1ns.taij xjbi (i1,L, m)j 1x j 0( j1,L, n)在第 i 個(gè)約束條件上加上松弛變量xsi (i1,L , m) ，化為標(biāo)準(zhǔn)形式nmmaxzc j x j0xsij1i 1naij x jxsibi (iL,m)s.t1,j 1x j 0( jL, n)1,a11a12La1n1 0 L0a21a22La2n

8、0 1 L0MMMM MMam1am2Lamn0 0 L1由于這個(gè)系數(shù)矩陣中含一個(gè)單位矩陣(Ps1 ,L , Psm ) ，只要以這個(gè)單位矩陣作為基，就可 以 立 即 解 除 基 變 量 值 xsibi (i1,L ,m) ， 因 為 有 bi0( i1,L , m) ， 由 此X(0,L ,0, b1,L ,bm )T 就是一個(gè)基可行解。當(dāng)線(xiàn)性規(guī)劃中約束條件為“ ”、“ ”時(shí)，化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，一般約束條件的系數(shù)矩陣中不包括有單位矩陣。這是為能方便地找出一個(gè)初始的基可行解，可添加人工變量來(lái)人為地構(gòu)造一個(gè)單位矩陣作為基，稱(chēng)作人工基。先在不等式左端減去一個(gè)大于等于零的剩余變量（也稱(chēng)為松弛變量）化為

9、等式，然后再添加一個(gè)人工變量。解線(xiàn)性規(guī)劃概述兩階段法第一階段是先求解一個(gè)目標(biāo)函數(shù)中只包含人工變量的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題， 即令目標(biāo)函數(shù)中其他變量的系數(shù)取 0，人工便靈的系數(shù)取某個(gè)正的常數(shù)，（一般取 1），在保持原問(wèn)題約束條件不變的情況下求這歌目標(biāo)函數(shù)極小化的解。顯然在第一階段中，當(dāng)人工變量取值為0 的時(shí)候，目標(biāo)函數(shù)值也為0。這時(shí)候的最優(yōu)解就是原線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)可行解，。如果第一階段求解結(jié)果最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值不為 0，也即最優(yōu)解的基變量中含有人工基變量，表明原線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題無(wú)可行解。當(dāng)?shù)谝浑A段求解結(jié)果表明問(wèn)題有可行解時(shí)， 第二階段是從第一階段的最終單純性表出發(fā)，去掉人工變量，并按問(wèn)題原來(lái)的目標(biāo)函數(shù)，繼續(xù)

10、尋找問(wèn)題的最優(yōu)解。兩階段法第一階段兩階段法第一階段是先求解一個(gè)目標(biāo)函數(shù)中只包含人工變量的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題， 即令目標(biāo)函數(shù)中其他變量的系數(shù)取 0，人工便靈的系數(shù)取某個(gè)正的常數(shù)，（一般取 1），在保持原問(wèn)題約束條件不變的情況下求這歌目標(biāo)函數(shù)極小化的解。顯然在第一階段中，當(dāng)人工變量取值為0 的時(shí)候，目標(biāo)函數(shù)值也為0。這時(shí)候的最優(yōu)解就是原線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)可行解。如果第一階段求解結(jié)果最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值不為0，也即最優(yōu)解的基變量中含有人工基變量，表明原線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題無(wú)可行解。兩階段法第一階段是求解第一個(gè)LP。首先我們可以知道，原LP的表達(dá)式為nmin zc j xjj1Axbst.x0其可行域?yàn)閤xD : x

11、DDa0而我們需要一個(gè)輔助的LP，其表達(dá)式為mmin waii 1Axabs.t0, a0x其可行域?yàn)閤D :Dmin w00我們計(jì)算以上輔助LP 有三種可能結(jié)果：1) 、最優(yōu)值 w 0 ，且人工變量皆為非基變量。從第一階段的最優(yōu)解中去掉人工變量后即為原 LP 的一個(gè)基本可行解。作為原LP 的一個(gè)初始基本可行解，再求原問(wèn)題，從而進(jìn)入第二階段。2) 、最優(yōu)值 w 0 ，且存在人工變量皆為基變量，取值為 0 。把某個(gè)非基變量與該人工變量進(jìn)行調(diào)換。3) 、最優(yōu)值 w 0 ，說(shuō)明至少有一個(gè)人工變量不為 0 。原 LP 無(wú)可行解，不需要再做第二階段計(jì)算。兩階段法第一階段目的就是判斷原 LP 有無(wú)可行解，

12、若有，則可得原 LP的一個(gè)初始基本可行解，再對(duì)原 LP 進(jìn)行第二階段的計(jì)算。兩階段法第二階段以第一階段求得最優(yōu)解作為初始基本可行解，再用第一階段求得最優(yōu)解時(shí)的約束條件和原問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行迭代，直到求出最優(yōu)解。3、兩階段法求解引例、兩階段法計(jì)算步驟兩階段法具體計(jì)算步驟：第一步：求出線(xiàn)性規(guī)劃的初始基可行解，列出初始單純形表。第二步：進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)。第三步 ; 從一個(gè)基可行解轉(zhuǎn)換到另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值更大的基可行解，列出新的單純形表。第四步：重復(fù)第二、三步一直到計(jì)算終止。第五步：去除人工變量。根據(jù)求得初始基本可行解，求得最優(yōu)解。其中第三步具體方法如下：1) 、確定換入基變量。只要檢驗(yàn)數(shù)j0 ，對(duì)應(yīng)的變

13、量 x j 就可作為換入基的變量，當(dāng)有一個(gè)以上檢驗(yàn)數(shù)大于零時(shí)，一般從中找出最大的一個(gè)kkmaxjj0其對(duì)應(yīng)變量 xk 作為換入基的變量（簡(jiǎn)稱(chēng)換入變量）。2) 、確定換出基的變量，確定minbi aik 0blaikalk確定 xl 為換出基的變量 （簡(jiǎn)稱(chēng)出基變量） 。元素 alk 決定了從一個(gè)基本可行解到另一個(gè)可行解的轉(zhuǎn)移去向，取名主元素。3) 、 用 換 入 變 量 xk 替 換 基 變 量 中 的 換 出 變 量 ， 得 到 一 個(gè) 新 的 基( P ,L , P, P , P,L , p , p, L , P) 。對(duì)應(yīng)這個(gè)基可以找出一個(gè)新的基本可行解。并可1l1kl 1mm 1m n劃出

14、一個(gè)新的單純形表。進(jìn)行如下計(jì)算:a、將主元素所在的 l 行數(shù)字除以主元素alk ，即有blblaljaljalkalkb、為使 k 列變換成單位向量，將單純形表的第l行數(shù)字乘上alj)，加到單純P(alk形表第 i 行數(shù)字上，計(jì)入其相應(yīng)行。即有bbbl ga (il )iiikblkaljaljalj g(il )aikalkc、計(jì)算單純形表中各檢驗(yàn)數(shù)，如下1l1m(clzl ) clci aikckci aikalki 1i l 1ck1 mci aik1 (ckzk )alkalk i1alkl1maljmm(cj zj ) c jci aijci aijci aikckci aikalk

15、i 1i l 1i 1i l 1maljmaljc jci aijci aik(cjz j )ck(ck zk )i1alki 1alk由上可看出，檢驗(yàn)數(shù)計(jì)算同樣因xk 基變量后，其檢驗(yàn)數(shù)( ckzk ) 應(yīng)為零，故將單純形表中第 l 行數(shù)字乘上 (ckzk ) ) 加到該表的檢驗(yàn)數(shù)上，得新的變量的檢驗(yàn)數(shù)。alk接下來(lái)在引例中用以上步驟實(shí)際求解、例一：用兩階段法求以下問(wèn)題最優(yōu)解max z3x1x3x1x2x342x1x2x31s.t3x2x39xj0( j1,2,3)首先第一階段是將此問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)形式，在約束條件中加入松弛變量x4 , x5 , x6 , x7 后得min wx6x7x1x2x

16、3x442x1x2x3x5x61s.t3x2x3x7 9x j0( j1,L ,7)先用單純形法解一階段問(wèn)題，迭代如下：zjc jcB B 1Pjc jcB y jc jzjc jcB B 1Pjc jcB y jc j其中， cB時(shí)目標(biāo)函數(shù)中基變量的系數(shù)構(gòu)成的維行向量，y j 是上表中的第j 列， b 是上表中的右端列。求解過(guò)程如下單純形表3-1表 3-1 單純形表c j00000-1-1cB基bx1x2x3x4x5x6x70x441211000-1x61-21-10-110-1x790310001cjzj-2400-1000x4330211-100x21-21-10-110-1x76604

17、03-31cjzj60403-400x4000011112220x230110001330x1110201113226cjzj00000-1-1所有判別級(jí)數(shù) cz0，jj因此達(dá)到最優(yōu)解，在第一階段問(wèn)題最優(yōu)解中， 人工變量 x6 、x7 都是非基變量。因此我們可得到初始基可行解x1, x2 , x3 , x4 , x51,3,0,0,0第二階段是將表3-1 中的人工變量 x6 , x7 去除，目標(biāo)函數(shù)改為：max z3x1 0x2x30 x4 0x5再?gòu)谋?3-1 最后一個(gè)表出發(fā)，繼續(xù)迭代，求解過(guò)程的單純形表如下表3-2表 3-2 單純形表c j-30100cB基bx1x2x3x4x50x400

18、001120x23011003-3x111020132c jzj0030320x400001120x25110012241x3330103224c jzj9000324得到其最優(yōu)解 x1 , x2 , x30,5,3，所以目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值 fmax3222、例二：用兩階段法求解以下問(wèn)題min z2x13x21 x11 x2424st.x13x236x1x210x1, x20首先第一階段是將此問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)形式，在約束條件中加入松弛變量x3 , x4 , x5 , x6 后得min z2x13x21 x1 xx421423st.x13x2x4x536x1x2x610x1, x2 , x3 , x4

19、, x5 , x60先用單純形法解一階段問(wèn)題，迭代如下zjc jcB B 1Pjc jcB y jc jzjc jcB B 1Pjc jcB y jc j其中， cB 時(shí)目標(biāo)函數(shù)中基變量的系數(shù)構(gòu)成的維行向量，y j 是上表中的第 j 列， b 是上表中的右端列。求解過(guò)程如下單純形表 3-3表 3-3 單純形表c j000011cB基bx1x2x3x4x5x60x34111000241x536130-1101x610110001c jzj240-1000x331010012441x56-200-11-30x210110001c jzj-20010-4所有判別級(jí)數(shù) cj zj0 ，但此時(shí) w6 ，

20、說(shuō)明至少有一個(gè)人工變量不為0，原問(wèn)題無(wú)可行解，不需要進(jìn)入第二階段計(jì)算。、引例分析根據(jù)引例一和引例二的求解過(guò)程計(jì)算可知， 第一階段使用單純形法可以得到一般的最優(yōu)解，而使用兩階段法能在第二階段找到更精確更優(yōu)化的最優(yōu)解。4、算法比較大 M算法單純形法從一個(gè)初始可行基開(kāi)始，要求標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)應(yīng)的單純形表滿(mǎn)足兩個(gè)條件，其一是中心部位具有m 階單位子塊，其二是右列元素非負(fù)。對(duì)于線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題nmin zc j x jj 1n（）aij x jbi , iLs.t j 11,2.,mx j0, jL, n1,2.若 r ( A)m ，且對(duì)應(yīng)的廚師單純形表?xiàng)l件二滿(mǎn)足條件一不滿(mǎn)足，那么應(yīng)引入人工變量xn 1 , xn

21、2 ,L xn m ，構(gòu)造新的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題nn mmin zc jx jMx jj 1j n 1n（）aij x jxn 1bi , iL, ms.tj 11,2.x j0, jL, n,nL, n m1,2.1,其中， M0 且為無(wú)限大的數(shù)，令yxn 1 , xn 2 ,Lxn mT , E1,1,L 1T ，則相性規(guī)劃問(wèn)題可表示為min zC T xME T yAxyb（）s.t0x, y設(shè) ( x , y )T 是（）的最優(yōu)解，若 y0 ，則 x 是（）的最優(yōu)解，若 y0 ，則（ 4.）無(wú)可行解。反之，若 x 是（）的最優(yōu)解，則 ( x ,0) T 是（）的最優(yōu)解。故其求解方法步驟為1）

22、、經(jīng)初等行變換通常使ri( 1) ，使右列元素非負(fù)。2）、在中心部位人工的添加一個(gè)m 階單位子塊，即引入人工變量y1, y2 ,L , ym ，得到新的約束方程組。m3）、講目標(biāo)函數(shù)修改為zzMy j ，其中 M0 為足夠大的正常數(shù)，從而得到新的j 1LP 模型。4）、用單純形法求解新的LP 模型，試圖將 y1, y2 ,L , ym 變成自由變量，最終有兩種結(jié)果如下a 、設(shè)球的新的LP 模型最優(yōu) 解為 ( x , y )T ，若 y( y1 , y2 ,L , ym )0 ，則x(x1 , x2 ,L , xn ) 是原 LP 問(wèn)題的最優(yōu)解。若y( y1 , y2 ,L , ym )0 ，則

23、原 LP 問(wèn)題無(wú)最優(yōu)解。b、新 LP 無(wú)界（無(wú)最優(yōu)解），則原LP 問(wèn)題也無(wú)最優(yōu)解。算法比較如果線(xiàn)性規(guī)劃模型中約束條件系數(shù)矩陣中不存在單位向量組，解題時(shí)應(yīng)先加入人工變量，人工地構(gòu)成一個(gè)單位向量組。而兩階段法和大M法都是可以控制人工變量取值的方法，并且兩種方法都是在單純形法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步求解最優(yōu)解的方法，兩種方法的用法相似，各有優(yōu)缺點(diǎn)。通過(guò)設(shè)置新的變量得到初始基本變量，并通過(guò)在目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置新變量的價(jià)格系數(shù)為 M使得在優(yōu)化過(guò)程中，新變量的值優(yōu)化為 0 在計(jì)算機(jī)求解過(guò)程中，由于計(jì)算機(jī)只能對(duì) M設(shè)置有限大的數(shù)值，所以在計(jì)算過(guò)程中可能會(huì)產(chǎn)生誤差，為了解決這個(gè)問(wèn)題，產(chǎn)生了兩階段法。所以大 M法雖然簡(jiǎn)單直觀

24、，在單純形表上的計(jì)算步驟與普通單純形法相同， 但是大 M到底取值多大不能確定， M取值過(guò)大也將增加數(shù)值計(jì)算困難。用大 M法處理人工變量，用手工計(jì)算求解時(shí)不會(huì)碰到麻煩。 但用電子計(jì)算機(jī)求解時(shí)，對(duì) M就只能在計(jì)算機(jī)內(nèi)輸入一個(gè)機(jī)器最大字長(zhǎng)的數(shù)字。 如果線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中的參數(shù)值與這個(gè)代表 M的數(shù)相對(duì)比較接近， 或遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于這個(gè)數(shù)字， 由于計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)取值上的誤差，可能使計(jì)算結(jié)果發(fā)生錯(cuò)誤。 而兩階段法通過(guò)對(duì)添加人工變量后的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題分兩個(gè)階段來(lái)計(jì)算，從而可以克服這個(gè)困難。特殊情況1）、無(wú)可行解：線(xiàn)性規(guī)劃最優(yōu)解中出現(xiàn)人工變量大于零的情況，則此線(xiàn)性規(guī)劃無(wú)可行解。2）、無(wú)界解：在求目標(biāo)函數(shù)最大值等問(wèn)題中，在某次

25、迭代的單純形表中，如果存在這一個(gè)不滿(mǎn)足符號(hào)條件的檢驗(yàn)數(shù)，并且該列的系數(shù)向量的每個(gè)元素都小于或等于令，則此線(xiàn)性規(guī)劃無(wú)界。3）、無(wú)窮多最優(yōu)解 : 對(duì)于某個(gè)最優(yōu)的基本可行解，如果存在某個(gè)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為零，則此線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題有無(wú)窮多最優(yōu)解。4）、退化：在單純形法計(jì)算過(guò)程中，基變量有事存在兩個(gè)以上相同的最小比值，這樣在下一次迭代中就有一個(gè)或幾個(gè)基變量等于零，稱(chēng)之為退化。而退化就容易產(chǎn)生循環(huán)迭代，為避免如此，應(yīng)遵守以下兩條原則：a、在所有不滿(mǎn)足符號(hào)條件的檢驗(yàn)數(shù)對(duì)應(yīng)的非基變量中，選一個(gè)下標(biāo)最小的作為調(diào)入變量。b、若存在兩個(gè)以上的最小比值，選一個(gè)下表最小的作為調(diào)出變量。5、總結(jié)總結(jié)概括求解最優(yōu)問(wèn)題是一個(gè)艱難而具有挑戰(zhàn)性的過(guò)程，最優(yōu)化方法是近幾十年形成的一門(mén)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究各種系統(tǒng)的優(yōu)化途徑及方案，為決策者提供科學(xué)決策的依據(jù)的學(xué)科，它涵蓋了無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題、凸集與凸函數(shù)、等式約束最優(yōu)化問(wèn)題和不等式約束最優(yōu)化問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)。通過(guò)本課程教學(xué)，使學(xué)生掌握最優(yōu)化計(jì)算方法的基本概念和基本理論，初步學(xué)會(huì)處理應(yīng)用最優(yōu)化方法解決實(shí)際中的碰到的各個(gè)問(wèn)題，培養(yǎng)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。而本次課