數(shù)學(xué)建模儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定

1、儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定摘 要如今加油站普遍采用地下儲油罐儲存燃油，與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”的研究很值得我們關(guān)注，本文正是研究地下儲油罐由于地基變形等原因?qū)е鹿奕荼戆l(fā)生改變的規(guī)律。并給出了模型及其適用條件，在此條件下模型與實測數(shù)據(jù)符合的非常好，并且經(jīng)過分析模型對物理實際情況也符合的很不錯。針對問題一：計算出了橢圓柱油罐水平放置和傾斜放置時計算的一般公式。給出了進油、出油之間的關(guān)系，并分析了誤差產(chǎn)生原因，針對誤差產(chǎn)生原因?qū)δＰ托赃M行了修正，從而進一步降低誤差。同時進一步給出了油罐的標(biāo)定。利用在儲油罐內(nèi)油的橫截面積上建立直角坐標(biāo)，進而利用微積分得出：（1）無變位時：；（2）的縱向變位時：

2、 。 針對問題二：給出了罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間在限制條件下的一般關(guān)系。探討了如何在斜角度a變化時通過轉(zhuǎn)動橫向偏轉(zhuǎn)角度b達到抵消變化的問題。在限制條件下數(shù)據(jù)與物理實際情況上符合的非常好，在誤差分析中給出了臨界適用條件。關(guān)鍵詞：橫截面積 建立坐標(biāo) 油位高度一、問題重述與分析1.1問題的重述現(xiàn)如今加油站通常采用罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）來實時計算罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況，罐容表可以很方便的計算出儲油罐內(nèi)的儲油量，給予人類以很大的幫助！現(xiàn)在我們需要用數(shù)學(xué)建模方法研究儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定的問題。加油站現(xiàn)狀如

3、下：（1），許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。（2），為保證儲容表的實用性，有關(guān)部門規(guī)定，對罐容表需要定期進行重新標(biāo)定。需要解決的問題：1、問題一：（1）對于圖4所示的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響。（2）給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值；2、問題二：（1）對于圖1所示的實際儲油罐，建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即確定罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度 ）之間的

4、一般關(guān)系。（2）利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)已建立的數(shù)學(xué)模型確定縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度，給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。（3）利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗?zāi)Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3 m油位高度圖1 儲油罐正面示意圖油位探針油位探針 地平線圖2 儲油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口水平線圖3 儲油罐截面示意圖（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖地平線垂直線油位探針（a）無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探測裝置(a) 小橢圓油罐正面示意圖(b) 小橢圓

5、油罐截面示意圖 油油浮子出油管油位探針注油口水平線2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m圖4 小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖二、基本假設(shè)與符號說明2.1基本假設(shè)1、假設(shè)儲油罐內(nèi)油面始終保持與水平面平行；2、液面變化沿罐體長的中點變化；3、假設(shè)儲油罐只有罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化，但并不發(fā)生形變，即儲油罐體積不變；4、縱向傾斜角度a為較小角度（地基沉降不會造成巨大的傾斜）。2.2符號說明：符 號含 義符 號含 義第一問中：小橢圓油罐內(nèi)油的體積；第二問中：油罐的總體積；液面與中軸線所在平面所夾體積； 小橢圓油罐內(nèi)油的橫截面積；油的總體積；橢圓的長軸；實際油罐無變位時油面的高度

6、；橢圓的短軸；油罐圓柱體部分的高度；小橢圓油罐內(nèi)油的高度；球罐體的半徑；油量一定時，水平放置油罐的油面高度；縱向傾斜角度；橫向偏轉(zhuǎn)角度；第一問中：傾斜角為4.1時儲油浮子至底面的距離；第二問中：實際值（水平時測量值）；第二問中的觀測值（顯示油高）； 傾斜角為4.1時小橢圓油罐內(nèi)油面至底面的最小距離；經(jīng)橫向偏轉(zhuǎn)角b變化后的值； 傾斜角為4.1時小橢圓油罐內(nèi)油面至底面的最大距離；經(jīng)橫向偏轉(zhuǎn)角b變化后的值；油面改變的最大距離；經(jīng)橫向偏轉(zhuǎn)角b變化后的值；圖示油位探針與地面的連線的長度變化；經(jīng)橫向偏轉(zhuǎn)角b變化后的值； 圖示小橢圓油罐翹起邊與地面的連線的長度變化；經(jīng)橫向偏轉(zhuǎn)角b變化后的值；傾斜角為4.1時

7、油浮子至底面的距離與原來油面高度的差；經(jīng)橫向偏轉(zhuǎn)角b變化后的值；小橢圓油罐的長度；的變化量；三、模型的建立與求解問題一：小題1：思想方法：通過對液面與橢圓柱體所夾體積進行積分求得。小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體截面如圖5）無變位時，油罐內(nèi)油的體積計算如下：首先建立坐標(biāo)系如圖5所示：由于橢圓方程，所以有.油的橫截面積由圖5易得.由于，所以油的體積為.因為, 所以.圖5、小橢圓形儲油罐橫截面經(jīng)matlab運算得到無變位進油時的進油量與油位高度的函數(shù)圖像：圖6、matlab計算結(jié)果（+線為公式計算曲線，實線為原始數(shù)據(jù)曲線）經(jīng)matlab運算得到無變位出油的出油量與油位高度的函數(shù)圖像：圖7、mat

8、lab計算結(jié)果（+線為公式計算曲線，實線為原始數(shù)據(jù)曲線）小題2：思想方法：通過求得傾斜后的液面高度，得到一個由液面與油罐所夾的梯形求得油的體積，這種方法避免了積分。因為由假設(shè)2和積分中值定理，油罐長的中點為積分平均值，故可如此計算。 圖8、傾斜角為a=的縱向變位時的小橢圓形儲油罐如圖8所示：因為所以 故有, 因為，所以，故有所以，又因小橢圓型儲油罐傾斜角為a時，油罐內(nèi)油的體積計算如下： 經(jīng)matlab運算得傾斜變位進油量與油位高度模型與實際原始數(shù)據(jù)對應(yīng)的函數(shù)圖像：圖9、matlab計算結(jié)果（藍色為公式計算曲線紅色為原始數(shù)據(jù)曲線）圖9的理論計算值與實際測量值有一個誤差其產(chǎn)生原因如下圖所示：圖10

9、、誤差產(chǎn)生來源如圖10所示，當(dāng)開始出油的時候d在減小，當(dāng)液面于o點所在距離d，其大小減小到0的時候浮子的高度才會發(fā)生改變，所以計算的體積與原始數(shù)據(jù)的體積值為o點所在平面與液面所夾的油的體積，經(jīng)過計算得到計算體積與原始數(shù)據(jù)差的值為516.5453l。所以當(dāng)抽出值小于516.5453l油浮子不太靈敏。附: 罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值12345678高度標(biāo)定值0.411290.421290.431290.441290.451290.461290.471290.48129體積對應(yīng)值1005.81045.71085.91126.31167.11208.21249.51291910111

10、213141516高度標(biāo)定值0.491290.501290.511290.521290.531290.541290.551290.56129體積對應(yīng)值1332.81374.71416.91459.31501.81544.51587.31630.31718192021222324高度標(biāo)定值0.571290.581290.591290.601290.611290.621290.631290.64129體積對應(yīng)值1673.31716.51759.81803.21846.61890.11933.71977.32526272829303132高度標(biāo)定值0.651290.661290.671290.681

11、290.691290.701290.711290.72129體積對應(yīng)值2020.92064.52108.12151.72195.22238.82282.22325.63334353637383940高度標(biāo)定值0.731290.741290.751290.761290.771290.781290.791290.80129體積對應(yīng)值23692412.22455.42498.42541.32584.12626.72669.24142434445464748高度標(biāo)定值0.811290.821290.831290.841290.851290.861290.871290.88129體積對應(yīng)值2711.42

12、753.52795.42837.12878.52919.72960.63001.34950515253545556高度標(biāo)定值0.891290.901290.911290.921290.931290.941290.951290.96129體積對應(yīng)值3041.63081.73121.43160.83199.93238.63276.83314.757585960高度標(biāo)定值0.971290.981290.991291.0013體積對應(yīng)值3352.23389.23425.83461.8問題二：思想方法：由第一題第二小問結(jié)論進行推廣，引入橫向偏轉(zhuǎn)角度，通過對上一題模型進行修改得到所求的解。體積公式：參考計

13、算油罐體積的文獻并修改得液面與中軸線所在平面所夾體積1：油罐的總體積：油的總體積： 圖11：傾斜角為的縱向變位時的實際油罐的推導(dǎo)如下：圖12，的推導(dǎo)（，的變化規(guī)律相同故用同一圖）：圖13 ，所以故有 展開，得： 則：；液面與中軸線所在平面所夾體積：油罐總體積： 油的總體積：模型的已給出但是變位參數(shù)沒有確定 根據(jù)已有模型與原始數(shù)據(jù)擬合的編制程序clear;clc;load d:/chengxu/p21.mat;h=p21(1:302,2)*0.001;v=p21(1:302,1)*0.001;for i=2:302 v(i,1)=v(i,1)+v(i-1,1);endbeta0=0.09 0.9

14、1;%beta0=tana cosbbeta,r,j=nlinfit(h,v,fun25,beta0);yy,delta=nlpredci(fun25,h,beta,r,j);plot(h,v,r+);hold onplot(h,yy,b);hhhhh=beta(1,1)+beta(2,1)的到模型數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的擬合圖像為由程序可知改變beta0中的tana與cosb的數(shù)值，發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)tanacosb接近與1時，模型數(shù)據(jù)與原是數(shù)據(jù)擬合的比較好引的用函數(shù)為function v=fun25(beta,h)t=beta(1);c=beta(2);v=10.29166666.*pi+2.640625

15、.*pi.*(6.0-h+2*t-3.0*c)-1.0./3.*pi.*(6.0-h+2*t-3.0*c).*(6.0-h+2*t-3.0*c).*(6.0-h+2*t-3.0*c)+7.166666667.*(6.0-h+2*t-3.0*c).*sqrt(2.25-(6.0-h+2*t-3.0*c).*(6.0-h+2*t-3.0*c)+14.86197917.*atan(6.0-h+2*t-3.0*c)./sqrt(2.25-(6.0-h+2*t-3.0*c).*(6.0-h+2*t-3.0*c)+2.0./3.*(6.0-h+2*t-3.0*c).*(6.0-h+2*t-3.0*c).*

16、(6.0-h+2*t-3.0*c)-47.53125+7.921875.*h-15.84375*t+23.76562500*c).*atan(0.625./sqrt(2.25-(6.0-h+2*t-3.0*c).*(6.0-h+2*t-3.0*c)+5.721354167.*atan(0.3846153846*(6.0-h+2*t-3.0*c)./sqrt(2.25-(6.0-h+2*t-3.0*c).*(6.0-h+2*t-3.0*c);模型檢驗（程序檢驗）：第一問驗證儲油罐無變位進油的模型的正確性，編制程序：%第一題第一小問程序load d:/wbwjy.mat;%導(dǎo)入數(shù)據(jù)h=wbwjy(

17、:,2)*0.001;%變換單位，將毫米變?yōu)槊譾=fun(h(:,1);%計算對應(yīng)的罐內(nèi)體積v=v.*1000;%變換單位，將立方米變?yōu)樯齰v=wbwjy(:,1)+262;%vv表示實際的罐內(nèi)體積%畫圖，實線表示實際數(shù)值，+線為擬合數(shù)據(jù)plot(wbwjy(:,2),vv,r,wbwjy(:,2),v,b+)得到無變位進油時的進油量與油位高度的函數(shù)圖像附：實線表示實際數(shù)值，+線為擬合數(shù)據(jù)由圖可見模型數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)擬合同理編輯程序%第一題第二小問程序load d:chengxuwbwcy.mat;%導(dǎo)入數(shù)據(jù)h=wbwcy(:,2)*0.001;%變換單位，將毫米變?yōu)槊譾=fun(h(:,1);

18、%計算對應(yīng)的罐內(nèi)體積v=v.*1000;%變換單位，將立方米變?yōu)樯齰v=wbwcy(:,1);%vv表示實際的罐內(nèi)體積a=0.89;%橢圓的長半軸b=0.6;%橢圓的短半軸l=2.45;%橢球體長度%畫圖，實線表示實際數(shù)值，+線為擬合數(shù)據(jù)plot(wbwcy(:,2),vv,r,wbwcy(:,2),pi*a*b*l*1000-v,b+)可得到無變位出油的出油量與油位高度的函數(shù)圖像附：實線表示實際數(shù)值，+線為擬合數(shù)據(jù)可見模型數(shù)據(jù)與提供數(shù)據(jù)擬合再驗證傾斜變位時的模型與原始數(shù)據(jù)的擬合情況編制程序%第一題第一小問程序(傾斜進油)load d:/chengxu/qxbwjy.mat;%導(dǎo)入數(shù)據(jù)l=2.45;m=0.4;alpha=pi/180*4.1;h1=qxbwjy(:,2)*0.001+m*tan(alpha)-l*tan(alpha);%變換單位，將毫米變?yōu)槊議2=q