2020屆全國大聯(lián)考高三第三次聯(lián)考數(shù)學試題(解析版)(總16頁)

1、2020屆全國大聯(lián)考高三第三次聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1集合，則（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)集合交集的定義，結(jié)合數(shù)軸進行求解即可.【詳解】因為,，所以.故選：C【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于基礎題.2在等差數(shù)列中，則數(shù)列的公差為（ ）ABC1D2【答案】A【解析】由題，得，解方程組即可得到本題答案.【詳解】在等差數(shù)列中，設公差為d，由，得，解得.故選：A.【點睛】本題主要考查利用等差數(shù)列的通項公式，求公差d，屬基礎題.3設，則的大小關(guān)系是（ ）ABCD【答案】B【解析】由函數(shù)的單調(diào)性及與中間值“1”的大小關(guān)系，即可得到本題答案.【詳解】由在區(qū)間是單調(diào)增函數(shù)，得，又因為，所以.故選：

2、B.【點睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)比較大小的問題，利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值“1”是解決此題的關(guān)鍵.4若，則一定有（ ）ABCD【答案】D【解析】利用不等式的基本性質(zhì)及特殊值，即可得到本題答案.【詳解】由，得，故A選項錯誤；令，有，故B，C選項錯誤；因為，所以，則有，故D選項正確.故選：D.【點睛】本題主要考查利用不等式的基本性質(zhì)及特殊值判斷大小關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎題.5已知數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則等于（ ）ABCD【答案】A【解析】由，可得等比數(shù)列的首項和公比，進而可求得數(shù)列的首項和公比，然后套用等比數(shù)列的求和公式，即可得到本題答案.【詳解】設數(shù)列的公比為，由題知，解得，所以

3、數(shù)列是以8為首項，為公比的等比數(shù)列，所以. 故選：A.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式與求和公式的綜合應用，考查計算能力，屬于基礎題.6若，則的最小值為（ ）A6BCD【答案】C【解析】由，得，且，又由，展開之后利用基本不等式，即可得到本題答案.【詳解】因為，即，所以，等式兩邊同時除以得，且，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故選：C.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及對數(shù)的運算，考查計算能力，屬于中等題.7意大利數(shù)學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，即，此數(shù)列在物理、化學等領(lǐng)域都有廣泛的應用，若此數(shù)列

4、被2整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2020項的和為（ ）A1347B1348C1349D1346【答案】A【解析】由題，得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，前三項和為，又，由此即可得到本題答案.【詳解】由數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，各項除以2的余數(shù)，可得數(shù)列為1，1，0，1，1，0，1，1，0，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，前三項和為，又因為，所以數(shù)列的前2020項的和為.故選：A【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的周期性求和，考查學生的推理分析能力.8若數(shù)列的前項和為，則“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解

5、析】必要性顯然成立；由，得，同理可得，綜合，得，充分性得證，即可得到本題答案.【詳解】必要性顯然成立；下面來證明充分性，若，所以當時，所以，化簡得，所以當時，得，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，充分性得證，所以“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件.故選：C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的判斷與證明的問題，考查推理能力，屬于中等題.9在中，點為的中點，過點作交所在的直線于點，則向量在向量方向上的投影為（ ）A2BC1D3【答案】A【解析】由， ，得，然后套用公式向量在向量方向上的投影，即可得到本題答案.【詳解】因為點為的中點，所以，又因為，所以，所以向量在向量方向上的投影為.故選：A.【點睛】本題主要考查

6、向量的綜合應用問題，其中涉及平面向量的線性運算及平面向量的數(shù)量積，主要考查學生的轉(zhuǎn)化求解能力.10已知數(shù)列的前項和為，且，若，則取最大值時，的值為（ ）A14B12C15D13【答案】D【解析】對遞推關(guān)系式再遞推一步，得到一個新的遞推關(guān)系式，兩個遞推關(guān)系式再相減，得到，結(jié)合已知，結(jié)合不等式的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為，所以當時，兩式相減得，當時，又因為，所以，所以，且，又因為當時，所以，所以取最大值時，的值為13.故選：D【點睛】本題考查數(shù)列的最值.考查了遞推關(guān)系的應用，考查了數(shù)學運算能力.11已知函數(shù)圖象與直線相交，若在軸右側(cè)的交點自左向右依次記為，則（ ）ABCD【答案】B【解析】化簡

7、得，由已知函數(shù)的圖象與直線相交，得，解得，由此即可得到本題答案.【詳解】，因為函數(shù)圖象與直線相交，所以，解得，由此可知.故選：B.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應用，考查學生的分析能力及運算能力.12數(shù)列滿足，且對任意的，有，則（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)遞推關(guān)系式運用累和的方法，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式進行求解即可.【詳解】因為，所以.故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列前項和公式，考查了累和法的應用，考查了數(shù)學運算能力.二、填空題13不等式的解集為_.【答案】或【解析】不等式的等價條件為，解不等式組的解，即可得到本題答案.【詳解】不等式的等價條件為，解得或，所以不等式的解集為或

8、.故答案為：或【點睛】本題主要考查分式不等式的求法，轉(zhuǎn)化為求一元二次不等式是解決此題的關(guān)鍵.14若滿足約束條件，則的最大值為_.【答案】3【解析】在直角坐標系內(nèi)畫出約束條件表示的可行域，根據(jù)的幾何意義進行求解即可.【詳解】由滿足約束條件，畫出可行域，如圖所示，表示可行域內(nèi)的點與原點的斜率，由圖知，的最小值為直線的斜率，易求點，所以的最小值為，故的最大值為3.故答案為：3【點睛】本題考查線性規(guī)劃的應用，考查了直線斜率模型的應用，考查了數(shù)學運算能力.15已知數(shù)列滿足，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_.【答案】【解析】由，得，所以，通過解不等式，即可得到本題答案.【詳解】由，整理得，

9、等式兩邊同時除以得，所以為等差數(shù)列，且首項為-5，公差為1，所以，所以，所以，解得，則實數(shù)的取值范圍.故答案為：【點睛】本題主要考查數(shù)列與不等式恒成立問題的綜合應用，考查學生分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學思想.16已知定義在上函數(shù)滿足，且當時，恒成立，則不等式的解集為_.【答案】【解析】根據(jù)所求不等式的形式，結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合判斷該函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用的單調(diào)性和奇偶性進行求解即可.【詳解】因為，所以，令，則函數(shù)為偶函數(shù)，因為，且當時，所以當，時，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單遞減，因為，解得.故答案為：【點睛】本題考查了利用構(gòu)造新函數(shù)法，利用新函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性

10、解不等式問題，考查了導數(shù)的應用，考查了數(shù)學運算能力.三、解答題17已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）當時，求集合；（2）當且時，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）利用穿根法，即可得到的解集；（2）由，得，又由，得，解不等式組即可得到本題答案.【詳解】（1）當時，所以或；（2）因為，所以，得或，又因為，所以不成立，即，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍.【點睛】本題主要考查高次不等式的求法，以及根據(jù)元素與集合的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍.18已知數(shù)列的前項和為，且.（1）證明：數(shù)列為常數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由，得，即，又由，即可得到

11、本題答案；（2）由（1）得，即可得到本題答案.【詳解】（1）當時，所以；當時，由，得，-得，所以，因為，所以，所以，故數(shù)列為常數(shù)列；（2）由（1）知，所以，所以.【點睛】本題主要考查的應用及用裂項相消法求和，考查計算能力，屬于中等題.19在中，角所對的邊分別為，且.（1）判斷的形狀；（2）若，的周長為16，求外接圓的面積.【答案】（1）等腰三角形；（2）【解析】（1）結(jié)合誘導公式及和差公式化簡，即可得到本題答案；（2）由，得，結(jié)合的周長為16，可求得，又由，求得，然后根據(jù)，即可得到本題答案.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，即，又因為為的內(nèi)角，所以，即為等腰三角形；（2）由（1）知，解得，

12、又因為，解得，因為，所以，設外接圓的半徑為，所以，解得，故外接圓的面積為.【點睛】本題主要考查利用誘導公式及和差公式恒等變形判斷三角形的形狀，以及利用余弦定理解三角形.20某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用三種原料，一件甲產(chǎn)品需要原料，原料，原料，一件乙產(chǎn)品需要原料，原料，原料，出售一件甲產(chǎn)品可獲利7萬元，出售一件乙產(chǎn)品可獲利6萬元，現(xiàn)有原料，原料，原料，請問該如何安排生產(chǎn)可使得利潤最大？【答案】生產(chǎn)3件甲產(chǎn)品，4件乙產(chǎn)品【解析】設生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品件，可獲得的利潤為萬元，根據(jù)題意列出可行解域，然后運用線性規(guī)劃的知識進行求解即可.【詳解】設生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品件，可獲得的利潤為萬元，由題

13、知，且滿足以下條件，即做出可行域如圖所示，作直線，平移直線至，當直線經(jīng)過點時，可使達到最大值，由，解得，即點的坐標為，此時，所以生產(chǎn)3件甲產(chǎn)品，4件乙產(chǎn)品，可獲得最大利潤，且最大利潤為45萬元.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的實際應用，根據(jù)題意列出約束條件是解題的關(guān)鍵，考查了數(shù)學運算能力.21設數(shù)列的前項和為，已知.（1）令，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：.求數(shù)列的通項公式；是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；存在，【解析】（1）由題，得，即可得到本題答案；（2）由，得，所以，恒等變形得，由此即可得到本題答案；由錯位相減求和公式，得的前

14、n項和，然后通過求的解，即可得到本題答案.【詳解】（1）因為，所以，即，又因為，所以，即，所以數(shù)列是以2為公比和首項的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）知，當時，又因為也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為，因為，所以，所以，即，因為，所以數(shù)列是以1為首項和公差的等差數(shù)列，所以，故；設，則，所以，兩式相減得，所以，即：，即.令，則，即，所以，數(shù)列單調(diào)遞減，因此，存在唯一正整數(shù)，使得成立.【點睛】本題主要考查通過構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，以及利用錯位相減法求和，考查學生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中等題.22已知函數(shù)（1）若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若的最大值為2，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，設，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）求出的單調(diào)區(qū)間，得到，求出a的值即可.詳解：（1）若在上是減函數(shù)，則在恒成立，設，則，遞增，又，故.（2）由，要使，故的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，即，.點睛：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)可導函數(shù)