行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)行列式和矩陣學(xué)生自學(xué) ，得，得類似地，消去類似地，消去 1 x , 211211221122211 abbaxaaaa ）（ 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 21122211 aaaa方程組有唯一解為方程組有唯一解為 ， 21122211 212221 1 aaaa baab x ）（3. 21122211 211211 2 aaaa abba x 行列式的引入行列式的引入 第1頁(yè)/共38頁(yè) 1112 2 12 112222 1 xx x a b a aa b x 1 2 1 1 2 1 1 11 2 2 12 2 2 a a aa a x a b b 當(dāng)當(dāng) 11221221 0

2、a aa a時(shí)時(shí) 方程組有唯一解方程組有唯一解 2212 11 12 1221 1 22 aa a aa a b x b 1121 11 21 1221 2 22 aa a aa a b x b 如果規(guī)定如果規(guī)定 1112 11 221221 2122 aa a aa a aa 則有則有 D 1 D D 2 D D 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 12 1 a a b a a x a a b 行列式的引入行列式的引入 第2頁(yè)/共38頁(yè) 12 12 238 35 xx xx 23 2 1 3 37 31 D 1 83 8 1 5 37 51 D 2 28 2 58 314 35

3、D 1 1 2 2 7 1 7 14 2 7 D x D D x D 解解 所以所以 行列式行列式 例 第3頁(yè)/共38頁(yè) 三元線性方程組三元線性方程組 111213 212223 313233 aaa aaa aaa D 1231213 2223 3 11 211 32 1 2 3 2 133 3 123 aa aa xxx xxx xx b aab a ax a b 121311131112 12223221 111 222 333 2332122 313232333133 aaaaaa DaaDaaDaa bbb bbb aaaab abab 12 3 3 12 , DDD xx D x

4、DD 定義：定義： 0,D 若則有： 第4頁(yè)/共38頁(yè) 線性方程組的一般形式線性方程組的一般形式 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa D aaa 12 12 0 , (1) 0,(1) n n bbb b bb L L 當(dāng)時(shí)，稱為線性方程組 當(dāng)稱不完全為 時(shí)， 稱為線 齊次 非齊次性方程組 稱為系數(shù)行列式稱為系數(shù)行列式 , ,( 0 1)0 D D 線性方程組(1)有且僅有唯一解 線性方程組 非齊次 齊次有非零解 121 2 11121 212222 212 1 1 n n n nnn n nnn xxxb b aaa aaa aa x axxb xx x L L

5、LLL L (1) 第5頁(yè)/共38頁(yè) 二階行列式定義二階行列式定義 1112 2122 aa aa 11221221 a aa a 51 32 求二階行列式的值 解解: 5 2( 1) 3 13 51 32 i ij j a 行標(biāo) 列標(biāo) 例 第6頁(yè)/共38頁(yè) 全排列全排列 引例引例: 用用1, 2, 3三個(gè)數(shù)字三個(gè)數(shù)字, 可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三 位數(shù)？位數(shù)？ 這是一個(gè)大家熟知的問(wèn)題，答案是：這是一個(gè)大家熟知的問(wèn)題，答案是：3! = 6。 123132213231312 321 定義定義: 把把 n 個(gè)不同的元素排成一列個(gè)不同的元素排成一列, 叫做這叫做這

6、n 個(gè)元素的個(gè)元素的全排列全排列 (或或排列排列)。 n 個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù), 通常用通常用 Pn 表示表示, 稱為稱為 排列數(shù)。排列數(shù)。 Pn = n (n1) (n2) 2 1 = n! 第7頁(yè)/共38頁(yè) 排列的逆序和逆序數(shù)排列的逆序和逆序數(shù) 定義：定義：在一個(gè)排列在一個(gè)排列 i1 i2 is it in 中，若數(shù)中，若數(shù) isit，則稱這則稱這 兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序逆序。 例如例如: 排列排列32514 中，中， 我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序，以我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序，以 n 個(gè)不同的自個(gè)不同的自 然數(shù)為例然數(shù)為例, 規(guī)定由

7、小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。 3 2 5 1 4 逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 定義定義: 一個(gè)排列中所有一個(gè)排列中所有逆序逆序的總數(shù)稱為此的總數(shù)稱為此排列的排列的逆序數(shù)，記為逆序數(shù)，記為： 1 2n N iiiL 第8頁(yè)/共38頁(yè) 三級(jí)排列的逆序和逆序數(shù)三級(jí)排列的逆序和逆序數(shù) 12n N i ii逆序數(shù)為奇數(shù)稱為奇排列，為0或偶數(shù)稱為偶排列L 排列排列逆序逆序逆序數(shù)逆序數(shù)排列的奇偶性排列的奇偶性 123無(wú)無(wú)0偶排列偶排列 132321奇排列奇排列 213211奇排列奇排列 23121，312偶排列偶排列 31231，322偶排列偶排列 32132，31，213奇排列奇排列 排列

8、的逆序和逆序數(shù)排列的逆序和逆序數(shù) 第9頁(yè)/共38頁(yè) 123123123123231312 312321132213123123 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 1 2 3 123 1 2 3 23 ) 1 ( 1 Nj j j jjj j j j a aa 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 每一乘積項(xiàng)都是由每一乘積項(xiàng)都是由n個(gè)元素組個(gè)元素組 成，成，行標(biāo)為自然排列，列標(biāo)作行標(biāo)為自然排列，列標(biāo)作 全排列，全排列，代數(shù)和共有代數(shù)和共有n!項(xiàng)項(xiàng) 每一項(xiàng)的每一項(xiàng)的符號(hào)符號(hào)由列由列 標(biāo)標(biāo) 排列的排列的逆序數(shù)逆序數(shù)所決所決 定定 n個(gè)元素中任

9、意兩個(gè)元個(gè)元素中任意兩個(gè)元 素都位于不同行不同素都位于不同行不同 列列 三階行列式三階行列式 第10頁(yè)/共38頁(yè) 解：解： 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 112233132132 132231112 12233 33212213 1 3 a aa a aa a a a a aa a aa a a a 1 2 ( 2)( 4) ( 2) 4 ( 4) 2 ( 3) 1 1 42 2 1 ( 3 ( 2) ( 2) . ) 14 D 12-412-4 計(jì)計(jì)算算三三階階行行列列式式D-221D-221 -34-2-34-2 例 三階行列式三階行列式 第11頁(yè)/共3

10、8頁(yè) 1 2 12 1 2 () 1 11121 21222 12 2 1() n n n n n nn N j jj jjn j jj nn j aaa aaa D aa a a aa L L L L L LLLL L 行列式表示的是一個(gè)數(shù)行列式表示的是一個(gè)數(shù) n階行列式是由階行列式是由n!項(xiàng)組成，且正號(hào)項(xiàng)和負(fù)號(hào)項(xiàng)組成，且正號(hào)項(xiàng)和負(fù)號(hào)項(xiàng)各項(xiàng)各占占一半一半 一一階行列式階行列式 |a|=a不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆 1 2 (1 2) n j jj nn 表示對(duì)所有 、 、 的 級(jí)排列求和 L L n階行列式階行列式 注：注： 第12頁(yè)/共38頁(yè) 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 1

11、. 行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變。行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變。 2. 互換行列式的兩行互換行列式的兩行(列列)，行列式變號(hào)，行列式變號(hào)。 推論：推論：如果行列式如果行列式D D有兩行有兩行( (列列) )相同，則相同，則D=0D=0。 3.行列式的行列式的某一行某一行( (列列) )的所有元素都乘以同一數(shù)的所有元素都乘以同一數(shù)K K，等于用數(shù)，等于用數(shù)K K乘此行列式。乘此行列式。 推論推論2 2：如果行列式如果行列式D D有有一行一行( (列列) )的元素全為零，則的元素全為零，則D=0D=0 推論推論3 3：如果行列式如果行列式D D有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則D

12、=0D=0 推論推論1 1：行列式中行列式中某一行（列）某一行（列）的元素的公因數(shù)可以提到行列式符號(hào)的的元素的公因數(shù)可以提到行列式符號(hào)的 外面。外面。 第13頁(yè)/共38頁(yè) 定義定義1 由 m n個(gè)數(shù) (1,2,;1,2, ) ij a im jnm n 排成的行 列的數(shù)表, 稱為 行 列的矩陣,簡(jiǎn)稱 矩陣. 記作:mnm n 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa aaa () i jm n Aa 矩陣的定義矩陣的定義 m行行n列列 第14頁(yè)/共38頁(yè) 矩陣是一個(gè)矩形的矩陣矩陣是一個(gè)矩形的矩陣“數(shù)表數(shù)表”，行列式是在一個(gè)方形，行列式是在一個(gè)方形 數(shù)表中根據(jù)定義規(guī)則進(jìn)行運(yùn)

13、算的代數(shù)式，結(jié)果是一個(gè)數(shù)表中根據(jù)定義規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)式，結(jié)果是一個(gè)數(shù)值數(shù)值。 行列式行列式n行行n列列，矩陣，矩陣m行行n列列 矩陣與行列式的區(qū)別矩陣與行列式的區(qū)別 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa aaa 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa aaa L L MMM L 行列式行列式矩陣矩陣 第15頁(yè)/共38頁(yè) 幾種特殊形式的矩陣幾種特殊形式的矩陣 1. 行矩陣與列矩陣行矩陣與列矩陣 12 (,) n Aaaa 1 2 m a a A a 2. 同型矩陣與矩陣的相等同型矩陣與矩陣的相等 兩個(gè)矩陣行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，稱為同型矩陣。

14、如果矩陣 與矩陣 是同型矩陣，且它 們的對(duì)應(yīng)元素相等,即 () ij Aa() ij Bb (1,2,;1,2, ) ijij ab im jn 那么就稱這兩個(gè)矩陣相等.記作 AB 第16頁(yè)/共38頁(yè) 3. 零矩陣零矩陣 元素都是零的矩陣稱為零矩陣.記作 m n O O 注意：不同型的零矩陣是不同的. 或 4. 方陣方陣 行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣稱為 階矩陣或 階方陣nnn 11121 21222 12 n n n nnnn aaa aaa AA aaa n階方陣() ijn n Aa 的元素 稱為主對(duì)角線元素 1122 , nn aaa 幾種特殊形式的矩陣幾種特殊形式的矩陣 第17頁(yè)/共38

15、頁(yè) 5. 上上(下下)三角矩陣三角矩陣 11121 222 0 00 n n nn aaa aa A a 11 2122 12 00 0 nnnn a aa A aaa 6. 對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣 2 12 1 di 00 00 = 0 ag(, 0 ,) n n 幾種特殊形式的矩陣幾種特殊形式的矩陣 第18頁(yè)/共38頁(yè) 7. 單位矩陣單位矩陣 100 010 001 n EE 幾種特殊形式的矩陣幾種特殊形式的矩陣 第19頁(yè)/共38頁(yè) 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算 矩陣的加法矩陣的加法 1111121211 2121222222 1122 nn nn mmmmmnmn ababab ababab AB a

16、babab () i jm n Aa () i jm n Bb 1. 定義定義 2. 運(yùn)算規(guī)律 , ()()ABBAABCABC 注：只有同型矩陣才可以加減 第20頁(yè)/共38頁(yè) 3. 負(fù)矩陣負(fù)矩陣 () ij Aa () ij Aa ()AAO 4. 矩陣的減法矩陣的減法 ()ABAB 例例1 123 153 A 013 211 B AOA 1532 21 1116 010 2 1333 AB 013123116 211153344 BA 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算 第21頁(yè)/共38頁(yè) 數(shù)與矩陣的乘法數(shù)與矩陣的乘法 1. 定義定義 數(shù) 與矩陣 的乘積記作 或 規(guī)定為 A AA 11121 21222

17、 12 n n mmmn AA aaa aaa aaa A注：注：與 為同型矩陣A0AO 2. 運(yùn)算規(guī)律 ()()AA ()AAA ()ABAB 第22頁(yè)/共38頁(yè) 13 52 10 A 11 30 01 B 設(shè) 求 2AB 解解: 13 52 10 A 22 260 02 B 132211 2526012 100212 AB 數(shù)與矩陣的乘法數(shù)與矩陣的乘法 例 第23頁(yè)/共38頁(yè) 矩陣與矩陣的乘法矩陣與矩陣的乘法 1. 定義定義 () i jm s Aa () i js n Bb ()m jni ABCc 1 122 1 s i jijijissjikkj k ca ba ba ba b (1

18、,2,;1,2, )im jn 其中 、 。 1 1只只有有當(dāng)當(dāng)?shù)诘谝灰粋€(gè)個(gè)矩矩陣陣的的等等于于第第二二個(gè)個(gè)矩矩陣陣的的時(shí)時(shí), , 兩兩個(gè)個(gè)矩矩陣陣 數(shù)數(shù)行行數(shù)數(shù) 才才能能相相乘乘 列列 注意注意: : 2 i j ABci Bj 、 。 的的元元素素就就是是第第一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣的的第第 行行與與第第二二個(gè)個(gè)矩矩陣陣 的的第第 列列的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)元元素素的的 乘乘積積和和 第24頁(yè)/共38頁(yè) 1011 101 ,1121 210 1010 AB 設(shè) 求 AB 解解: 記 ABC則 2 33 42 4 ABC 11121314 21222324 cccc C cccc 設(shè) 11 12 13 14

19、1 1 0 1 1 ( 1)0 1 00 1 1 00 1 1 0 2 1 ( 1)0 1 1 0 ( 1) 1 01 c c c c 則: 21 22 23 24 2 1 1 1 0 ( 1)3 2 0 1 1 0 01 2 1 1 20 ( 1)4 2 1 1 ( 1)0 01 c c c c 0001 3141 AB 矩陣的乘法矩陣的乘法 例 第25頁(yè)/共38頁(yè) 注： 矩陣的乘法一般不滿足交換律，即一般來(lái)說(shuō) 進(jìn)行矩陣乘法時(shí),一定要注意乘的次序，不能隨意改變 ABBA 設(shè) 1 (114),1 2 AB 求 與 .ABBA 解解: 1 33 11 1 3 11 3 3 3 1 (114) 1

20、(1 1 ( 1) 14 2)(8) 2 1114 1 (114)114. 2228 A B BA 矩陣與矩陣的乘法矩陣與矩陣的乘法 例 第26頁(yè)/共38頁(yè) 設(shè) 2 4 2 4 , 1236 AB 求 與 ABBA 解解: 2 4 2 41632 1236 8 16 AB 2 42 400 36 1200 BA 注意注意: ABO,AOBO或 (),A XYOAXAY XY ABBA 矩陣與矩陣的乘法矩陣與矩陣的乘法 例 第27頁(yè)/共38頁(yè) 2. 運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的) : ()()AB CA BC ()()()ABA BAB(其中為數(shù)) ()A BCABAC(左分配律) ()BC A

21、BACA(右分配律) , m nn sm ss mm ns n AOOOAO mm nm nnm n E AAEA nnnnn E AA EA 矩陣與矩陣的乘法矩陣與矩陣的乘法 第28頁(yè)/共38頁(yè) 3. 矩陣的冪 n A 12 ,AA AAA 1 kk k AAAAAAA 個(gè) 為正整數(shù). k 矩陣的冪滿足下列運(yùn)算規(guī)律: ,() klk lklkl A AAAA 注注: 一般來(lái)說(shuō) ()k kk ABA B 22222 ()2, ()()ABAABBAB ABAB 矩陣與矩陣的乘法矩陣與矩陣的乘法 第29頁(yè)/共38頁(yè) 線性方程組線性方程組 11 112211 21 122222 1 122 nn

22、nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 11121 21222 12 () n n ijm n mmmn m n aaa aaa Aa aaa 若設(shè) 1 2 1 (), jm n x x x x x M 1 2 1 () jm m b b b b b 則其矩陣形式為： A xb 矩陣與矩陣的乘法矩陣與矩陣的乘法 例 第30頁(yè)/共38頁(yè) 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置 1. 定義定義 11121 21222 12 () n n ijm n mmmn m n aaa aaa Aa aaa 11211 12222 12 () n nT jin m mmnm n m aaa aaa Aa aaa 設(shè) 稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。 即把矩陣的行換成同序號(hào)的列得到的一個(gè)新矩陣。 A 第31頁(yè)/共38頁(yè) 2. 運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的): 2 4 1203 7235 A 如 T 4 2 17 22 03 35 A TT ()AA TTT ()ABAB TT ()AA TTT ()ABB A 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置 第32頁(yè)/共38頁(yè) y 21112 , 13234 AB T AAB T 21 13 12 A T 21 2116