大學(xué)物理學(xué)全冊(cè)配套完整精品課件2

1、大學(xué)物理學(xué)全冊(cè)配套完整大學(xué)物理學(xué)全冊(cè)配套完整 精品課件精品課件2 矢量及其運(yùn)算矢量及其運(yùn)算 位矢、位移、速度、加速度的定義位矢、位移、速度、加速度的定義 曲線運(yùn)動(dòng)的自然坐標(biāo)系描述曲線運(yùn)動(dòng)的自然坐標(biāo)系描述 運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題 矢量：既有大小又有方向的量，如速度、力、位移等矢量：既有大小又有方向的量，如速度、力、位移等 標(biāo)量：僅有大小而與空間方向無關(guān)的量，由單一的數(shù)和單標(biāo)量：僅有大小而與空間方向無關(guān)的量，由單一的數(shù)和單 位描寫，如質(zhì)量、密度等位描寫，如質(zhì)量、密度等 A， ,A 矢量相等：矢量相等：A=B 矢量的表示：矢量的表示： A B 負(fù)矢量：負(fù)矢量：方向相反，大小相等方向相反，大

2、小相等 A AB B 00 = A AA AA A 模模單位矢量單位矢量 矢量加法（矢量加法（Vector Addition）：）： 矢量加法遵循平行四邊形法則（或三角形法則）矢量加法遵循平行四邊形法則（或三角形法則） ABC A B C 矢量加法的三角形法則，多矢量加法：矢量加法的三角形法則，多矢量加法： A B C 顯然，矢量加法服從：顯然，矢量加法服從： 交換律交換律 結(jié)合律結(jié)合律 ABBA ()()ABCABC 矢量減法（矢量減法（Vector Subtraction）：）： ()ABABD 解決了矢量加法，也就解決了矢量的減法。解決了矢量加法，也就解決了矢量的減法。 A B -B D

3、AB A B DAB 矢量和標(biāo)量乘：矢量和標(biāo)量乘： 結(jié)果是一個(gè)結(jié)果是一個(gè)矢量。（大小、方向？）矢量。（大小、方向？） 矢量和矢量乘：矢量和矢量乘： 點(diǎn)乘：結(jié)果是一個(gè)點(diǎn)乘：結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量。（大??？）標(biāo)量。（大??？） 叉乘：結(jié)果是一個(gè)叉乘：結(jié)果是一個(gè)矢量。（大小、方向？）矢量。（大小、方向？） 矢量的點(diǎn)乘（矢量的點(diǎn)乘（Scalar Product）：）： cosA BAB B cos A B 表示：兩個(gè)矢量的標(biāo)積是一個(gè)表示：兩個(gè)矢量的標(biāo)積是一個(gè)標(biāo)標(biāo) 量量，其大小是第一個(gè)矢量的大小乘以第二個(gè)矢量在第，其大小是第一個(gè)矢量的大小乘以第二個(gè)矢量在第 一個(gè)矢量上的一個(gè)矢量上的投影投影。 是指這兩個(gè)矢量的夾角

4、。是指這兩個(gè)矢量的夾角。 cosA BAB 1) 2) 如果如果: 則則 反之亦成立。反之亦成立。 3 3）兩個(gè)矢量平行、反平行時(shí)，）兩個(gè)矢量平行、反平行時(shí)， 標(biāo)積最大、最小。標(biāo)積最大、最小。 A BB A 0ABA B A B sinA BCAB A BC C 兩個(gè)矢量的矢積是一個(gè)兩個(gè)矢量的矢積是一個(gè)矢量矢量，其，其大小大小是第一個(gè)矢量的是第一個(gè)矢量的 大小與第二個(gè)矢量的大小以及兩矢量夾角的正弦值，大小與第二個(gè)矢量的大小以及兩矢量夾角的正弦值， 這這三者的乘積三者的乘積，方向方向按按右手螺旋法則右手螺旋法則確定。確定。 矢量與矢量與 、 矢量構(gòu)成的矢量構(gòu)成的 平面永遠(yuǎn)平面永遠(yuǎn)垂直！垂直！它的

5、意義它的意義 是是 、 矢量構(gòu)成的平行四矢量構(gòu)成的平行四 邊形的有向面積。邊形的有向面積。 C A A B B 1) 2) 如果如果: 則則 反之亦成立。反之亦成立。 3 3）兩個(gè)矢量垂直時(shí)，矢積的模最大，方向）兩個(gè)矢量垂直時(shí)，矢積的模最大，方向 按右手螺旋法則。按右手螺旋法則。 A BBA 0A BA B 一個(gè)矢量可以分解為兩個(gè)或多個(gè)矢量之和。一個(gè)矢量可以分解為兩個(gè)或多個(gè)矢量之和。 O Y X Ax Ay cos sin x y AA AA 例如：例如： 等等分法，但有意義的等等分法，但有意義的 是在特定的坐標(biāo)系里分解。最常見的是直角坐標(biāo)系。是在特定的坐標(biāo)系里分解。最常見的是直角坐標(biāo)系。 A

6、BCDEF A 22 xy AAAA 1 tan y x A A 因此，平面上的一個(gè)矢量，可以用其兩個(gè)坐標(biāo)因此，平面上的一個(gè)矢量，可以用其兩個(gè)坐標(biāo) 分量確定；也可以由其大小和方向確定。分量確定；也可以由其大小和方向確定。 O Y XAx Ay O Z Y X P Ay Az Ax xyzxyz OPAAAA iA jA k 單位矢量：?jiǎn)挝皇噶浚?(Unite vectors)i j k 矢量在空間直角坐標(biāo)系中的分解矢量在空間直角坐標(biāo)系中的分解 222 xyz AAAAA cos xx AAAA cos y AA 222 coscoscos1 cos z AA 一個(gè)矢量可以表示為三個(gè)分矢量之和；

7、也可以由其大一個(gè)矢量可以表示為三個(gè)分矢量之和；也可以由其大 小和三個(gè)方向角決定（四個(gè)變量？）?？梢詫憺椋盒『腿齻€(gè)方向角決定（四個(gè)變量？）?？梢詫憺椋?O Z Y X P Ay Az Ax i j k 矢量的分量運(yùn)算矢量的分量運(yùn)算 (Vector Operation by Components) ()() ()()() xyzxy xxyyzz z AA iA jA kB iB jB k ijk B ABABAB xyz AA iA jA k xyz BB iB jB k () () xy xxy zxy yzz z A iA jA kB iB jB kA B A BA BA B 注意到如下關(guān)系

8、：注意到如下關(guān)系： 同樣有關(guān)系：同樣有關(guān)系： () () ()()() yzz xyzxy yzxxzxyyx z A B ABAB iABAB jABAB k AiA jAkB iB jB k 利用行列式，可表達(dá)為：利用行列式，可表達(dá)為： xyz xyz ijk A BAAA BBB 0 d()( ) lim d t AA ttA t tt 一個(gè)矢量既有大小又有方向一個(gè)矢量既有大小又有方向 0 AA A 因此：因此： 0 0 ddd ddd AA AA ttt A 顯然可以區(qū)分為三種情況：顯然可以區(qū)分為三種情況： l矢量的大小變化，矢量的方向不變矢量的大小變化，矢量的方向不變 l矢量的方向變

9、化，大小不變矢量的方向變化，大小不變 l矢量的大小和方向都發(fā)生變化矢量的大小和方向都發(fā)生變化 因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系的基矢量永遠(yuǎn)不變！矢量的改變的只是矢量分因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系的基矢量永遠(yuǎn)不變！矢量的改變的只是矢量分 量大小的變化，因此矢量對(duì)時(shí)間的變化率的形式就相對(duì)簡(jiǎn)單：量大小的變化，因此矢量對(duì)時(shí)間的變化率的形式就相對(duì)簡(jiǎn)單： xyz A iA jA k A d ddd dddd y xz A AA ijk tttt A 使用類似的方法可以處理矢量函數(shù)的積分。如矢量函數(shù)使用類似的方法可以處理矢量函數(shù)的積分。如矢量函數(shù) A A( (t t) ) 對(duì)對(duì) t t 的積分：的積分： ( )d( )d( )d( )d

10、xyz A ttA tt iA ttjA tt k 或：或： 2222 1111 ( )d( )d( )d( )d tttt xyz tttt A ttA tt iA ttjA tt k 參考系（參考系（Reference Frame） ： 確定一個(gè)物體的位置總是相對(duì)于某一物體或某一物體系來確定，那確定一個(gè)物體的位置總是相對(duì)于某一物體或某一物體系來確定，那 么這么這物體或物體系就作為描述物體位置的基準(zhǔn)，稱為參考系。物體或物體系就作為描述物體位置的基準(zhǔn)，稱為參考系。 坐標(biāo)系（坐標(biāo)系（Coordinates） ： 確定了參考系后，為了能夠定量地描確定了參考系后，為了能夠定量地描 述一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，

11、必需在選定的參述一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，必需在選定的參 考系上建立一個(gè)合適的坐標(biāo)系考系上建立一個(gè)合適的坐標(biāo)系 。常見。常見 的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系、的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系、 球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系等。球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系等。 參考系參考系 r z y x o 質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)（Particle）:將宏觀物理抽象為只有質(zhì)量而不計(jì)大小、形狀的將宏觀物理抽象為只有質(zhì)量而不計(jì)大小、形狀的 點(diǎn)（粒子），是力學(xué)中的一個(gè)重要的理想模型。點(diǎn)（粒子），是力學(xué)中的一個(gè)重要的理想模型。 質(zhì)點(diǎn)系（質(zhì)點(diǎn)系（Particle System）：很多質(zhì)點(diǎn)按一定規(guī)律組成的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)：很多質(zhì)點(diǎn)按一定規(guī)律組成的一

12、個(gè)質(zhì)點(diǎn) 系統(tǒng)。通過描述質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)。通過描述質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)的 運(yùn)動(dòng)情況，從而了解整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)運(yùn)動(dòng)情況，從而了解整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn) 動(dòng)（求和，積分）。動(dòng)（求和，積分）。 地球的運(yùn)動(dòng)：地球的運(yùn)動(dòng)： 公轉(zhuǎn)：質(zhì)點(diǎn)模型公轉(zhuǎn)：質(zhì)點(diǎn)模型 自轉(zhuǎn)：質(zhì)點(diǎn)系模型自轉(zhuǎn)：質(zhì)點(diǎn)系模型 位矢用坐標(biāo)值表示為：位矢用坐標(biāo)值表示為： k zj yi xr 222 zyxr cos, cos, cos xyz rrr 從坐標(biāo)原點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)o出發(fā)，指向質(zhì)點(diǎn)所在位置出發(fā)，指向質(zhì)點(diǎn)所在位置 P 的一有向線段。的一有向線段。 P(x,y,z) r z y x o 運(yùn)動(dòng)方程（運(yùn)動(dòng)方程（Motion Equation）：）： ( )

13、( )( )( )r tx t iy t jz t k 矢量形式：矢量形式： 參數(shù)形式：參數(shù)形式： ( ) ( ) ( ) xx t yy t zz t 軌道方程（軌道方程（ Track Equation ）：）： ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z G x y z 消去時(shí)間消去時(shí)間 參數(shù)（參數(shù)（t） 設(shè)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)設(shè)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng) t 時(shí)刻位于時(shí)刻位于A點(diǎn)，位矢點(diǎn)，位矢 t t時(shí)刻位于時(shí)刻位于B點(diǎn)，位矢點(diǎn)，位矢 ( )r t ()r tt 在在 t時(shí)間內(nèi)，時(shí)間內(nèi)，位矢的變化量位矢的變化量（即（即A到到B的有向線段）稱為的有向線段）稱為位移位移；而；而 A到到B路徑的長(zhǎng)度

14、路徑的長(zhǎng)度 s稱為稱為路程路程。 ()( )rr ttr t z y x o r(t) r(tt) r A B s 顯然：顯然： rs 平均速度：刻畫速度平均速度：刻畫速度t 時(shí)間內(nèi)平均變化率時(shí)間內(nèi)平均變化率 在在 t 時(shí)間內(nèi)發(fā)生位移時(shí)間內(nèi)發(fā)生位移r 則平均速度：則平均速度： r v t 瞬時(shí)速度：刻畫瞬時(shí)速度：刻畫 t 時(shí)刻速度的即時(shí)變化率時(shí)刻速度的即時(shí)變化率 0 d d lim t rr v tt A r(t) o B r(tt) r B B d dt r 顯然，顯然， 和和 曲線的斜率有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系！曲線的斜率有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系！v ( )r t 在在 t 時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)

15、過 路程路程 s對(duì)時(shí)間的對(duì)時(shí)間的變化率變化率: s v t 平均速率：平均速率： 瞬時(shí)速率：瞬時(shí)速率： 0 d d lim t ss v tt 一般情況：一般情況： rsvv ， 當(dāng)當(dāng) t0時(shí)：時(shí)： d , d , dd , rrssrsvv s r B A o 速度在直角坐標(biāo)系中的解析表示：速度在直角坐標(biāo)系中的解析表示： d ( )d ( )d ( ) ddd x ty tz t vijk ttt ( )( )( )( )r tx t iy t jz t k d ( ) d d ( ) d d ( ) d x y z x t v t y t v t z t v t 加速度是反映速度變化的物理

16、量加速度是反映速度變化的物理量 t1時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)速為時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)速為 t2時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)速度為時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)速度為 1 v 2 v t時(shí)間內(nèi)，速度增量為：時(shí)間內(nèi)，速度增量為： 12 vvv 2 sm t v a 平均加速度的方向與速度增量的方向一致平均加速度的方向與速度增量的方向一致 x o z y 1 v 2 v 1 v 2 v v 當(dāng)當(dāng) t0時(shí)，平均加速度的極限即為瞬時(shí)加速度。時(shí)，平均加速度的極限即為瞬時(shí)加速度。 2 2 2 0 dd m/s dd lim t vvr a ttt d ddd dddd y xz v vvv aijk tttt kajaia zyx 222 222 ddd ddd xy

17、z ijk ttt 222 222 d ddddd dddddd y xz xyz v vvxyz aaa tttttt 222 zyx aaaa 當(dāng)當(dāng) t 趨向零時(shí)，速度增量趨向零時(shí)，速度增量 的極限方向的極限方向v 平面自然坐標(biāo)系平面自然坐標(biāo)系“自然地自然地”選取坐標(biāo)曲線上的選取坐標(biāo)曲線上的切向和法向切向和法向?yàn)榛浮榛浮?切向基矢切向基矢 ，它的方向是質(zhì)點(diǎn)所在處的軌道曲線的切向并沿質(zhì)點(diǎn)前，它的方向是質(zhì)點(diǎn)所在處的軌道曲線的切向并沿質(zhì)點(diǎn)前 進(jìn)的方向。另一個(gè)法向基矢進(jìn)的方向。另一個(gè)法向基矢 ，沿軌道曲線在該點(diǎn)處的法向并指向，沿軌道曲線在該點(diǎn)處的法向并指向 曲線凹的一側(cè)曲線凹的一側(cè) 。 n

18、“自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系”就是直接選取沿著就是直接選取沿著 軌道曲線的坐標(biāo)系。選定該曲線上軌道曲線的坐標(biāo)系。選定該曲線上 一個(gè)定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o，以曲線上某，以曲線上某 點(diǎn)到原點(diǎn)點(diǎn)到原點(diǎn)o之間的曲線長(zhǎng)度也即弧長(zhǎng)之間的曲線長(zhǎng)度也即弧長(zhǎng)s 為坐標(biāo)參量，并規(guī)定自原點(diǎn)向質(zhì)點(diǎn)為坐標(biāo)參量，并規(guī)定自原點(diǎn)向質(zhì)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)方向的一側(cè)運(yùn)動(dòng)方向的一側(cè)s為正，另一側(cè)為正，另一側(cè)s為負(fù)。為負(fù)。 s o n Q P s n s A B B A B C r ddrs 無限小位移無限小位移dr沿曲線切向基矢沿曲線切向基矢 的方向的方向 ，故：，故： 1, s r , s r 00 d1 limlim d tt sv

19、 ttt rr 在軌道上取非常接近的兩點(diǎn)在軌道上取非常接近的兩點(diǎn)A、B，這兩點(diǎn)間弧長(zhǎng)，這兩點(diǎn)間弧長(zhǎng) s足夠小，以致足夠小，以致 可以看作是一段圓?。▽?shí)際為可以看作是一段圓?。▽?shí)際為A處的曲率圓的一部分）。那么處的曲率圓的一部分）。那么A、B 兩點(diǎn)的法線的交點(diǎn)兩點(diǎn)的法線的交點(diǎn)C就是這段圓弧的圓心。我們稱就是這段圓弧的圓心。我們稱C為為A點(diǎn)處曲線的點(diǎn)處曲線的 曲率中心。曲率中心。C、A間的距離為間的距離為r，稱為曲線在，稱為曲線在A點(diǎn)處的曲率半徑。點(diǎn)處的曲率半徑。 的方向指向曲率中心。的方向指向曲率中心。 d dt 因此在自然坐標(biāo)系中，加速度可以表示為：因此在自然坐標(biāo)系中，加速度可以表示為： 例：

20、拋體運(yùn)動(dòng)例：拋體運(yùn)動(dòng) a n a gm 圓周運(yùn)動(dòng)是一般曲線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，曲率半徑恒為圓周運(yùn)動(dòng)是一般曲線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，曲率半徑恒為r。 d d v a t r v an 2 0, =0a r v aa n 2 d (rad s) dt 0 d (rad s) d lim t tt dd()d ddd vr arr ttt 第一類問題是已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程第一類問題是已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程rr(t)，求任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位矢、，求任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位矢、 速度和加速度，速度和加速度，這主要是進(jìn)行微分運(yùn)算。這主要是進(jìn)行微分運(yùn)算。 例例1 一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在 x-y 平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為：平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為：x

21、=t+5，y=t2+3t-4。式。式 中，中，t 的單位為秒（的單位為秒（s），坐標(biāo)），坐標(biāo)x、y的單位為米（的單位為米（m），求：），求： （1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程；）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程； （2）t = 2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量；時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量； （3）質(zhì)點(diǎn)從）質(zhì)點(diǎn)從t =1s到到t =2s間的位移；間的位移； （4）質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。）質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。 （1）將參數(shù)形式的運(yùn)動(dòng)方程）將參數(shù)形式的運(yùn)動(dòng)方程 : 2 5 34 xt ytt 第一式第一式 tx5 代入第二式，消去時(shí)間即得軌跡方程：代入第二式，消去時(shí)間即得軌跡方程： 2 76yxx （2） （3） （4） 2 222 ( )|(

22、5)|(34)|76 (m) ttt ttittjij r (2)(1)(76 )66 (m)ttijiij rrr d (23) d itj t r v 2 d 2 (m s ) d j t v a 在運(yùn)動(dòng)學(xué)第一類問題中，有時(shí)沒有顯含時(shí)間的運(yùn)動(dòng)方程，在運(yùn)動(dòng)學(xué)第一類問題中，有時(shí)沒有顯含時(shí)間的運(yùn)動(dòng)方程， 這時(shí)需要通過一些幾何關(guān)系構(gòu)造等式，再通過對(duì)等式兩這時(shí)需要通過一些幾何關(guān)系構(gòu)造等式，再通過對(duì)等式兩 邊同時(shí)求導(dǎo)得到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度或加速度。邊同時(shí)求導(dǎo)得到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度或加速度。 例例2 如圖所示，湖中一小船，岸邊有人用繩子跨過離水面高如圖所示，湖中一小船，岸邊有人用繩子跨過離水面高h(yuǎn)處的處的 滑輪

23、拉船，人以恒定速率滑輪拉船，人以恒定速率v0收繩，試求船離岸的距離為收繩，試求船離岸的距離為 時(shí)，時(shí)， 船的速度和加速度。船的速度和加速度。 3h v0 h l v0 h l o x x 解：建立坐標(biāo)系，設(shè)小船位解：建立坐標(biāo)系，設(shè)小船位 置為置為x，船到滑輪的距離為，船到滑輪的距離為l， 由于小船可看作質(zhì)點(diǎn)在水面由于小船可看作質(zhì)點(diǎn)在水面 上運(yùn)動(dòng)，上運(yùn)動(dòng)，所以其速度和加速所以其速度和加速 度均在度均在x方向方向。由勾股定理。由勾股定理 得得 ： 222 xhl 2 2 0 3 d d vh av tx 2 00 33 21 |, | 33 3 xhxh vvav h 22 0 dd dd xll

24、xh vv tx tx l 隨時(shí)間變小隨時(shí)間變小 第二類問題是已知加速度第二類問題是已知加速度a = a(t)及運(yùn)動(dòng)的初始條件及運(yùn)動(dòng)的初始條件(即即t = 0時(shí)的時(shí)的 位矢位矢r0及初速度及初速度v0)，求任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和位矢。這是第一類，求任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和位矢。這是第一類 問題的逆運(yùn)算，問題的逆運(yùn)算，需要用積分求解。需要用積分求解。 例例3 一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在xy平面上運(yùn)動(dòng)，其加速度為平面上運(yùn)動(dòng)，其加速度為a 5t2i 3j。已知。已知 t 0 時(shí)，時(shí)， 質(zhì)點(diǎn)靜止于坐標(biāo)原點(diǎn)。求在任一時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的速度、位置矢質(zhì)點(diǎn)靜止于坐標(biāo)原點(diǎn)。求在任一時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的速度、位置矢 量（運(yùn)動(dòng)方程）和軌跡方程。

25、量（運(yùn)動(dòng)方程）和軌跡方程。 2 53t ij a 00 0, 0, 0t vr 23 0 000 5 d(5 d )(3d )3 3 ttt ttt it jt itj vva 342 0 000 553 d(d )(3d ) 3122 ttt ttt it t jt it j rrv 將位置矢量方程（運(yùn)動(dòng)方程）的參數(shù)方程式消去參數(shù)將位置矢量方程（運(yùn)動(dòng)方程）的參數(shù)方程式消去參數(shù) t ，即，即 可求得軌跡方程為：可求得軌跡方程為： 2 5 27 xy 4 2 5 12 3 2 xt yt 消去參數(shù)消去參數(shù) t 得：得： 顯然，運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線。顯然，運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線。 動(dòng)量、沖量、動(dòng)量定理與

26、動(dòng)量守恒定律動(dòng)量、沖量、動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 動(dòng)能、勢(shì)能、機(jī)械能動(dòng)能、勢(shì)能、機(jī)械能 動(dòng)能定理、功能原理與機(jī)械能守恒動(dòng)能定理、功能原理與機(jī)械能守恒 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量、角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量、角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒 任何物體都將保持靜止或沿一直線作勻速運(yùn)動(dòng)的狀任何物體都將保持靜止或沿一直線作勻速運(yùn)動(dòng)的狀 態(tài)，除非有力加于其上迫使它改變這種狀態(tài)。態(tài)，除非有力加于其上迫使它改變這種狀態(tài)。 動(dòng)量動(dòng)量(momentum)： “運(yùn)動(dòng)的改變和所加的動(dòng)力成正比，并且發(fā)生在這力所運(yùn)動(dòng)的改變和所加的動(dòng)力成正比，并且發(fā)生在這力所 沿直線的方向上。沿直線的方向上?！?“運(yùn)動(dòng)的量是用速度和質(zhì)量一起來度量的運(yùn)動(dòng)的

27、量是用速度和質(zhì)量一起來度量的”。 （1） 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 慣性系慣性系 （2） 瞬時(shí)性瞬時(shí)性 矢量性矢量性 （3） m 不變時(shí)，不變時(shí)， （4）力為合力，）力為合力， 12n FFFF Fma pmv “每一個(gè)作用總有一個(gè)相等的反作用與它對(duì)抗；或者每一個(gè)作用總有一個(gè)相等的反作用與它對(duì)抗；或者 說，兩個(gè)物體之間的相互作用永遠(yuǎn)相等，并且指向?qū)φf，兩個(gè)物體之間的相互作用永遠(yuǎn)相等，并且指向?qū)?方。方。” 除萬有引力外，幾乎所有宏觀力都是電除萬有引力外，幾乎所有宏觀力都是電 磁力。長(zhǎng)程力。磁力。長(zhǎng)程力。 強(qiáng)度僅為電磁力的強(qiáng)度僅為電磁力的1/1037 原子核內(nèi)的短程力，其強(qiáng)度是電磁力的百原子核內(nèi)的短程力，其強(qiáng)度

28、是電磁力的百 倍。力程約為倍。力程約為10-15m 存在于基本粒子之間，強(qiáng)度只是強(qiáng)力的一百存在于基本粒子之間，強(qiáng)度只是強(qiáng)力的一百 萬億分之一。力程：約為萬億分之一。力程：約為10-17m 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方 程程 ，求作用于質(zhì)點(diǎn)的力。將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)時(shí)間，求作用于質(zhì)點(diǎn)的力。將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)時(shí)間 求二階導(dǎo)數(shù)，算出質(zhì)點(diǎn)的加速度，進(jìn)而便可求得作用求二階導(dǎo)數(shù)，算出質(zhì)點(diǎn)的加速度，進(jìn)而便可求得作用 于質(zhì)點(diǎn)的力。于質(zhì)點(diǎn)的力。 ( )rr t 例例1 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在的質(zhì)點(diǎn)在xy平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為：平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為： 式中式中A

29、、B、w為常數(shù)，求物體受到的作用力。為常數(shù)，求物體受到的作用力。 sin()cos()rAt iBt j 解：解：由牛頓第二定律由牛頓第二定律 2 d d r Fmam t 2 2 22 2 d sin()cos() d sin()cos() FmAt iBt j t mAt imBt j mr 已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力和已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力和初始條件初始條件，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)律。，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)律。 這類問題情況比較復(fù)雜，須據(jù)受力情況來定：如果力這類問題情況比較復(fù)雜，須據(jù)受力情況來定：如果力 是恒力，或是時(shí)間、速度的函數(shù)，這時(shí)，或用是恒力，或是時(shí)間、速度的函數(shù)，這時(shí)，或用“隔離隔離 體法體法”求解，或

30、對(duì)動(dòng)力學(xué)方程分離變量后積分；如果求解，或?qū)?dòng)力學(xué)方程分離變量后積分；如果 力是坐標(biāo)的函數(shù)，則需先作變量變換，再利用分離變力是坐標(biāo)的函數(shù)，則需先作變量變換，再利用分離變 量求積分的方法來解決。量求積分的方法來解決。 0 0 0 dd L v m vk s d dd d dd vsv mmvkv sts 作如下變換作如下變換 ： 分離變量后兩邊積分，并設(shè)所能前進(jìn)的最大距離為分離變量后兩邊積分，并設(shè)所能前進(jìn)的最大距離為L(zhǎng)： 即可解得：即可解得： 0 m Lv k 例例2 質(zhì)量為質(zhì)量為m的輪船在停靠碼頭之前停機(jī)，這時(shí)輪船的速率為的輪船在?？看a頭之前停機(jī)，這時(shí)輪船的速率為v0。 設(shè)水的阻力與輪船的速率成

31、正比，比例系數(shù)為設(shè)水的阻力與輪船的速率成正比，比例系數(shù)為k，求輪船在發(fā)，求輪船在發(fā) 動(dòng)機(jī)停機(jī)后所能前進(jìn)的最大距離。動(dòng)機(jī)停機(jī)后所能前進(jìn)的最大距離。 d d v mkv t 解：解： （式中負(fù)號(hào)表示力和速度的方向相反（式中負(fù)號(hào)表示力和速度的方向相反 ） 將一個(gè)實(shí)際問題（對(duì)應(yīng)一個(gè)有限過程）將一個(gè)實(shí)際問題（對(duì)應(yīng)一個(gè)有限過程）分解為無限多個(gè)無限小的分解為無限多個(gè)無限小的 過程（元過程），過程（元過程），通過對(duì)其中一個(gè)一般的元過程的研究得到結(jié)論，通過對(duì)其中一個(gè)一般的元過程的研究得到結(jié)論， 并將該結(jié)論對(duì)整個(gè)有限的過程進(jìn)行疊加（積分），從而得到問題并將該結(jié)論對(duì)整個(gè)有限的過程進(jìn)行疊加（積分），從而得到問題 的解

32、，這是物理學(xué)研究問題的一般方法。的解，這是物理學(xué)研究問題的一般方法。 將牛頓第二定律改寫為：將牛頓第二定律改寫為： ddF tp 式中乘積式中乘積 表示力表示力 在在 dt 時(shí)間內(nèi)的積累，稱為在時(shí)間內(nèi)的積累，稱為在 dt 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi) 質(zhì)點(diǎn)所受合外力質(zhì)點(diǎn)所受合外力F的沖量。的沖量。 上式表明，上式表明，質(zhì)點(diǎn)所受合外力在質(zhì)點(diǎn)所受合外力在dt時(shí)間內(nèi)的沖量等于同一時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)的沖量等于同一時(shí)間內(nèi) 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量，也稱為動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量，也稱為動(dòng)量定理的微分形式 。 dF t F 0 d t t IF t 令：令： ，表示力，表示力 在在 t0 到到 t 內(nèi)的沖量（內(nèi)的沖量（impul

33、se） 我們可以得到動(dòng)量定理的積分形式：我們可以得到動(dòng)量定理的積分形式： 0 Ipp 通常情況下，沖量的方向與動(dòng)量的方向不相同，而是與動(dòng)量通常情況下，沖量的方向與動(dòng)量的方向不相同，而是與動(dòng)量 增量的方向相同。由力的沖量（增量的方向相同。由力的沖量（I）、質(zhì)點(diǎn)的初動(dòng)量（）、質(zhì)點(diǎn)的初動(dòng)量（p0）和）和 末動(dòng)量（末動(dòng)量（p）三者組成一個(gè)）三者組成一個(gè)矢量三角形矢量三角形。 如果整個(gè)過程持續(xù)的時(shí)間為如果整個(gè)過程持續(xù)的時(shí)間為從從 t0 時(shí)刻到時(shí)刻到 t 時(shí)刻時(shí)刻，我們將上述結(jié)，我們將上述結(jié) 論對(duì)整個(gè)過程進(jìn)行疊加得到：論對(duì)整個(gè)過程進(jìn)行疊加得到： F 沖量和動(dòng)量都是矢量，我們可以將動(dòng)量定理在直角坐標(biāo)系中進(jìn)沖

34、量和動(dòng)量都是矢量，我們可以將動(dòng)量定理在直角坐標(biāo)系中進(jìn) 行分解，得到的分量式為：行分解，得到的分量式為： 2 121 2121 d t t F t pp F tttt t0t F t F 平均沖力常用來估算碰撞、沖擊過平均沖力常用來估算碰撞、沖擊過 程中的作用力。程中的作用力。 由相互作用的若干個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)稱為質(zhì)點(diǎn)系。由相互作用的若干個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)稱為質(zhì)點(diǎn)系。 我們將牛頓我們將牛頓 第二定律應(yīng)用在由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系上：第二定律應(yīng)用在由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系上： 12 f 21 f m 2 m 1 1 F 2 F 1 112 2 221 d d d d p Ff t p Ff t 1221

35、 0ff 由于：由于：，容易得：，容易得： 12 1212 ddd () ddd pp FFpp ttt 很容易將上式推廣到很容易將上式推廣到 N 個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系的情況的情況 ： 111 d d NNNN iiji iij ii Ffp t 1 0 NN ij ij i f 11 d d NN ii ii Fp t 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式 ： 令：令： 1 N i i pp ，為質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的和，為質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的和 1 N i i FF 令：令：，為系統(tǒng)所受合外力，為系統(tǒng)所受合外力 則：則： 顯然，外力可以改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，而

36、內(nèi)力不會(huì)影響系統(tǒng)的顯然，外力可以改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，而內(nèi)力不會(huì)影響系統(tǒng)的 總動(dòng)量，但是內(nèi)力可以使系統(tǒng)內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間進(jìn)行動(dòng)量交換?？倓?dòng)量，但是內(nèi)力可以使系統(tǒng)內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間進(jìn)行動(dòng)量交換。 如果質(zhì)點(diǎn)系所受外力的矢量和為零如果質(zhì)點(diǎn)系所受外力的矢量和為零 ，即：，即： 1 0 N i i FF 則：則： 由于力和動(dòng)量都是矢量，因此動(dòng)量守恒定律在直角坐標(biāo)系中可由于力和動(dòng)量都是矢量，因此動(dòng)量守恒定律在直角坐標(biāo)系中可 以表示為：以表示為： 例例3 質(zhì)量為質(zhì)量為m的勻質(zhì)柔軟鏈條，全長(zhǎng)為的勻質(zhì)柔軟鏈條，全長(zhǎng)為L(zhǎng)，手持一端，使下端離地，手持一端，使下端離地 面的高度為面的高度為h，然后由靜止釋放，讓其自由下落到地面。

37、求鏈，然后由靜止釋放，讓其自由下落到地面。求鏈 條落在地面上的長(zhǎng)度為條落在地面上的長(zhǎng)度為L(zhǎng)/3時(shí)，地面所受鏈條的作用力大小時(shí)，地面所受鏈條的作用力大小 。 L-l + L h 鏈條落到地上鏈條落到地上 l 后，其速度大小為后，其速度大小為 v，考慮此時(shí)的一元過程：，考慮此時(shí)的一元過程：在在dt 時(shí)時(shí) 間內(nèi)，落下一小段間內(nèi)，落下一小段dl，其速度大小，其速度大小 由由v變?yōu)樽優(yōu)?，設(shè)此時(shí)鏈條受到地面的設(shè)此時(shí)鏈條受到地面的 沖力的大小為沖力的大小為 f。 以向下的方向?yàn)檎较?，由?dòng)量定以向下的方向?yàn)檎较?，由?dòng)量定 理得：理得： 0(d )d m l vf t L 2 ()vg hl 解：解： d

38、 d ml fv Lt 2 2() mm vg hl LL 地面受到鏈條的作用力為地面受到鏈條的作用力為 f 的反作用力和重力的和，設(shè)為的反作用力和重力的和，設(shè)為F： ()(23 ) mmg Ffl ghl LL FfG 其大小為：其大小為： 當(dāng)鏈條落在地面上的長(zhǎng)度為當(dāng)鏈條落在地面上的長(zhǎng)度為L(zhǎng)/3時(shí)：時(shí)： 2hL Fmg L 例例4 不考慮空氣的阻力并將重力看作恒力，分析火箭上升過程中不考慮空氣的阻力并將重力看作恒力，分析火箭上升過程中 速度大小的變化。速度大小的變化。 解：解：令豎直向上為正方向?？紤]某一時(shí)刻，火箭令豎直向上為正方向。考慮某一時(shí)刻，火箭 和燃料的總質(zhì)量及速度分別為：和燃料的總

39、質(zhì)量及速度分別為：m，v，考察此時(shí)，考察此時(shí) 的一個(gè)元過程：經(jīng)的一個(gè)元過程：經(jīng)dt 時(shí)間后，火箭以對(duì)地噴射速時(shí)間后，火箭以對(duì)地噴射速 度度u噴射噴射dm的燃料，同時(shí)火箭速度為的燃料，同時(shí)火箭速度為vdv。對(duì)該。對(duì)該 元過程應(yīng)用動(dòng)量定理得：元過程應(yīng)用動(dòng)量定理得： ddddmmvvu mmvmg t c vuv令：令：表示燃料相對(duì)火箭的噴射速度，表示燃料相對(duì)火箭的噴射速度， 又稱噴氣速度又稱噴氣速度 ，由火箭的發(fā)，由火箭的發(fā) 動(dòng)機(jī)決定。動(dòng)機(jī)決定。 則：則：ddd c m vv mmg t 解：解： 設(shè)發(fā)射的一瞬間，火箭和燃料的總質(zhì)量為設(shè)發(fā)射的一瞬間，火箭和燃料的總質(zhì)量為M0，燃料噴射完后，燃料噴射

40、完后， 火箭的質(zhì)量為火箭的質(zhì)量為Mf ，速度大小為，速度大小為v，經(jīng)歷的時(shí)間為，經(jīng)歷的時(shí)間為tf 0 00 d dd ff vMt c M m vvgt m 0 ln cf f M vvgt M 如何提高火箭的末態(tài)速度？如何提高火箭的末態(tài)速度？ dr F a b 考察其中一個(gè)元過程，由于在此元過程考察其中一個(gè)元過程，由于在此元過程 中，位移趨于中，位移趨于0，因而此元過程經(jīng)歷的時(shí)，因而此元過程經(jīng)歷的時(shí) 間也必然趨于間也必然趨于0。 因此，可以認(rèn)為該元過程的位移為一直因此，可以認(rèn)為該元過程的位移為一直 線，此元過程中的力也可以看做恒力。線，此元過程中的力也可以看做恒力。 元功元功任一元過程中力的

41、功。它定義為：任一元過程中力的功。它定義為： 任意一個(gè)有限的過程都可以看作無限多的元過程的和，因此任意任意一個(gè)有限的過程都可以看作無限多的元過程的和，因此任意 一個(gè)有限過程的功就是元功的和，這個(gè)和就是元功的積分：一個(gè)有限過程的功就是元功的和，這個(gè)和就是元功的積分： 在直角坐標(biāo)系中，上式可以表示為：在直角坐標(biāo)系中，上式可以表示為： () (ddd) (ddd ) b xyz a b xyz a AF iF jF kxiyjzk F xF yF z 合力合力 的功：的功： i i FF 功率功率 功對(duì)時(shí)間的變化率，表示做功的快慢，單位為瓦特（功對(duì)時(shí)間的變化率，表示做功的快慢，單位為瓦特（W） 用用

42、dr點(diǎn)乘牛頓第二定律等式的兩邊得：點(diǎn)乘牛頓第二定律等式的兩邊得： 2 d1 ddd()d() d2 p Frrmvvmv t 將上式兩邊對(duì)一個(gè)有限過程積分得：將上式兩邊對(duì)一個(gè)有限過程積分得： 顯然，顯然， 是一個(gè)狀態(tài)量。我們定義它為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：是一個(gè)狀態(tài)量。我們定義它為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能： 2 1 2 mv ha hb a b dr m G y x o d b a AGr () (dd) b a mgjxiyj d() b a h ba h mg ymghmgh 重力做功的特點(diǎn)：重力做功的特點(diǎn)： 狀態(tài)量：狀態(tài)量：mgh() ba Amghmgh Fkxi 狀態(tài)量：狀態(tài)量： 2 1 2 kx 22 11

43、 () 22 ba kxkxA M m r a b dl F drr a r b r r 0 22 dddd cos MmMm AFlGrlGl rr 0 2 Mm FGr r 2 d Mm Gr r 2 d() b a r r ba MmMmMm AGrGG rrr 狀態(tài)量：狀態(tài)量： Mm G r dd bb ab aa fsf sf s sab為從為從a點(diǎn)到點(diǎn)到b點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度。點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度。 質(zhì)點(diǎn)在粗糙的水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所受的滑動(dòng)摩擦力為質(zhì)點(diǎn)在粗糙的水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所受的滑動(dòng)摩擦力為 f ，當(dāng)質(zhì)，當(dāng)質(zhì) 點(diǎn)沿著任意路徑點(diǎn)沿著任意路徑s從從a點(diǎn)到點(diǎn)到b點(diǎn)時(shí)，摩擦力做的功：點(diǎn)時(shí)，摩擦力做的功： v

44、f a b 按力做功的特點(diǎn)，可以將力分為兩類。按力做功的特點(diǎn)，可以將力分為兩類。 一類是一類是力做功與具體路徑無關(guān)力做功與具體路徑無關(guān)，這樣的力我們稱為保守力（萬，這樣的力我們稱為保守力（萬 有引力、重力、彈性力、靜電場(chǎng)力有引力、重力、彈性力、靜電場(chǎng)力 ）；）； 另一類是另一類是力做功與具體路徑有關(guān)力做功與具體路徑有關(guān)，這種力稱為非保守力（摩擦，這種力稱為非保守力（摩擦 力）。力）。 a b c d 保守力做功與路徑無關(guān)，可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示：保守力做功與路徑無關(guān)，可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示： 由保守力做功的特點(diǎn)可知，在保守力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)在不同的位置具由保守力做功的特點(diǎn)可知，在保守力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)在不同的

45、位置具 有不同的能量狀態(tài)。因此，保守力場(chǎng)中儲(chǔ)藏著一種能量，這種能有不同的能量狀態(tài)。因此，保守力場(chǎng)中儲(chǔ)藏著一種能量，這種能 量是位置的函數(shù)量是位置的函數(shù)與與位置有關(guān)位置有關(guān)的能量，稱為的能量，稱為勢(shì)能或位能勢(shì)能或位能，用，用Ep 表示。表示。 保守力的功與勢(shì)能變化的關(guān)系為：保守力的功與勢(shì)能變化的關(guān)系為：() pbpap AEEE 重力勢(shì)能：重力勢(shì)能： p Emgh 彈簧彈性力勢(shì)能：彈簧彈性力勢(shì)能： 2 1 2 p Ekx 萬有引力勢(shì)能：萬有引力勢(shì)能： p Mm EG r 雖然勢(shì)能的零點(diǎn)是可以隨意取的，但是度量勢(shì)能零點(diǎn)的坐雖然勢(shì)能的零點(diǎn)是可以隨意取的，但是度量勢(shì)能零點(diǎn)的坐 標(biāo)改變時(shí)，可能導(dǎo)致勢(shì)能的

46、函數(shù)形式改變。標(biāo)改變時(shí)，可能導(dǎo)致勢(shì)能的函數(shù)形式改變。 勢(shì)能是屬于系統(tǒng)的，而不屬于系統(tǒng)中個(gè)別質(zhì)點(diǎn)。勢(shì)能是屬于系統(tǒng)的，而不屬于系統(tǒng)中個(gè)別質(zhì)點(diǎn)。 勢(shì)能的數(shù)值是相對(duì)的，勢(shì)能的大小與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)，勢(shì)能的數(shù)值是相對(duì)的，勢(shì)能的大小與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)， 零點(diǎn)選取不同，勢(shì)能的多少也不同。零點(diǎn)選取不同，勢(shì)能的多少也不同。 從函數(shù)形式看，萬有引力勢(shì)能、重力勢(shì)能和彈性勢(shì)零點(diǎn)能都有從函數(shù)形式看，萬有引力勢(shì)能、重力勢(shì)能和彈性勢(shì)零點(diǎn)能都有 天然的坐標(biāo)與其對(duì)應(yīng)。天然的坐標(biāo)與其對(duì)應(yīng)。 勢(shì)能與保守力做功緊密相連，保守力做正功，勢(shì)能減少，動(dòng)勢(shì)能與保守力做功緊密相連，保守力做正功，勢(shì)能減少，動(dòng) 能增加；保守力做負(fù)功，勢(shì)能增加

47、，動(dòng)能減少。能增加；保守力做負(fù)功，勢(shì)能增加，動(dòng)能減少。 如，對(duì)于重力勢(shì)能，我們可以取坐標(biāo)如，對(duì)于重力勢(shì)能，我們可以取坐標(biāo)h0處為勢(shì)能零點(diǎn)，則任意處為勢(shì)能零點(diǎn)，則任意 一點(diǎn)（坐標(biāo)為一點(diǎn)（坐標(biāo)為h）的重量勢(shì)能為：）的重量勢(shì)能為： 00 () p Emghmghmg hh 如果令：如果令： 0 hhh p Emgh 顯然，我們可以通過坐標(biāo)平移，令顯然，我們可以通過坐標(biāo)平移，令h0 處為新的坐標(biāo)原點(diǎn)，在新處為新的坐標(biāo)原點(diǎn)，在新 的坐標(biāo)系中，重力勢(shì)能的函數(shù)形式不變。的坐標(biāo)系中，重力勢(shì)能的函數(shù)形式不變。 則：則： 但是，萬有引力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的函數(shù)形式卻不滿足坐但是，萬有引力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的函數(shù)形式卻不滿

48、足坐 標(biāo)平移不變。標(biāo)平移不變。 又如，對(duì)于彈簧的彈性勢(shì)能，我們可以令又如，對(duì)于彈簧的彈性勢(shì)能，我們可以令x0處為勢(shì)能零點(diǎn)，處為勢(shì)能零點(diǎn)， 同時(shí)令：同時(shí)令： 0 xxx 222 0 111 222 p Exx x 例例5 對(duì)于重力場(chǎng)中的豎直彈簧振子，當(dāng)取振子的平衡位置為彈對(duì)于重力場(chǎng)中的豎直彈簧振子，當(dāng)取振子的平衡位置為彈 性勢(shì)能和重力勢(shì)能的共同零點(diǎn)時(shí)，則振子在任意位置的勢(shì)能和性勢(shì)能和重力勢(shì)能的共同零點(diǎn)時(shí)，則振子在任意位置的勢(shì)能和 是多少？是多少？ 振子的勢(shì)能包括彈簧的彈性勢(shì)能和重力振子的勢(shì)能包括彈簧的彈性勢(shì)能和重力 勢(shì)能。振子平衡時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)為勢(shì)能。振子平衡時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)為a。 在彈簧在任意位

49、置在彈簧在任意位置x時(shí)：時(shí)： kamg 22 11 () 22 p Emgxk xaka 2 1 2 mgxkxkax 2 1 2 p Ekx 該結(jié)論可簡(jiǎn)化對(duì)豎直彈簧振子能量問題的討論該結(jié)論可簡(jiǎn)化對(duì)豎直彈簧振子能量問題的討論 x a 0 o x 考慮由考慮由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，將質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理應(yīng)用于系統(tǒng)個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，將質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理應(yīng)用于系統(tǒng) 中的第中的第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)：個(gè)質(zhì)點(diǎn)： 22 11 22 iiibiia Amvmv iii AAA 外力內(nèi)力 對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和，得：對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和，得： 22 11 22 iiiibiia iiii AAmvmv 外力內(nèi)力 令：令： 22 11 22 i

50、i ii kaiiakbiib ii AAAA EmvEmv 外力外力內(nèi)力內(nèi)力 ， ， 分別為系統(tǒng)外力功的代分別為系統(tǒng)外力功的代 數(shù)和與內(nèi)力功的代數(shù)和數(shù)和與內(nèi)力功的代數(shù)和 分別為系統(tǒng)始、末兩分別為系統(tǒng)始、末兩 狀態(tài)的總動(dòng)能的和狀態(tài)的總動(dòng)能的和 kbkak AAEEE 外力內(nèi)力 系統(tǒng)內(nèi)的內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，且大小相等，方向相反。設(shè)一對(duì)內(nèi)系統(tǒng)內(nèi)的內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，且大小相等，方向相反。設(shè)一對(duì)內(nèi) 力力 fij 和和 fji 分別作用于質(zhì)點(diǎn)分別作用于質(zhì)點(diǎn) i 和質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn) j 上，位移為上，位移為dri 和和 drj ，則這對(duì)，則這對(duì) 內(nèi)力的功為：內(nèi)力的功為： ddddd()d ijijijijij

51、ijijij AAfrfrfrrfr 由于一對(duì)內(nèi)力的作用點(diǎn)的位移一般并不相等，作用力和反作用力的由于一對(duì)內(nèi)力的作用點(diǎn)的位移一般并不相等，作用力和反作用力的 功并不能相互抵消，功并不能相互抵消，成對(duì)的內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)能貢獻(xiàn)一般不為零成對(duì)的內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)能貢獻(xiàn)一般不為零。 系統(tǒng)的內(nèi)力可分為保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力，則內(nèi)力的功：系統(tǒng)的內(nèi)力可分為保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力，則內(nèi)力的功： AAA 內(nèi)力保內(nèi)非保內(nèi) k AAAE 外力保內(nèi)非保內(nèi) p AE 保內(nèi) () kp AAEE 外力非保內(nèi) 令：令： () kp EEE ，為系統(tǒng)的機(jī)械能，則：，為系統(tǒng)的機(jī)械能，則： AAE 外力非保內(nèi) 0AA 外力非保內(nèi) 如果：如果

52、： 0E那么：那么： 例例6 一小物體從半徑為一小物體從半徑為R = 1 m 的固定光滑圓球頂端從靜止開始下的固定光滑圓球頂端從靜止開始下 滑，求：滑，求：(1)物體在何處脫離圓球？脫離時(shí)速度為多少？物體在何處脫離圓球？脫離時(shí)速度為多少？(2)物體到物體到 達(dá)地面時(shí)，離開達(dá)地面時(shí)，離開O點(diǎn)的距離為多少？（取點(diǎn)的距離為多少？（取g = 10 m/s2） Ox R 將圓球、小物體和地球看做一個(gè)系將圓球、小物體和地球看做一個(gè)系 統(tǒng)，由于地面支持力不做功，小物統(tǒng)，由于地面支持力不做功，小物 體和圓球之間的壓力也不做功，同體和圓球之間的壓力也不做功，同 時(shí)圓球是光滑的，所以小物體在圓時(shí)圓球是光滑的，所以

53、小物體在圓 球上運(yùn)動(dòng)時(shí)，球上運(yùn)動(dòng)時(shí)，該系統(tǒng)的機(jī)械能是守該系統(tǒng)的機(jī)械能是守 恒的。恒的。 小物體脫離圓球時(shí)，小物體和圓球小物體脫離圓球時(shí)，小物體和圓球 之間的作用力為零，小物體將沿切之間的作用力為零，小物體將沿切 向飛出。向飛出。 （1）設(shè)小物體脫離圓球時(shí)，小物體和球心的連線與豎直方向夾角）設(shè)小物體脫離圓球時(shí)，小物體和球心的連線與豎直方向夾角 為為 ，小球的速度為，小球的速度為v。取脫離位置為系統(tǒng)勢(shì)能零點(diǎn)，則。取脫離位置為系統(tǒng)勢(shì)能零點(diǎn)，則 2 cos v g R 2 1 (1 cos ) 2 mvmgR 2 cos 3 6 3 gR v （2）小物體沿切向飛出后，做一斜拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)下落時(shí)間為）小物

54、體沿切向飛出后，做一斜拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)下落時(shí)間為t ，則：，則： cossinxvtR 2 1 sin(1 cos ) 2 vtgtR 由第一個(gè)方程解出由第一個(gè)方程解出 t 代入第二個(gè)方程即可求出代入第二個(gè)方程即可求出x 。 t 0.42 s x 1.30 m 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（也稱為動(dòng)量矩）定義：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（也稱為動(dòng)量矩）定義： o P = mv r d sinLrppd dd () dd dd dd L rp tt rp pr tt vprF rF = 定義力矩：定義力矩： M j F o r r sinMrFr Fj d d L M t 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固

55、定點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間變化率，等于質(zhì)定點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間變化率，等于質(zhì) 點(diǎn)所受的合外力對(duì)該固定點(diǎn)的力矩。點(diǎn)所受的合外力對(duì)該固定點(diǎn)的力矩。 ddLM t 22 11 21 dd t t M tLLL L L 角動(dòng)量定理的微分形式：角動(dòng)量定理的微分形式： 角動(dòng)量定理的積分形式：角動(dòng)量定理的積分形式： 當(dāng)：當(dāng)： 0MrF d 0 dt L ，即，即L是個(gè)常矢量是個(gè)常矢量 。 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律若質(zhì)點(diǎn)所受的合外力對(duì)某固定點(diǎn)的若質(zhì)點(diǎn)所受的合外力對(duì)某固定點(diǎn)的 力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。 顯然，在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其角動(dòng)量是守恒的。如

56、在萬顯然，在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其角動(dòng)量是守恒的。如在萬 有引力作用下，地球繞太陽的公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)等。有引力作用下，地球繞太陽的公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)等。 試證明太陽系中某行星繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)，該行星和太陽的連線單試證明太陽系中某行星繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)，該行星和太陽的連線單 位時(shí)間掃過的面積是相等的（開普勒第二定律）。位時(shí)間掃過的面積是相等的（開普勒第二定律）。 dt 時(shí)間內(nèi)矢徑時(shí)間內(nèi)矢徑 r 掃過的有向面積為：掃過的有向面積為： 1 2 tddSrv 1 2t d d S rv 用行星的質(zhì)量用行星的質(zhì)量m乘等式兩邊得：乘等式兩邊得： 1 2 mm t d d S rv 1 2 L 行星在有心力作用下，角動(dòng)量是守恒的，故

57、：行星在有心力作用下，角動(dòng)量是守恒的，故： 2 L tm d d S 定值 r AB F1（太陽）（太陽）F2 rA rB b a 行星公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能：行星公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能： r 2 1 2 mM EmvG r 在近日點(diǎn)（在近日點(diǎn)（A）和遠(yuǎn)日點(diǎn)（）和遠(yuǎn)日點(diǎn)（B）：）： 22 11 22 AB AB mMmM EmvGmvG rr A AB B Lmv rmv r 例例8 試證明太陽系中行星繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)，行星公轉(zhuǎn)周期的平方與橢試證明太陽系中行星繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)，行星公轉(zhuǎn)周期的平方與橢 圓軌道半長(zhǎng)軸的立方的比值是常量（開普勒第三定律）。圓軌道半長(zhǎng)軸的立方的比值是常量（開普勒第三定律）。 解：行星在太

58、陽萬有引力作用解：行星在太陽萬有引力作用 下作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，行下作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，行 星的機(jī)械能和角動(dòng)量（以星的機(jī)械能和角動(dòng)量（以 太陽為定點(diǎn)）守恒。太陽為定點(diǎn)）守恒。 2 2 2 / 2 A mMmML rGG EEmE 2 2 2 / 2 B mMmML rGG EEmE ()/ 2 AB A B arr br r 將將rA和和rB代入得：代入得： 2 2 GmM a E LLa b mmEGM 因?yàn)闄E圓的面積：因?yàn)闄E圓的面積： S0 = p a b 所以行星公轉(zhuǎn)周期：所以行星公轉(zhuǎn)周期： 2m ab T L 將將a、b代入周期表達(dá)式得：代入周期表達(dá)式得： 23 2 Ta GM 根據(jù)萬有引

59、力定律還可以證明，行星繞太陽的軌道運(yùn)動(dòng)是橢圓。根據(jù)萬有引力定律還可以證明，行星繞太陽的軌道運(yùn)動(dòng)是橢圓。 反之，由開普勒第三定律可以推論出萬有引力應(yīng)該是滿足平方反比反之，由開普勒第三定律可以推論出萬有引力應(yīng)該是滿足平方反比 率（與質(zhì)量體間的距離平方成反比）。牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律是否率（與質(zhì)量體間的距離平方成反比）。牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律是否 受到了開普勒第三定律的啟發(fā)呢？受到了開普勒第三定律的啟發(fā)呢？ 即：即： 2 3 T a 常量 證明開普勒第一定律：太陽系中，每個(gè)行星的軌道是一個(gè)橢證明開普勒第一定律：太陽系中，每個(gè)行星的軌道是一個(gè)橢 圓，太陽位于一個(gè)焦點(diǎn)上。（不做要求）圓，太陽位于一個(gè)焦點(diǎn)上。

60、（不做要求） O r r 解：取太陽為固定點(diǎn)解：取太陽為固定點(diǎn)O，從太陽指向行星的矢徑為，從太陽指向行星的矢徑為r，該矢徑與固，該矢徑與固 定方向的夾角為定方向的夾角為q，這樣的坐標(biāo)系稱為極坐標(biāo)系。定義徑向單位，這樣的坐標(biāo)系稱為極坐標(biāo)系。定義徑向單位 矢量為矢量為 ，垂直于徑向的單位矢量為，垂直于徑向的單位矢量為 r 容易證明（參照自然坐標(biāo)系）：容易證明（參照自然坐標(biāo)系）： d d r r t d d r t 由牛頓第二定律和萬有引力得：由牛頓第二定律和萬有引力得： 2 , mM mGrrr r rr rrrrrrrr 2 ()(2)rrrrr r 2 2 GM rr r 22 , /()Lm