專題12 冪函數(shù)（練）（解析版）

1、2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講練測（新教材人教A版必修第一冊）專題12冪函數(shù)（練）1已知冪函數(shù)的圖象過函數(shù)的圖象所經(jīng)過的定點(diǎn),則的值等于（ ）ABC2D【參考答案】B【解析】由于為冪函數(shù),則,解得：,函數(shù),且,當(dāng)時(shí), ,故 的圖像所經(jīng)過的定點(diǎn)為,所以,即,解得：,故參考答案選B2下列所給出的函數(shù)中,是冪函數(shù)的是（ ）ABCD【參考答案】B【解析】冪函數(shù)的定義規(guī)定；y=xa（a為常數(shù)）為冪函數(shù),所以選項(xiàng)中A,C,D不正確；B正確；故選B3已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則下列命題正確的是A是偶函數(shù)B是單調(diào)遞增函數(shù)C的值域?yàn)镽D在定義域內(nèi)有最大值【參考答案】B【解析】設(shè),因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4,

2、2）,所以,所以所以,它在單調(diào)遞增4冪函數(shù)(aZ)為偶函數(shù),且f(x)在區(qū)間(0,)上是減函數(shù),則a()A3B4C5D6【參考答案】C【解析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì),要使得函數(shù)為偶函數(shù)且在(0,)上是單調(diào)遞減函數(shù),則a210a23為偶函數(shù),且a210a230.把每一個(gè)選項(xiàng)a的值代入檢驗(yàn)得只有a=5同時(shí)滿足.故選C.5下列命題正確的是( )A冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過、兩點(diǎn)B當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象是一條直線C如果兩個(gè)冪函數(shù)的圖象有三個(gè)大眾點(diǎn),那么這兩個(gè)函數(shù)一定相同D如果冪函數(shù)為偶函數(shù),則圖象一定經(jīng)過點(diǎn)【參考答案】D【解析】對于A: 冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,當(dāng)n0時(shí),不過（0,0）點(diǎn),故A不正確；對于B：當(dāng)n

3、0時(shí),冪函數(shù)yxn的圖象是一條直線y1,除去（0,1）點(diǎn),故B不正確；對于C：當(dāng)兩個(gè)冪函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),如y=x與y=x3有三個(gè)交點(diǎn),這兩個(gè)函數(shù)不相同,故C不正確；對于D：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1,1）且為偶函數(shù)時(shí),所以圖象一定經(jīng)過點(diǎn),故D正確.故選：D.6已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),則（ ）ABCD【參考答案】C【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù),所以,.又函數(shù)的圖象過點(diǎn),所以,即,.因此,.故選：C.7已知冪函數(shù)f（x）=xa（a是常數(shù)）,則（）A的定義域?yàn)镽B在上單調(diào)遞增C的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)D的圖象有可能經(jīng)過點(diǎn)【參考答案】C【解析】（1）對于A,冪函數(shù)f（x）=xa的定義域與a有關(guān),不一定為R,A錯(cuò)誤

4、； （2）對于B,a0時(shí),冪函數(shù)f（x）=xa在（0,+）上單調(diào)遞增, a0時(shí),冪函數(shù)f（x）=xa在（0,+）上單調(diào)遞減,B錯(cuò)誤； （3）對于C,冪函數(shù)f（x）=xa的圖象過定點(diǎn)（1,1）,C正確； （4）對于D,冪函數(shù)f（x）=xa的圖象一定不過第四象限,D錯(cuò)誤 故選C8若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上,則_【參考答案】【解析】解：設(shè)冪函數(shù)為,為實(shí)數(shù),由點(diǎn)在的圖象上,得,解得,則,故故參考答案為：9是一個(gè)冪函數(shù),則_.【參考答案】1【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義,可令,解得故參考答案為：110已知冪函數(shù)滿足,則的解析式為_【參考答案】【解析】由,得,即,故,解得,又,所以或,當(dāng)或時(shí),的解析式均為.故參考答案

5、為：11函數(shù)（常數(shù)）為奇函數(shù)且在是減函數(shù),則_.【參考答案】【解析】函數(shù)（常數(shù)）在是減函數(shù),即,又,或;當(dāng)時(shí),為偶函數(shù),不滿足條件; 當(dāng)時(shí),為奇函數(shù),滿足條件.故參考答案為:.12已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則的值為_.【參考答案】【解析】因?yàn)闉閮绾瘮?shù),所以,即代入點(diǎn),得,即,所以,所以.故參考答案為：.13已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),且（1）試求出函數(shù)的解析式；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性【參考答案】（1）；（2）是區(qū)間上的單調(diào)遞增函數(shù)【解析】（1）設(shè),因?yàn)閳D象過點(diǎn),所以,函數(shù)的解析式為；（2）,定義域?yàn)?設(shè),則,又,是區(qū)間上的單調(diào)遞增函數(shù)14已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增,函數(shù).（1）求的值；（2）當(dāng),時(shí),記,的

6、值域分別為集合,設(shè)命題,命題,若命題是成立的必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【參考答案】（1）0；（2）.【解析】（1）依題意得：,或,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,與題設(shè)矛盾,舍去,.（2）由（1）得：,當(dāng),時(shí),即,當(dāng),時(shí),即,若命題是成立的必要條件,則,則,即,解得：.15已知是整數(shù),冪函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù).(1)求冪函數(shù)的解析式；(2)作出函數(shù)的大致圖象；(3)寫出的單調(diào)區(qū)間,并用定義法證明在區(qū)間上的單調(diào)性.【參考答案】(1)；(2)圖象見解析；(3)減區(qū)間為；增區(qū)間為,證明見解析.【解析】(1)由題意可知,即因?yàn)槭钦麛?shù),所以或當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),綜上所述,冪函數(shù)的解析式為.(2) 由(1)可知,則函數(shù)的圖

7、象,如圖所示：(3)由(2)可知,減區(qū)間為；增區(qū)間為當(dāng)時(shí),設(shè)任意的,且則又,且即在區(qū)間上單調(diào)遞增.1已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),則此冪函數(shù)（ ）A過點(diǎn)B是奇函數(shù)C過點(diǎn)D在上單調(diào)遞增【參考答案】C【解析】設(shè),由題意可得,所以,函數(shù)的圖象不過點(diǎn).,該函數(shù)的定義域?yàn)?不關(guān)于原點(diǎn)對稱,不是奇函數(shù).,該函數(shù)的圖象過點(diǎn),且在上單調(diào)遞減.因此,C選項(xiàng)正確.故選C.2已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則下列命題中不正確的是（ ）A函數(shù)圖象過點(diǎn)B當(dāng)時(shí),函數(shù)取值范圍是CD函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為【參考答案】C【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),所以,解得所以冪函數(shù),所以函數(shù)圖像過,故A選項(xiàng)正確,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取值范圍是故

8、B選項(xiàng)正確,為偶函數(shù),故C選項(xiàng)錯(cuò)誤,在上單調(diào)減區(qū),故D選項(xiàng)正確.故選：C.3已知冪函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),則的值為( )ABCD【參考答案】A【解析】 是冪函數(shù),則解得或又 在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù) 故選:A.4給出冪函數(shù)：；.其中滿足條件的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A1B2C3D4【參考答案】A【解析】如圖,只有上凸函數(shù)才滿足題中條件,所以只有滿足,其他4個(gè)都不滿足,故選：A.5若函數(shù)與圖象關(guān)于對稱,且,則必過定點(diǎn)（ ）ABCD【參考答案】D【解析】,所以,函數(shù)的圖象過定點(diǎn),又函數(shù)與圖象關(guān)于對稱,因此,函數(shù)必過定點(diǎn).故選：D.6若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn),則在定義域內(nèi)函數(shù)（ ）A有最小值B有最大值C為增

9、函數(shù)D為減函數(shù)【參考答案】A【解析】冪函數(shù),代入點(diǎn),得,所以,所以,所以有最小值.故選：A.7若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),則（ ）ABCD2【參考答案】B【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn),所以冪函數(shù)的解析式為：則.故選：B8已知冪函數(shù)在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)_.【參考答案】2【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù),所以,解得,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是減函數(shù),符合題意,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù),不符合題意,所以.故參考答案為：9已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn),則的定義域是_.【參考答案】【解析】由于經(jīng)過點(diǎn),代入得,所以的定義域是.10函數(shù)是冪函數(shù),且在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)_【參考答案】2【解析】,當(dāng)時(shí)在上是減函數(shù),滿足條件,當(dāng)不滿足條件.11已知冪函

10、數(shù)是在上的減函數(shù),則m的值為_.【參考答案】【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù),所以,所以或,當(dāng)時(shí),此時(shí)在上遞增,不符合,當(dāng)時(shí),此時(shí)在上遞減,符合.故參考答案為：.12冪函數(shù)的圖像過點(diǎn),則的減區(qū)間為_.【參考答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為代入點(diǎn),得,所以所以冪函數(shù)為,定義域?yàn)?所以,則需要即其定義域?yàn)榛?而的對稱軸為所以其單調(diào)減區(qū)間為所以的減區(qū)間為.13已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在上為減函數(shù),求滿足不等式的實(shí)數(shù)a的取值范圍.【參考答案】或.【解析】由于冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,則該函數(shù)為偶函數(shù),即m為奇數(shù).又該函數(shù)在上為減函數(shù),因而,即.又,從而.故不等式可化為.函數(shù)的定義域?yàn)?且在與上均為減函數(shù),因而,或,或,解得a的取值范圍為或.14已知冪函數(shù)為偶函數(shù),且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù),若對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.【參考答案】（1）；（2）.【解析】（1）在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),即,解得.又,.當(dāng)時(shí),不是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí),是偶函數(shù).故函數(shù)的解析式為.（2）由