暑期生活專題20001

1、專題2因式分解的應(yīng)用因式分解作為多項式的一種重要變形手段，有著多方面的應(yīng)用，例如數(shù)與式的整除性 問題、數(shù)的分解及有關(guān)性質(zhì)探究、代數(shù)式求值、恒等式證明、解方程與不等式以及其他各種雜題等等，可以認為凡是涉及代數(shù)式運算的場合，因式分解必是一種有用的工具， 其作用不容忽視。由因式分解的平方差、立方差、立方和公式可推廣得出以下有關(guān)整除性的結(jié)論：結(jié)論1對一切正整數(shù) n, ab “必有因式a-b(即a-b整除a】b ：下同)。結(jié)論2對一切正奇數(shù)n,a n+bn必有因式a+b。結(jié)論3對一切正偶數(shù)n,an-bn必有因式(a+b)(a-b).(以上結(jié)論證略)結(jié)論4 對一切整數(shù)n,n 3-n必能被6整除。證明：因為

2、n3-n=(n-1) n (n+1)，而n-1、n、n+1是連續(xù)的三個整數(shù)，其中至少有 一個偶數(shù)，且必有一個是3的整數(shù)倍，因此，n3-n必是6的整數(shù)倍，即被 6整除。(這里的“整除”是指商為整數(shù)，包括負整數(shù)、零、正整數(shù) )結(jié)論5 對一切整數(shù)n,n5-n必能被5整除。證明：因為 n5-n=n(n-1)(n+1)(n2+1)如果n是5的整數(shù)倍，結(jié)論顯然成立；如果n被5除余1,則n-1是5的整數(shù)倍，結(jié)論成立；如果 n被5除余4，則n+1是5 的整數(shù)倍，結(jié)論成立；如果 n被5除余2或3，則n可寫成 5k _ 2(k是整數(shù))，22225n =(5k _2) =25k - 20k+4,n +1可被5整除，

3、所以結(jié)論也成立。綜上可知，n -5必被5整除。由結(jié)論5,進一步分析又可得以下推論：推論1對一切整數(shù)n, n-n必被30整除。(聯(lián)系結(jié)論4可得) 推論2如果n不是5的整數(shù)倍，那么n4-1必是5的整數(shù)倍。例1 .求證： 2000|1001 1001+9999; 2002|1002 1002-1000 1000(a|b表示a整除b即b是a的整數(shù)倍，下同)分析：注意到2000=1001+999, 2002=1002+1000,以及指數(shù)的情況，應(yīng)該靈活運用上述 結(jié)論1、2、3。證明：因為 10011001+9999=(1001 1001+9991001)-999 9(9992-1),由結(jié)論 2 可得10

4、01 1001 22000=1001+999 整除 1001+999,而 999 -1=(999+1)(999-1)=1000 X 998 是 2000 的整數(shù)倍，所以10011001+9999是2000的整數(shù)倍。1002 1000 1002 1002 1000 2因為 1002-1000=(1002-1000)+1000(1000 -1), 由結(jié)論 3 可得2002=1002+1000 整除 10021002-10001002，而 10002-1=1001 X 999，可知 2002=2 X 1001 整除1000 21000 (1000 -1),所以 10021002-10001000是

5、2002 的整數(shù)倍。例2 .求證1989|2521 n-447n-298n+213n(題中指數(shù)n未加說明則表示正整數(shù)，下同)分析：因為n可以是一切正整數(shù)，所以應(yīng)運用結(jié)論1,可從2521, 447, 298,213中兩數(shù)這差與1989的因數(shù)之間關(guān)系入手。證明：因為 1989=3 X 13X 17,2521-447=17 X 122,且 298-213=17 X 5, 所以 17|2521 n-447n，且 17|298 n-213n, 即: 17|(2521 n-447 n)-(298 n-213n);又 2521-298=9 X 13X 19 且 447-213=9 X 13 X 2,所以 9

6、X 13|2521 n-298 n,且 9X 13|447 n-213n,即：9 X 13|(2521 n-298)-(447 n-213)綜上,1989|2521 n-447n-298n+213n注：本題證明依據(jù)整除性質(zhì)若a|n,b|n且a、b互質(zhì)，則ab|n ”。例 3 .求證 8193| 2 2002-1分析：由210=1024, 23=8可知8193=1024X 8+仁213+1想法轉(zhuǎn)化形式利用結(jié)論3。證明：因為 8193=2 +1,2002=2 X 7 X 11 X 13=154 X 13200213 154所以 2-1=(2) -1 ,由結(jié)論3可知必有因式213+1(因為154是偶

7、數(shù))。例 4 .求證 7|3 2n+1+2n=2; 11|32n+2+26n+1分析：改變有關(guān)各項表達形式，創(chuàng)設(shè)條件運用結(jié)論1、2、3。證明：因為 7=9-2|9 n-2n,32n+1+2n+2=3 9n+4 2n=3(9n-2 n)+7 2n,所以 7|3 2n+1+2n+2.因為11=3+8，而運用結(jié)論2，則指數(shù)應(yīng)為奇數(shù)。由32n+2=3 32n+1可添項3 82n+1,2n+2 6n+12n+1 2n+12n+1 6n+13+2=3 (3+8 )-3 8+22n+1 2n+12n2n=3(3+8 )-24 8 +2 82n+1 2n+12n=3(3+8 )-22 8所以11|3+2例5

8、.如果n不是5的整數(shù)倍，求證100|n 8+3n4-4分析：100=4X 25,所以可分二步進行證明。證明：n8+3n4-4=(n 4+4)(n 4-1)因為n不是5的整數(shù)倍，由推論 2,5|n 4-1，而n4+4=(n4-1)+5也是5的整數(shù)倍，所以 25|(n 4-1)(n 4+4)即：25|n 8+3n4-4 ;又如果n是偶數(shù)，則4|n 2,顯然有4|n 8+3n4-4;而如果 n 是奇數(shù)，可設(shè) n=2k-1，貝U n2=4k2-4k+1，所以 4|n2-1,貝U 4|(n 4-1)(n 4+4)，即:844|n +3n -4 ;84綜上，100|n +3 n-4.例6.已知n個正整數(shù)a

9、1,a2,a n 滿足 30|a 1+a2+, +an,求證:30| a：+a： +分析：因為正整數(shù)的大小、個數(shù)都不確定，所以可從a：與a1的關(guān)系入手進行探究。證明：由推論1可知alaal-a?,;an都是30的整數(shù)倍,所以 30|(a15-a1)+(a 2-a2)+ 曲),即：30|(a：+a：+ +a 5)-(a t+a 2 + an),5530| a +a 2 +已知 30|ai+a2+, +an,所以必有注：本題利用了整除性質(zhì)如果 n|a,n|b則n|a+b”例7 求證整數(shù)111222是兩個連續(xù)整數(shù)的乘積。 #1n個1n個2分析：由99 9 =10n-1，把“數(shù)”用“式”表示，再用因式

10、分解的方法證明。9n個9證明：111222 = 11 100 0 + 22 2n個1n個2n個1n個0n個21 =_(1092nnn-1) 10 + (10 -1)12n=一(10 +10 -2)9 1=(10 n-1)(10 n +2)9因為 L(10 n +2)=311 0002 = 33343n-1 個 0n-1 個 31n(10 -1)=31999 = 333O1*3n個9n個3所以 11 1222= 333 3334 . ” n個1n個2n個3n-1個3例8對正整數(shù)n,問n4-3n2+9是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)？證明你的結(jié)論。分析：取不同的n值代入試探，可知可能是合數(shù)也可能是質(zhì)數(shù)，(如n=1,

11、2,3等)所以必須用因式分解的方法，再對因式進行討論，探求n取值的規(guī)律。解：n4-3n2+9=(n4+6n2+9)-9n222 2=(n +3) -(3n)2 2=(n +3n+3)(n -3n+3)如果 n2-3n+3=1，即：(n-2)(n-1)=0 , n=1 或 2 時，n4-3n2+9=13 是質(zhì)數(shù)， 而n2+3n+3=1,即：(n+2)(n+1)=0,對任何正整數(shù)n不成立。所以當n=1時n4-3n 2+9=7是質(zhì)數(shù)，n=2時n4-3n2+9=13是質(zhì)數(shù)，當n是其他正整數(shù)時，n4-3n 2+9是合數(shù)。例 9 a、b、c、d 是正整數(shù)，且有 a5=b4, c3=d2,c-a=19,求

12、d-b 的值。分析：一般地，如果 mp=nq(其中m n、p、q是正整數(shù)，且p、q互質(zhì))則必有一個正整數(shù) k 存在，使 m=W,n=k p.例如 1252=253 其中 m=125,n=25,p=2,q=3,貝U k=5 即: 125=53,25=5 2。 解：由 a5=b4,可設(shè) a=mf,b=m5, 由c3=d2，可設(shè)c=n2,d=n 3,(m、n是正整數(shù))貝H c-a=n 2-m4=(n+m2)(n-m 2)=19 2n+m =19得解得n=10,m=32n-m =13365所以 d=n =10 =1000,b=m =3 =243,d-b=757111例10.求方程丄+丄=丄的整數(shù)解。X

13、、y不能為零。Xy5分析：化為整式方程后可利用因式分解方法求解，但應(yīng)注意解：原方程化為 xy-5x-5y=0 即(x-5)(y-5)=25 ,x-5=1,x-5= 25,x-5= 5x-5= -1x-5= -25x-5=-5所以或或或或或且x工O,yz 0解Jy-5=25 J y-5= 1 J y-5= 5 J y-5= -25 J y-5= -1 J y-5=-5區(qū)=6 fx2 =30 X3=10 上4=4x5=-20得，y1=302=6 y3=10 y4=-20 ys=4例11.求具有以下性質(zhì)的所有三位數(shù)m:m2的末三位數(shù)字即為三位數(shù)m。分析：關(guān)鍵是用恰當?shù)臄?shù)學(xué)式子把題意表達出來，以便通過

14、變形、運算進行分析推導(dǎo)。解：由題設(shè)可知，m2-m的末三位數(shù)字都是 0,即是1000的倍數(shù)，可表示為 1000|m2-m，即23 53|m(m-1),而m與m-1互質(zhì)，所以23|m且53|m-1 或53|m且23|m-1由，先確定 m-1可是125,250,375,500,625,750,875等數(shù)，再檢驗滿足 23|m的m只能是376;由，先確定 m可以是125,250,375,500,625,750,875等數(shù)，再檢驗滿足 23|m-1的m只能是 625。綜上，滿足條件的三位數(shù)m是376和625.廠 2a -a-2b-2c=0 ,例12. a、b、c分別表示ABC中/A、/ B、/ C的對邊

15、長度，且滿足問a+2b-2c+3=0ABC中哪個角最大？分析：只要求出a、b、c中最大邊所對的角必為最大，可以從討論兩邊之差是否大于零入手。解：由式，可得 2(c-b)=a+30因為a0所以cb;由-得 a2-2a-4b-3=0(a-3)(a+1)=4b0由+得a2-4c+3=024(c-a)=a -4a+3=(a+3)(a-1)由式可得 a-30，貝U a-1a-30,所以 4(c-a)0 ca綜上，a、b、c中c最大，所以/ C為最大角。練習(xí)題33331 證明 2003|1 +2 +3 +, +20022證明10001是合數(shù)2001 個 03 一個正整數(shù)加上 50或減去31都是平方數(shù)，求所

16、有這種正整數(shù)的和。4對任意整數(shù)n,求證n5-5n3+4n能被120整除。333335已知a、b、c、d、e都是整數(shù)，且 a+b+c+d+e是6的整數(shù)倍，求證 a +b +c +d +e也是6的整數(shù)倍。2223336 已知 a+b+c=1,a +b +c =2,a +b +c =3，求 abc 的值。7求方程的整數(shù)解 xy_x_y=2; x2-y 2+2y-6=0.111 -=1,xyxy8求方程組的整數(shù)解 J511-_=1,yzyz211-=1zxzx9已知大于100的兩個不同整數(shù) a、b,他們的十位數(shù)相同，求證an與bn（n是大于1的整數(shù)）的十位數(shù)與個位數(shù)也分別相同。2 2 210a、b、c

17、為三角形的三條邊，且滿足 a -16b -c +6ab+10c=0，求證a+c=2b。2 2 2 211 已知 a +b =1,c +d =1,ac+bd=0,求 ab+cd 的值。12 已知 x2+x+ 仁0,求 x2003+x2002+1 的值。參考答案3333331.1 +2002 ,2 +2001，,，1001 + 1002 共 1001 組，每組都是2003 的整數(shù)倍2.10001 = 102002+ 1 = 1001001 + 1有因式100+ 1,即是101的倍數(shù)，所以是合數(shù)3設(shè) 12001 個 0正整數(shù) x ,貝V x+50=m2,x-31= n2, ( m、n 是正 整數(shù))貝

18、V m2-n2=81,(m+n)(m-n)=81,m + n=81m+n=272彳,m=41,n=40,x1=1631; i,m=15,n=12,x =175 。 綜 上 1631+175=1806m -n= 1m -n=35334.n-5n+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)，所以能同時被 2,3, 4,5 整除5.由 a -a=(a-1)a(a+1)是 6 的整數(shù)倍可得6.由 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2-ab-bc-ca),2 2 2 2(a+b+c) =a +b +c +2(ab+bc+ca)可得7.(x-1) (y-1)=3=3x 1= 1X 3=(-3) (- 1)=(-1) (- 3)