專題32 數(shù)列大題解題模板（理）（解析版）

1、專題32 數(shù)列大題解題模板一、遞推數(shù)列的類型以及求通項方法總結(jié)：1、定義法：等差數(shù)列的通項公式：或。等比數(shù)列的通項公式：()或()2、做差法：由與(即)的關(guān)系求,。3、累加法：由求,()。4、累乘法：已知求通項,()。5、已知遞推關(guān)系求,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)：(1)形如,只需構(gòu)造數(shù)列,消去帶來的差異,的形式有：為常數(shù),即遞推公式為(其中、均為常數(shù)且)。解法：先設(shè)參轉(zhuǎn)化為,其中,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。為一次多項式,即遞推公式為。為的二次式,則可設(shè)。(2)遞推公式為(其中、為常數(shù)且)或(其中、為常數(shù))。解法：一般地要先在原遞推公式兩邊同除以,得：,引入輔助數(shù)列(其中),得：,再

2、應(yīng)用類型(1)的方法解決。(3)遞推公式為(其中、均為常數(shù))。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,其中、滿足,解出、,于是是公比為的等比數(shù)列,就轉(zhuǎn)化為前面的類型。6、形如或的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。7、形如型,該類型是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為前邊的類型,然后再用遞推法或待定系法構(gòu)造等比數(shù)列求通項。兩邊取對數(shù),設(shè),原等式變?yōu)榧醋優(yōu)榛拘?。二、?shù)列常用求和方法1、等差數(shù)列求和：；。2、等比數(shù)列求和：；。3、分組求和法：把數(shù)列的每一項分成幾項使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列,再求和。對于求的前項和的問題一般都是分類討論。4、倒序求和法：將數(shù)列的順序倒過來排列,與原數(shù)列兩式相加,若有公因式可提,并且剩余項的和

3、易于求出,這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和。5、裂項相消法：就是把數(shù)列的各項分裂成兩項之差,相鄰的兩項彼此相消,只余有限幾項,就可以化簡后求和。適用條件：(1)其中是各項不為的等差數(shù)列,為常數(shù),可拆解為；(2)部分無理數(shù)列。(3)一些常用的裂項公式：； ； ； 。(4)常見放縮公式：；6、錯位相減法：主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘得的新數(shù)列求和。7、周期法：有的數(shù)列是周期數(shù)列,把握了數(shù)列的周期則可順利求和。模板一、由數(shù)列的前項和與通項的關(guān)系求通項例1、已知數(shù)列的前項和,(),等差數(shù)列中,(),且,又、成等比數(shù)列。(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和。審題路線圖：(1)()消

4、去得；(2)觀察中與的特點在前乘以的公比,構(gòu)造使用錯位相減得條件得。規(guī)范解答：【解析】(1),(),(,), 1分,即,(,), 2分而,數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列,(), 3分,在等差數(shù)列中, 4分又、成等比數(shù)列,設(shè)等差數(shù)列的公差為,則有, 5分,解得或, 6分又(),舍去,取,()； 7分(2)由(1)知, 8分 , 9分則-得 10分 , 11分。 12分構(gòu)建答題模板：第一步：令,由求出。第二步：令,構(gòu)造,用代換(或用代換,這要結(jié)合題目特點),由遞推關(guān)系求通項。第三步：驗證當(dāng)時的結(jié)論是否適合當(dāng)時的結(jié)論。第四步：反復(fù)回顧,注意和分類討論和驗證,明確規(guī)范書寫答題。練習(xí)1、已知正項數(shù)列的

5、前項和滿足,且是和的等比中項。(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知符合表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),如,記,求數(shù)列的前項和?！窘馕觥?1)由得： 當(dāng)時,即,解得或, 1分當(dāng)時,即, 2分又?jǐn)?shù)列各項均為正數(shù), 3分當(dāng)時,數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列,滿足是和的等比中項,可取, 4分當(dāng)時,數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列,不滿足是和的等比中項,舍去, 5分； 6分 (2)由(1)可知, 7分 , 8分 數(shù)列的前項和, 9分 10分上式減上式得： , 11分。 12分模板二、數(shù)列求和問題例2、已知數(shù)列的前項和(其中),且的最大值為。(1)確定常數(shù),并求；(2)求數(shù)列的前項和。審題路線圖：為關(guān)于的二次函數(shù)當(dāng)

6、時,取最大值解關(guān)于的方程得：()用錯位相減求和。規(guī)范解答：【解析】(1), 1分當(dāng)時,取最大值,即,故, 3分從而(),又,符合要求,； 5分(2), 6分, 7分 , 8分則-得, 11分則。 12分構(gòu)建答題模板：第一步：利用條件求數(shù)列的通項公式。第二步：寫出的表達(dá)式。第三步：分析表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征確定求和方法。第四步：反復(fù)回顧,注意求時和分類討論和驗證,明確規(guī)范書寫答題。練習(xí)2、等比數(shù)列的前項和,且、成等差數(shù)列。(1)求數(shù)列的公比和通項；(2)若是遞增數(shù)列,令,求。【解析】(1)由已知條件得, 2分故或； 4分(2)若是遞增數(shù)列,則, 5分記的前項和, 6分當(dāng)時, 8分當(dāng)時, 10分。 12

7、分模板三、數(shù)列中不等式的證明例3、已知數(shù)列中,其前項的和為,且滿足()。(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)證明：當(dāng)時,。審題路線圖：做差等差的通項公式進(jìn)行縮放求和得證。規(guī)范解答：【解析】(1)當(dāng)時,當(dāng)時, 2分, 4分?jǐn)?shù)列為以為首項,為公差的等差數(shù)列, 5分； 6分(2)由(1)可知, 7分當(dāng)時, 10分從而。 12分構(gòu)建答題模板：第一步：利用條件求證數(shù)列是等差數(shù)列(做差)或等比數(shù)列(做比)。第二步：寫出的通項公式。第三步：對不等式左側(cè)進(jìn)行縮放變形,注意有時是先求和后縮放,有時是先縮放后求和。第四步：反復(fù)回顧,注意縮放時有時候需要保留前一項或兩項,明確規(guī)范書寫答題。練習(xí)3、已知數(shù)列的前項和為,

8、且滿足,()。(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求和；(3)求證：?！窘馕觥?1),當(dāng)時, 2分,數(shù)列為首項為,公差為的等差數(shù)列, 4分； 5分(2)由(1)知,當(dāng)時, 7分當(dāng)時不符合, 8分(3) 9分 10分。 12分練習(xí)：1、在數(shù)列中,()。(1)求的通項公式。(2)求的前項和為?！窘馕觥?1)(),設(shè),解得, 2分?jǐn)?shù)列為首項是,公比是的等比數(shù)列,即； 4分(2),設(shè),前項和為,前項和為, 5分, 6分-得：, 8分又, 10分。 12分2、已知數(shù)列的前項和,且滿足()。(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求。【解析】(1)證明：由條件可知,即, 2分整理得,又當(dāng)時, 4分?jǐn)?shù)列是以為首項,為

9、公差的等差數(shù)列,； 6分(2)解：由(1)可知,令, 7分, 8分, 9分-得：, 11分整理得。 12分3、已知數(shù)列滿足()。(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求()?！窘馕觥?1)當(dāng)時,由得：, 1分當(dāng)時, 2分,從而由得(), 4分是以為首項,為公比的等比數(shù)列,； 6分(2)由(1)得, 。 12分4、已知數(shù)列的前項和且()。(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)(),求適合方程的正整數(shù)的值?！窘馕觥?1)當(dāng)時,解得, 1分當(dāng)時,即, 3分?jǐn)?shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,； 4分(2)由(1)知, 5分, 6分, 8分, 11分。 12分5、已知等差數(shù)列中,首項,公差為整數(shù),且滿足,數(shù)列滿足,其

10、前項和為。(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若為、()的等比中項,求的值?！窘馕觥?1)由題意,得,解得,又, 3分； 4分(2), 6分, 8分,為、()的等比中項, 10分,即,解得。 12分6、已知數(shù)列是等差數(shù)列,。(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列為遞增數(shù)列,數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和?！窘馕觥?1)由題意得, 1分時,公差, 3分時,公差,； 5分(2)若數(shù)列為遞增數(shù)列,則,則, 7分, 8分 , 9分-得, 11分。 12分7、已知數(shù)列中,()。(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)設(shè),若,使成立,求實數(shù)的取值范圍。【解析】(1)證明：(), 2分?jǐn)?shù)列是首項為,公比

11、為的等比數(shù)列,； 4分(2),； 6分(3), 8分, 10分若,使成立,解得。 12分8、在等比數(shù)列中,、成等差數(shù)列。(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足(),的前項和為,求使成立的正整數(shù)的最大值。【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為,、成等差數(shù)列, 2分,即, 4分則,即； 5分(2)數(shù)列滿足(), 6分兩式相減得,則,即,當(dāng)時,不滿足, 8分當(dāng)時,不等式等價為成立, 9分當(dāng)時,則,-得, 11分則當(dāng)時,不等式等價為,即,則,得,則的最大值是。 12分9、數(shù)列滿足,()。(1)設(shè),求證是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)設(shè),數(shù)列的前項和為,求證：?！窘馕觥?1)證明：由得, 1分,即, 2分又, 3分?jǐn)?shù)列是以為公比、為首項的等比數(shù)列,； 4分(2),即, 5分,故； 6分(3), 7分, 9分 又, 11分 。 12分10、設(shè)數(shù)列的各項都是正數(shù),且對任意都有,其中為數(shù)列的前項和。(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)(為非