天一專升本高數(shù)知識點

1、第一講函數(shù)、極限、連續(xù)1、基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像，尤其是圖像包含了函數(shù)的所有信息。2、函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性、有界性奇函數(shù)：f( X)f(X)，圖像關于原點對稱。偶函數(shù)：f( X) f (x)，圖像關于y軸對稱3、無窮小量、無窮大量、階的比較設a, B是自變量同一變化過程中的兩個無窮小量，則(1 )若lim -0，貝y a是比卩高階的無窮小量。a(2) 若lim c (不為0),貝y a與B是同階無窮小量a特別地，若lim 1，則a與B是等價無窮小量a(3) 若lim，貝U a與B是低階無窮小量記憶方法：看誰趨向于4、兩個重要極限0的速度快，誰就趨向于 0的本領高。si nx(1)lim

2、 x 0 xlimX1 sin x使用方法:拼湊lim如00，一定保證拼湊sin后面和分母保持一致(2)lim 1X00(11x)X8lim(1使用方法后面定是一個無窮小量并且和指數(shù)互為倒數(shù)，不滿足條件得拼湊。XXEqqmH X,n%-booPn x的最高次幕是n,Qm x的最高次幕是m.,只比較最高次幕，誰的次幕高，誰的頭大，趨向于無窮大的速度m，分母以更快的速度趨向于無窮大；n m，分子以更快的速快。n m,以相同的比例趨向于無窮大; 度趨向于無窮大。7、左右極限左極限:lim f (x) Ax xo右極限:lim f (x) Ax xolim f (x) A充分必要條件是x xolimx

3、 X)注：此條件主要應用在分段函數(shù)分段點處的極限求解。8連續(xù)、間斷f (x) lim f (x) Ax 用連續(xù)的定義：lim y lim f (xo x) f (xo) Ox Ox o或 lim f (x)f (xo)x 冷間斷：使得連續(xù)定義lim f(x) f(x0)無法成立的三種情況x Xof(X。)不存在，f (xo)無意義lim f (x)不存在X xolim f (x)X Xo記憶方法：1、右邊不存在9、間斷點類型f(Xo)2、左邊不存在3、左右都存在，但不相等(1 )、第二類間斷點:limx 冷f (x)、limX xof (x)至少有一個不存在(2)、第一類間斷點:limx xo

4、f (x)、limf (x)都存在xxo可去間斷點:跳躍間斷點:limx xolimx xof(x)f(x)lim f (x)x xolim f (x)x Xo，左右只要有一個不存在，就是第二類”然后再判斷是不是第 ，左右不等是“跳躍”注：在應用時，先判斷是不是“第二類間斷點” 一類間斷點；左右相等是“可去”1O、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1) 最值定理：如果 f(x)在a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上必有最大值最小值。(2)零點定理：如果f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a) f (b) O，貝y f (x)在a,b內(nèi)至少存在一點，使得f( )0第三講 中值定理及導數(shù)的應用1、羅爾定理f(b)，

5、則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得f ( )0如果函數(shù)y f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；(3) f(a)2、拉格朗日定理如果y f(x) 滿足(1)在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;a,b)內(nèi)可導，且f(X)0，那么(a,b)，那么f (x)在(a, b)內(nèi)f (x)=c恒為常數(shù)。記憶方法：只有常量函數(shù)在每一點的切線斜率都為0。(*)推論2:如果f(x), g(x)在a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且f (x) g (x), x記憶方法：兩條曲線在每一點切線斜率都相等3、駐點滿足f (x)0的點，稱為函數(shù)f (x)的駐點

6、。幾何意義：切線斜率為 o的點，過此點切線為水平線4、極值的概念X,有f (X) f (Xo)，則稱f (Xo)為函數(shù)設f(X)在點Xo的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任一點f (x)的極大值，Xo稱為極大值點。設f (x)在點Xo的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任一點X,有 f (X)f (Xo)， 則稱 f (Xo) 為函數(shù)f (x)的極小值，xo稱為極小值點。記憶方法：在圖像上，波峰的頂點為極大值，波谷的谷底為極小值。5、拐點的概念連續(xù)曲線上，凸的曲線弧與凹的曲線弧的分界點，稱為曲線的拐點。6、單調(diào)性的判定定理設f (x)在(a,b)內(nèi)可導，如果f (x) o，則f (x)在(a

7、,b)內(nèi)單調(diào)增加;如果f (x) o,則f (x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少。記憶方法：在圖像上凡是和右手向上趨勢吻合的，是單調(diào)增加，f (x) o ；在圖像上凡是和左手向上趨勢吻合的，是單調(diào)減少，f (x) o ；7、取得極值的必要條件可導函數(shù)f(x)在點xo處取得極值的必要條件是f (xo) o8取得極值的充分條件第一充分條件：設f (x)在點Xo的某空心鄰域內(nèi)可導，且 f(X)在Xo處連續(xù)，則(1)如果XXo時，f (X)o； xXo時，f (X)o,那么f (x)在Xo處取得極大值f (Xo)；(2)如果XXo時，f (X)o ； xXo時,f (X)o，那么f (x)在xo處取得極小值f

8、(Xo)；(3)如果在點Xo的兩側(cè)，f(x)同號,那么f ( X)在xo處沒有取得極值；記憶方法：在腦海里只需記三副圖，波峰的頂點為極大值，波谷的谷底為極小值。第二充分條件：設函數(shù)f(x)在點X。的某鄰域內(nèi)具有一階、二階導數(shù)，且f(X。) 0，f (x。) 0貝V( 1)如果f (x。) 0，那么f (x)在x。處取得極大值f (x0)；(2)如果f(X。)。，那么f (x)在X0處取得極小值f (x0)9、凹凸性的判定設函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù)，(1)如果f (x) 0,x (a,b)，那么曲線f (x)在(a,b)內(nèi)凹的;(2)如果 f (x)0, x (a,b)，那么(2

9、)9曲線f(x)在伸向無窮遠處時，能夠逐步逼近的直線，稱為曲線的漸近線。(1)b，則y ax b為其斜漸近線。f (x)有垂直漸近線x x011、洛必達法則17遇到“、“一”，就分子分母分別求導，直至求出極限。0X/.Vffxo如果遇到幕指函數(shù)，需用f(x)eln f (x)把函數(shù)變成“ 0”、“0第二講導數(shù)與微分導數(shù)的定義(、f (Xo)limx 0y limx 0f (xox)f(x0)01、注：使用時務必保證 x0后面和分母保持一致，不一致就拼湊。2、3、4、導數(shù)幾何意義：f ( Xo )在x Xo處切線斜率法線表示垂直于切線，法線斜率與f(Xo)乘積為一1導數(shù)的公式，記憶的時候不僅要從

10、左到右記憶，還要從右到左記憶。 求導方法總結(jié)(1 )、導數(shù)的四則運算法則u v u v(u ?v) u ?v v ? uu u V V u2vv(2 )、復合函數(shù)求導：y f x是由y f (u)與u(x)復合而成，貝ydy dy ?dudx du dx(3 )、隱函數(shù)求導然后利用復合函數(shù)求導方法。對于F (x, y) 0 ,遇到y(tǒng),把y當成中間變量u，(4)、參數(shù)方程求導(t)確定一可導函數(shù) y f(x)，則(t)dydxdydtdx(t)dtd2yd(dy)d() dxd伴) dx dtdx2dxdx dt再對等號兩邊分別求導(5)、對數(shù)求導法 先對等號兩邊取對數(shù),(6 )、幕指函數(shù)求導幕

11、指函數(shù)y u(x)v(x)，利用公式a elnayelnu(x)V(x)v(x) In u (x)e然后利用復合函數(shù)求導方法對指數(shù)單獨求導即可。第二種方法可使用對數(shù)求導法，先對等號兩邊取對數(shù)，再對等號兩邊分別求導 注：優(yōu)選選擇第二種方法。5、高階導數(shù)對函數(shù)f(X)多次求導，直至求出。6、微分dy y dx記憶方法：微分公式本質(zhì)上就是求導公式，后面加dx，不需要單獨記憶。7、可微、可導、連續(xù)之間的關系可微 可導可導連續(xù)，但連續(xù)不一定可導8 可導與連續(xù)的區(qū)別。腦海里記憶兩幅圖2y x在x=0既連續(xù)又可導。 所以可導比連續(xù)的要求更高。y x在x=o只連續(xù)但不可導。第四講不定積分一、原函數(shù)與不定積分1

12、、原函數(shù)：若F (x) f(x)，則F(x)為f(x)的一個原函數(shù)；2、不定積分：f (x)的所有原函數(shù)F(x)+c叫做f(x)的不定積分，記作 f (x)dx F(x) C二、不定積分公式記憶方法：求導公式反著記就是不定積分公式三、不定積分的重要性質(zhì)1、f (x)dxf (x)或d f (x)dx f (x)dx2、f (x)dx f (x) c注：求導與求不定積分互為逆運算。四、積分方法1、基本積分公式2、第一換元積分法(湊微分法)把求導公式反著看就是湊微分的方法，所以不需要單獨記憶。3、第二換元積分法ax b,令 t-axba22x令xa si nt三角代換x22 a令xa sect2

13、x2 a令xata nt三角代換主要使用兩個三角公式：sin2t cos2t 1,1 tan2t sec t4、分部積分法 udv uv vdu第五講定積分1、定積分定義f(x)dx如果f(x)在a,b上連續(xù)，則f (x)在a, b上一定可積。理解：既然在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上形成的就是一個封閉的曲邊梯形，面積存在所以一定可積，因為 面積是常數(shù)，所以定積分如果可積也是常數(shù)。2、定積分的幾何意義(1) 如果f(x)在a,b上連續(xù)，且f(x)f (x)dx表示由f (x), x a,x b,x軸所圍成的b曲邊梯形的面積。S= a f (x)dx。(2) 如果f (x)在a, b上連續(xù)，且f(

14、x)S=f (x)dx。3、定積分的性質(zhì)：bb(1)akf (x)dx k a f (x)dxbag(x)dxbba f (x) g(x)dx= a f(x)dx(3)ba f(x)dxca f (x)dx c g(x)dx(4)b1dx baaaa a f (x)dx 0 b f (x)dxba f (x)dx(5)如果f (x)bg(x)，則 f (x)dxa bag(x)dx(6)b設m,M分別是 f(x) 在 a,b 的 min, max,則(7)積分中值定理如果f (x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點ba,b，使得 a f(x)dx f ( )(b a)記憶：總可以找到一個適當?shù)奈恢?/p>

15、，把凸出來的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲邊梯形變 成一個長方形。稱一 b f (x)dx為f (x)在a,b上的平均值。 b a a4、積分的計算(1)、變上限的定積分x(a f(t)dt) f(x)注：由此可看出來(x)a f (t)dt是f(X)的一個原函數(shù)。而且變上限的定積分的自變量只有一個是x而不是t(2)、牛頓一萊布尼茲公式設 f(x) 在a,b上連續(xù)， F(x) 是 f(x) 的一個原函數(shù),b則 a f(x)dxF(x)a F(b) F(a)由牛頓公式可以看出，求定積分，本質(zhì)上就是求不定積分， 只不過又多出一步代入積分上下限，所以求定積分也有四種方法。分法)基本積分公

16、式 第一換元積分法(湊微 第二換元積分法 分部積分法5、奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分(1)、若f (x)在 a,a上為奇函數(shù)，則aa f(x)6、(2)、若f(x)在 a,a上為偶函數(shù)，則aa f(x)a20f (x)dx注：此方法只適用于對稱區(qū)間上的定積分。廣義積分(1) 無窮積分f (x)dxlimccf(x)dxabf (x)dxlimcbc f(x)dxf (x)dxf (x)dxf (x)dx7、b面積S _ f (x)g(x)dx，記憶：面積等于上函數(shù)減去下函數(shù)在邊界a,b上的定積分。ad面積 s= c (y) (y)dy記憶方法：把頭向右旋轉(zhuǎn) 90就是第一副圖。8、旋轉(zhuǎn)體體

17、積(i)(2 )、bax曲線:Vx2f(x) dx陰影部分繞繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積:Vxg2(x)dxx (y)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積：Vy(y)2dy(y)陰影部分繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積：Vy2(y)2(y)dy25（二八 直線與平面的相關考試內(nèi)容、二元函數(shù)的極限定義：設函數(shù)z f（x,y）在點（xoy。）某鄰域有定義（但（Xo,y。）點可以除外），如果當點（x,y）無論沿著任何途徑趨向于（x0, y0）時，zf （x, y）都無限接近于唯一確定的常數(shù)a，則稱當點（x, y）趨向于（x0, y0）時，z f （x, y）以a為極限，記為lim f (x, y) A(x,

18、y) (xo,yo)、二元函數(shù)的連續(xù)性若 lim f (x, y) f (xo, yo)，則稱 z f (x, y)在點(x,y)連續(xù)。(x,y) (xo,yo)注：z f （x, y）的不連續(xù)點叫函數(shù)的間斷點，二元函數(shù)的間斷點可能是一些離散點，也可能是一條或多條曲線。三、二元函數(shù)的偏導數(shù)fx(x, y)ifx ox,y) f(x, y)xfy(x, y)limSy oy) f (x, y) y四、偏導數(shù)求法由偏導數(shù)定義可看出，對哪個變量求偏導就只把哪個變量當成自變量，其它的變量都當成常數(shù)看待。, Z , z .五、全微分：dz dx dyx y六、二元函數(shù)的連續(xù)、偏導、可微之間的關系二元函數(shù)

19、可微，則必連續(xù)，可偏導，但反之不一定成立。若偏導存在且連續(xù)，則一定可微。函數(shù)z f （x, y）的偏導存在與否，與函數(shù)是否連續(xù)毫無關系。七、二元復合函數(shù)求偏導設 z f (u,v),u(x, y),v(x, y)，z z uz vz z u z v則注：有幾個中間變量就處理幾次，按照復合函數(shù)求導處理。 八、隱函數(shù)求偏導方程F(x,y,z) 0確定的隱函數(shù)為 zf (x, y)，則對等號兩邊同時對 x求導，遇到z的函數(shù)，把z當成中間變量。第八講多元函數(shù)積分學知識點重積分的概念、性質(zhì)1、D2、性質(zhì):(1)f(x,y)dxdy 1叫kf (x, y)dxdy(2)f(x,y)(3 )、dxdyf(

20、i, i)i ，幾何意義：代表由 f (x, y)，d圍成的曲頂柱體體積。f (x, y)dxdyDg(x, y) dxdy= f (x, y)dxdy+ g(x, y)dxdyDD(4)Dif (x, y)dxdy= f(x,y)dxdy+ f (x, y)dxdyD1D2(5)若 f (x, y) g(x,y)，則 f (x,y)dxdy g(x,y)dxdyDD(6)若 m f (x, y) M ,則 mD f (x,y)dxdy MDD設f (x, y)在區(qū)域D上連續(xù)，則至少存在一點(，)D，使 f(x,y)dxdy f( , )DD、計算(1) D: a x b, 1(x)y 2(x

21、)f(x,y)dxdyDbdxa2(X) f(x,y)dy(2) d: c y d, 1(y)x2(y)，f (x, y)dxdydcdy2 (x)!(x)f (x,y)dyD技巧：“誰”的范圍最容易確定就先確定“誰”的范圍，然后通過劃水平線和垂直線的方法確定另一個變量的范圍(3)極坐標下： x rcos ,y rsin ,dxdy rdrdr ()f (x, y)dxdy d 0 f (r cos , r sin )rdrD三、曲線積分1第一型曲線積分的計算(1) 若積分路徑為 l: y (x),a x b，貝yb;2L f (x,y)ds= a f (x, (x) 1( (x) dx(2) 若積分路徑為 l: x (y),c y d ,貝yL f(x,y)ds= : f ( (y), y) ,1( (y)2dyx(t)，t(3)若積分路為L:，則y(t)L f (x, y)ds：=f(t),(t).(t)2 (t)2dt第二型曲線積分的計算(1)若積分路