二次函數(shù)壓軸題之正方形存在性

1、正方形存在性問題作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質(zhì)，因此坐標(biāo)系中的正方形存在性問題變化更加多樣，從判定的角度來說，可以有如下：（ 1 ）有一個(gè)角為直角的菱形；（ 2）有一組鄰邊相等的矩形；（ 3）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形依據(jù)題目給定的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，即可確定所求的點(diǎn)坐標(biāo)從未知量的角度來說，正方形可以有4 個(gè) “未知量 ”，因其點(diǎn)坐標(biāo)滿足4 個(gè)等量關(guān)系，考慮對(duì)角線性質(zhì)，互相平分（2 個(gè)）垂直（1 個(gè)）且相等（1 個(gè)） 比如在平面中若已知兩個(gè)定點(diǎn)，可以在平面中確定另外兩個(gè)點(diǎn)使得它們構(gòu)成正方形，而如果要求在某條線上確定點(diǎn)，則可能會(huì)出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說的未知

2、量小于方程個(gè)數(shù)，可能無解從動(dòng)點(diǎn)角度來說，關(guān)于正方形存在性問題可分為：（ 1） 2 個(gè)定點(diǎn)+2 個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；（ 2） 1 個(gè)定點(diǎn)+2 個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1 個(gè)全動(dòng)點(diǎn);甚至可以有：（ 3） 4個(gè)半動(dòng)點(diǎn)不管是哪一種類型，要明確的是一點(diǎn)，我們肯定不會(huì)列一個(gè)四元一次方程組求點(diǎn)坐標(biāo)！常用處理方法：思路 1：從判定出發(fā)若已知菱形，則加有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；若已知對(duì)角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件思路2：構(gòu)造三垂直全等若條件并未給關(guān)于四邊形及對(duì)角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4 個(gè)頂點(diǎn)中任取3 個(gè)，必是等腰直角三角形，若已知兩定點(diǎn)，則可通過構(gòu)造三垂直全等來

3、求得第3 個(gè)點(diǎn)，再求第4個(gè)點(diǎn)總結(jié)： 構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點(diǎn)的情形，若題目給了4個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則考慮從矩形的判定出發(fā)，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系正方形的存在性問題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主例：在平面直角坐標(biāo)系中, 點(diǎn)的四邊形是正方形.如圖，一共6個(gè)這樣的點(diǎn)A (1,1), B (4,3),在平面中求 C、D使得以A、B、C、D為頂C使得以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.至于具體求點(diǎn)坐標(biāo)，以 Ci為例，構(gòu)造 AMBA CiNA ,即可求得 G坐標(biāo).至于像 C5、C6這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，不難發(fā)現(xiàn)，C5是AC3或BCi的中點(diǎn)，C6是BC2或

4、AC4的中點(diǎn).題無定法，具體問題還需具體分析，如上僅僅是大致思路.兩動(dòng)點(diǎn)：構(gòu)造等腰直角定第3點(diǎn)(2015 畢節(jié))如圖，拋物線 y x2 bx c與x軸交于A (-1, 0), B (3, 0)兩點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在過A、B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 Q,使得四邊形APBQ 為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.【分析】(1)拋物線：y x2 2x 3；(2)已知A (-1, 0)、B (3, 0),故構(gòu)造以AB為斜邊的等腰直角 APB,如下:若四邊形APBQ是正方形，易得 P點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 2)或(1, -2),當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)

5、時(shí)，易得拋物線解析式為y 1x12 2;22當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1, -2)時(shí)，易得拋物線解析式為y - x 12 .2綜上所述，拋物線解析式為y 1x12 2或y1x122.22【小結(jié)】看到兩個(gè)定點(diǎn)，不管題目如彳S描述第 3個(gè)點(diǎn)的位置，均可通過構(gòu)造等腰直角三角形 確定第3個(gè)點(diǎn)，再求得第4個(gè)點(diǎn).兩定兩動(dòng)：拋物線+拋物線ABCD放在第一象限斜靠在兩（2012 通遼）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)正方形2坐標(biāo)軸上，且點(diǎn) A （0, 2）、點(diǎn)B （1, 0）,拋物線y ax ax 2經(jīng)過點(diǎn)C.（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P與點(diǎn)Q （點(diǎn)C、D除外）使四邊形 ABP

6、Q為正方形?若存在求出點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在說明理由.(1)C (3, 1);(2)拋物線:(3)考慮A、B、P構(gòu)成等腰直角三角形且/ B為直角，故可作出點(diǎn) P如下:構(gòu)造三垂直全等： AMB BNP,即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1, -1）,將點(diǎn)P代入拋物線解析式，成立, 即點(diǎn)P在拋物線上.根據(jù)點(diǎn)P構(gòu)造點(diǎn)Q,通過點(diǎn)的平移易得點(diǎn) Q坐標(biāo)為（-2, 1）, 代入拋物線解析式，成立，即點(diǎn)Q也在拋物線上，故存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1, -1）,點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-2, 1）.【小結(jié)】本題數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)得巧妙，由A、 B 確定的點(diǎn)P 恰好在拋物線上，由A、 B、 P 確定的點(diǎn) D 恰好也在拋物線上，故存在這樣的一組P、

7、Q ，當(dāng)然若適當(dāng)調(diào)整數(shù)據(jù)，則答案完全可以變成不存在4動(dòng)點(diǎn)：已知矩形構(gòu)造鄰邊相等(2017 雅安)如圖，已知拋物線 y x2 bx c的圖象經(jīng)過點(diǎn) A (1, 0), B (-3, 0),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為 D,對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E,連接BD.(1)求拋物線的解析式.(2)若點(diǎn)P在直線BD上，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)在(2)的條件下，作 PFx軸于F,點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn) F、N、G、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).(1)拋物線：y x2 2x 3 ；(2)求CE的直線解析式或設(shè) P點(diǎn)坐標(biāo)表示PE=PC,

8、可得P點(diǎn)坐標(biāo)為 2, 2 .(3)考慮FNXFM ,故四邊形為 MFNG ,若要成為正方形，則 GN / FM, GM，x軸，即四邊形 MFNG為矩形.設(shè)FN長度為m,則NG=FN=m ,故G點(diǎn)橫坐標(biāo)為 m-2,代入解析式得：Gm 2,m2 2m 3 ,故 GM m2 2m 3 m,321321 /普、113113 /咨、斛信：m1 , m2 (舍)，m3 , m4 (舍).2222則m點(diǎn)坐標(biāo)為.J2I,0或，,。,【小結(jié)】根據(jù)題目描述可知四邊形是矩形，考慮四邊形的邊均與坐標(biāo)軸平行或垂直，故構(gòu)造一組鄰邊相等求得點(diǎn)坐標(biāo).四動(dòng)點(diǎn)：考慮對(duì)角線垂直平分且相等1 9(2017 棗莊)如圖，拋物線y x

9、bx c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn) 2B坐標(biāo)為(6, 0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0, 6),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E,連接BD.(1)求拋物線的解析式及點(diǎn) D的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) M作MN /x軸與拋物線交于點(diǎn) N,點(diǎn)P在x軸上,點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段 MN為對(duì)角線作正方形 MPNQ,請(qǐng)寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).【分析】(1)拋物線：y - x2 2x 6 ;2(2)考慮MN /x軸且MN為對(duì)角線，故 MN與PQ互相垂直平分且相等,根據(jù)垂直可知：PQx軸;根據(jù)平分可知：xp xM xN 2； 2根據(jù)相等可知：設(shè) MN與PQ交于H點(diǎn)，則MN=2PH .

10、設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為 m, m2 2m 6 ,則N點(diǎn)坐標(biāo)為 4 m, m2 2m 6 , 22MN 4 2m , PH1m2 2m 6 ,227由 MN=2PH ,可得 4 2m 2 1m2 2m 6 ,解得：m 1 .17 或 m 3 ,17 .當(dāng)m 1 /7或3 /7時(shí)，yM 屈1,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為2,2田7 2 ;當(dāng)m 1 或3折時(shí)，Vm網(wǎng)1,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為2, 2折2綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為2,2折2或2, 2幣7 2 .【小結(jié)】考慮到本題對(duì)角線是與坐標(biāo)軸平行或垂直，故構(gòu)造對(duì)角線垂直平分且相等,4動(dòng)點(diǎn)：已知矩形：構(gòu)造對(duì)角線互相垂直或有一組鄰邊相等(2018 南充刪減)如圖，拋物線頂點(diǎn) P (1, 4

11、),與y軸交于點(diǎn)C (0, 3),與x軸交于點(diǎn)A,B.(1)求拋物線的解析式.(2)若M、N為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)M、N作直線BC的垂線段，垂足分別為 D、E.是否存在點(diǎn) M、N使四邊形 MNED為正方形?如果存在，求正方形MNED的邊長；如果不存在，請(qǐng)說明理由.【分析】(1)拋物線：y x2 2x 3 ；(2)由題意可得：MN /BC,四邊形MNED是矩形，若要變?yōu)檎叫?，可考慮對(duì)角線互 相垂直；有一組鄰邊相等.思路1:考慮對(duì)角線連接ME ,則4 MDN為等腰直角三角形，/ MED=45 ,即MEx軸，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為m, m2 2m 3 ,則E點(diǎn)坐標(biāo)為 m, m 3 ,當(dāng)M點(diǎn)在E點(diǎn)上方時(shí)，可推得 N點(diǎn)坐標(biāo)為2 L2m 5mmm 62,2將點(diǎn)N坐標(biāo)代入拋物線：y x 122/日 m 5m 2 m 5m 6得： 22化簡彳導(dǎo):1 m2 5m 2 m 2 m 32132-m 7m 8m 4 m 2x 3 ,m2 m 6，2m 3 m 22解得：m1 1 , m2 6 （舍）此時(shí)ME=2 ,正方形邊長為 金;當(dāng)M點(diǎn)在E點(diǎn)下方時(shí)，同理可解： m=6.此時(shí)ME=18 ,正方形邊長為 9j2 .綜上，正方形邊長為 短或942 .思路2:考慮鄰邊相等考慮M、N兩點(diǎn)均未知，但 MN /BC,故可設(shè)直線MN