基于認(rèn)知負(fù)荷理論下的對數(shù)概念教學(xué)的探討

1、基于認(rèn)知負(fù)荷理論下的對數(shù)概念教學(xué)的探討 【摘要】從本三個方面詳細(xì)講解對數(shù)概念的教學(xué)方法，讓學(xué)生承受的內(nèi)在負(fù)荷與外在負(fù)荷降低，增加其相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，從而更好地掌握對數(shù)概念，并有效地運(yùn)用對數(shù)概念解決數(shù)學(xué)問題。 【關(guān)鍵詞】對數(shù) 概念 認(rèn)知負(fù)荷 圖式建構(gòu)。 【中圖分類號】g【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】a 【文章編號】0450-9889（2015）06b-0072-03 對一個數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，并不僅僅在于能記住它、表達(dá)出它的定義、認(rèn)識它的代表符號，而且要真正能夠理解和把握它的本質(zhì)屬性，并能運(yùn)用它來解決問題。對數(shù)函數(shù)是高考的一個熱點(diǎn)。對數(shù)概念掌握不好，將會直接影響到學(xué)生對很多與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的題目的理解和把握，導(dǎo)致各種的錯

2、誤的發(fā)生。所以說對數(shù)概念是數(shù)學(xué)的一個基本而又重要的概念。本文將圍繞對數(shù)概念的講解策略，從對數(shù)概念的應(yīng)用等方面對對數(shù)概念教學(xué)進(jìn)行探討。 一、問題的提出 高三的同步訓(xùn)練中有這樣一道題： 函數(shù)的定義域是（ ） a.（1，2）（2，3） b.（-，1）（3，+） c.（1，3） d.1，3 解答過程如下： 由解之得，故選 a 這道題的考查目的就是為了讓學(xué)生熟練掌握函數(shù)的定義域的求法，把握好基礎(chǔ)知識，但結(jié)果答對的只有少數(shù)幾個，相當(dāng)多的學(xué)生根本不知道怎么入手，看見log就頭痛，20%的學(xué)生的答案為c。最后，很多學(xué)生對解答過程提出問題：可以理解，那是因?yàn)檎鏀?shù)要求大于0，但為什么還要這個條件？若把題目換成求函

3、數(shù)的定義域，大部分的學(xué)生馬上可以回答是。這時候才有同學(xué)醒悟過來，原來還要考慮分母不為0?？蔀槭裁词?？只有極少的學(xué)生知道原因所在。 高三了，仍有相當(dāng)多的學(xué)生對對數(shù)的定義和性質(zhì)掌握不好，理解膚淺，有的甚至連最基本的對數(shù)和指數(shù)的互化都不懂。其他班的情況也好不到那里去。在普通高中里，這種情況不是一屆兩屆學(xué)生的問題，而是我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中一直都頭痛的問題。那么，我們的對數(shù)概念的教學(xué)應(yīng)該如何進(jìn)行才能讓學(xué)生理解并掌握呢？ 對數(shù)概念是數(shù)學(xué)的一個基本而又重要的概念。對數(shù)概念掌握不好，將會直接影響到學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的理解和掌握，影響到很多與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的題目的理解和把握，導(dǎo)致各種錯誤的發(fā)生。而且，對數(shù)函數(shù)是高考的一

4、個熱點(diǎn)，通常以選擇題或填空題的形式考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；或者與不等式等其它知識相結(jié)合，出現(xiàn)在解答題中。但我們知道，學(xué)好一個數(shù)學(xué)概念，并不僅僅在于能記住它，把它背下來，能表達(dá)出它的定義、認(rèn)識它的代表符號，而是要真正能夠理解和把握它的本質(zhì)屬性，弄清它的內(nèi)涵和外延，并能運(yùn)用它來解決問題。而這一點(diǎn)，也正是學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)的原因所在。 在高一的課程中，首先安排了對數(shù)概念和對數(shù)的運(yùn)算法則的教學(xué)和學(xué)習(xí)，然后再安排對數(shù)函數(shù)的教學(xué)和學(xué)習(xí)。分步教學(xué)，逐層加深。而“對數(shù)”這個概念對高一的學(xué)生而言，是個陌生而且抽象的東西，首先在心理上就對它產(chǎn)生了排斥；再次對新概念不理解，導(dǎo)致對性質(zhì)、公式的不理解，加上運(yùn)算能力差，怕

5、麻煩，對對數(shù)的計(jì)算不耐心，產(chǎn)生放棄的心理。因此，相當(dāng)多的學(xué)生在遇到對數(shù)時，情愿放棄也不愿多思考，多總結(jié)，多練習(xí)。一而再，再而三，也就忽視了對這個概念的理解，導(dǎo)致遇到對數(shù)就避開，積累下來，問題就更難以解決了。本文將圍繞對數(shù)概念的講解策略結(jié)合自己的經(jīng)驗(yàn)對對數(shù)概念教學(xué)進(jìn)行一點(diǎn)探討。 二、對數(shù)的講解策略 學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)就是一個對概念的認(rèn)知過程。從認(rèn)知理論上來說任何教學(xué)都會引起三種認(rèn)知負(fù)荷。澳大利亞心理學(xué)家j.sweller等認(rèn)為“認(rèn)知負(fù)荷就是將特定工作加在個體認(rèn)知系統(tǒng)時所產(chǎn)生的負(fù)荷量”。認(rèn)知負(fù)荷包括內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、外在認(rèn)知負(fù)荷和相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷三種基本成分。內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷是指由于元素間交互形成的負(fù)荷，內(nèi)在認(rèn)

6、知負(fù)荷取決于所要學(xué)習(xí)的材料的本身的難易程度和復(fù)雜性與學(xué)習(xí)者的原有的知識水平之間的交互，教學(xué)設(shè)計(jì)者不能對它產(chǎn)生直接的影響但可以進(jìn)行控制；外在認(rèn)知負(fù)荷是超越內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷的額外負(fù)荷，它與不合理的教學(xué)設(shè)計(jì)、教材的呈現(xiàn)方式和教學(xué)活動的組織有關(guān)，也稱為無效負(fù)荷或無關(guān)負(fù)荷。能通過教學(xué)內(nèi)容的重組和設(shè)計(jì)進(jìn)行調(diào)整，降低額外負(fù)荷量；相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷是指與個體主觀領(lǐng)域相關(guān)的信息，指個體在圖式建構(gòu)和自動化過程中所投入的認(rèn)知資源的數(shù)量，它與個體的認(rèn)知努力有關(guān)，提高學(xué)生個體的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，可以引導(dǎo)學(xué)生利用剩余認(rèn)知資源進(jìn)行深層次的圖式建構(gòu)，將知識存于長期記憶中，降低工作記憶的負(fù)荷量。由于內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、外在認(rèn)知負(fù)荷和相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷具

7、有疊加性，且三者之和不超過工作記憶總的負(fù)荷量，若超過工作記憶所能接受的范圍，就會產(chǎn)生焦慮、壓力和煩惱，并影響學(xué)習(xí)的績效。因此，對于每一個教學(xué)內(nèi)容，若想要獲得好的學(xué)習(xí)效果，則對該教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)和活動的組織必須考慮到這三種認(rèn)知負(fù)荷，使學(xué)生所承受的總負(fù)荷量不超過其工作記憶的總負(fù)荷量。對于對數(shù)概念的教學(xué)，首先要引入得當(dāng)，對教學(xué)設(shè)計(jì)要合理，這樣就會讓學(xué)生承受的內(nèi)在負(fù)荷與外在負(fù)荷降低，增加其相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷。下面將從這三個方面具體談?wù)剬?shù)概念教學(xué)的一些體會。 （一）充分考慮教材的特點(diǎn)、學(xué)生的知識水平和接受能力的交互作用，控制內(nèi)在負(fù)荷量的增加 我們可以先從一個比較常用的問題出發(fā)，在講對數(shù)的概念之前，先舉一個利息

8、計(jì)算的問題的例子。如，你手頭有5萬元，存進(jìn)銀行，每年的利率為2.25%，試計(jì)算需要多久，連本帶利共有10萬元？ 這是發(fā)生在學(xué)生的生活當(dāng)中一個常見的問題，是他們所熟悉的感興趣的問題，因而會激起學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心。而且這與所學(xué)過的指數(shù)運(yùn)算有關(guān)，通過這樣一個平臺，降低學(xué)生所承受的內(nèi)在負(fù)荷與外在負(fù)荷。再因勢利導(dǎo)，引導(dǎo)他們積極思考問題“應(yīng)該怎樣去解決這個問題呢？”因而可以這樣分析： 根據(jù)題意，我們可以利用方程的思想，由“求什么就設(shè)什么”，可設(shè)需要x 年，連本帶利共有10萬元，則可列出式子 5（1+2.25%）x=10 化簡得 1.0225x=2 對于這個指數(shù)式，相當(dāng)多的學(xué)生是既熟悉又陌生的，若方程是2x=

9、8，由于23=8，他們可以得出答案為x=3，因?yàn)?x=8=23，可求出x=3，但是1.0225x=2中，這個底數(shù)1.0225與右邊的2不像2和8那樣具有這種明顯的指數(shù)關(guān)系，因而要解決這個問題，就得另辟捷徑了。 在解決這個問題之前，我們可以先復(fù)習(xí)這樣一個問題：若2+x=6，怎樣求出x？這是小學(xué)生也能回答的問題。即x=6-2，x=4。提出x+2=6是加法，而求出x時，x=6-2=4所運(yùn)用的是減法，那么加法和減法有什么關(guān)系？學(xué)生都可以回答是互為逆運(yùn)算，進(jìn)而可以提出，互為逆運(yùn)算，可以解決加減法的計(jì)算問題，同樣的，它也可以解決乘除法的計(jì)算問題，那么，它能否解決指數(shù)的計(jì)算問題呢？ 通過這個問題的提出，給學(xué)

10、生指出了一條解決問題的路徑，那就是找到指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算。但是它的逆運(yùn)算是什么呢？此時，我們可以告訴學(xué)生，這就是我們將要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容對數(shù)。 通過這樣的一個課前引入，讓學(xué)生在接觸到新的概念之前，就已經(jīng)有了一個強(qiáng)烈的感知，他們要學(xué)的是指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算。減輕他們對新概念的排斥力，從心理上給他們吃下一顆定心丸，降低他們認(rèn)知的無關(guān)負(fù)荷，增強(qiáng)他們有效的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷。 （二）合理設(shè)計(jì)教學(xué)過程，降低無關(guān)負(fù)荷對學(xué)生的知識的圖式建構(gòu)和記憶的負(fù)面影響 那么，什么是對數(shù)呢？引進(jìn)課本的概念，若a（a0，a1）的b次冪等于n，就是ab=n，那么數(shù)b叫做以 a為底n 的對數(shù)，記做lagan=b，其中 a叫做對數(shù)的底數(shù)，n 叫

11、做真數(shù)。 其中“l(fā)og ”是對數(shù)（logarithm）的符號，是對數(shù)的拉丁文logarithm的縮寫，與“+”“-”的作用相當(dāng)。說明了“l(fā)og ”的作用和來源，減輕了學(xué)生對它的恐懼感，增加了學(xué)生對對數(shù)的理解和認(rèn)識。這樣，有助于降低外在負(fù)荷的影響，增強(qiáng)有效負(fù)荷的承受力。 由于概念中是直接由指數(shù)式ab=n定義對數(shù)式lagan=b 的，那么這兩者之間的關(guān)系必然密不可分，這就讓學(xué)生不由自主地回憶起剛才的第一個認(rèn)識它們是互為逆運(yùn)算。再引導(dǎo)學(xué)生觀察指數(shù)式ab=n和對數(shù)式lagan=b這兩個式子，看看對應(yīng)的字母的位置有什么變化？ 在此過程中，教師的作用僅在于引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析，讓學(xué)生在觀察和分析的過程中建立

12、自己對知識的圖式建構(gòu)，內(nèi)化為自己的知識。 然后，通過讓學(xué)生自己觀察、填空，分組討論得出以下問題的結(jié)論。 （1）42=16 log4（ ）=2 （2）log42=（ ） （3）102=100log（ ）100=2 （4）m-2=n logm（ ）=-2 （5）log525=25（ ）=25 （6）4-2=（ ） （7）log1010000=4（ ）4=10000 （8）loge10=2.303e（ ）=10 通過圖形中字母的位置的變化，鞏固學(xué)生自己建構(gòu)起來的知識網(wǎng)絡(luò)，增強(qiáng)有效的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷；也可以通過圖形中字母的位置的變化，明確指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算這兩個逆運(yùn)算之間的變化規(guī)則，并用于實(shí)際計(jì)算中。通過

13、這樣數(shù)形結(jié)合，加強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識，掌握指數(shù)式和對數(shù)式之間的互化的規(guī)律，達(dá)到掌握概念的目的。然后，因勢利導(dǎo)，引進(jìn)常用對數(shù)（以10為底的對數(shù)）和自然對數(shù)（以 e為底的對數(shù)）的定義，分別簡記為lg n和lnn。 利用表格將指數(shù)式的一些性質(zhì)列出，讓學(xué)生對應(yīng)找出對數(shù)式的性質(zhì)。 學(xué)生通過此表格，可以利用指數(shù)式和對數(shù)式之間的互化，將loga1=0，logaa=1寫出，進(jìn)而用文字將“零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)”，“1的對數(shù)為0”，“底數(shù)的對數(shù)為1”這幾個性質(zhì)總結(jié)出來。 基于大腦皮層的結(jié)構(gòu)和人腦的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，人腦對圖形語言所反饋的信息的接受力比對文字?jǐn)⑹鏊答伒男畔⒌慕邮芰σ獜?qiáng)得多。利用圖表來建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，直觀形象，使學(xué)生

14、更利于理解和接受，然后內(nèi)化為自己的更深層次的圖式建構(gòu)，將信息存于自己的長期記憶中。這對增強(qiáng)學(xué)生的有效認(rèn)知負(fù)荷，降低無關(guān)負(fù)荷的影響，使工作記憶總負(fù)荷量達(dá)到平衡起到極為重要的作用。 通過圖表的類比策略，不僅幫助學(xué)生復(fù)習(xí)舊的知識，還通過新舊知識的遷移，達(dá)到學(xué)習(xí)新知識的目的。多個類比源多次類比，有助于學(xué)生形成更為抽象的圖式，它可以增長學(xué)生的類比經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生形成感知知識結(jié)構(gòu)的思維傾向，更好地提取信息的一般規(guī)律，用于解決不同表征的問題，降低學(xué)生的無關(guān)負(fù)荷的影響力。 另外，學(xué)習(xí)環(huán)境也影響著學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷的構(gòu)成，創(chuàng)設(shè)一個良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生伴隨著感知、聆聽、觀察、思維、陳述等認(rèn)知過程的介入，以及信心、興趣、

15、成功或失敗等情感因素的介入，可以有效地降低無關(guān)負(fù)荷的影響，增強(qiáng)有效的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷。因此，可以在課堂上組織學(xué)生進(jìn)行分組討論，合作學(xué)習(xí)，將學(xué)習(xí)的主動權(quán)交還給他們自己。這樣不僅促進(jìn)學(xué)生的自主思考，而且通過相互間的交流，鍛煉他們的表達(dá)能力和團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神，這要比教師唱獨(dú)角戲要有效得多。 （三）精選例題，鞏固概念，通過對概念的初步感知，將學(xué)生建構(gòu)的概念的圖式存于長期記憶中，降低工作記憶的負(fù)荷量，不超出工作記憶所能接受的總負(fù)荷量。 總而言之，我們要加強(qiáng)對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究，合理運(yùn)用各種教學(xué)策略，遵循學(xué)生的思維方式和認(rèn)知特點(diǎn)把復(fù)雜的概念簡單化。運(yùn)用學(xué)生熟悉的情景教學(xué)，舉例示范，變抽象為具體，能有效降低學(xué)生的內(nèi)在與外在無關(guān)認(rèn)知