運(yùn)用根的判別式解題

1、運(yùn)用根的判別式解題 根的判別式在求解一元二次方程的有關(guān)問題中占據(jù)重要的地位，現(xiàn)舉例說明. 一、不解一元二次方程，判斷根的情況 例1不解方程，判斷下列方程的根的情況： （1） 2x2+3x=4 （2）ax2+bx=0（a0） 分析：將方程化為一般形式，確定a、b、c的值，計(jì)算b2-4ac并與0進(jìn)行比較. 解：（1） 2x2+3x-4=0， a=2， b=3， c=-4， 因?yàn)?b2-4ac=32-42（-4）=410. 所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. （2）因?yàn)閍0， 所以方程是一元二次方程，此方程是缺少常數(shù)項(xiàng)的不完全的一元二次方程，將常數(shù)項(xiàng)視為零， 因?yàn)?（-b）2-4a0=b2， 因?yàn)闊o論b

2、取任何實(shí)數(shù)，b2均為非負(fù)數(shù)， 所以0， 故方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 小結(jié)：解決這類問題的關(guān)鍵是需要我們牢記一元二次根的判別式的三種情況，尤其要注意系數(shù)是字母的一元二次方程，當(dāng)b2-4ac0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac 二、根據(jù)方程根的情況，確定待定字母系數(shù)的值或取值范圍 例2已知關(guān)于x的方程x2-2x-2n=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. （1）求n的取值范圍； （2）若n 分析：（1）關(guān)于x的方程x2-2x-2n=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即判別式=b2-4ac0.即可得到關(guān)于n的不等式，從而求得n的范圍. （2）利用配方法解方程，然后根據(jù)n的取值

3、范圍和限制條件“方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)”來求n的值. 解：（1）因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2-2x-2n=0的二次項(xiàng)系數(shù)a=1、一次項(xiàng)系數(shù)b=-2、常數(shù)項(xiàng)c=-2n， 所以=b2-4ac=4+8n0， 解得，n-12. （2）由原方程，得（x-1）2=2n+1，所以x=12n+1. 因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且n 所以0 所以2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9， 解得，n=0，n=1.5或n=4. 小結(jié)：由于根的判別式是一元二次方程的系數(shù)聯(lián)系的紐帶，所以，涉及到一元二次方程（或二次三項(xiàng)式）中涉及到系數(shù)的問題時(shí)，可借助根的判別式來進(jìn)行判定或者處理.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，說明方程必為一元二

4、次方程，關(guān)鍵是考慮b2-4ac0，如果二次項(xiàng)的系數(shù)含有字母還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零. 三、判斷當(dāng)字母的值為何值時(shí)二次三項(xiàng)是完全平方式 例3若關(guān)于a的二次三項(xiàng)式16a2+ka+25是一個(gè)完全平方式，則k= . 解析：可以令二次三項(xiàng)等于0，若二次三項(xiàng)是完全平方式，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.即=0.令16a2+ka+25=0，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以=k2-41625=0，所以k=40或者-40. 答案：40或者-40 小結(jié)：當(dāng)=0時(shí)，二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，把滿足題目的所有條件列成一個(gè)方程求解. 四、判斷二次三項(xiàng)式能否分解因式 例4已知 k為非正數(shù)，試判斷二次三項(xiàng)式3x2-4x+2k在

5、實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能否分解因式. 解析：假設(shè)二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式，即3x2-4x+2k=3（x-x1）（x-x2），則方程3x2-4x+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.有=（-4）2-432k0，解得 k23.因已知的k值在此范圍內(nèi)，所以已知式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式. 五、一元二次方程根的判別式在證明或幾何求解中的應(yīng)用 例5已知關(guān)于x的方程x2-（k+1）x+（2k-2）=0. （1）求證：無論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根； （2）若等腰abc的底邊a=3，另兩邊b，c好是此方程的兩根，求abc的周長. 分析：（1）計(jì)算方程的根的判別式，若=b2-4ac0，則證明方程總有實(shí)數(shù)根. （2）已知a=3，則

6、a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出abc的周長.注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢驗(yàn). 解：（1）證明：因?yàn)?b2-4ac=（k+1）2-4（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）20. 所以無論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根.（2）若a=3為底邊，則c為底邊，則b=c，則=0. 所以（k-3）2=0，解得：k=3. 此時(shí)原方程化為x2-4x+4=0 所以x1=x2=2，即b=c=2. 此時(shí)abc三邊為3，2，2. 若a=b為腰，則c為底邊，不妨設(shè)b=a=3 代入方程：32-3（k+1）+（2k-2）=0. 所以k=4. 則原方程化為x2-5x+6=0. （x-2）（

7、x-3）=0，所以x1=2，x2=3. 即b=3，c=2. 此時(shí)abc三邊為3，3，2能構(gòu)成三角形. 綜上所述：abc三邊為3，3，2.所以周長為8或7. 小結(jié)：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b2-4ac，是每年中考的必考知識(shí)點(diǎn).它是揭示根的性質(zhì)與系數(shù)間聯(lián)系的橋梁，是解決與一元二次方程相關(guān)問題的有力工具.當(dāng)三角形的三邊是某個(gè)方程的系數(shù)時(shí)，要想將這三邊聯(lián)系在一起，可以借用根的判別式來處理. 六、應(yīng)用根的判別式判斷三角形的形狀 例6已知：a、b、c為abc的三邊，當(dāng)m0時(shí)，關(guān)于x的方程c（x2+m）+b（x2-m）-2max=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.試判定abc的形狀. 解析：整理原方程c（x2+m）+b（x2-m）-2max =0得：cx2+cm+bx2-bm-2max =0. 即（c+b）x2-2max +cm-bm=0. 根據(jù)題意： 因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根， 所以=（-2ma）2-4（c+b）（cm-bm）=0， 即4ma2-4（c2m-bcm+bcm-b2m）=0. 得ma2-c2m+b2m=0. 所以=m（a2+b2-c2）=