蘇科版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第二章正多邊形和圓知識(shí)點(diǎn)與同步訓(xùn)練(解析版)

1、正多邊形和圓第5頁(yè)知識(shí)精講正多邊形的概念及性質(zhì)1 .正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形.2 .正多邊形的相關(guān)概念：(1)正多邊形的中心：我們把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心;(2)正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑；(3)正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角；(4)正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.補(bǔ)充說(shuō)明：正多邊形的性質(zhì)：(1)正n邊形的半徑和邊心距把正 n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形；(2)正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，正 n邊形共有n條通過(guò)正n邊形中心的對(duì)稱(chēng)軸；(3)偶數(shù)條邊的正多邊

2、形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其中心就是對(duì)稱(chēng)中心.正多邊形與圓的關(guān)系1 .把一個(gè)圓n等分，依次連結(jié)各個(gè)等分點(diǎn)所得到的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形;這個(gè)圓叫這個(gè)正n邊形的外接圓；經(jīng)過(guò)各等分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正 n邊形.2 .定理：任何一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓；并且這兩個(gè)圓是同心圓.正多邊形有關(guān)的計(jì)算n -2 1801 .正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于 41 ；n2 .正n邊形的每一個(gè)外角與中心角相等，等于360-；n1 can = dn cn23 .設(shè)正n邊形的邊長(zhǎng)為an,半徑為r,邊心距為dn ,周長(zhǎng)為cn ,面積為sn；則:2,21 21,

3、r =dn an , cn = nan , sn = n d n 42點(diǎn)剖析考點(diǎn)：正多邊形的概念、性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算 重難點(diǎn)：正多邊形相關(guān)計(jì)算.易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)正多邊形相關(guān)的概念混淆不清.題模精講題模一：正多邊形的相關(guān)概念例2.1.1下面給出六個(gè)命題：各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；正多邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形；各角均為120。的六邊形是正六邊形;邊數(shù)相同的正n邊形的面積之比等于它們邊長(zhǎng)的平方比；各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形.其中，正確的命題是 .【答案】【解析】錯(cuò)誤，反例：矩形各角相等但不是正四邊形；正確，邊相等則各邊所對(duì)的圓心角相等，由半徑和圓心角可構(gòu)成個(gè)全等的等腰

4、三角形，則多邊形的各內(nèi)角也相等；錯(cuò)誤，正奇數(shù)邊形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形；錯(cuò)誤，在正六邊形的基礎(chǔ)上作任意一組對(duì)邊的平行線，仍然截出一個(gè)六邊形，各內(nèi)角均為，但不是正六邊形；正確，相似的性質(zhì)；錯(cuò)誤，只要 使切點(diǎn)與圓心的連線不平分多邊形的邊長(zhǎng)即可.例2.1.2若正多邊形的一個(gè)外角為60。，則這個(gè)正多邊形的中心角的度數(shù)是()a.30b.60c. 90d.120【答案】b【解析】由于任意多邊形的外角和均為3600 ,所以這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為360=6,所60以正六邊形的中心角的度數(shù)為 幽 =60。.6例2.1.3正六邊形的邊心距與邊長(zhǎng)之比為()a. 石：3b.3: 2c.1:2d.2 : 2【答案】b【解析】此

5、題考查了正多邊形和圓的關(guān)系.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后設(shè)六邊形的邊長(zhǎng)是a,由勾股定理即可求得 oc的長(zhǎng)，繼而求得答案.如圖：設(shè)六邊形的邊長(zhǎng)是 a,則半徑長(zhǎng)也是a;經(jīng)過(guò)正六邊形的中心 。作邊ab的垂線oc,則 ac= 1ab= 1a 22 .oc= 9a ac2 =a,，正六邊形的邊心距與邊長(zhǎng)之比為：ga： a=j3： 2.2故選b.例2.1.4如圖，有一個(gè)圓 。和兩個(gè)正六邊形 不，t2. ti的6個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上，丁2的6條邊都和圓。相切(我們稱(chēng)ti, t2分別為圓o的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形).(1)設(shè)ti, t2的邊長(zhǎng)分別為a, b,圓。的半徑為

6、r,求r ： a及r ： b的值；(2)求正六邊形 ti, t2的面積比s: s2的值.【答案】(1) 3: 2(2) 3: 4【解析】(1)連接圓心o和t1的6個(gè)頂點(diǎn)可得6個(gè)全等的正三角形.所以 r： a=1: 1;連接圓心。和t2相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，得以圓 。半徑為高的正三角形, 所以 r： b=ao : bo=sin60 =顯：2;(2) t1： t2 的邊長(zhǎng)比是 3: 2,所以 s1： s2= (a： b) 2=3： 4.題模二：相關(guān)計(jì)算例2.2.1 如圖，o o是 abc的內(nèi)切圓，若/ abc=70 , / acb=40 ,則/ boc=:.【答案】125【解析】:。是4abc的內(nèi)切圓，

7、.ob 平分/ abc , oc 平分/ acb , ./ obc/abc=35 , / ocb/acb=20 , ./ boc=180 - / obc- / ocb=180 - 35 - 20 =125.例2.2.2已知正六邊形的邊長(zhǎng)為 2,則它的內(nèi)切圓的半徑為()a.1b,3c.2d.2 3【答案】b 【解析】 如圖，連接oa、ob, og; 六邊形abcdef是邊長(zhǎng)為2的正六邊形， . oab是等邊三角形， .oa=ab=2 , . og=oa?sin60 =2x _1 = 32邊長(zhǎng)為2的正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為v3.例 2.2.3 如圖 1、2、3、.、n , m、n 分別超 o的內(nèi)接

8、正三角形 abc、正方形 abcd、五邊形 abcde、.、正n邊形abcde. 的邊ab、bc上的點(diǎn)，且 bm =cn ,連接om、on .(1)求圖 1中/mon的度數(shù)；(2)圖2中zmon的度數(shù)是 ,圖 3中/mon的度數(shù)是360(3)試探究zmon的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫(xiě)出答案)(1) 1200; (2) 90, 72; (3)【解析】 解：分別連接 ob、oc , (1 ab=ac j./abc =/acb： oc =ob ,。是 外接 圓的圓 心，co平分/acb ./obc =/ocb =30obm =/ocn =30bm =cn , oc =ob中/mon的度數(shù)是7

9、2。zmon=60-=90 ;在(3)中 4(2)同(1)可得/mon的度數(shù)是90。；圖 3(3)由(1)可知， 2mon=360-=120;在(2)中,3/mon=360=72 .故當(dāng) n 時(shí)，/mon =36j .5n隨堂練習(xí)隨練2.1 如圖，正五邊形 abcd時(shí)接于。o,則/ cad=度.【答案】36【解析】二五邊形abcde是正五邊形，ab = bc = cd = de = ea =72 ,1 ./ cad=- x72 =36 .2隨練2.2邊長(zhǎng)為a的正六邊形的邊心距等于a.b.)c.ad.【解析】 該題考查的是正 多邊形與圓.連接oa、ob作om，ab與m;可知aaob是等邊三角形，

10、om ab ,在4oam中，由勾股定理得：故選a隨練2.3已知。o的周長(zhǎng)等于6ncm,則它的內(nèi)接正六邊形 abcdef邊長(zhǎng)為 cm.【答案】3cm【解析】本題考查圓內(nèi)的多邊形邊長(zhǎng)計(jì)算.。0的周長(zhǎng)等于6ncm,，圓的半徑r=3,又 . 圓內(nèi)接正六邊形六條邊相等，故每條邊對(duì)的圓心角為60,，圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑，正六邊形 abcdef的邊長(zhǎng)為3 cm.隨練2.4 如圖，abcd是oo的內(nèi)接正方形，pqrs是半圓的內(nèi)接正方形，那么正方形pqrs與正方形abcd的面積之比為【答案】2:5【解析】 隨練2.5已知圓內(nèi)接正方形的面積為 2,求該圓的外切正三角形的外接圓的外切正六邊形的面積.【答案】8.3【解析】如圖，設(shè)ab是圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，cd是外切正三角形的邊長(zhǎng)，ef是外切正六邊形的邊長(zhǎng)，連結(jié) oa、ob、oc、oe . ab是內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，內(nèi)接正方形面積為2 ,ab=j2, oa=ob,/aob=90，.oa=ob=1. . cd 是外切正三角形的邊長(zhǎng)，oa_lcd , /aoc=60, .oc=2oa = 2.ef 是外切正六邊形的邊長(zhǎng)，oc _lef , zoef =60 , oe = ef = 2ce ,ce 二oc 二 3d.隨練2.6等邊三角形的周長(zhǎng)為 18,則它的內(nèi)切圓半徑是（）a.2 mb.3v3c.3【答案】c【解析】 該題考查的是內(nèi)切圓與內(nèi)