小學奧數(shù)同余問題

1、同余問題（一）在平時解題中，我們經(jīng)常會遇到把著眼點放在余數(shù)上的問題。如：現(xiàn)在時刻是 7時30分， 再過52小時是幾時幾分？我們知道一天是 24小時，52+ 24:24 ,也就是說52小時里包含兩 個整天再加上4小時，這樣就在7時30分的基礎(chǔ)上加上4小時，就是11時30分。很明顯這個問題 的著眼點是放在余數(shù)上了。1 .同余的表達式和特殊符號37和44同除以7,余數(shù)都是2,把除數(shù)7稱作“模7”，37、44對于模7同余。記作：37 =44 （ mod7）“三”讀作同余。一般地，兩個整數(shù)a和b,除以大于1的自然數(shù)m所得的余數(shù)相同，就稱a、b對于模m同 余，記作：二一二二”？2 .同余的性質(zhì)（1）a三小

2、血od陽）（每個整數(shù)都與自身同余，稱為同余的反身性。）（2）若,那么方三口（mod（這稱作同余的對稱性）（3）若a三附），方三4modm,貝相三e（mod切）（這稱為同余的傳遞性）（4）若，e三d（mod沖，則三idd （mod加）（這稱為同余的可加性、可 減性）axembxd（mod）（稱為同余的可乘性）（5）若a三nmod那），則/三（mod網(wǎng)，n為正整數(shù)，同余還有一個非常有趣的現(xiàn)象：如果二一：工”;那么都（6的差一定能被k整除）這是為什么呢？& a = i（mod k）口二切十八, 色=弓）占=刈+弓a-b =+/一(制 +&)=依l+rkqh-r2=孫一媯= siflk也就是ml，機的

3、公約數(shù)，所以有 啊%-%)下面我們應用同余的這些性質(zhì)解題?！纠}分析】 例1.用412、133和257除以一個相同的自然數(shù)，所得的余數(shù)相同，這個自然數(shù)最大是幾?分析與解答：(412 - 257),磯257-13假設(shè)這個自然數(shù)是a,因為412、133和257除以a所得的余數(shù)相同，所以 .(412 13,說明a是以上三個數(shù)中任意兩數(shù)差的約數(shù)，要求最大是幾，就是求這三個差的最大公約數(shù)(155, 124, 279) = 31所以a最大是31例2. 249 x388x234除以19,余數(shù)是幾?分析與解答：如果把三個數(shù)相乘的積求出來再除以 19,就太麻煩了，利用同余思想解決就容易了249 = 2(mod

4、19)383 = 8(modl9)234 = 6(mod 19)234x 388x249 6 x8x 2(modl9)6x8x2 = l(modl9)所以4.；4 一二此題應用了同余的可乘性，同余的傳遞性2222a，例3.有一個1997位數(shù)，它的每個數(shù)位都是2, 1997個2 這個數(shù)除以13,商的第100位是幾？最 后余數(shù)是幾？分析與解答：22221997個2這個數(shù)除以13,商是有規(guī)律的。22221997 -13=170940170940商是170940六個數(shù)循環(huán)，那么 1。0+6=164 ，即 1。三 4(mod6),我們從左向右數(shù) “170940 ”的第4個數(shù)就是我們找的那個數(shù) “9”，所

5、以商的第100位是9。余數(shù)是幾呢？2222回溫而 43 = 1709401709401 ”1996+6=3324則1.一二所以商的個位數(shù)字應是 “170940 ”中的第4個，商應是9,相應的余數(shù)是5?！灸M試題】(答題時間：20分鐘)1 .求下列算式中的余數(shù)。1111222111,2s /、/(1) 1997個 1s1997 個 2聲33334444、 /、 /(3) 1997個 3m3(4)1997 個 4132 . 6254與37的積除以7,余數(shù)是幾？3 .如果某數(shù)除482, 992 , 1094都余74 ,這個數(shù)是幾?同余問題(二)【例題分析】例1. 1997血除以7,余數(shù)是幾？分析與解

6、答：0 1997 + 7 = 2852.1997 三 2(nwd7)1997* 2期(mod7)性質(zhì)521 = 2(mod7)2: =4(mod7)23 - l(mod7)1997m 三 2 x23 x23 x x23x2133個三1 x 1，1 xx 2=2 (mod 7).1997100 = 2(mod7)例2. 一個自然數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余1,這個自然數(shù)最小是幾？分析：假設(shè)這個自然數(shù)為a那么-，二1as3(mod5)a=l(mod7)這道題考慮的困難是它們的余數(shù)不相同。如果把這道題改一下，使它們的余數(shù)相同，利用整除的知識，便容易考慮了，先看下面一道題：一個自然數(shù)除以3余2,

7、除以5余2,除以7余2,那么，這個自然數(shù)若減去2,便同時是3, 5, 7的倍數(shù)，這樣的自然數(shù)有：105, 210, 315,分別被3, 5, 7除余2的數(shù)是2, 107, 212, 317,最小的自然數(shù)是2?；剡^頭來看剛才的題，能不能把它也變?yōu)橛鄶?shù)相同的數(shù)呢？稍加變式，可以寫成：a = 5 = 8(mod3)a = 8(mod5)a = 3(mjod7)這樣同時是3, 5, 7倍數(shù)的數(shù)有105, 210, 315,那么同時被3, 5, 7余8的數(shù)有：8, 113, 218, 323,其中最小的自然數(shù)為8。例3.在求51173526被7除的余數(shù)時，小明這樣做：51173526t51126t212

8、6 t5所以余數(shù)是5劉老師說，小明的算法不僅正確，而且巧妙迅速，你知道其中的道理嗎？分析與解答：看了下面的算式，你就會明白的。51173526= 51100026+70000 + 3500=49000000 + 2100026+70000 + 3500二 49000000 + 2100000+70000 + 3500+21+5=7的倍數(shù)4-5小明用的這種方法，有比較廣泛的應用，常稱之為 “拼湊法”在解關(guān)于用幾除的余數(shù)的問題 時，常?！捌礈悺背鲲@然是幾的倍數(shù)的部分，對于這部分，簡直可以 “置之不理”，這樣可以使解答 過程簡化。例4. 1+23+33 +4*+55 + 6( +7 +黑+ 9除以3

9、的余數(shù)是幾？為什么？分析與解答：在上式的加項中，支1顯然可以被3整除，因此只須計算l + 2+4+f+7+爐被3 除余數(shù)是幾。由于4三7三5三 8三 2mod3)因此 工j7,三 f 三 l(mod355$ 三 25(mod3)83 = 2 (mod 3)由此可知，只須計算1+2“+1 + 25+ 1+2被3除的余數(shù)，它又等于7x(1+2,+2)被3除的 余數(shù)。由于2, kmog ,所以2a x(l+23+2) = 1x(l+2+l) = l(mod3)所以余數(shù)是1精品資料【模擬試題】1.今天是星期日，再過365湖大又是星期幾?5.若將一批貨物共3部千克裝入紙箱，每箱裝102.求2002迎口除

10、以3所得的余數(shù)。千克，最后余多少千克？若每箱裝 后還余多少千克？17千克，最3.某數(shù)除680 , 970和1521 ,余數(shù)相同，這個6、1309被一個質(zhì)數(shù)相除，余數(shù)是 21,求這個質(zhì)數(shù)。數(shù)最大是幾?7、1796被一個質(zhì)數(shù)相除，余數(shù)是 24,求這個質(zhì)數(shù)。4.有一列數(shù)排成一行，其中第一個數(shù)是 3,第二 個數(shù)是7,從第三個數(shù)開始，每個數(shù)恰好是前兩 個數(shù)的和，那么，第1997個數(shù)被3除，余數(shù)是 幾？12 、 兩個自然數(shù)相除， 商 15 ， 余 3 ， 被除數(shù)、 除數(shù)、 商、8、求2001 x2000除以7的余數(shù)。余數(shù)的和是853 ,求被除數(shù)。9、求123 m45+234 m56除以11的余數(shù)。13 、

11、有一個數(shù)除以 3 余 1 ，除以 4 余 2，問這個數(shù)除以12 ，余數(shù)是幾？10 、有一個大于1 的整數(shù)，它除1000 、 1975 、 2001都得到相同的余數(shù)，那么這個整數(shù)是多少？14 、一個數(shù)除以 5 余 1 ，除以 6 余 3 ，除以 7 余 4 ，這11 、有三個數(shù) 1989 、 901 和 306 被同一個自然數(shù)除，得到相同的余數(shù)，求這個自然數(shù)。個數(shù)最小是幾？精品資料19 、 當 2002 和 1781 除以某一個自然數(shù)， 余數(shù)分別是2精品資料和 1 ，那么這個數(shù)最大是多少？4937 x15、3867 x4253 = 1644 0351 ,求口里的數(shù)。6845 =3379 口65

12、,求口里的數(shù)。數(shù)是多少？21 、有一個數(shù)，除以 3 余數(shù)是 1 ，除以 4 余數(shù)是 3 。這個數(shù)除以 12 ，余數(shù)是多少。16 、兩個自然數(shù)相除，商8 余 16 ，被除數(shù)、除數(shù)、商20 、一個數(shù)除以 17 的余數(shù)是 5 ，被除數(shù)擴大2 倍，余與余數(shù)的和為265 ，求除數(shù)是多少？17 、寫出除以 8 所得的商和余數(shù)（不為 0 ）相同的所有 的數(shù)。18、2002 x2002-2001 除以9的余數(shù)是多少?22 、 570 被一個兩位數(shù)除， 余數(shù)是 15 ， 這個兩位數(shù)是多精品資料少？28 、 求被 4 除余 2 ， 被 6 除余 2 ， 被 9 除余 5 的兩位數(shù)。29 、一個數(shù)能被3、 5、 7 整除，若用 11 去除則余 7，這個數(shù)最小是幾？23 、有一個數(shù)加上22 的和被 9 除余 3 ，這個數(shù)加上35的和被 9 被余幾？b組26 、把幾十個蘋果平均分成若干份，每份 9 個余 8 個，每份 8 個余 7 個每份 4個余 3個。 這堆蘋果共有多少個？27 、有一個數(shù)被 5 和 11 整除均余 4 ，被 3 正好整除，這個數(shù)最小是幾？30 、小紅收數(shù)學學習小組買奧數(shù)練習本的錢，她只記下四組各交的錢，第一組 6.3 元，第二組 7.7 元，第三組6.3 元，