高考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練試題8

1、第一部分 專題二 第2講 數(shù)列的綜合應(yīng)用(限時(shí)60分鐘，滿分100分)一、選擇題(本大題共6個(gè)小題，每小題6分，共36分)1命題甲：()x,21x,2x2成等比數(shù)列；命題乙：lgx，lg(x1)，lg(x3)成等差數(shù)列，則甲是乙的()a充分非必要條件 b必要非充分條件c充要條件 d既非充分又非必要條件解析：命題甲：(21x)22x2x2，即2(1x)xx2，得：x2或x1.命題乙：2lg(x1)lgxlg(x3)，即(x1)2x(x3)，得：x1.故甲/乙，乙甲，故甲是乙的必要非充分條件答案：b2已知等比數(shù)列an中，a21，則其前3項(xiàng)的和s3的取值范圍是()a(，1 b(，0)(1，)c3，)

2、 d(，13，)解析：設(shè)a1x，且x0，則s3x1，由函數(shù)yx的圖象知：x2或x2，y(，13，)答案：d3首項(xiàng)為b，公比為a的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，對(duì)任意的nn*，點(diǎn)(sn，sn1)在()a直線yaxb上 b直線ybxa上c直線ybxa上 d直線yaxb上解析：當(dāng)a1時(shí)，sn，sn1，點(diǎn)(sn，sn1)為：(，)，顯然此點(diǎn)在直線yaxb上當(dāng)a1時(shí)，顯然也成立答案：a4已知函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)(xr)，且f(1)，則數(shù)列f(n)(nn*)前20項(xiàng)的和為()a305 b315 c325 d335解析：因?yàn)閒(1)，f(2)，f(3)，f(n)f(n1)，所以f(n)是以為首

3、項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以s2020335.答案：d5等差數(shù)列an中，a10，公差d0，sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)任意自然數(shù)n，若點(diǎn)(n，sn)在以下4條曲線中的某一條上，則這條曲線應(yīng)是()解析：snna1d，snn2(a1)n，又a10，公差d0，所以點(diǎn)(n，sn)所在拋物線開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)答案：c6古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)比如：他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)，下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()a289b1 024c1 225 d1 378解析：根據(jù)圖形的

4、規(guī)律可知第n個(gè)三角形數(shù)為an，第n個(gè)正方形數(shù)為bnn2，由此可排除d(1 378不是平方數(shù))將a、b、c選項(xiàng)代入到三角形數(shù)表達(dá)式中檢驗(yàn)可知，符合題意的是c選項(xiàng)答案：c二、填空題(本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分)7已知數(shù)列an滿足：a4n31，a4n10，a2nan(nn*)，則a2009_，a2014_.解析：a2009a450331，a2014a1007a252410.答案：108等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且a4a28，a3a526，記tn，如果存在正整數(shù)m，使得對(duì)一切正整數(shù)n，tnm都成立，則m的最小值是_解析：由a4a28，得2d8，d4.又a3a526，得a413，a11.

5、于是snn4(2n1)n，tn22.要使mtn恒成立，只需m2，m的最小值是2.答案：29已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和snt5n2，則實(shí)數(shù)t的值為_解析：snt5n2，a1s1，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1().又an為等比數(shù)列，q5，5，即5，t5.答案：5三、解答題(本大題共3個(gè)小題，共46分)10(本小題滿分15分)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11，且點(diǎn)an(an，an1)在函數(shù)y的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：弦anan1的斜率隨n的增大而增大解：(1)an1且a11，1，1，是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列1(n1)1n，an.(2)證明：an，an1，an2，弦anan1的斜率k

6、n.kn1kn0，弦anan1的斜率隨n的增大而增大11(本小題滿分15分)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a11，a2a3a10144.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an；(2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)bn，記sn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，若n3時(shí)，有snm恒成立，求m的最大值解：(1)an是等差數(shù)列，a11，a2a3a10144，s10145.s10145.a1028.281(101)d.d3.ana1(n1)d1(n1)33n2.(2)bn()，snb1b2bn(1)(1).sn1sn0，數(shù)列sn是遞增數(shù)列當(dāng)n3時(shí)，(sn)mins3.依題意，m，m的最大值為.12(理)(本小題滿分16分)數(shù)列an滿足a10，a2

7、2，an2(1cos2)an4sin2，n1,2,3，.(1)求a3，a4，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)ska1a3a2k1，tka2a4a2k，wk(kn*)，求使wk1的所有k的值，并說(shuō)明理由解：(1)因?yàn)閍10，a22，所以a3(1cos2)a14sin2a144，a4(1cos2)a24sin22a24.一般地，當(dāng)n2k1(kn*)時(shí)a2k11cos2a2k14sin2a2k14，即a2k1a2k14.所以數(shù)列a2k1是首項(xiàng)為0，公差為4的等差數(shù)列，因此a2k14(k1)當(dāng)n2k(kn*)時(shí)，a2k2(1cos2)a2k4sin22a2k.所以數(shù)列a2k是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)

8、列，因此a2k2k.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(2)由(1)知，ska1a3a2k1044(k1)2k(k1)，tka2a4a2k2222k2k12，wk.于是w10，w21，w3，w4，w5，w6.下面證明：當(dāng)k6時(shí)；wk1.事實(shí)上，當(dāng)k6時(shí)，wk1wk0，即wk1wk.又w61，所以當(dāng)k6時(shí)，wk1.故滿足wk1的所有k的值為3,4,5.(文)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0)，且滿足：a2a555，a4a622.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為an，數(shù)列bn和數(shù)列cn滿足：bn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和sn.解：(1)由題意知，即，得，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an32(n1

9、)，即an2n1.(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為tn，則tnan2n1，tn1an12(n1)12n1(n2，nn*)，bntntn12(n2)，又b1t1a13，c1b126，cnbn2n2n1(n2)，即cn，從而當(dāng)n2時(shí)，sn623242n2n122223242n2n12n22，當(dāng)n1時(shí)，s16也滿足上式，故sn2n22.1an是等差數(shù)列，a28，s10185，從an中依次取出第3項(xiàng)，第9項(xiàng)，第27項(xiàng)，第3n項(xiàng)，按原來(lái)的順序排成一個(gè)新數(shù)列bn，則bn等于()a3n12b3n12c3n2 d3n2解析：由a28，s10185可求得a15，公差d3，an3n2.由于an的第3n項(xiàng)恰是bn的第n

10、項(xiàng)，bna3n33n23n12.答案：a2設(shè)函數(shù)f(x)(x1)2n，(x1,3，nn*)的最小值為an，最大值為bn，則cnbanbn是()a公差不為零的等差數(shù)列b公比不為1的等比數(shù)列c常數(shù)列d既不是等差也不是等比數(shù)列解析：f(x)(x1)2n，x1,3，nn*，anf(1)n，bnf(1)f(3)banbnbn(bnan)4(n4)是公差不為零的等差數(shù)列答案：a3定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a12，公和為5，那么a18的值為_，且這個(gè)數(shù)列的前

11、21項(xiàng)的和s21的值為_解析：根據(jù)定義和條件知，anan15對(duì)一切nn*恒成立，因?yàn)閍12，所以an于是a183，s2110(a2a3)a152.答案：3524已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，對(duì)任意nn*，點(diǎn)(n，sn)都在函數(shù)f(x)2x2x的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，且數(shù)列bn是等差數(shù)列，求非零常數(shù)p的值；(3)設(shè)cn，tn是數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求使得tn對(duì)所有nn*都成立的最小正整數(shù)m.解：(1)由已知，對(duì)所有nn*，sn2n2n，所以當(dāng)n1時(shí)，a1s11，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn14n3，因?yàn)閍1也滿足上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n3(nn*)(2)由已知bn

12、，因?yàn)閎n是等差數(shù)列，可設(shè)bnanb(a、b為常數(shù))，所以anb，于是2n2nan2(apb)nbp，所以因?yàn)閜0，所以b0，p.(3)cn()，所以tnc1c2cn(1)(1)由tn10(1)因?yàn)?1，所以m10.所以，所求的最小正整數(shù)m的值為10.5設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為sn，已知4sna2an1(nn*)(1)證明an是等差數(shù)列，并求an；(2)設(shè)m、k、pn*，mp2k，求證：.解：(1)4sna2an1，4sn1a2an11(n2)兩式相減得4anaa2an2an1.整理得(anan1)(anan12)0.anan10，anan12(常數(shù))，an是以2為公差的等差數(shù)列又4s1a2a11，即a2a110，解得a11，an1(n1)22n1.(2)證明：由(1)知snn2，smm2，spp2，skk2.由0，即.6這是發(fā)生在德國(guó)的一個(gè)真實(shí)故事，一個(gè)9歲的孤兒德比為了尋找母親，表達(dá)他對(duì)母親的愛(ài)，他每幫助一個(gè)人，就請(qǐng)這位被幫助者再去幫助另外10個(gè)人，假設(shè)每個(gè)人都以這種方式將愛(ài)心傳遞下去，且被幫助的人不重復(fù)總有一天自己的母親也會(huì)成為被幫助的對(duì)象如果德比每天幫助一個(gè)人，被幫助的人第二天去幫助另外10個(gè)人(假設(shè)被幫助的人第三天及以后不再幫助其他人)而德國(guó)有8 220萬(wàn)人(1)設(shè)n天后，被幫助