平行四邊形中常用輔助線的添法

1、平行四邊形中常用輔助線的添法徐衛(wèi)東劉建英平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：一、連對角線或平移對角線：例1如圖1，E是平行四邊形 ABCD中AD延長線上一點，ED交BC于F，求證:-亠:匚。簡證：連BD，由圖易得二佇：（同底等高），二（同底等高）所以-上-匚 -丄1.丄亠:：所以，即- SiCEF o例2如圖2,平行四邊形ABCD 中，對角線 AC、BD 交于 O,AC=a+

2、b ,BD=a+c（：），AB=m，求m的取值范圍。C 作 CE / DB 交簡解：要求 AB的值，需把 AC、BD、AB集中在一個三角形中，過AB的延長線于E,由圖易得DBEC是平行四邊形,豐=匸匚：=土 =二即 =上二，在 ACE 中,AC -CEAC 4- CEc) T= i&M = lx所以，-則、連接對角線交點與一邊中點,或過對角線交點作一邊的平行線，例5如圖5,平行四邊形 ABCD中，N是AB中點，BE=構造線段平行或中位線BFNE與BD交于F，求L -的值。p簡解：作AC交BD于0,連0N，由圖得0N丄BC且3BE _ BF BE_ 10N_ 1因為而 _ CF _3，BC_ 2

3、EE_ 2 BF=2所以-，所以一，EF_ 2 BF_ I所以-，U - -O例6如圖6,平行四邊形 ABCD中，0是對角線交點，F(xiàn)是AB延長線上一點，OF交BC 于 E, AB=a , BC=b , BF=c。求 BE 長。1簡解：作0G / CB交AB于G,因為0是AC中點，所以0G=丄BC = lb1BEOG BF所以bem又鬼四D衛(wèi)5!），所以呂也皿 ACEE又鬼四D衛(wèi)5!），所以呂也皿 ACEE四、連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三角形。例7如圖7,正方形 ABCD中，E、F分別為CD、DA的中點，BE、CF交于P,求證AP=AB。圖7簡證：延長CF交B

4、A的延長線于Go因為 FD=FA，易得 CDF： GAF , 所以AG=CD=AB，貝U A為BG中點， 又 CE=DF , CB=CD ,所以 Rt BCE 蘭 Rt CDF ,所以/仁/ 2,所以/ 2+ / 3=匸,所以/ CPB= ；丁，所以/ BPG= 。則PA是Rt BPG的斜邊上中線，所以 AP=AB。又鬼四D衛(wèi)5!），所以呂也皿 ACEEAE 與 CF例8如圖8，平行四邊形 ABCD中，E、F分別是DC、DA上一點，AE=CF , 交于P,求證PB平分/ APC。簡證：連BE、BF，由圖易證得=11過B作BH丄CF、BG丄AE，垂足分別為 H、G。因為BGSArEir = lc

5、FBHdCBF 2所以BG=BH，所以B點在/ APC的角平分線上，則 PB平分/ APC。五、過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等例9如圖9, E是平行四邊形 ABCD對角線BD上一點，EF丄BC , EG丄BA ,EF_ EG為F、G,求證：上- L -。垂足分別圖9簡證：作 AH丄BD于H, CK丄BD于K，易得 AH 上CK, 連 AE、 CE。因為ED所以-_一_又鬼四D衛(wèi)5!），所以呂也皿 ACEEIab EG=inC EF 所以二-EF EG則例10如圖10,ABCD是正方形,BE / AC , AE=AC , CF / AE ,求證：/ AEB=2 / BCF。D簡證：連 BD，過A作AH丄AC交BE于H , AC與BD交于0。由圖中易證得 AHBOIac為正方形，所以 AH=AO=-因為AE=AC，ah=Iae所以二 ,所以在 Rt AHE 中，/ AEH= 了。又因為AEFC為菱形，所以/ ACF= / AEF= C。又鬼四D衛(wèi)5!），所以呂也皿 AC