第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：1、 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。3、 會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。4、 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。5、 知道曲率和曲率半徑的概念，會計(jì)算曲率和曲率半徑。6、 知道方程近似解的二分法及切線性。教學(xué)重點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值 ，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達(dá)法則

2、。教學(xué)難點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用； 2、極值的判斷方法； 3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪； 4、洛必達(dá)法則的靈活運(yùn)用。3. 1 中值定理 一、羅爾定理 費(fèi)馬引理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 并且在x0處可導(dǎo), 如果對任意xU(x0), 有 f(x)f(x0) (或f(x)f(x0), 那么f (x0)=0. 羅爾定理 如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)內(nèi)至少在一點(diǎn)x , 使得f (x)=0. 簡要證明: (1)如果f(x)是常函數(shù), 則f (x)0, 定理的結(jié)論顯然

3、成立. (2)如果f(x)不是常函數(shù), 則f(x)在(a, b)內(nèi)至少有一個最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn), 不妨設(shè)有一最大值點(diǎn)x(a, b). 于是, , 所以f (x)=0. 羅爾定理的幾何意義: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x(axb), 使得等式f(b)-f(a)=f (x)(b-a)成立. 拉格朗日中值定理的幾何意義: f (x)=, 定理的證明: 引進(jìn)輔函數(shù)令 j(x)=f(x)-f(a)-(x-a). 容易驗(yàn)證函數(shù)f(x)適合羅爾定理的條件: j(a)=j(b)=0, j(x)在

4、閉區(qū)間a, b 上連續(xù)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且j (x)=f (x)-. 根據(jù)羅爾定理, 可知在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x, 使j (x)=0, 即f (x)-=0. 由此得 = f (x) , 即 f(b)-f(a)=f (x)(b-a). 定理證畢. f(b)-f(a)=f (x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 這個公式對于b0或Dx0)或x+Dx, x (Dx0)應(yīng)用拉格朗日中值公式, 得f(x+Dx)-f(x)=f (x+qDx)Dx (0q1). 如果記f(x)為y, 則上式又可寫為Dy=f (x+qDx)Dx (0q1). 試與微分d y=f (x)Dx 比較: d

5、 y =f (x)Dx是函數(shù)增量Dy 的近似表達(dá)式, 而f (x+qDx)Dx是函數(shù)增量Dy 的精確表達(dá)式. 作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用, 我們證明如下定理: 定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零, 那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù). 證 在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)x1, x2(x1x2), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 就得f(x2)-f(x1)=f (x)(x2 - x1) (x1x0時, . 證 設(shè)f(x)=ln(1+x), 顯然f(x)在區(qū)間0, x上滿足拉格朗日中值定理的條件, 根據(jù)定理, 就有 f(x)-f(0)=f (x)(x-0), 0xx。由于f(0)=0, , 因此上式即為 .又由0xx, 有 . 三、柯西中值定理 設(shè)曲線弧C由參數(shù)方程 (axb)表示, 其中x為參數(shù). 如果曲線C上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線, 那么在曲線C上必有一點(diǎn)x=x , 使曲線上該點(diǎn)的切線平行于連結(jié)曲線端點(diǎn)的弦AB, 曲線C上點(diǎn)x=x 處的切線的斜率為 , 弦AB的斜率為 . 于是 . 柯西中值定理 如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且F (x)在(a, b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零, 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x , 使等式 .成立. 顯然, 如果取F